Variables aléatoires. Exercices

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1 Variables aléatoires Exercices Les idispesables Loi d ue variable aléatoire, espérace et variace O répète idéfiimet le lacer d u dé équilibré à 6 faces Soit la variable aléatoire doat la valeur du rag d apparitio du premier 6 E utilisat des évéemets idépedats, motrer que la loi de est la loi géométrique G( 6 ) Soit ue variable aléatoire suivat la loi biomiale B(,p) O pose : Y Détermier la loi de Y 3 O lace deux dés équilibrés à faces, et o ote S la somme des deux résultats qu o obtiet i a Pour : i +, motrer que : P( S i) i + b Pour : + i, motrer que : P( S i) c Calculer P ( S +) 4 O dispose d ue boîte das laquelle se trouvet iitialemet boules Blaches et boule Noire L expériece étudiée cosiste e la répétitio des trois étapes suivates : o tire ue des boules de la boîte, o la remet das la boîte, o ajoute das la boîte boule Blache et boule Noire Soit la variable aléatoire doat le uméro d apparitio de la première boule Blache Détermier la loi de 5 Soit ue variable aléatoire à valeurs das {0,,} O sait que : E ( ), et : V ( ) Détermier la loi de 6 O ote : *, p ( + ) Motrer que (,p ) * est la loi de probabilité d ue variable discrète 7 O ote : *, p l() a Motrer que (,p ) * est la loi de probabilité d ue variable discrète b admet-elle ue espérace? Si oui, la calculer c Quelle est l espérace de la variable aléatoire : Y (l( ))? 8 O ote : p 0, et :, p 3 a Motrer que (,p ) est la loi de probabilité d ue variable discrète b Motrer que admet ue espérace et calculer E() c Motrer que admet ue variace et calculer V() 9 Soit ue boîte qui cotiet boules idiscerables au toucher, avec : 3, dot sot Blaches et les autres sot Rouges O tire ue à ue et sas remise, ue boule de cette boîte jusqu à vider la boîte et o ote la variable aléatoire doat le rag de la première boule Blache tirée Chapitre 0 : Variables aléatoires Exercices - -

2 Calculer E() et V() 0 Pour : a *, o cosidère ue variable aléatoire à valeurs das, telle que : a, P ( + ) P( ) + a Détermier la loi de b La variable aléatoire admet-elle ue espérace? Si oui, calculer E() c La variable aléatoire admet-elle ue variace? Si oui, calculer V() O cosidère ue variable aléatoire à valeurs das et telle que :, 3 P ( + ) 4 P( + ) P( ) a Détermier la loi de b La variable aléatoire admet-elle ue espérace et ue variace? Si oui, calculer E() et V() O effectue des tirages successifs das ue boîte qui cotiet iitialemet ue boule Noire et ue boule Blache A chaque tirage, o ote la couleur de la boule et o la remet e ajoutat e plus ue boule Noire O défiit Y la variable aléatoire doat le rag d apparitio de la première boule Noire et Z celle qui doe le rag d apparitio de la première boule Blache a Détermier les lois de Y et de Z b La variable aléatoire Y admet-elle ue espérace? Si oui, calculer E(Y) c La variable aléatoire Z admet-elle ue espérace? Si oui, calculer E(Z) 3 O répète de faço idépedate ue expériece aléatoire au cours de laquelle u évéemet A se réalise à chaque fois avec la probabilité p, avec : 0 < p < O ote la variable aléatoire égale au rag de la première réalisatio de A et Y celle étale au rag de se deuxième réalisatio a Détermier la loi de Motrer que admet ue espérace et calculer E() b Détermier la loi de Y Motrer que Y admet ue espérace et calculer E(Y) c Comparer E() et E(Y) Que dire de ce résultat? Couple et famille de variables aléatoires 4 O effectue ue suite ifiie de lacers d ue pièce équilibrée O ote (respectivemet Y) la variable aléatoire égale au rag d apparitio du premier Pile (resp Face) a Détermier les lois margiales du couple (,Y) b Détermier la loi du couple (,Y) c Les variables et Y sot-elles idépedates? d O pose : Z + Y Détermier la loi de la variable aléatoire Z 5 O pose : (i,j) *, p i, j i( i + ) j( j + ) a Motrer que ((i,j), p i,j ) (i,j) N*² défiit la loi de probabilité d u couple (,Y) de variables aléatoires discrètes b Détermier les lois margiales de couple, à savoir les lois de et de Y c Motrer que les variables et Y sot idépedates 6 Pour : p ]0,[, o défiit les réels a i,j par : (i,j) j, a ( p) p, si : i < j, et : a 0, sio i, j i, j a Motrer que {(i,j,a i,j ), (i,j) } est la loi d u couple (,Y) de variables aléatoires discrètes b Détermier les lois margiales de et de Y Les variables aléatoires et Y sot-elles idépedates? c Pour : j, détermier la loi coditioelle de sachat (Y j) 7 Soiet et Y deux variables aléatoires telles que et Y admettet ue espérace O ote alors σ() et σ(y) leurs écarts-types respectifs (supposés o uls) et cov(,y) leur covariace Chapitre 0 : Variables aléatoires Exercices - -

3 O défiit par ailleurs : ρ cov(, Y) (, Y ) σ ( ) σ ( Y ) Pour : (α,β,γ,δ) 4, et : U α + β, et : V γ Y + δ, comparer ρ (, Y ) et ρ ( U, V ) 8 O cosidère ue boîte coteat N jetos umérotés de à N, avec : N * O effectue ue suite ifiie de tirages d u jeto das l ure, avec remise O ote, pour : i *, i la variable aléatoire doat le uméro du jeto obteu au i ième tirage O ote efi : *, S k k Calculer pour tout etier : *, l espérace et la variace de S 9 Soiet,, variables aléatoires discrètes ayat la même espérace m, la même variace v et telles que tous les couples ( i, j ) ot la même covariace v, pour : i j Calculer l espérace et la variace de : k k Chapitre 0 : Variables aléatoires Exercices Lois usuelles, modélisatios, approximatios 0 Pour chaque situatio, recoaître la loi de la variable aléatoire aisi que ses paramètres a O lace u dé équilibré à 6 faces et est la variable aléatoire doat le résultat du lacer b Ue ure cotiet boules, dot 6 Vertes, 4 Rouges et Bleues O effectue 8 tirages successifs et avec remise est la variable aléatoire égale au ombre de boules Rouges obteues c Ue ure cotiet boules, dot 6 Vertes, 4 Rouges et Bleues O effectue des tirages successifs et avec remise jusqu à obteir ue boule Rouge est la variable aléatoire doat le ombre de tirages effectués d O rage au hasard 0 boules das 3 sacs idiscerables de faço équiprobable et est la variable aléatoire doat le ombre de boules placées das le premier sac e O a ragé toutes les cartes (faces cachées) d u jeu de 3 cartes e ue file, et o retoure l ue après l autre les cartes jusqu à obteir la Dame de Cœur est la variable aléatoire doat le ombre de cartes retourées f Ue ure cotiet jetos umérotés de à (avec : *) O les tire au hasard u à u sas remise jusqu à obteir le jeto uméro est la variable aléatoire doat le ombre de tirages effectués g Ue ure cotiet jetos umérotés de à (avec : *) O les tire au hasard u à u avec remise jusqu à obteir le jeto uméro est la variable aléatoire doat le ombre de tirages effectués h O pose questios (avec : *) à u élève et pour chaque questio, r réposes sot proposées (avec ue seule de correcte) L élève répod au hasard à chaque questio est la variable aléatoire égale au ombre de boes réposes Recoaître das les deux cas suivats la loi de, préciser ses paramètres et calculer E ( ) et V ( ) a pred ses valeurs das et :, P ( + ) P( ) + b pred ses valeurs das *, et : *, 3 P ( + ) 4 P( + ) P( ) O cosidère ue variable aléatoire défiie sur u espace probabilité (Ω,A,P) à valeurs das O défiit la variable aléatoire Y par : ( ω) ω Ω, Y ( ω) 0, si (ω) est impair, et : Y ( ω), si (ω) est pair Détermier la loi de Y et so espérace das les deux cas suivats : a soit la loi géométrique G(p), avec : 0 < p < b suit la loi de Poisso P(λ), avec : λ > 0 3 Des études effectuées par ue compagie aériee motret qu il y a ue probabilité de 005 qu u

