SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes"

Transcription

1 UE7 - MA5 : Aalyse SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes I. Gééralités Défiitio Etat doée ue suite (u ) de ombres réels ou complexes, o appelle série de terme gééral u la suite (S ) défiie par : () S = u 0 + u + + u = k = 0 S est appelée somme partielle d'idice (ou de rag, ou d'ordre ) de la série. u k Notatio O ote gééralemet u ou u la série de terme gééral u. 0 Exemples de séries déjà cosidérées : Séries géométriques ; suites défiies par des relatios de récurrece S = S - + u ; écriture décimale (évetuellemet illimitée) d'u réel. Défiitio 2, de la covergece O dit que la série u coverge si la suite (S ) défiie e () coverge. Das ce cas, la limite de la suite (S ) est appelée somme de la série et otée S = = 0 Quad la suite (S ) e coverge pas, o dit que la série diverge. u. Remarque Si o cosidère seulemet (u ) pour 0 > 0, o peut, pour 0, poser S = u k et appeler alors série de terme gééral u la ouvelle suite (S ). Cette série est alors otée 0 u. k = 0

2 Il est aisé de vérifier que la covergece de u équivaut à celle de u, mais e gééral u 'est pas égal à = 0 Défiitio 3 Pour ue série covergete, 0 0 u quad la série coverge. = 0 u, de somme S et de sommes partielles S, o appelle 0 reste d'ordre (ou de rag ) la différece R = S - S. R est aussi la somme de la série covergete u p, c'est-à-dire R = p + p = + u p. Exemple Si u = ( + ) ( + ) pour, o obtiet u = - +, S = - + coverge et a pour somme. et la série Exemple Si u = (-) pour 0, S = si est pair alors que S = 0 si est impair, et la série (-) diverge. Théorème Si la série u coverge, alors le terme gééral u ted vers 0 quad ted vers +. Attetio : la réciproque de ce théorème est fausse et il existe des séries dot le terme gééral ted vers 0 et qui sot divergetes (voir ci-dessous). Remarque 2 Le théorème précédet est utile sous la forme cotraposée : si (u ) e ted pas vers 0, la série u diverge. O dit alors que la série est grossièremet divergete. 2

3 Exemple de référece : séries géométriques La série a où a  est covergete si et seulemet si a < et sa somme est alors 0 S = - a = a. = 0 Attetio : la somme chage si la série e commece pas à = 0 ; par exemple si a <, a a 2 = - a. = 2 Le résultat qui suit permet de muir l'esemble des séries covergetes d'ue structure d'espace vectoriel : Théorème 2 Soiet u et v deux séries covergetes. La série somme (u + v ) est covergete et o a (u + v ) = = 0 = 0 u + = 0 v. Si est u scalaire, la série ( u ) est covergete et o a ( u ) =. = 0 = 0 u. O e déduit alors le résultat suivat : Corollaire Si u coverge et v diverge, alors la série (u + v ) diverge. E utilisat le résultat classique pour des suites réelles ou complexes selo lequel ue suite (S ) est covergete si et seulemet si c'est ue suite de Cauchy, o obtiet : Théorème 3 (critère de Cauchy pour les séries) Pour que la série de terme gééral u soit covergete, il faut et il suffit que : m u k ou ecore > 0, N, N, m, > 0, N, N, p 0, k = + p k = u k Remarque 3 Ce résultat est importat et il sera utilisé par la suite car il permet de démotrer la 3

4 covergece ou la divergece de certaies séries sas que l'o ait besoi de chercher, e même temps, leur somme. Exemple La série harmoique + + diverge : il suffit de remarquer que S 2 - S = est, pour tout, mioré par 2 ( termes supérieurs à 2 ). Le résultat suivat peut être utile pour étudier ue série à terme gééral u complexe : Propositio u coverge si et seulemet si les deux séries Re u et Im u coverget et o a : u = Re u + i Im u = 0 = 0 = 0 Exercice ) Ecrire sous forme décimale illimitée le ombre 3/7. 2) Ecrire sous la forme p / q avec p et q etiers le ombre 2, où le bloc 36 est répété idéfiimet. Exercice 2 Calculer le ombre 0, ,3636 Exercice 3 Motrer que la série de terme gééral u coverge et calculer sa somme das les cas : (a) u = - 2, 2 (b) u = ( + )( + 2) + (c) u = ( + ) - (d) u = (e) u = 3! e exprimat 3 e foctio de ( - )( - 2), ( - ) et Exercice 4 Motrer que la série de terme gééral u est divergete das les cas : 4

