Études théorique et expérimentale des pertes par courants de Foucault dans les aimants. partir d un dispositif de type électroaimant

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1 Éudes héorque e expérmenale des peres par courans de Foucaul dans les amans permanens à parr d un dsposf de ype élecroaman Parce Koff Cheangny, Frédérc Dubas, Sossou Houndedako, none Vanou, Chrsophe Espane To ce hs verson: Parce Koff Cheangny, Frédérc Dubas, Sossou Houndedako, none Vanou, Chrsophe Espane. Éudes héorque e expérmenale des peres par courans de Foucaul dans les amans permanens à parr d un dsposf de ype élecroaman. Symposum de Géne Élecrque 2014, Jul 2014, Cachan, France. <hal > HL Id: hal hps://hal.archves-ouveres.fr/hal Submed on 18 Sep 2014 HL s a mul-dscplnary open access archve for he depos and dssemnaon of scenfc research documens, wheher hey are publshed or no. The documens may come from eachng and research nsuons n France or abroad, or from publc or prvae research ceners. L archve ouvere plurdscplnare HL, es desnée au dépô e à la dffuson de documens scenfques de nveau recherche, publés ou non, émanan des éablssemens d ensegnemen e de recherche franças ou érangers, des laboraores publcs ou prvés.

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3 SYMPOSIUM DE GENIE ELECTRIQUE (SGE 14) : EF-EPF-MGE 2014, 8-10 JUILLET 2014, ENS CCHN, FRNCE Éudes héorque e expérmenale des peres par courans de Foucaul dans les amans permanens à parr d un dsposf de ype élecroaman P.K. Cheangny 1,2, F. Dubas 1, S. Houndedako 2,. Vanou 2 e C. Espane 1 1 Insu Femo-ST, Unversé de Franche-Comé 2 Ecole Polyechnque d bomey-calav, Unversé d bomey-calav RESUME La endance acuelle dans les ranspors élecrques (e.g., la racon ferrovare, les véhcules élecrques e/ou hybrdes élecrques) ou encore dans les grandes éolennes à aaque drece es d ulser des machnes synchrones à amans permanens (Ps) ulsan des erres rares pour leurs grandes performances massques. Touefos, un nconvénen majeur de ces machnes es l exsence de peres pouvan êre mporanes dans les Ps, noammen lorsque le bobnage es concenrque auour des dens. Ces peres son à l orgne d une dégradaon du rendemen, mas elles peuven auss êre à l orgne d échauffemens excessfs des Ps, avec des rsques de désamanaon d une par e des rsques de décollemen d aure par. fn de meux appréhender les dfférens phénomènes physques qu nervennen dans ces peres, nous avons consdéré un élecroaman en forme de U à armaure plae, dans lequel son nsérés des Ps. Dans ce arcle, nous décrvons ou d abord ce dsposf expérmenal, pus nous présenons des modèles numérques par élémens fns (EF) en 2D/3D permean d évaluer les dfférens paramères nfluençan les peres dans les Ps. Nous proposons ensue une approche de modélsaon (sem-)analyque 3D ayan des emps de réponse fables. Cee approche es fnalemen confronée aux modèles numérques. Mos-clés Élecroaman, peres, amans permanens, modélsaon, numérque, (sem-)analyque 1. INTRODUCTION Les Ps présenen un nérê pour la magnésaon de crcus magnéques du fa de l absence des peres Joule exsans dans le crcu d excaon. Dans le cas de l ulsaon des erres rares (.e., Nd-Fe-B ou Sm-Co), les Ps son parculèremen avanageux dans la mesure où ls permeen d aendre des rendemens e des compacés parculèremen élevés pour les machnes synchrones à Ps. Touefos ces Ps possèden égalemen des nconvénens : ls son coûeux, ls possèden une empéraure lme de fonconnemen, des rsques de désamanaon. Les causes de désamanaon rréversble son l applcaon d un champ démagnésan excessf e/ou une empéraure élevée. En général, ben avan la empéraure de Cure, on observe des peres d amanaon parelles mas non réversbles. Les