4 passager ayat fait ue réservatio e viee pas à l aéroport U étudiat admissible e PSI doit moter à Paris passer u oral et l avio qu il doit predre comporte 90 places alors que 94 billets ot été vedus Quelle est la probabilité qu il puisse y avoir u problème d embarquemet (o effectuera les calculs de deux faços, directemet ou e utilisat ue approximatio) 4 O dispose pour tout : *, d ue boîte B coteat boule Blache et ( ) boules Noires Pour tout : *, o effectue au hasard tirages successifs das B avec remise de la boule tirée, et o ote la variable aléatoire égale au ombre de boules Blaches obteues Pour : k, détermier la limite de la probabilité P( k), lorsque ted vers + 5 Soit ( ) * ue suite de variables aléatoires telles que, pour tout : *, suit la loi biomiale B(,p), avec : p ]0,[ O ote pour tout : *, Y Motrer que : *, ε > 0, P( Y p ε ) 4 ε 6 O cosidère u dé équilibré à 6 faces et o cosidère ue successio de lacers de ce dé ( *) O ote la variable aléatoire doat le ombre de obteus à l issue de ces lacers 4 50 a A l aide de l iégalité de Bieaymé-Tchebychev, justifier que : P b E déduire le ombre de lacers qu il faut effectuer pour que la fréquece d apparitio du au cours de ces lacers soit das l itervalle, +, avec u risque d erreur iférieur à Soit ( ) *, ue suite de variables aléatoires deux à deux idépedates, de même loi et admettat u momet d ordre (autremet dit telles que admette ue espérace pour tout etier ) O ote : m E( ), v V ( ), et : *, M k k v a Motrer que : *, ε > 0, P( M m ε ) ε b O suppose que : v 0 3 Détermier u etier : N *, tel que : N, P( M m 0 ) 0 Foctios géératrices 8 Recalculer les foctios géératrices des lois classiques 9 Soiet et Y des variables aléatoires idépedates suivat ue loi biomiale de même paramètre p Calculer explicitemet G +Y, la foctio géératrice de (+Y) puis retrouver le fait que (+Y) suit ue loi biomiale que l o précisera 30 Soit : x > 0, et soit la variable aléatoire discrète à valeurs das dot la loi de probabilité est : x, P( ) ch( x) ( )! a Vérifier que cette défiitio est cohérete et calculer la foctio géératrice G o distiguera les valeurs positives et égatives b E déduire E ( ) et V ( ) Les classiques Loi d ue variable aléatoire, espérace et variace 3 U élève de PSI qui s euie (e maths) répète le lacer d u dé équilibré dodécaédrique jusqu à ce que le résultat soit pair, résultat qu il divise alors par Soit la variable aléatoire doat le résultat fial Chapitre 0 : Variables aléatoires Exercices - 4 -

5 suit-elle la loi uiforme? 3 O cosidère ue variable aléatoire discrète vérifiat : (Ω), et :, P ( + ) P( ), et : P ( ) P( ) + a Exprimer pour tout :, la valeur P ( ) e foctio de P ( 0) E déduire P ( 0), puis la loi de b Motrer que la variable aléatoire admet ue espérace et ue variace et calculer E() et V() 33 Ue boîte cotiet des boules Blaches e proportio b, des boules Rouges e proportio r et des boules vertes e proportio v O effectue des tirages successifs avec remise et o s arrête au premier chagemet de couleur O ote la variable aléatoire égale au ombre de tirages effectués a Préciser les égalités ou iégalités vérifiées par b, r et v b Détermier la loi de c Motrer que admet ue espérace et que : E ( ) + + b r v 34 U asceseur se trouve e bas au rez-de-chaussée d u immeuble qui comporte e plus étages ( ) D autre part, k persoes motet das cet asceseur et o suppose que chaque persoe peut s arrêter à importe quel étage de faço équiprobable et idépedammet des autres L asceseur gravit aisi les étages et stoppe ue fois la derière persoe sortie O appelle la variable aléatoire doat le ombre d arrêts de l asceseur O ote pour : k, T k la variable aléatoire valat si l asceseur s arrête à l étage k et 0 sio a Détermier la loi de T k, pour : k, puis E ( T k ) b Etablir u lie etre et les variables T k et e déduire E ( ) a 35 Soit : a, et pour tout : *, p ( + )( + ) α β γ a Trouver α, β, γ tels que : *, + + ( + )( + ) + + b Détermier a, pour que (,p ) * soit la loi de probabilité d ue variable discrète c La variable