5 (a) u = (-) (b) u =. + (c) u = e.! (o pourra étudier u + u ) Exercice 5 Détermier la ature de la série de terme gééral : u = ( + ) å + ( + 3) å - 2 ( + 2) å, å È, 0 Si elle coverge, calculer sa somme. Exercice 6 Soit ß ue permutatio de *. Motrer, e utilisat le "paquet de Cauchy" série de terme gééral ß() 2 diverge. 2 k = + ß(k) k 2 que la II. Séries à termes réels positifs ou uls Pour l'étude des séries de terme gééral u réel positif ou ul, o dispose de résultats simples obteus à partir de la remarque que S est alors croissate. Les résultats ci-dessous sot bie sûr applicables si les u e sot positifs qu'à partir d'u certai 0 (cf. remarque du I) ou si tous les u sot égatifs ou uls (cf. théorème 2 du I) e utilisat (-u ).. Ue CNS de covergece pour les séries à termes 0 Théorème Ue série de terme gééral u réel positif ou ul est covergete si et seulemet si la suite des sommes partielles S est majorée. 2. Comparaiso de deux séries à termes 0 Le théorème précédet coduit facilemet au théorème suivat : 5

6 Théorème Soiet u et v deux séries à termes réels positifs telles que pour tout o ait 0 u v. Si la série v coverge, la série u coverge aussi et = 0 u = 0 v. Si la série u diverge, il e est de même de la série v. Exemple 0 u = si 2 2 doc si 2 coverge. Corollaire Soiet (u ) et (v ) deux suites de réels positifs tels qu'il existe deux réels µ > 0, tels que pour tout o a : µ v u v. Alors les deux séries u et v sot de même ature, c'est-à-dire que soit elles coverget toutes les deux, soit elles diverget toutes les deux. Il est parfois plus facile d'utiliser des équivalets que des majoratios ou mioratios, et le corollaire précédet fourit le résultat suivat : Théorème 2 Soiet u et v deux séries à termes réels positifs telles que u õ v ). Alors les deux séries sot de même ature. Exemple 2 + si u = 3 + õ ) doc la série de terme gééral u est divergete. Exemple 6

7 Si > 0, la série de terme gééral u = covergete. Or u calcul simple motre que u õ gééral + est doc covergete quad > 0. - ( + ) est ue série télescopique + ). La série de terme 3. Comparaiso d'ue série avec ue itégrale O cosidère ici des séries dot le terme gééral est de la forme u = f(). Par ecadremet, e s'aidat d'u dessi, o obtiet : Théorème Soit f ue foctio défiie sur [0, + [ à valeurs réelles positives, cotiue et décroissate. La série f() coverge si et seulemet si l'itégrale 0 + f(x) dx coverge. Remarque Le résultat est ecore valable si la foctio f est positive, cotiue et décroissate sur u itervalle [a, + [ e cosidérat la série 0 f() avec 0 a. Exemple de référece : séries de Riema La série å où å È coverge si et seulemet si å >. E effet, pour å 0 la série est grossièremet divergete et si å > 0 le théorème précédet ramèe la covergece à celle de l'itégrale de Riema vue au chapitre précédet. 4. Quelques règles pratiques Les résultats des paragraphes II.2 et II.3 permettet d'obteir des résultats simples à appliquer e comparat ue série à termes positifs soit à ue série de Riema, soit à ue série géométrique. Il peut être plus ou mois facile de majorer ou miorer, de calculer ue limite ou de détermier u équivalet simple, ce qui coduit à plusieurs versios de ces comparaisos : Règle de Riema (ère versio) Soit u 0. Si u õ A / å avec A réel strictemet positif et å È, alors u coverge si et seulemet si å >. 7

