B(z B ) A(z A ) Les nombres complexes

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Hervé Labranche
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1 1 Les ombres complexes I) Forme algébrique d u ombre complexe. Théorème Il existe u esemble, oté c,de ombres appelés ombres complexes, tel que : ccotiet r ; c est mui d ue additio et d ue multiplicatio pour lesquelles les règles de calcul sot les mêmes que das r ; Il existe das c u ombre o réel, oté i, vérifiat i 2 = -1 ; Tout ombre complexe s écrit de faço uique sous la forme, dite algèbrique : = a + ib où a et b sot des réels. Défiitios - Le réel a est appelé partie réelle de et est oté Re(). - Le réel b est appelé partie imagiaire de et est oté Im(). - Si b = 0 alors = a + 0i = a et est u réel. - Si a = 0 alors = 0 + ib = ib et est appelé imagiaire pur. - O e peut pas comparer deux ombres complexes comme o compare deux réels. Par exemple pour 2-3i et 4 + 5i. Premières coséqueces (uicité de l'écriture algébrique) Soit a, b, a, b des réels a + ib = a' + ib' a = a' et b = b' a + ib = 0 a = 0 et b = 0 b v O u V () M() a II) Représetatio géométrique d u ombre complexe Le pla est rapporté au repère orthoormal direct (O ; u, v ) Défiitios Soit le complexe = a + ib, a et b réels. - Le poit M() est appelé le poit image de. - Le vecteur V () est le vecteur image de. - Le complexe est l affixe du poit M et l affixe du vecteur V. O le ote souvet M ou V. Affixe d u vecteur AB AB = B - A Propriétés Pour tous vecteurs U et V et tout réel α, B( B ) A( A ) U + V = U + V αu = α U Affixe du milieu d u segmet Si I est le milieu du segmet [AB] alors I = A + B 2

2 III) Les opératios das c 1) Somme et produit Ces opératios suivet les mêmes règles de calcul que das r. + ' = = (a + a') + i(b + b') ' = = (aa' - bb') + i(ab' + a'b) - = -a - ib et ' - = (a' - a) + i(b' - b) 2 Iterprétatios graphiques Si les complexes et ' sot les affixes respectives des poits M et M' et doc des vecteurs OM et OM' ( + ') est l'affixe de OM + OM' Le complexe - est l'affixe du symétrique du poit M par rapport à O. L'affixe de MM' est' - = (a' - a) + i(b' - b) Traslatio de vecteur V = OB Soit B le poit d'affixe b Le poit M' d'affixe ' = + b est l'image du poit M d'affixe par la traslatio de vecteur V = OB. Dem : MM' = M' - M = b qui est l'affixe d'u vecteur costat. doc MM' = u et la trasformatio est ue traslatio. 2) Iverse si (a ;b) (0 ;0), o a 1 = 1 a + ib = 1 a + ib a - ib a - ib = a - ib a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 + i b a 2 + b 2. C est la méthode utilisée pour écrire sous forme algébrique u iverse ou u quotiet. Mettre sous forme algébrique l'iverse du ombre = 3-4i 3) Cojugué d u ombre complexe Défiitio O appelle cojugué du complexe = a + i b, a et b réels, le complexe oté Iterprétatio géométrique Les images de deux complexes cojugués sot symétriques par rapport à l axe des abscisses (appelé souvet axe des réels). Exemples : Les cojugués respectifs de -3, i, 1-5i sot -3, -i et 1 + 5i. Théorèmes Soit u ombre complexe. est réel si et seulemet si = est imagiaire pur si et seulemet si = - + = 2 Re() et - = 2 i Im(). O - b et défii par = a ib. b M (a + ib) a M" (a ib)

3 Propriétés Pour tous complexes et : = + ' = + ' et ' = ' ' ' et, pour tout etier aturel, ( ) = ( ) = 1 1 ' ' = si 0 et si 0 = = a 2 + b 2. 3 IV) Forme trigoométrique d'u ombre complexe 1) Module et argumets d u ombre complexe o ul. Défiitio Soit u ombre complexe o ul d image M das le pla mui d u repère orthoormal direct (O ; u, v ), et soit (r,θ) u couple de coordoées polaires du poit M das (O; u ). - le réel r est appelé module de et oté ; - le réel θ est appelé argumet de et oté arg(). O a doc : = r = OM arg() = θ = ( u ;OM ) [2π] Remarque Tout complexe o ul a ue ifiité d argumets. Si θ est l u d eux, tout autre argumet de est de la forme θ + k2π, k. O écrit alors : arg() = θ [mod 2π] ( ou simplemet [2π] ). Coséqueces Si = a + ib avec a et b réels alors = a 2 + b 2. Le module de tout réel x est la valeur absolue de x. Si = a, = a = a 2 = a = et le module coïcide avec la valeur absolue sur r. réel o ul équivaut à arg() = 0 [π]. imagiaire pur o ul équivaut à arg() = π 2 [π]. Soit u complexe o ul : arg() = - arg() [2π] arg(-) = π + arg() [2π] 2) Propriétés des modules et argumets. Propriétés des modules Pour tous complexes et : = 0 = 0. = = = = + ' + ' ( iégalité triagulaire ) ' = '