aléatoire admet-elle ue espérace? Si oui, calculer E() d Détermier la loi de Y, défiie par : Y Y admet-elle ue espérace? Si oui, calculer E(Y) 36 Ue boîte cotiet deux boules Blaches et ue boule Noire O y effectue ue successio de tirages suivat le protocole suivat : si la boule tirée est Noire, o la remet das la boîte, si la boule tirée est Blache, o remet à la place de cette boule ue boule Noire das la boîte Pour tout : *, o ote Y la variable aléatoire égale au ombre de boules Blaches présetes das la boîte à l issue du ième tirage Aisi Y pred ses valeurs das {0,,} a Détermier la loi de Y b Calculer pour tout : *, la valeur P ( ) c O pose :, u P( Y ) Y Préciser u puis motrer que :, u + u E utilisat la suite de terme gééral : *, v u +, doer la valeur de u pour tout 3 d E déduire pour tout : *, la valeur de P ( 0) Y e Calculer pour tout : *, l espérace de Y f O défiit la variable aléatoire Z doat le premier istat où la boîte e cotiet plus que des boules Noires Chapitre 0 : Variables aléatoires Exercices - 5 -

6 Détermier la loi de Z Motrer que Z admet ue espérace et calculer E(Z) Couple et famille de variables aléatoires 37 Pour : a, o cosidère u couple de variables aléatoires discrètes (,Y) de loi cojoite doée par : i + j (i,j), P( i, Y j) a i! j! a Détermier la valeur de a b Détermier les lois margiales de et de Y Les variables aléatoires et Y sot-elles idépedates? c Motrer que le couple (,Y) admet ue covariace et la calculer + Y d Motrer que la variable aléatoire : Z, admet ue espérace et la calculer 38 O réalise ue successio de lacers d ue pièce doat Pile avec la probabilité p, où : 0 < p < O défiit deux suites de variables aléatoires (S ) et (T ) défiies de la faço suivate : pour tout :, S est égal au ombre de lacers écessaires pour obteir le ième Pile, T S, et pour :, T est le ombre de lacers supplémetaires écessaires pour obteir le ième Pile après avoir obteu le ( ) ième Pile a Pour :, détermier la loi de T, sas utiliser S Motrer que pour tout :, T admet ue espérace et ue variace b Etablir le lie qui relie S et les variables T,, T, pour : c Pour :, motrer que S admet ue espérace et ue variace et que : ( p) E( S ), et : V ( S ) p p Lois usuelles, modélisatios, approximatios 39 O cosidère ue variable aléatoire suivat la loi de Poisso P(λ), avec : λ > 0 P( + ) a Pour :, calculer : u P( ) b E déduire le mode de, c'est-à-dire la valeur que pred avec la plus grade probabilité 40 Somme de deux variables aléatoires idépedates suivat ue loi de Poisso Soiet et Y deux variables aléatoires idépedates suivat les lois de Poisso P(λ) et P(µ), avec λ et µ strictemet positifs a Détermier la loi de : S + Y b Pour :, détermier la loi coditioelle de sachat (S ) 4 O cosidère ue variable aléatoire suivat la loi uiforme sur {,} et ue variable aléatoire Y, idépedate de, et suivat la loi de Poisso P(λ), avec : λ > 0 O défiit esuite la variable aléatoire Z par : Z Y a Détermier la loi de Z, so espérace et sa variace b Calculer la probabilité que Z soit pair 4 Soiet et Y deux variables aléatoires idépedates suivat la loi géométrique G(p), avec : p ]0,[ a Détermier la loi de ( + Y ), de mi(, Y ), et de max(, Y ) Pour détermier la loi de : T mi(, Y ), o pourra commecer par évaluer par exemple P( T ) b A quelle situatio type peut-o associer les variables aléatoires et Y? Que représetet alors les trois variables aléatoires de la questio a? O pourra imagier deux situatios, l ue pour illustrer ( + Y ), l autre pour mi(, Y ) et max(, Y ) c Calculer les probabilités P ( Y ) et P( Y ) 43 O cosidère ue suite ( ) * de variables aléatoires idépedates suivat la même loi de Beroulli B(p), avec : 0 < p < Chapitre 0 : Variables aléatoires Exercices - 6 -