8 Règle de Riema (2ème versio) Soit u 0. a) S'il existe u etier 0, u réel A 0 et u réel å > tels que, pour tout 0 o ait 0 u A / å, la série u coverge. b) S'il existe u etier 0, u réel A > 0 et u réel å tels que, pour tout 0 o ait u A / å, la série u diverge. Cette versio permet d'e obteir ue autre souvet plus facile à appliquer : Règle de Riema (3ème versio) Soit u 0. a) S'il existe u réel å > tel que å. u admette ue limite fiie lorsque ted vers l'ifii, alors la série u coverge. b) S'il existe u réel å tel que å. u admette ue limite strictemet positive ou ifiie quad ted vers l'ifii, alors la série u diverge. Exemple Soit u = L(). + Si, la deuxième versio avec u fourit facilemet la divergece de la série + alors que si > la troisième versio avec u å ], [ fourit facilemet la covergece de la série. Règle de d'alembert (ère versio) Soit u > 0. a) S'il existe 0 tel que, pour tout 0 o ait u + u alors la série u diverge. b) S'il existe 0 et u réel [0, [ tels que, pour tout 0 o ait u + u alors la 8

9 série u coverge. Attetio ici à e pas oublier les iégalités strictes u > 0 et <. Règle de d'alembert (2ème versio) Soit u > 0. O suppose que la suite u + u a ue limite fiie ou +. a) Si <, la série u coverge. b) Si > ou +, la série u diverge. Exemple La série 0 l'ifii. a!, où a > 0, coverge car ici u + u = a + ted vers 0 quad ted vers Règle de Cauchy (ère versio) Soit u 0. a) S'il existe 0 tel que, pour tout 0 o ait u alors la série u diverge. b) S'il existe 0 et u réel [0, [ tels que, pour tout 0 o ait u alors la série u coverge. Règle de Cauchy (2ème versio) Soit u 0. O suppose que la suite u a ue limite fiie ou +. a) Si <, la série u coverge. b) Si > ou +, la série u diverge. 9

10 Exemple La série a a, où a 0, coverge car = a ted vers 0 quad ted vers l'ifii. Attetio : les règles de d'alembert et de Cauchy e permettet pas de coclure si = et les exemples et 2 motret que, das ce cas, il peut aussi bie y avoir divergece que covergece. 5. Sommatio des équivalets Le théorème 2 du paragraphe II.2 peut être complété afi de permettre de calculer des équivalets de restes ou de sommes partielles de séries : Théorème Soiet a et b deux séries à termes réels positifs tels que a õ b ) (doc de même ature). a) Si les séries coverget, leurs restes respectifs d'ordre sot équivalets quad ted vers l'ifii, c'est-à-dire : k = + u k õ k = + v k ) b) Si les séries diverget, leurs sommes partielles respectives d'ordre sot équivaletes quad ted vers l'ifii, c'est-à-dire : u k õ v k ) k = 0 k = 0 Exemple + Comme dx x = L + õ ) et que la série harmoique diverge, le 0

11 théorème précédet motre que + Cette derière somme vaut k k = k + õ k = k dx ). x dx = L( + ) et x k õ L() ). k = Exemple 2 p + O vérifie facilemet que si å >, p dx x å õ p å ) et, avec le théorème précédet, o obtiet + dx p å õ x å ) itégrale qui se calcule aisémet. p = Le résultat obteu peut aussi être démotré par comparaiso série - itégrale. Exemple 3 Si ue suite réelle (u ) coverge vers, elle est borée doc il est possible de choisir u assez grad pour que la suite (u + ) soit formée de termes positifs et que + > 0. Comme cette suite coverge vers +, le théorème précédet fourit : (u k + ) õ ( + ) ) k = ou ecore ou efi k =. k = (u k + ) = + u k = C'est u résultat classique dû à Cesaro. 6. Majoratio des restes de séries covergetes De telles majoratios sot liées aux méthodes employées pour prouver la covergece de la série : ère méthode Si u > 0 et si o a détermié u etier 0 et u réel [0, [ tel que, pour tout 0 o ait u + u alors, pour tout 0 o a : R = k = + u k - u

