Chapitre 5 CALCUL DES SYSTÈMES PLANS PAR LA MÉTHODE DES FORCES

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1 Chaptre 5 CACU DES SYSTÈMES PANS PAR A MÉTHODE DES FORCES 5. SYSTEME CONCORDANT - MANQUE DE CONCORDANCE DÉFINITION : O dt q système hyperstatqe est cocordat qat à ses apps, o ecore qe les apps d système hyperstatqe sot cocordats, lorsqe les composates de réacto sot totes lles e l absece de sollctatos extéreres (Fgre 5.a). Maqe de cocordace a) Système cocordat b) Système o cocordat Fgre 5. Das le cas cotrare - Fgre 5.b - les apps sot dts o cocordats (les composates de réacto e sot pas totes lles). e maqe de cocordace d app est représeté par le déplacemet léare o aglare q l sbt deps sa posto cocordate jsq à sa posto réelle. 5. THEOREME DE MENABREA THÉORÈME : a dérvée partelle de l éerge potetelle tere (W) d système par rapport à e coe hyperstatqe extere o par rapport à la valer comme de dex coes hyperstatqes teres X dégagées par e copre, est égale a maqe de cocordace correspodat c. = c (5.) Das le cas d système cocordat cette dérvée est tojors lle, sot :

2 84 CACU DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES (5.)' e théorème décole de cel de Castglao ( ère forme). Ce résltat est évdet das le cas d'e coe hyperstatqe extere (c'est-à-dre e réacto), psqe le déplacemet est l das la drecto de la réacto. Nos revedros pls lo sr la sgfcato de ce résltat [(5.)'] das le cas d'e coe hyperstatqe tere. e théorème de Meabrea sgfe qe les forces hyperstatqes preet des valers q redet mmale l'éerge potetelle tere exprmée e focto des sollctatos, dot les forces hyperstatqes, applqées a système cosdéré. As, por chaqe coe hyperstatqe X le théorème de Meabrea fort e éqato (de cotté). a résolto d système d éqatos as obte permet de trover les coes hyperstatqes et de résodre le problème q devet sostatqe. Das le cas d système léare pla dot les élémets de rédcto sot désgés par M, N et T (M t =0), l expresso géérale de W (vor chaptre ) est de la forme : W M N EA T = κ GA S le système est costté de plsers barres (potres) l tégrale est étede à chace d elles : W M N EA T = κ GA S la flexo est prépodérate par rapport ax atres sollctatos, l expresso de l éerge se rédt a premer terme : W = M Même lorsqe le symbole de la sommato est pas porté, por smplfer l'écrtre des expressos, o sat qe l tégrato est étede à la totalté d système, doc à totes ses partes. Por des systèmes plas costtés de barres drotes artclées (trells) avec des charges applqées ax œ (trells chargés drectemet), l éerge est doée par : W N EA dx = = N dx EA Et s la rgdté extesoelle EA est costate sr chaqe barre, l vet :

3 Calcl des systèmes plas par la méthode des forces 85 W = N ( EA) 5. PRINCIPE DE A METHODE DES FORCES Por calcler système hyperstatqe d ordre (H = ), o le trasforme e système sostatqe e spprmat les lasos srabodates. Cela revet à pratqer copres, e par coe hyperstatqe. Por qe le système sostatqe sot éqvalet a système tal, l fat remplacer chaqe laso spprmée par la force q l correspodat (Fgre 5.). P P X X h (a) (b) l/ l/ Fgre 5. es coes hyperstatqes X et X de l exemple cosdéré sot obtees e tlsat l éqato (5.) c-desss. e système d éqatos s écrt : e système sostatqe obte par sppresso des lasos srabodates (Fgre 5.b) est désgé par système de base, système fodametal o ecore système prcpal. Ue fos l hyperstatcté levée, c est-à-dre lorsq o a détermé les coes hyperstatqes, la costrcto des dagrammes M, N, T revet à tracer les dagrammes d système sostatqe (e l occrrece le système de base) soms - smltaémet - ax charges doées (la sollctato globale F) et ax forces calclées (X, X,... X ). applcato d prcpe de sperposto (vor 5.4.) smplfe qelqe pe ce traval. 5.4 EQUATIONS DE CONTINUITE Por système cocordat d ordre, o ara système de éqatos :,,...,,..., j (a)