7 Pour : *, o pose : S k k + +, Y, T a Justifier le fait que : ε > 0, lim P( S p ε ) 0 + b Pour : *, doer la loi et l espérace de Y c Soiet et m des etiers o uls tels que : < m Les variables aléatoires Y et Y m sot-elles idépedates? d Motrer que : ε > 0, lim P( T p ε ) 0 + Y k k 44 O cosidère ue boîte coteat des boules Blaches e proportio icoue p o ulle et des boules Noires e proportio ( p) O effectue tirages successifs avec remise d ue boule et o observe l apparitio de k boules Blaches O voudrait cosidérer que k fourit ue approximatio de p a E utilisat les variables aléatoires j valat si ue boule Blache apparaît au tirage uméro j et 0 sio, évaluer le validité de cette approximatio k k E particulier, quelle est la probabilité que p appartieet à l itervalle de cofiace ε, + ε? b Si o veut que l approximatio doe p au 00 ième près et ue certitude à plus de 99% sur cette approximatio, à quelle valeur de cela coduit-il? Qu e peser? Foctios géératrices 45 Soit ue variable aléatoire à valeurs das et admettat ue espérace a Quel lie y a-t-il etre la série P ( ) et la suite ( P ( > ) )? 0 b Motrer que : + E ( ) P( > ) 0 c Motrer que la foctio H doée par : t, + H ( t) P( > ) t, est défiie au mois sur ]-,+[ 0 G( t) d E otat G la foctio géératrice de, motrer que : t ]-,[, H ( t) t Remarque : H est appelée «secode foctio géératrice de» 46 Soiet,, des variables aléatoires mutuellemet idépedates à valeurs das O ote G,, G leurs foctios géératrices respectives Pour : (λ,, λ ), calculer la foctio géératrice de : Y λ + + λ Les plus Loi d ue variable aléatoire, espérace et variace 47 Ue boîte cotiet 4 boules, Blache et 3 Rouges O effectue des tirages d ue boule avec remise de la boule tirée jusqu à ce que l o obtiee deux boules cosécutives de même couleur et o ote la variable aléatoire égale au ombre de tirages effectués a Calculer P ( ), P ( 3) et P ( 4) b Motrer que :, c Motrer que :, 5 3 P ( ) P( + ) 6 + d Vérifier par le calcul que : P ( ) e Motrer que admet ue espérace et calculer E() Chapitre 0 : Variables aléatoires Exercices - 7 -

8 48 O dispose de deux boîtes B et B Iitialemet il y a deux boules Blaches das B et deux boules Noires das B A chaque tirage, o pred au hasard ue boule das B et ue boule das B et o les échage O ote, pour tout :, la variable aléatoire doat le ombre de boules Blaches das B après le ième échage : aisi, pred ses valeurs das {0,,} P( 0) O défiit, pour tout :, la matrice coloe : U P( ) P( ) a Trouver ue matrice : A M 3 (), telle que :, U A U + b Motrer que la suite ( E ) ) est costate et préciser cette valeur costate ( c Motrer que la matrice A est diagoalisable et diagoaliser A E déduire les coefficiets de la matrice A pour tout etier : * d E déduire la loi de pour tout etier : * 49 U mobile se déplace sur les poits à coordoées etières d u axe d origie O Au départ, le mobile est à l origie (poit d abscisse 0) Le mobile se déplace selo la règle suivate : s il est au poit d abscisse k à l istat, alors à l istat (+), il sera au poit d abscisse (k+) avec la k + probabilité, ou sur le poit d abscisse 0 avec la probabilité k + k + Pour tout :, o ote l abscisse du poit où se trouve le mobile à l istat, et : u P( 0) k a Motrer que :, k {,,, +}, P( + k) P( k ) k + b E déduire que :, k {0,,, }, P( k) u k k + u j c Motrer que :,, et e déduire u 0, u, u, u 3 j + j 0 ( + ) E( ) + u+ E ( d Motrer que :, E E déduire ue expressio de ),pour :, sous forme d ue somme où itervieet des termes de la suite (u p ) O ote T l istat auquel le mobile se retrouve pour la première fois à l origie (après so départ) et o coviet que T pred la valeur 0 si le mobile e reviet jamais à l origie e Motrer que : *, P ( T ) ( + ) E déduire que : P ( T 0) 0, puis iterpréter ce résultat f La variable T admet-elle ue espérace? Couple et famille de variables aléatoires 50 Deux joueurs A et B procèdet l u après l autre à ue successio de lacers d ue même pièce doat Pile avec ue probabilité p, avec : 0 < p <, et o otera : q p Le joueur A commece et il s arrête dès qu il obtiet le premier Pile ; o ote alors la variable aléatoire égale au ombre de lacers effectués par A Le joueur B effectue alors autat de lacers que le joueur A et o ote Y la variable aléatoire égale au ombre de Piles obteus par le joueur B a Détermier la loi de b Pour : *, détermier la loi coditioelle de Y sachat ( ) c E déduire que : q P( Y 0), et : k, + q + k 0 Vérifier par le calcul que : P ( Y k) Chapitre 0 : Variables aléatoires Exercices k q P ( Y k) ( + q) + q

