ASI 3. Méthodes numériques pour l ingénieur. Interpolation f(x)

Transcription

1 ASI 3 Métodes nuérques pour l ngéneur Interpolaton f

2 Approaton de fonctons Sot une foncton f nconnue eplcteent connue seuleent en certans ponts, n ou évaluable par un calcul coûteu. rncpe : représenter f par une foncton sple, facle à évaluer roblèe : l este une nfnté de solutons!

3 Approaton de fonctons Il faut se restrendre à une falle de fonctons polnôes, eponentelles, fonctons trgonoétrques

4 Quelques étodes d'approaton Interpolaton polnoale polnôes de degré au plus n polnôes de Lagrange dfférences fnes de Newton Interpolaton par splnes polnôes par orceau Interpolaton d'herte nforatons sur les dérvées de la foncton à approcer...vor le groupe de TT 4

5 Téorèe d approaton de Weerstrass sot f une foncton défne et contnue sur l'ntervalle Alors, ε >, l este un polnôe, défnt sur f < ε [ a, b] [ a, b] [ a, b] f fε ε f f tel que: f f-ε ε plus ε, est pett, plus l'ordre du polnoe est grand ab ab Interpolaton : n ponts, n contrantes, n équatons, n nconnues : ordre n 5

6 6 Interpolaton polnoale Le problèe : les données, la soluton recercée auvase soluton : résoudre le sstèe lnéare la cobnason lnéare de polnôes est un polnôe n f f f f,, que tel,,...,,,...,,... ans et que tel... n n j n n j : atrce de Vanderonde V Va a n

7 Interpolaton polnoale : Lagrange Téorèe Soent n ponts dstncts réels et n réels, l este un unque polnôe p n tel que p pour à n déonstraton Constructon de p : avec L polnôe de Lagrange roprétés de L L L j j p n L L n j j j L est un polnôe d ordre n j 7

8 8 Eeple avec n on connaît ponts, et, on cerce la drote ab polnôe de degré qu passe par les ponts : a b a - / - a b b - / - Lagrange : eeple n L L

9 Lagrange : eeple n L Eeple avec n on connaît 3 ponts,,,5 et 4,7 polnôes de Lagrange assocés : 4 4 L 8 4 L

10 Lagrange : eeple n calcul du polnôe d'nterpolaton 3 pl 5 L 7 L en splfant, on trouve p

11 Lagrange : l algorte Copleté du calcul : n fat * fat * ;, à jusqu' pour à jusqu' pour l j j l l j n j n Foncton lagrange,,

12 Lagrange : eeple n 3 Eeple avec n foncton à approcer e on connaît 3 ponts,,,7.389 et 4, olnôe d'nterpolaton p L L L

13 Lagrange : eeple n 3 Erreur d'nterpolaton e f - p

14 Lagrange : erreur d'nterpolaton Téorèe : s f est n dérvable sur [a,b], [a,b], notons : I le plus pett ntervalle feré contenant et les φ- - - n alors, l este ξ I tel que NB : ξ dépend de e n ξ n! f φ Utlté on contrôle l erreur d approaton donc. la qualté de l approaton 4

15 Lagrange : co de n Supposons que l'on possède un nb élevé de ponts pour approcer f faut-l tous les utlser? calculs lourds Métode de Nevlle : on augente progressveent n on calcule des L de anère récursve on arrête dès que l'erreur est nféreure à un seul d ou l utlté du calcul de l erreur 5

16 Défnton,,..., les k Téorèe Déonstraton La étode de Neuvlle k ponts polnôede Lagrange calculésur,,,,...,, j,,..., j, j,..., n,,...,,,..., n f ; j f j et k f k j k k Applcaton sstéatque 3 3 Q Q Q Q,,, 3,,,,3 Q Q Q,, 3, Q, j j, j,...,,,,,,3 Q Q, 3,,,,4 Q 3,3 6

17 L algorte de Neuvlle Foncton Neuvlle,, pour jusqu' à n Q, fat pour jusqu' à n pour j jusqu' à Q,j fat Q n, n fat j Q,j j Q,j Copleté du calcul : n 7