12 2ème méthode Si u 0 et si o a détermié u etier 0 et u réel [0, [ tel que, pour tout 0 o ait u alors, pour tout 0 o a : R + - 3ème méthode Si u = f() avec f positive, cotiue décroissate sur [a, + [ et a + f(x) dx covergete, o a pour tout a : + + f(x) dx R + f(x) dx Exercice 7 Etudier la ature des séries dot le terme gééral est : (a) ( + ) (b) si 2 π + (c) +2 (d) e si (e) a + cos 2 - si, a 0 (f) 3 + (g) si 2 2 (h) e - + (i) (j) 2. e - (k) 2 si π 2 (l) ( + )( + 2) 2 (m) + a 2 + b () (o) () 2 + (p) /2 - (q) ta a - si a / (r) 0 dt + t 2

13 (s). (!) 2 (3)! (t) ( ) - () Exercice 8 Etudier la covergece et calculer évetuellemet la somme de la série de terme gééral : a ( + 3) + b ( + 2) + c ( + ) Exercice 9 Soit (u ) ue suite à termes positifs. Motrer que les séries de termes gééraux u et v = u + u sot de même ature. Exercice 0 Motrer que l'équatio Arctg x = L x + π admet, pour chaque, ue uique racie x > 0. Détermier la ature de la série de terme gééral x. Exercice Détermier la ature des séries de terme gééral u défiies par u 0 0 et u + = e- u pour tout *. Exercice 2 Soiet u et v deux séries à termes positifs telles que u + u v + v pour tout N. ) Motrer que si v coverge alors u coverge. 2) E déduire la covergece de la série de terme gééral u = 3 5 (2 - ) (2 + 2). (Predre v = - å avec < å < 3/2 et utiliser le développemet limité à l'ordre de v + - u +. ) v u Exercice 3 O cosidère, pour å >, u = k å. k = + E utilisat ue comparaiso série - itégrale, discuter la ature de la série de terme gééral u. 3

14 Exercice 4 Soit u ue série umérique à termes positifs covergete telle que la suite (u ) soit décroissate. Etudier la série de terme gééral (u - - u ) et e déduire que +. u = 0. Exercice 5 Motrer que la suite u = sa limite. (Utiliser le théorème de sommatio des équivalets.) ( + ) +, où 22, est covergete et calculer Le but des exercices 6 à 2 est de mettre e oeuvre deux résultats : A : la covergece d'ue suite (u ) équivaut à la covergece de la série de terme gééral u - u - B : le théorème de sommatio des équivalets pour des séries à termes positifs Exercice 6 ) E remarquat que ( + ) - () õ ) et, e utilisat B, motrer que : õ () ) 2) E utilisat A, motrer que la suite défiie par u = () est covergete. Soit C (appelée costate d'euler) sa limite. 3) + dx E justifiat et e utilisat x 2 õ 2 ), puis e cosidérat la série de terme gééral u + - u, motrer que u - C õ 4) E cosidérat la suite v = u - C - 2, motrer que v õ ). 5) Calculer u 8, u 6, u 32 et avec u' = u - 2 ). et e utilisat la série de terme gééral v + - v , u' 8, u' 6, u' 32. Exercice 7 Exercice aalogue au précédet avec u =

15 Exercice 8 ) Motrer que - x dx õ () ). 2) E utilisat B, motrer que (!) õ () ). Exercice 9 Soit u =! e. E utilisat la série de terme gééral (u + ) - (u ), motrer que la suite (u ) a ue limite o ulle. Remarque : ce résultat est évidet si o utilise la formule de Sterlig :! õ. e 2π ) mais e fait la formule de Sterlig s'obtiet e utilisat cet exercice. Exercice 20 O cosidère la série 2 + et o appelle R so reste d'ordre. ) Motrer que R õ ). 2) O pose u = - R. Motrer que u + - u õ - 3 ) et e déduire que u õ S = S partielle d'ordre de la série. Exercice 2 2 ) et doc 2 2 e appelat S et S respectivemet la somme et la somme Soit å > 0. O cosidère ue suite défiie par u > 0 et u + = u + e- u ) Cosidéros le cas de å >. a) Motrer que (u ) coverge. O otera sa limite. e - b) Motrer que - u õ (å - ) å - ). 2) Cosidéros le cas de å. a) Motrer que (u ) ted vers +. b) Démotrer que e u + - e u õ å ). c) E déduire u équivalet de u quad ted vers l'ifii. å pour tout. 5