9 d Le joueur B gage s il obtiet au mois u Pile, sio c est le joueur A qui gage Le jeu est-il équitable? 5 O effectue ue successio ifiie de lacers idépedats d ue pièce doat Pile avec la probabilité p, avec : 0 < p < O s itéresse aux successios de lacers doat u même côté O dit que la première série est de logueur si les premiers lacers ot ameé le même côté de la pièce et le (+) ième lacer a ameé l autre côté La deuxième série commece au lacer suivat la fi de la première série et se termie (si elle se termie) au lacer précédat le chagemet de côté O ote L (respectivemet L ) la variable aléatoire égale à la logueur de la première (respectivemet deuxième) série a Doer la loi de L, puis motrer que L admet ue espérace et la calculer b Détermier la loi du couple (L,L ) c E déduire la loi de L Motrer que L admet ue espérace et la calculer d Motrer que le couple (L,L ) admet ue covariace et la calculer e Motrer que L et L sot idépedates si et seulemet si : p 3 5 a Motrer que : x ]-,+[, la série ( )( ) x coverge puis que : x ]-,+[, + ( )( ) x 4 0 ( x) O répète de faço idépedate ue expériece aléatoire au cours de laquelle u évéemet A se réalise à chaque fois avec la probabilité p, avec : 0 < p < O ote la variable aléatoire égale au rag de la première réalisatio de l évéemet A et Y celle égale au rag de sa deuxième réalisatio b Détermier la loi du couple (,Y) E déduire les lois margiales de et de Y c Motrer que et Y admettet ue espérace et ue variace, puis calculer E ( ), E (Y ), V ( ), V (Y ) d Motrer que (,Y) admet ue covariace et calculer cov(, Y ) e Pour :, détermier la loi coditioelle de sachat (Y ) Lois usuelles, modélisatios 53 Loi hypergéométrique O cosidère ue boîte coteat des boules Noires e proportio p et Blaches e proportio : q p O effectue ue série de tirages das la boîte, sas remise, et o appelle la variable aléatoire doat le ombre de boules Noires tirées O appelle Ω l esemble des combiaisos de boules parmi les N présetes das la boîte au début a Motrer que Ω peut être choisi comme uivers de l expériece b Motrer que (Ω) est l esemble des etiers compris (au ses large) etre max( 0, q N) et mi(, p N) c Détermier la loi de, appelée loi hypergéométrique de paramètres N,,p et otée H(N,,p) 54 Loi de Pascal Das ue successio d épreuves de Beroulli idépedates, de probabilité d échec x (où : x ]0,[), o défiit deux suites de variables aléatoires (S ) * et (T ) * de la faço suivate : pour tout : *, S est égale au ombre d épreuves écessaires pour obteir le ième succès T S, et pour tout :, T est égale au ombre d épreuves supplémetaires écessaires pour obteir le ième succès après le ( ) ième a Exprimer pour tout : *, S e foctio des variables aléatoires (T k ) b Pour : *, détermier la loi de T et doer so espérace et sa variace c Détermier la loi de S puis celle de S d Pour : *, détermier la loi de S Chapitre 0 : Variables aléatoires Exercices - 9 -

