CONCOURS D'ADMISSION 2006 PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE. Filière PSI. (Durée de l'épreuve : 3 heures) L usage de la calculette est autorisé

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1 A 6 PHYS. I PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 6 PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Flère PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L usage de la calculette est autorsé Sujet ms à dsposton des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les canddats sont prés de mentonner de façon apparente sur la premère page de la cope : PHYSIQUE I - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages. S, au cours de l épreuve, un canddat repère ce qu lu semble être une erreur d énoncé, l le sgnale sur sa cope et poursut sa composton en explquant les rasons des ntatves qu l est amené à prendre. Il ne faudra pas héster à formuler les commentares (ncluant des consdératons numérques) qu vous sembleront pertnents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explctement. Le barème tendra compte de ces ntatves ans que des qualtés de rédacton de la cope. Notatons : vecteur A (gras) ; norme du vecteur V V (talque) ; vecteur untare â. ÉNERGIE HYDRAULIQUE On étude le prncpe de fonctonnement d une mcrocentrale hydraulque. Ce type de centrale permet une producton souple et une adaptaton rapde en pérode de ponte. L épreuve comprend tros problèmes ndépendants entre eux, et que l on pourra trater dans l ordre de son chox. Dans toute l épreuve, exprmer sgnfe donner l expresson lttérale et calculer sgnfe donner la valeur numérque. Descrpton La centrale est almentée par une condute d eau cylndrque de damètre constant D, dte condute forcée, ssue du barrage (Fg. 1). La capacté de ce barrage est suffsamment mportante pour que l on consdère l eau qu l content comme mmoble. L extrémté aval de la condute, notée A, est relée à une tubulure de secton décrossante, appelée njecteur. L axe vertcal repérant l alttude z est orenté vers le haut. L alttude du pont A est, par conventon, nulle ; on note H la dénvellaton entre la surface lbre de l eau et l axe de l njecteur et h la dfférence de nveau entre l entrée de la

2 ÉNERGIE HYDRAULIQUE condute et la sorte, en A (la dfférence de nveau entre la surface lbre et l entrée de la condute est donc h = H h). L eau est consdérée comme un flude parfat, ncompressble et de masse volumque µ ; elle sort de l njecteur à l ar lbre, sous la presson atmosphérque, supposée ndépendante de l alttude. Le jet est cylndrque d axe horzontal et de secton crculare de damètre D dans la condute pus d dans l njecteur. Ce jet frappe la turbne et l anme d un mouvement de rotaton. On consdère les écoulements comme permanents et rrotatonnels. On néglge tout frottement. On néglge les varatons avec l alttude de l accélératon de la pesanteur g. P Fg. 1 - Retenue et condute forcée pour nstallaton hydroélectrque. L njecteur, en A, est schématsé dans le rectangle en pontllés Données : P = 1 Pa, g = 1 m.s, D = 6 cm, H = 3 m et µ = 1 kg.m. I Condute forcée 1 Dans cette queston et dans cette queston seulement on suppose que l extrémté aval de la condute n est pas relée à l njecteur ; l eau sort à l ar lbre au pont A. En justfant l utlsaton de la relaton de Bernoull entre le pont A et un pont quelconque de la canalsaton et en consdérant la P z conservaton du débt, exprmer la presson ( ) 1 à l ntéreur de la condute sous la forme ( ) P z Calculer z. = P 1 1 z z z P = µg, avec. La presson de vapeur saturante de l eau à la 3 température ambante est P 3 1 Pa. Montrer qu au-delà d une certane alttude, à précser, ce modèle de presson n est plus applcable. Le phénomène qu ntervent alors (cavtaton) engendre toutes sat