4 86 CACU DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES O pet motrer qe chace de ces éqatos pet se mettre sos la forme c-après, coe sos le om de formle de Müller - Bresla (o de Bertrad De Fovolat), j, X δ j δ jf j =,,..., (5.) = et le système des éqatos de cotté pet se mettre sos la forme explcte svate : δ X δ X... δ X δf δ X δx... δx δf... δ X δx... δx δf o sos la forme matrcelle : [ δ ]{ X } { } = δ j j m t j j F j j (5.) (5.4) es éqatos d système (5.) [o (5.4)] sot appelées éqatos caoqes de la méthode des forces Démostrato de la formle de Müller - Bresla Cosdéros système pla. Soet M F, N F et T F les élémets de rédcto das la secto corate d système de base sos l acto de la sollctato globale F(F, F,..., F j,...). S o ote par m j, j, et t j les élémets de rédcto das la même secto sos l acto d e sollctato tare applqée das la secto j (d système de base), alors la cotrbto de l coe hyperstatqe X j ax élémets de rédcto s écrt : X j m j por le momet fléchssat ; X j j por l effort ormal et X j t j por l effort trachat. es élémets de rédcto q apparasset e sos l acto cojgée de la sollctato globale F et des coes hyperstatqes X, X,..., X, s obteet par sperposto : M N T F F F X X X expresso de l éerge potetelle s écrt alors :

5 Calcl des systèmes plas par la méthode des forces 87 (M W= F X jm j ) (N X ) F j j (T X t ) F j j EA κ GA éqato de cotté relatve à la copre k, c est-à-dre, s écrt: (M X m )m (N X ) (T X t )t M m F j j k F j j k F j j k Xtt κ GA N EA F k F k δ sot : kf jjk j X mm Tt F k κ GA EA Xmm κ j j k j k j k j k X jδkj δ kf =0 EA 5.4. Sgfcato et calcl des coeffcets a sgfcato et le calcl des coeffcets δ chaptre. es coeffcets δ j t t κ GA et δ GA X k X j j k EA =0 ot été exposés das le sot les coeffcets d flece défs das ce même chaptre. er matrce δ est appelée matrce de soplesse. e coeffcet gééral δ F représete le déplacemet de la secto d système de base (das la drecto, q est ass la drecto de l coe hyperstatqe X ) sos l effet des charges applqées (doées) (F). 5.5 EXEMPES D APPICATION Exemple : coes hyperstatqes exteres. Sot à résodre le portqe de la fgre 5.. Por les calcls, o cosdère h=l=a. es éqatos caoqes d système s écrvet : j F

6 88 CACU DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES δ X δ X δ F δ X δ X δ F δ es coeffcets et δ sot obtes e applqat a système de base la sollctato tare X= ta qe δ et δ s obteet sos l effet de la sele sollctato X=. Qat ax déplacemets δ F et δ F, ls se calclet sos l effet des charges extéreres (c la force P) applqées a système sostatqe de base. es dagrammes permettat le calcl de ces coeffcets (cas où l'flece de M est prépodérate) sot motrés à la fgre 5.. l Pl/ P X = X = m l m M F h (a) l (b) (c) Fgre 5. : Dagrammes des momets M et m O trove, avec h=l=a : δ δ δ = a a 4a = = δ = δ F =- Pa δ 4 a fgre 5.4 motre la sgfcato de ces coeffcets. F =- 9Pa 48 δ δ δ δ P δ F X = X = δ F (a) (b) (c) Fgre 5.4 : Sgfcato des coeffcets δ Et à partr des éqatos d système o tre :

7 Calcl des systèmes plas par la méthode des forces 89 X = 9 56 P et X = 56 P es dagrammes M, N, T pevet être costrts mateat (Fgre 5.5) M(xPa/56) N(xP/56) T(xP/56) 4 9 (a) (b) (c) Fgre 5.5 : Dagrammes M, N, T Exemple : coes hyperstatqes teres (Fgre 5.6). q X X X X X X h (a) (b) l l/ l/ Fgre 5.6 es éqatos caoqes d système s écrvet : F δ X δ X δ X δ =0 F δ X δ X δ X δ =0 δ X δ X δ X δ =0 F A partr des dagrammes de la fgre 5.7, o calcle les coeffcets d système obte.