18 Interpolaton polnoale : Newton olnôes de Newton : base {, -, - -,, n- } on peut ré-écrre p : pa a - a - - a n n- calcul desa k : étode des dfférences dvsées 8

19 Newton : dfférences dvsées Défnton : Sot une foncton f dont on connaît les valeurs en des ponts dstncts a, b, c, On appelle dfférence dvsée d ordre,,,...,n les epressons défnes par récurrence sur l ordre k : k f [a] f a k f [a,b] f [b] - f [a] / b - a k f [a,b,c] f [a,c] - f [a,b] / c - b f [X,a,b] f [X,b] - f [X,a] / b - a a X, b X, a b 9

20 Newton : dfférences dvsées Téorèes : déternaton des coeffcents de p dans la base de Newton : f [,,, k ] a k avec k n erreur d'nterpolaton : e f [,,, n, ] φ

21 Newton : dfférences dvsées Calcul pratque des coeffcents : f [ ] a a f [ ] f [, ] f [ ] f [, ] f [,, ]... f [ n-3, n-, n- ] n f [ n ] f [ n-, n ] f [ n-, n-, n ] f [,..., n ] a a n

22 Newton : eeple e. n : n,,,5 et 4,7 f [ ] a f [ ]5 f [, ] -5/- 4 f [ ]7 f [, ] f [,, ] a 5-7/-46-6/-4 a p - et on retobe sur p

23 Newton : l algorte Foncton a Newton, pour jusqu' à n F, fat pour jusqu' à n pour j jusqu'à F,j F,j F,j j fat fat pour jusqu' à n a F n, fat Copleté du calcul : n 3

24 A bas les polnôes E : tan - / 6 avec 9 ponts entre les ponts, le polnôe fat ce qu'l veut et plus son degré est élevé plus l est apte à oscller!

25 Interpolaton par splnes cubques rncpe : on approce la courbe par orceau localeent on prend des polnôes de degré fable 3 pour évter les oscllatons 5

26 Splnes cubques : défnton Défnton : On appelle splne cubque d nterpolaton une foncton notée g, qu vérfe les proprétés suvantes : g C [a;b] g est deu fos contnûent dérvable, g coïncde sur caque ntervalle [ ; ] avec un polnôe de degré nféreur ou égal à 3, g pour n Rearque : Il faut des condtons suppléentares pour défnr la splne d nterpolaton de façon unque E. de condtons suppléentares : g"a g"b splne naturelle. 6

27 Splnes : llustraton a - 3 b - c - d α 3 β χ δ a - 3 b - c - d 7

28 Splnes cubques : déternaton Déternaton de la splne d nterpolaton g coïncde sur caque ntervalle [ ; ] avec un polnôe de degré nféreur ou égal à 3 g" est de degré et est déterné par valeurs: g" et g" oent au noeud n Notatons : - pour n- δ [ ; ] g le polnôe de degré 3 qu coïncde avec g sur l ntervalle δ 8

29 9 Splnes cubques : déternaton g" est lnéare : δ on ntègre a constante on contnue b constante g g g 3 3 b a 6 6 g a g b 6 b a 6

30 3 Splnes cubques : déternaton g' est contnue : et on replace les a dans : Rappel : on cerce les n nconnues on a seuleent n- équatons grâce à l faut rajouter condtons, par eeple n splne naturelle g a a g 6 a

31 3 Splnes cubques : déternaton E de résoluton avec - constant : fore atrcelle : Tf T nversble dagonale strcteent donante 6 4 f 4 n n f f l l p p p

32 3 Splnes cubques : l algorte Copleté du calcul : copleté du solveur fat 6 6 ; pour,], [ \ fat 6,,, ; pour b a n f T :n-, :n- T T f T T T n

33 Splnes cubques : eeple E : tan - / avec 9 ponts 6 4 splne - -4 polnôe de degré

34 Concluson Interpolaton polnoale évaluer la foncton en un pont : olnôe de Lagrange -> étode de Nevlle copler la foncton : olnôe de Newton Interpolaton polnoale par orceau : splnes splne cubque d nterpolaton splne cubque d approaton on régularse b splne splne généralsée : splnes gausènnes ultdensonelle approaton - apprentssage 34