peres dans les Ps d une machne synchrone son essenellemen dues aux courans de Foucaul créés par la varaon de l nducon [1]. Les dfférenes orgnes des varaons d nducon dans les Ps son : l effe de rélucance du saor (.e., harmonques spaales de denures) d une par e la forme d onde de la force magnéomorce (.e., harmonques spaales de la dsrbuon des bobnes e harmonques emporelles de la forme d onde des courans d almenaon) d aure par [2]-[14]. Ces peres provoquen une augmenaon de la empéraure de l aman don elles peuven modfer les propréés e en provoquer la démagnésaon [15]-[18]. Les peres par courans de Foucaul son calculées sous l hypohèse que les los de comporemen élecrques e magnéques de l P son lnéares : conducvé élecrque σ e perméablé magnéque relave µ ra consanes [2]. Dans le présen raval, nous consdérons un dsposf expérmenal smple,.e., un élecroaman, permean d analyser expérmenalemen les peres par courans de Foucaul dans des Ps e ans de valder dfférens modèles numérque e (sem-)analyque. Plus précsémen, dans la premère pare, nous décrvons le dsposf expérmenal consdéré, pus, dans une deuxème pare, nous présenons les résulas du calcul des peres dans le dsposf expérmenal : d abord avec une approche de modélsaon (sem-)analyque 3D pus avec un calcul numérque par élémens fns en 2D/3D [19]. Fg.1. Dsposf expérmenal d éude des courans de Foucaul.

4 a) b) Fg.2. Élecroaman : a) Schéma d éude e b) Crcu équvalen magnéque (CEM). Tableau 1. Caracérsques des élémens consufs de l élecroaman. Inducon rémanene de l P, Bra [T] Perméablé relave de l P, µra [-] Réssvé élecrque de l P, ra [.m] Valeur RMS du couran, nxi1 [] x x Fréquence du couran, f [khz] Type d a man Nd- Fe-B 2. DIMENSIONNEMENT D UN DISPOSITIF EXPERIMENTL Le dsposf expérmenal es présené sur les Fg. 1 e 2. Il s ag d un élecroaman en forme de U à armaure plae conenan deux Ps. Les Tableaux 1 e 2 donnen les caracérsques prncpales des élémens consufs de l élecroaman. Il es composé de deux bobnes, couplées en parallèle e almenées en couran snusoïdal de fréquence fxe ou varable, pour fare varer le flux magnéque dans les Ps. L usage de deux bobnes perme de lmer les fues. Par alleurs le nveau d nducon magnéque chos es fable e le crcu magnéque es feulleé afn de lmer les peres fer. On noera que des essas son en cours e seron présenés dans de fuures éudes. À re ndcaf, deux essas son effecués pour mesurer les peres dans les Ps : un essa avec le dsposf sans les Ps afn de caracérser le crcu magnéque (.e., les peres fer) e un deuxème avec le dsposf avec les Ps afn de déermner les peres par courans de Foucaul dans les Ps. Touefos, dans ce paper, nous nous lmons à des calculs héorques qu son présenés dans les paragraphes suvans. 3. MISE EN EQUTION DES PERTES PR COURNTS DE FOUCULT DNS LES PS a) Crcu équvalen magnéque (CEM) : La méhode sem-analyque ulsée es celle du CEM nonlnéare (.e., réseau de rélucances ou de perméances). Les hypohèses de cee modélsaon son : - 2D (.e., les effes de bords son néglgés) ; - La conducvé élecrque dans les Ps es néglgée (.e., non prse en compe de la réacon d ndu dans les Ps) ; - Les fues proches des Ps e des bobnes son néglgées ; - L nducon magnéque es normale à la surface des Ps (.e., seule la composane selon Oy es consdérée). Le CEM es consué de 8 rélucances, à savor 2 rélucances lnéares (.e., 3 e 7) e 6 rélucances non-lnéares (cf. Fg. 2). Les effes de sauraon dans le CEM son prses en compe à l ade de la caracérsque B(H) des ôles du crcu magnéque représenée Fg. 3. Tableau 2. Paramères géomérques de l élecroaman. Prof x1, x2 x3 y1, y5 y2 y3, y4 [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] Fg.3. Courbe de premère amanaon (CEM).