3 Physque I année 6 ; flère PSI sortes de perturbaton (attaque des matéraux, bruts ). Pour paller cet nconvénent, on vsse en A sur la parte fnale horzontale de la condute un njecteur (encart de la Fg. 1) de secton décrossante et de damètre de sorte d < D. Montrer que la vtesse en sorte de l njecteur, notée c, est c = gh (relaton de Torrcell). Calculer c. Établr que la vtesse en A est V 3 Exprmer la presson P ( ) d = D gh. z à l'ntéreur de la condute mune d njecteur. On admet que l'entrée de la condute est pratquement à l alttude H. Montrer que les phénomènes de cavtaton dsparassent dans toute la condute s d est nféreur à un certan d dont on établra l expresson en foncton de, P, H, g et µ. Vérfer que d 6 cm. D 4 Le damètre de sorte de l njecteur est d = 1 cm. La vtesse du jet mesurée 1 en sorte de l njecteur est c = 74 m.s. A quelle dénvellaton, notée H, cette vtesse correspondrat-elle? Exprmer et calculer le coeffcent de contracton H Cc =. Donner quelques rasons de l écart à l unté de ce coeffcent. H 5 Exprmer et calculer le débt volumque q de l njecteur sans pertes, pus le débt massque D (en ltres par seconde) en foncton de d, de c et de µ. m Exprmer et calculer la pussance cnétque réelle du jet en sorte (énerge cnétque par unté de temps, pour la vtesse de sorte c et le débt assocé q ). 6 Justfer que l on nomme pussance potentelle la quantté P = µ qgh. Pc Exprmer et calculer le rendement de la condute η = en foncton de C c. P II-Étude de la turbne Pelton La turbne Pelton est consttuée par une roue mune d augets. Un auget Pelton est une sorte de double godet avec une closon au mleu (penser à deux coqulles de nox contguës), qu dédouble le jet en deux partes dentques (Fg. ). Les deux partes s écoulent latéralement. L eau, en provenance d un njecteur dentque à celu du paragraphe précédent, est propulsée sur ces augets et met la roue en mouvement. La vtesse du jet d eau, de secton s = π d 4, est notée c= cˆ x. La secton de chacun des deux dem-jets est s = s. On néglge l effet de la pesanteur sur les jets. 7 Quel ntérêt y a-t-l à dédoubler le jet qu heurte l auget? Le référentel du laboratore, { L }, est galléen ; on note { } P c pot pot L le référentel lé à l auget frappé par le jet. La Fg. 3 présente schématquement les paramètres de fonctonnement d une turbne Pelton. Le rayon R du rotor est suffsamment grand

4 ÉNERGIE HYDRAULIQUE pour que l on pusse assmler le déplacement des augets, dans { L }, à une translaton suvant l axe Ox dans la zone d acton du jet. Sous l acton du jet, de l ar et de la force du bât, l auget se déplace donc à la vtesse unforme u= ux. ˆ Fg. A gauche : auget Pelton, njecteur e t turbne ; à drote : porton de turbne. Fg. 3 Porton de roue et un auget ; les vtesses sont représentées dans {L} ; Dans le référentel lé à l auget, la vtesse du jet ncdent serat c u. 8 Justfer que l écoulement est permanent dans { L }. Exprmer, dans { L }, d une part la vtesse du jet ncdent, notée c nc., d autre part celle des jets dévés dans la drecton opposée à celle du jet ncdent, notée c d. On suppose ben entendu que la pussance du jet est conservée. Quel est le sens physque de la D = µ s c u? quantté ( ) m 9 En consdérant un système fermé Σ de flude, évaluer dans { L }, la varaton de quantté de mouvement d p du flude entre les nstants t et t+ dt, en foncton de ( c u), s, µ et d t. En dédure la composante selon Ox de la force Fb du bât sur l auget en foncton de,, L ; remarquer que Q = q de la queston 5, débt réel. cuµ et du débt volumque Q du jet dans { }

5 Physque I année 6 ; flère PSI 1 Et mantenant, une subtlté : s l auget état unque, une parte de la pussance du jet serat perdue en rason de l élognement de l njecteur et du volume crossant du jet ; en réalté, placé sur le bât en rotaton, l auget en queston est remplacé par l auget suvant et tout se passe comme s les augets étaent placés à dstance fxe de l njecteur tout en se déplaçant à la vtesse u. Pour exprmer le couple Γ du jet sur le rotor, l est donc acceptable de remplacer Q par Q. Exprmer Γ dans ces condtons. 11 Détermner la pussance mécanque P reçue par le rotor dans { L }. Le jet 1 apporte une pussance cnétque P c = µ qc (cf. queston 5) ; défnr et calculer le rendement η rot de la turbne en foncton de c et u. Pour quelle valeur de u c le rendement est-l maxmum? Calculer ce rendement maxmum. 1 Quelle est alors, pour ce rendement maxmal, la vtesse c s de sorte de l eau dans le référentel { L }? En dédure la pussance cnétque de l eau sortant de la turbne. Commenter le résultat obtenu d un pont de vue énergétque. 13 Le rotor tourne à la vtesse angulare de 75 tours par mnute et la vtesse de sorte 1 du jet vaut c = 74 m.s. Calculer le rayon R du rotor pour attendre le rendement maxmum. Le résultat est-l réalste? Pour un débt de 15 ltres par seconde, calculer la pussance maxmale P max. 14 Le rendement réel de la turbne est égal à,87. Calculer la pussance réelle P de Photo 1 Une roue grandeur nature. la turbne. Quelles sont les rasons permettant d explquer pourquo on n attent pas le rendement maxmum? III- Étude de l alternateur La turbne, dont les caractérstques sont dentques à celles de la parte II, entraîne le rotor d un alternateur à la vtesse angulare Ω = 75 tours par mnute f = 1,5 Hz. Ce rotor est assmlé à une bobne ( ) almentée par un courant contnu I créant un champ magnétque tournant bpolare (deux pôles magnétques). Le stator est consttué de tros enroulements dentques E1, E et E3 décalés l un par rapport à l autre de π. On note u ˆ ( = 1,,3) le vecteur 3 untare de l axe porté par la bobne n. On admet que le flux de B à travers chacune des tros bobnes