10 k k x e E déduire que : x ]0,[, *, + x k ( x) 55 Soit ( ) * ue suite de variables aléatoires idépedates suivat la loi de Beroulli B(p), où : 0 < p < O ote, pour : *, S + +, et u la probabilité pour que S soit pair a Préciser la loi de S, pour tout etier : * b Calculer u, u et u 3 c Motrer qu il existe deux réels a et b tels que : *, u a u b + + E déduire ue expressio de u e foctio de puis la limite de la suite (u ) Ce résultat est-il surpreat? 56 O dispose de rosiers ( *) sur chacu desquels o opère ue greffe Lorsqu ue greffe est opérée, o sait au bout d ue semaie si elle a pris ou o et si la greffe e pred pas, o recommece jusqu à ce qu elle pree effectivemet O suppose que la probabilité qu ue greffe doée pree vaut p, avec : 0 < p <, et que tous ces essais sot mutuellemet idépedats O ote, pour : k {,, }, k la variable aléatoire égale au ombre de greffes écessaires à la prise d ue greffe sur le rosier uméro k O défiit égalemet : la variable aléatoire Y égale au ombre de semaies écessaires à la prise d au mois ue greffe, la variable aléatoire Z égale au ombre de semaies écessaire à la prise de toutes les greffes a Détermier pour tout : k {,, }, la loi de k, so espérace et sa variace b Calculer pour tout : m, P( Y m), et e déduire la loi de Y et so espérace c Calculer pour tout : m, P( Z m), et e déduire la loi de Z d A l aide de la deuxième expressio de l espérace, motrer que Z admet ue espérace e Calculer E (Z), pour : 57 Iégalité de Tchebychev-Catelli Soit ue variable aléatoire réelle telle que : E ( ) m, et : V ( ) σ, et soit : ε > 0 O pose : Y m + ε a Motrer que Y admet ue espérace puis calculer E ( Y ) b Motrer que : E( Y ) E( YY > 0 ) E( Y ) P( Y > 0), où Y > 0 désige la foctio idicatrice de l esemble ( Y > 0), défiie par : ω Ω, Y > 0 ( ω), si : Y ( ω) > 0, et : Y > 0 ( ω) 0, si : Y ( ω) 0 σ c E déduire que : P ( m ε ) σ + ε σ d E remplaçat par, e déduire que : P ( m ε ) σ + ε e Quad cette iégalité est-elle meilleure que l iégalité de Bieaymé-Tchebychev? 58 O cosidère ue variable aléatoire discrète N telle que : N(Ω), et :, P ( N ) 0 Si N pred la valeur, o décide de procéder à ue successio de épreuves de Beroulli idépedates de paramètre p, avec : 0 < p < O ote S et E les variables aléatoires égales au ombre de succès et d échecs lors de ces épreuves a O suppose que N suit ue loi de Poisso P(λ), avec : λ > 0 Motrer que S et E suivet aussi des lois de poisso dot o précisera le paramètre Motrer que S et E sot idépedates b Réciproquemet, o suppose que S et E sot idépedates Motrer qu il existe deux suites (u ) et (v ) telles que : (m,), ( + m)! P( N + m) u v Motrer que les deux suites (u ) et (v ) sot géométriques E déduire que N suit ue loi de Poisso Remarque : o peut modéliser le fait que das ue famille, le ombre d efats és das cette famille suit ue loi de Poisso P(λ), où : λ > 0, et à chaque aissace, la probabilité que l efat soit ue fille est p et Chapitre 0 : Variables aléatoires Exercices m

11 celle que ce soit u garço est : q p Das ce cas, les variables aléatoires et Y doat le ombre de filles et de garços sot idépedates Surpreat, mais éamois démotré au-dessus 59 Pour : *, o cosidère des variable aléatoires,, idépedates suivat toutes la loi géométrique G(p), avec : 0 < p <, et o ote : q p O pose de plus : U mi i, et : V max i i i a Détermier la loi de U E déduire que U admet ue espérace et calculer E (U ) b Détermier la loi de V Motrer à l aide de la deuxième expressio de l espérace que V admet ue espérace et que : i+ E( V ) ( ) i i i q Foctios géératrices 60 O cosidère deux variables aléatoires idépedates et Y suivat chacue ue loi de Poisso de paramètres respectifs λ et µ a Motrer directemet que : Z + Y, suit ue loi de Poisso dot o précisera le paramètre b Retrouver le résultat précédet grâce aux foctios géératrices 6 a Rappeler la foctio géératrice de la loi uiforme sur {,, } b Soiet et des variables aléatoires idépedates à valeurs das {,, 6} E étudiat les racies du polyôme G G, motrer que la loi de ( + ) e peut pas être la loi uiforme sur {,, } c Est-il possible de piper deux dés (idépedammet l u de l autre) de maière à redre les sommes etre et équiprobables lors du lacer simultaé de ces deux dés? Chapitre 0 : Variables aléatoires Exercices - -