5 La caracérsque es modélsée par la foncon de Marrocco (.e., à champ fable). Les coeffcens d nerpolaon (.e., k 1, k 2, k 3 e k 4) son déermnés à parr de la méhode des mondres carrés suvan les données du consruceur. La foncon de perméablé relave es défne par : déermnés par : ( ) S T ( ) (7) c r B B H 0 B 2k3 B b k2 k 1 HB k 2k b k4 b B T avec 1 (cf. Fg. 2a.) (1) (2) e l ndce des rélucances 3, 7 Le flux de malles es déermné à parr d une méhode numérque non-lnéare, de du graden conjugué, en résolvan : T FMM ( ) Sc Sc 0 (3) où FMM () représene le veceur de force magnéomorce (1x1) due aux Ps e aux courans d excaon des bobnes, S la marce de connexon (1x8) permean de fare le len c enre les flux de malles e les flux de branches e qu es défne par : e S (4) c exprmée par : la marce dagonale de rélucances (8x8) l1 0 0 l l 8 e r l B S S1 0 0 S S 8 Les flux de branches e les nducons magnéques son (5) (6) B S (8) 1 ( ) ( ) En ulsan le crcu équvalen magnéque (CEM) nonlnéare e en applquan la ransformée de Fourer rapde, l nducon magnéque dans les Ps (.e., = 3 e 7) es donnée par : Umax cos (9) B HB uh B uh uh uh1, 2, 3 HB 2 uh 2U uh max. cff B (10) B arg cff( B ) (11) uh uh où uh représene l harmonque emporelle, U max le nombre d harmonque maxmal de la sére de Fourer, HB & uh B uh respecvemen l amplude e le déphasage harmonque de l nducon magnéque dans les Ps, e 2 f la pulsaon élecrque. On noera que la modélsaon par sére de Fourer des nducons magnéques dans les Ps perme de prendre une forme quelconque de l nducon. La présence d harmonque d nducon magnéque es lée à la forme d onde du couran d almenaon d une par e au nveau de sauraon magnéque d aure par. Les allures du couran d excaon e de l nducon dans les Ps son présenées en Fg. 4. b) Peres 3D par courans de Foucaul dans les Ps : Les peres par courans de Foucaul dans les Ps son calculées en consdéran les lgnes de courans de Foucaul dans l P comme ndqué sur la Fg. 5 (un chemn recangulare de largeur x e de longueur y). On consdérera qu l n exse qu une seule boucle recangulare de couran par P ou par segmen d P. On noera que cee hypohèse n es pas oujours vrae dans une machne élecrque : dans ce cas le nombre de boucles es lé à la longueur d onde du champ ournan relavemen à la largeur e la profondeur des amans.. La méhode ulsée es basée sur la déermnaon de la réssance équvalene d un P à parr des paramères géomérques. Le calcul analyque des peres dans les Ps es développé à réssance lmée (.e. l effe de peau es néglgé), conraremen aux EF 2D e 3D où l on consdère le champ de

6 réacon d ndu créé par les courans de Foucaul crculan dans les Ps. Les peres nsananées par courans de Foucaul dans les Ps son défnes par : où E, p E, x R x, x 2 (12) x représene la force élecromorce ndue par la varaon du flux dans les Ps donnée par : E, x x, (13) a) x, le flux dans l P raversan une relucance défn par : e x, B S x (14) 2 x S x 4 Ly (15) Lx R x la réssance équvalene d un P exprmée par : b) Fg.4. Forme d onde : a) couran d excaon b) nducon magnéque dans les Ps. L x y R( x) 4 S H dy dx 2 2 Lx Ly x 4 H Ly Lx dx (16) Les peres moyennes par courans de Foucaul dans un P s exprmen par : Fg.5. Courans de Foucaul en 3D dans un P en forme recangulare [8]. Lx 2 T 1 P p, x dx d T 0 0 Umax 1 KFouc uh HB 2 K Fouc uh1, 2, 3 1 H.. 16 Ly Lx Lx 2 2 uh Ly (17) (18)