16 Exercice 22 O cosidère la série de terme gééral 0. Prouver que pour 9 : R 9 8 ( + ) 0 +. Exercice 23 Calculer ue valeur approchée à 0-5 près de. 2 (doc de 2 = comme il sera vu grâce aux séries etières). = III. Quelques résultats pour les séries dot le terme gééral 'est pas réel de sige costat Das de tels cas, la première idée est d'essayer de se rameer à des séries à termes positifs :. Covergece absolue Défiitio Ue série u à termes réels ou complexes est dite absolumet covergete si la série u est covergete. Exemples Si o a u = si() 2 ou v = e i 2 o a aussi u 2 et v = 2 ayat pour terme gééral u ou v sot absolumet covergetes. doc les séries L'itérêt de cette otio est doé par : Théorème Toute série absolumet covergete est covergete. Attetio, la réciproque est fausse : o verra au paragraphe suivat que la série de terme gééral (-) est covergete alors qu'o a motré que la série des modules est divergete. Ue telle série qui est covergete sas être absolumet covergete est dite semi-covergete. 6

17 Les théorèmes et règles éocés au paragraphe II peuvet être utilisés pour la série u et doet des moyes de prouver la covergece absolue, et doc la covergece, ou la o covergece absolue et das ce derier cas il faudra repredre autremet l'étude de la covergece. O a par exemple : Règle de Riema S'il existe å > tel que la suite å u soit borée (e particulier si elle a ue limite fiie), alors la série u est absolumet covergete. Règle de d'alembert Si u 0 pour tout 0 et si la suite u + u a ue limite <, alors la série u est absolumet covergete. Règle de Cauchy Si u a ue limite <, alors la série u est absolumet covergete. Bie sûr, si pour 0, u + ou u, alors le terme gééral u u e ted pas vers 0 et la série est grossièremet divergete. Exemple Avec la règle de d'alembert, o obtiet que la série a! coverge absolumet pour tout a complexe. 2. Séries alterées Il s'agit de séries dot le terme gééral est réel et de la forme u = (-). a avec les a tous positifs (ou égatifs) à partir d'u certai rag. Pour de telles séries, o a le résultat suivat : 7

18 Critère spécial des séries alterées Soit (a ) ue suite décroissate de réels qui coverge vers 0 (doc a 0). Alors la série (-). a est covergete. O peut préciser ce résultat : E otat S les sommes partielles de cette série et S sa somme, la suite (S 2p ) est décroissate, la suite (S 2p+ ) est croissate et o a, pour tout p : S 2p+ S S 2p. Aisi, pour tout, o a : R = S - S a + ce qui est ue majoratio très simple du reste d'ordre. Exemple Pour tout å > 0, la série (-) harmoique alterée (-) å coverge, e particulier pour å =, la série coverge. Attetio à bie vérifier les coditios d'applicatio du critère : la série de terme gééral (-) (-) (resp. + (-) + (-) ) e permet pas d'utiliser le critère (le vérifier) mais e multipliat umérateur et déomiateur par - (-) (resp. - (-) ), o obtiet facilemet que la série diverge (resp. coverge). 3. Utilisatio de développemets asymptotiques (limités) Il est possible, e utilisat des développemets limités, de trasformer le terme gééral d'ue série u e somme de deux (ou plus) termes gééraux de séries de covergeces plus faciles à étudier. (-) Si o cosidère, par exemple, u = å + (-) avec å > 0, il est bie sûr clair que la série de terme gééral u est absolumet covergete si et seulemet si å >, mais pour å ]0, ] le critère spécial e s'applique pas. Cepedat, e utilisat le développemet limité à l'ordre de e 0, o peut écrire : + x 8