8 90 CACU DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES δ δ δ ; δ ; δ δ = h ; δ δ ; l (h l) h = = = = = ; 4 (4h l) δ = ; δ F =- qh ; δf = qh l δ 8 ; 4 F =qh 6 X X = l/ X = l/ X X X = m =m m =m m =m h h (a) (b) (c) M F (d) Fgre 5.7 : Dagrammes des momets M et m qh / E preat h = l, l vet : h h h δ = ; δ = δ = δ = δ ; δ = ; δ = δ = ; 4 4 5h qh qh qh δ = ; δf = ; δf = ; δf = 8 6 a résolto d système d éqatos doe : X = qh.qh ; X = qh.5qh ; X = qh = 0.0qh e sge mos ( ) devat X, sgfe qe le ses réel de ce momet est cotrare a ses chos arbtraremet. 5.6 CONTROE DES RESUTATS 48 e cotrôle des résltats pet se fare à tros veax : sr les coeffcets et δf ; sr les dagrammes M, N, T et sr les déplacemets. δ j 5.6. Vérfcato des coeffcets Cosdéros système hyperstatqe d ordre. Por alléger les expressos, os spposos qe l flece des efforts ormal et trachat est

9 Calcl des systèmes plas par la méthode des forces 9 églgeable. Sot m t le momet (par té de force) das la secto corate d système de base sos l effet de : X =, X =,..., X = ; c est-à-dre : m t = m m... m e vert d prcpe de sperposto. a) Somme des coeffcets de chaqe lge de la matrce Cosdéros la kème lge (éqato relatve à la copre k). δ Sot : δ kj m k.mj m k.m m k.m k... m.m k k mk. mt (m t ) = = = = m (m m...m ) = m δ kj k = m m. t (5.5) a loger désge la loger totale d système (totes les barres s l e comporte plsers). b) Somme des coeffcets de la matrce δ mk k t kj (m m...m ) = m. m δ = Sot : mt t (m m...m ) = m = δ kj = mt (5.6) c) Somme des coeffcets δ F δ kf = MF. mk MF MF. mt = (m m... m )= (5.7) Ass, avat de passer à la résolto d système d éqatos, l est prdet de procéder ax vérfcatos dqées. E pratqe, o trace le dagramme m t et o applqe la relato (5.6). S le résltat doé par cette derère est detqe à la somme de tos les termes de la matrce δ, o pet passer à l étape svate de l étde. Das le cas cotrare, o procède a cotrôle de chaqe lge de la matrce selo l expresso (5.5) et des coeffcets δ F d après la relato (5.7).

10 9 CACU DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES O sera ameé à vérfer le calcl des dfférets coeffcets as qe les dagrammes M F et m k s o a tlsé la méthode de Verescheage. Exemple Vérfos les coeffcets de la matrce δ d cas traté das l'exemple. Por les besos de l'applcato mérqe o pred h= m. e premer membre de l'éqato (5.6) vat : k = δ kj 9h h 5h 77 = = 4 8 e dagramme m t écessare a calcl d secod membre de l'éqato (5.6) est représeté à la fgre 5.8. e calcl de l'tégrale de Mohr doe : mt = ( ) ( ) = ( ) ( ) = = h= m 0.5 l/=.5 m m t.5.5 m Fgre 5.8 : Dagramme m t, sos l'acto smltaée de X =, X = et X = 5.6. Vérfcato des dagrammes a vérfcato de l éqlbre des œ et de partes etères de la strctre étdée, à partr des dagrammes des efforts, fort bo moye de cotrôler les résltats obtes. Chaqe œd o parte de la strctre solé par des copres, dot être e éqlbre sos l acto des forces q l sot drectemet applqées et des efforts teres (M, N, T) agssat ax lèvres des copres et 6Pa/56 q o lt drectemet sr les dagrammes à cotrôler. Exemple 6Pa/56 9P/56 4P/56 9P/56 4P/56 Fgre 5.9 : Vérfcato de l'éqlbre d' œd

11 Calcl des systèmes plas par la méthode des forces 9 O vet vérfer l'éqlbre d œd de la strctre cosdérée das l'exemple précédet. a fgre 5.9 représete le œd avec les efforts agssat sr les sectos copées et dot les valers sot les drectemet sr les dagrammes des efforts de la fgre 5.5. O pet costater qe les efforts agssat sr le œd vérfet les tros éqatos d'éqlbre de la statqe Vérfcato des déplacemets O pet applqer la vérfcato ax déplacemets cos, prcpalemet cex q sot ls. e calcl dot être effecté à partr des efforts trovés (otammet le dagramme fal d momet). 5.7 SIGNIFICATION DES EQUATIONS DE CONTINUITE Comme le motret les dex exemples tratés, chaqe éqato de cotté exprme qe le déplacemet relatf des lèvres de la copre lbérat l coe hyperstatqe cosdérée est égal a maqe de cocordace correspodat. Das le cas d système cocordat, ce déplacemet (relatf) est l. Qad l s'agt d'e coe hyperstatqe extere, le déplacemet relatf est e fat le déplacemet réel.