7 E fnalemen les peres moyennes oales par courans de Foucaul dans les Ps son données par : P P P 2 P (19) o CLCUL NUMERIQUE DES PERTES PR COURNTS DE FOUCULT DNS LES PS Comme explqué plus hau, le calcul numérque 2D/3D des peres dans les Ps es effecué en prenan l effe de peau dans les Ps (résoluon en régme harmonque). Le modèle EF 2D/3D du dsposf expérmenal es présené Fg. 6. La Fg. 7 représene le mallage du dsposf expérmenal sous les EF 3D. On noera qu l es nécessare d'adaper au meux le mallage à la physque du problème e au emps de calcul. En effe, la fnesse du mallage dépend des conranes géomérques (mallage d'une régon rès mnce par exemple), mas égalemen des conranes physques du problème (varaon mporane de la perméablé dans un élémen, épasseur de peau...). En règle générale, les élémens doven êre d'auan plus pes que la varable d'éa vare rapdemen [19]. Pour maller l épasseur de peau, nous avons ulsé des élémens de ype recangulares ou hexaédrques,.e., le malleur réglé (2D) e un malleur exrusf à base réglée (3D). Le rese du dsposf es mallé avec le malleur auomaque. Les dscrésaons affecées aux pons son résumées dans le Tableau 3. Pour gagner du emps de calcul, deux syméres on éé exploées, rédusan ans le modèle 3D au quar du modèle, ands que celu en 2D a éé rédu de moé. La Fg. 8 représene les dsrbuons d nducon en 2D/3D dans l élecroaman. On peu consaer que les densés de flux son rès proches en 2D/3D, ce qu sgnfe que les effes 3D affecen peu la dsrbuon du champ. Il fau noer que ces résulas on éé obenus avec des Ps non amanés se comporan comme un enrefer de perméablé relave égale à celu des Ps. Les Fgs. 9 e 10 représenen les peres par courans de Foucaul dans les Ps/. Les résulas numérque son obenus par des smulaons en régme snusoïdal forcé e les peres son racées en foncon de la fréquence f. Nous raçons sur la même fgure les résulas obenus par le modèle sem-analyque en 3D à réssance lmée. La Fg. 11 monre les lgnes de champ en 2D ; cec perme d apprécer les fues magnéques e de vérfer la valdé de l hypohèse d nexsence de fues. Le Fg. 12 présene la densé de couran dans les Ps pour f = 20 khz e 50 Hz. On peu remarquer l nfluence de l effe de peau pour des fréquences élevées. Par alleurs nous pouvons égalemen consaer que les lgnes de couran ne suven pas vramen un chemn recangulare comme nous l avons supposé ; les lgnes suven pluô des ellpses concenrques. Cela peu explquer les dfférences obenues au Fg.6. Modèle EF 2D/3D du dsposf expérmenal. Fg.7. Mallage du dsposf expérmenal. Tableau 3. Dscrésaon pons pour mallage. LRGE [mm] MEDIUM [mm] SMLL [mm] boe nfn crcu magnéque aman Fg.8. Inducon en 2D (à gauche) e en 3D (droe) [19]. Fg.9. Peres 2D e 3D EF.