6 ÉNERGIE HYDRAULIQUE Φ cos = Φ Ωt θ), avec θ 1 =. est snusoïdal : ( t) ( Le champ est donc drgé selon û, porté par l axe Ox à l nstant ntal t =. La conventon d orentaton des bobnes du stator est défne par les vecteurs correspondant à B 1 Φ postf. 15 Détermner les forces électromotrces e1 ( t ), ( ) uˆ e t et e t dans les tros enroulements. Exprmer leur valeur effcace commune en foncton de Φ. 3 () E 16 À quelle vtesse angulare Ω le rotor devrat-l tourner pour que l on pusse coupler drectement cet alternateur au réseau EDF? Montrer que cela est hors de queston, ne serat-ce que parce que la vtesse de translaton de chaque auget serat supéreure à la vtesse de l eau du jet. Fg.4 Stator de l alternateu r ; la phase à t = du flux traversant la bobne est θ π( 1) = Quelle modfcaton faudrat-l apporter au rotor, de talle donnée, pour réalser le couplage avec le réseau? F 18 Les tros enroulements ont une borne commune N, appelée neutre (Fg. 5). Les tros autres bornes, appelées phases, sont relées par des fls dentques de résstance R à une charge formée de tros mpédances dentques Z montées en étole. L mpédance équvalente à l assocaton sére ( F, c) R Z est notée Z = Z exp ( c + RF = Z jϕ ). Le neutre est relé au centre O de l étole par un fl de résstance R R. On suppose d abord que notaton complexe les ntenstés 1, et 3 dédure l expresson du courant ( ) N R F est néglgeable. Exprmer en dans chacune des mpédances. En t dans le fl ON. Quel est l avantage de ce montage par rapport à un montage où les mpédances seraent relées ndépendamment à chaque enroulement (sans neutre)? c

7 Physque I année 6 ; flère PSI Fg.5 Symboles et conventons pour enroulement et charge trphasés. 19 On ne néglge plus la résstance des ntenstés 1, et 3 à Z et à R F. Exprmer les relatons lant chacune R. En dédure la nouvelle expresson de () t. Commenter le résultat et exprmer les courants ( ) N chacune des phases. Exprmer la pussance électrque moyenne foncton de F t, ( ) 1 t et t dans 3 () fourne par l alternateur, en 6 E, Z et ϕ. La turbne fournt une pussance de 3, 5 1 W, le rendement de l alternateur est égal à, 95, E = 5 V et 18 P él Z = Ω ; calculer le ( ) cos ϕ. ()ˆ 1 Chaque bobne ndut au nveau du rotor le champ magnétque unforme : B = α t u, où α est une constante postve. Exprmer le champ magnétque résultant B, en séparant les calculs des composantes selon u et selon u. nd Quelles sont les caractérstques de ce champ magnétque (axe, sens et vtesse angulare de la rotaton)? Exprmer en partculer l angle qu l fat avec le champ magnétque B du rotor. La bobne du rotor peut être représentée par son moment magnétque M = Mu. ˆ Précser la drecton de ce moment magnétque. Exprmer le couple Γ rot exercé par le champ magnétque ndut sur la bobne. Exprmer la pussance reçue par le rotor. En consdérant un blan de pussance, retrouver que la pussance électrque est proportonnelle à cos( ϕ ). E Z ˆ x ˆ y P rot FIN DU PROBLÈME FIN DE L ÉPREUVE

8 Fgures orgnales du premer brevet Pelton (1889) ÉNERGIE HYDRAULIQUE