4 1 1 ' ' = et = si 0, et, pour tout etier aturel, =. 4 Propriétés des argumets Pour tous complexes o uls et arg( ) = arg() + arg( ) [2π] et, pour tout etier aturel, arg ( ) 1 arg = arg() [2π] arg ' = arg( ) arg() [2π] = arg() [2 π] Démostratios - Posos = r(cosα + isiα) et soit ' = r'(cosβ + isiβ) ' = rr'(cosα + isiα)(cosβ + isiβ) = rr'(cosαcosβ - siαsiβ + i(cosαsiβ + siαcosβ)) = rr'(cos(α+β) + isi(α + β)) Comme rr' > 0, α + β = arg(') (mod 2π) = arg() + arg(') - Exemple comme au bac : E ayat comme pré requis la propriété précédete, démotrer les deux suivates. 3) Iterprétatios graphiques des modules et argumets Logueur d u segmet [AB] AB = B - A Mesure de l agle ( u ;AB ) A et B état deux poits disticts ( u ;AB ) = arg( B - A ) [2π] Mesure de l agle (AB ;AC ) A, B et C état trois poits disticts arg c - a b - a = (AB ;AC ) Démostratio Comme A, B et C sot trois poits disticts, leurs affixes a, b et c le sot aussi. arg c - a b - a = arg(c - a) - arg(b - a) = ( u ;AC ) - ( u ;AB ) = (AB ; u ) + ( u ;AC ) = (AB ;AC ) Coséqueces Les poits A, B et C état trois poits disticts : - les poits A, B et C sot aligés si, et seulemet si, arg c - a b - a = 0 [π] - les droites (CA) et (CB) sot perpediculaires si, et seulemet si, arg c - a b - a = π 2.[π] Exemple : Quelle est la ature du triagle doé par les trois poits A, B et C d'affixes respectives 1 + 3i, 3 + i et 4 + 2i?

5 4) Formes trigoométriques d u ombre complexe o ul. Théorème Soit u ombre complexe o ul. Alors peut s'écrire = r(cosθ + isiθ) avec r = et θ = arg() (mod 2π) Cette écriture est appelée forme trigoométrique de. Réciproquemet, Si = r(cosθ + isiθ) avec r > 0, alors = r et θ = arg() [2π] 5 Démostratio Soit M u poit d'affixe, o ul Soit m le poit situé sur la demi-droite [OM) et le cercle trigoométrique Alors m a pour affixe d'ue part (vecteur coliéaire, de même ses m et de orme 1) et il existe u réel α = ( u,om ) (mod 2π) tel que m admet égalemet cosα + isiα comme affixe puisqu'il se trouve sur le cercle trigoométrique. Doc il existe α r tel que = cosα + isiα d'où = ( cosα + isiα) avec α = ( u,om ) (mod 2π). Réciproquemet, Si = r (cosα + isiα) avec r > 0 Alors = = r Puis, o a = (cosα + isiα) et o sait que = (cosθ + isiθ) avec θ = arg() [ 2π ] Doc, par uicité de l'écriture algébrique, cosα = cosθ et siα = siθ puis α = θ (mod 2π) Relatios de passage etre forme algébrique et formes trigoométriques. Forme algébrique = a + ib a et b réels r = a 2 + b 2 ; cosθ = a r et siθ = b r Forme trigoométrique = r(cosθ + isiθ) a = rcosθ et b = rsiθ Exemples Détermier la forme trigoométrique des complexes -3, 2i, 1 + i.

6 V) La otatio expoetielle d u ombre complexe o ul. Défiitio Pour tout réel θ o pose : e iθ = cosθ + isiθ. Alors, si est u ombre complexe o ul de module r et dot u argumet est θ, o appelle forme expoetielle de l écriture : r = re iθ. Règles de calcul sur les formes expoetielles θ et θ' sot des réels quelcoques, r et r' sot des réels > 0. i i ' re θ = r'e θ (r = r' et θ = θ' [mod 2 π] ) re i θ re i θ ' rr'e i( θ + θ ') = = et ( θ ) 1 1 = e iθ iθ re r r'e i θ' r' e i( ' ) r e i = θ θ θ r re i = r e i θ, pour tout de N Utilisatios graphiques Homothétie de cetre Ω et de rapport k. Soit Ω le poit d affixe ω et k u réel o ul. Le poit M' d affixe ' tel que ' ω = k( ω) est l image du poit M d affixe par l homothétie de cetre Ω et de rapport k. Démostratio ' - ω = k( - ω) ΩM' = k. ΩM ΩM' = k.ωm ce qui traduit vectoriellemet ΩM' = kωm c'est-à-dire l'homothétie recherchée. Rotatio de cetre Ω et d agle θ Soit Ω le poit d affixe ω et θ u réel. Le poit M' d affixe ' tel que ' ω = e iθ ( ω) est l image du poit M d affixe par la rotatio de cetre Ω et d agle θ. Démostratio Si M = Ω alors = ω et ' = ω doc Ω est ivariat par la trasformatio Si M Ω alors ' - ω = e iθ ( - ω) ' - ω - ω = eiθ ' - ω - ω = eiθ = 1 et arg ' - ω - ω = arg(eiθ ) = θ [2π] ΩM' = 1 et ΩM,ΩM' = θ [2π] ΩM Les deux poits précédets traduiset la rotatio recherchée. 6

7 VI) Equatio du secod degré à coefficiets réels das c Propriété Toute équatio a 2 + b + c = 0, d'icoue das laquelle a réel o ul, b et c réels, admet das c deux solutios, évetuellemet égales : Le réel = b 2 4 a c est le discrimiat de l équatio. Si > 0 alors l équatio admet deux solutios réelles 1 = -b - et 2 = -b + Si = 0 alors l équatio admet ue solutio réelle double = -b Si < 0 alors l équatio admet deux solutios complexes cojuguées 1 = -b - i - et 2 = -b + i - 7

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