8 nveau du calcul des peres dans les Ps. Pour explquer les dfférences consaées au nveau des peres, nous avons relevé l nducon magnéque dans les Ps à ros dfférens pons (.e., pons 1, 2 e 3) ans qu un chemn au cenre de l P ans comme présené sur la Fg. 13. Les composanes normales (.e., suvan l axe y) en 2D/3D sur les pons son comparées avec celle obenue avec le CEM. Cee comparason es représenée sur la Fg. 14. On remarque ben des écars au nveau de l nducon magnéque dans les Ps pour les modèles EF 2D/3D e sem-analyque 3D. Cec explque prncpalemen les dfférences observées au nveau des peres EF 2D/3D e sem-analyque 3D. Fg.10. Comparason des peres 2D, 3D EF e 3D N. Fg.13. Pons e chemn de mesure en 2D/3D de l nducon magnéque dans les Ps. Fg.11. Lgnes du poenel veceur en 2D. a) a) b) Fg.12. Flèches de la densé de couran : a) 20 khz e b) 50 Hz. b) Fg.14. Composanes normales sur les dfférens pons :a) 2D/3D N e b) 3D/3D N.

9 plus élevées. Cela sgnfe qu l fau revor ceranes hypohèses émses lors du calcul noammen le chemn des couran de Foucaul, l nexsence de fues, la prse en compe de la conducvé élecrque dans les Ps, l exsence de l effe de peau, e la varaon de l nducon magnéque dans les Ps. Ce son auan de pses à explorer pour de fuurs ravaux. Fg.15. Composanes normales en 2D/3D EF e 3D N sur le chemn à f = 50 Hz e 20 khz. La Fg. 15 représene les composanes normales en 2D/3D EF e 3D N sur le chemn [cf. Fg. 13] à dfférenes fréquences,.e., f = 50 Hz e 20 khz. Dans le modèle sem-analyque, nous avons fa l hypohèse selon laquelle l nducon éa normale à la surface de l P e consane comme monré sur la fgure, ce qu n es pas vra à oues fréquences. Pour les fréquences élevées cee hypohèse n es plus vérfée pusque l effe de peau commence à se prononcer. On consae qu au cenre de l P la valeur de l nducon pour les modèles EF es plus fable que sur les bords pour les fréquences élevées ands qu elle es quasmen la même pour les fréquences fables. Cec ven confrmer que l effe de peau es assez prononcé pour les fréquences élevées, ce qu provoque logquemen une dvergence des peres calculées en EF 2D/3D e de celles calculées en 3D sem-analyque. 5. CONCLUSIONS Dans ce arcle, nous proposons de calculer les peres magnéques crées par les courans de Foucaul dans les Ps. À ce effe, pour meux appréhender les dfférens phénomènes physques qu nervennen dans les peres dans les Ps, nous avons éudé un élecroaman en forme de U à armaure plae, dans lequel son nsérés des Ps. Ce dsposf nous perme d aborder de façon pragmaque le problème des peres dans les Ps. L un des problèmes qu se posen es la séparaon de ces peres avec les aures peres qu on leu dans le dsposf. En effe, l n es pas asé de rouver le rao peres fer/peres Ps pusque les deux on leu smulanémen dans le dsposf e évoluen dfféremmen en foncon de la fréquence. Ce raval perme donc de comprendre e d éuder séparémen les dfférens effes des dvers paramères sur les peres. La modélsaon en 3D appore un plus car elle perme d analyser les phénomènes dans un cas rès proche du cas réel. Nous pourrons par exemple éuder l effe des harmonques spaoemporelles sur les peres dans les Ps d une machne élecrque. Quo qu l en so, en comparan les résulas obenus analyquemen e numérquemen nous consaons une cerane cohérence pour les basses fréquences jusqu à une cerane valeur mas les résulas dvergen pour les fréquences 6. REFERENCES [1]. Benabou, S. Georges, S. Clene, Permanen magne modelng for dynamc applcaons, Journal of magnesm and magnec maeral, Vol. 320, No 6, pp , 2008 [2] H. Polnder, and M.J. Hoejmakers, Eddy-curren losses n he segmened surface-mouned magnes of a PM machne, IEE Pro.- Elecr. 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