19 u = (-) å + (-) å = (-) (-) å - å ( + ()) avec lim () = 0 et e posat v = å, w = + () 2å o a : u = v - w. La série de terme gééral v est covergete pour å > 0 d'après le critère spécial des séries alterées et la série de terme gééral w, positif pour assez grad, coverge si et seulemet si å > 2 car w õ 2å. Les résultats vus au paragraphe I (théorème 2 et corollaire) motret alors que la série de terme gééral u coverge si et seulemet si å > Regroupemet de termes Propositio Cosidéros ue série u dot le terme gééral u ted vers 0 quad ted vers l'ifii. Notos v p = u 2p + u 2p+. Alors les séries u et v p sot de même ature et, si elles coverget, ot la même somme. (-) Exemple u = +(-), 2 O a bie lim u = 0 et v p 2p + - 2p = 2p(2p + ). La série de terme gééral v p est covergete (utiliser u équivalet) doc la série de terme gééral u est aussi covergete. Remarque Il est facile de gééraliser la propositio au regroupemet de trois termes ou d'au plus k termes, k état fixé. Exercice 24 Etudier la covergece et la covergece absolue des séries dot le terme gééral est : 9

20 (a) (-) 2 + si( 2 ) (b) (-) (c) (-) + (d) exp (-) - (e) cos (f) (-) th (g) ( + ) π π si x x dx Exercice 25 Détermier la ature des séries dot le terme gééral est : (a) si(π 2 + ) (b) + (-). å 2å (c) (-) 2/3 + cos (d) (-) - + å, å > 0 (e) si (-) 3 Exercice 26 Démotrer que : (a) = 2 (-) 2 - = 4 (b) si k etier : = 2k (-) 2-4k 2 = 3 6k 2 Exercice 27 Détermier la ature de la série de terme gééral u = (-) Exercice 28 Détermier la ature de la série de terme gééral u = (-) (-) + + (Le crochet s'écrit S - R où S est la somme et R le reste d'ordre d'ue série covergete.). Exercice 29 Détermier la ature de la série de terme gééral u = (-). 0 e - 2 t 2 dt. 20

21 Exercice 30 Das la série de terme gééral o remplace les termes (3p) Détermier la ature de la série obteue. par - 2 (3p). Exercice 3 (Sujets d'exames) Détermier la ature des séries dot le terme gééral est : (a) u = (-) + (-) + (Septembre 997) (b) u = 2 å +, È, å > 0 (Novembre 997) (c) u = k 4 k = + e motrat que dt t 4 õ 4 ) (Novembre 997) (d) u = et v = (-) / - (Javier 998) (e) u = arcta å, å È (Septembre 998) (f) u = si 3 et v =. + - (Novembre 998) (g) u = L - å, å È (Javier 999) (h) u = a, a > 0 (Septembre 999) 2

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

Cours de mathématiques P.S.I.*

Cours de mathématiques P.S.I.* Cours de mathématiques PSI* D'après les cours de M Guillaumie Heriet Queti Séries umériques Das tout le chapitre, K désige le corps R ou C, et o désige par u ue suite de K Gééralités Vocabulaire Défiitio

Plus en détail

Analyse 5 SUITES REELLES

Analyse 5 SUITES REELLES Aalyse chap 5 /6. GENERALITES SR LES SITES. Défiitios Défiitio : e suite est ue foctio, défiie sur ue partie D de. O ote () =, o lit «idice». O dit que est le terme gééral de la suite, ou terme de rag.

Plus en détail

Limites de suites et de fonctions

Limites de suites et de fonctions TermS Limites de suites et de foctios I ] Suites ) Défiitio : Ue suite réelle est ue foctio de! das!, défiie à partir d'u certai rag 0. Notatio : u = lire "u idice " = terme d'idice, ou de rag = terme

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 202/203 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 4 - Séries umériques Soit E u espace vectoriel sur le corps K = R ou C Pour toute famille fiie

Plus en détail

1 Propriétés - Suites monotones

1 Propriétés - Suites monotones Uiversité d Aix-Marseille Licece de Mathématiques Semestre 06-07 Aalyse Plache - Suites umériques Propriétés - Suites mootoes Exercice Soiet les suites défiies, pour tout, par u = et v = Vérifier qu elles

Plus en détail

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne.

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne. 1 Séries umériques Das toute cette sectio, si cela est pas précisé, E désigera l espace R m, m 1, et la orme euclidiee. 1.1 Gééralités Défiitio 1.1. Soit (x ) N ue suite de E et pour chaque N, o défiit

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π.

SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π. Quelques repères historiques SUITES NUMERIQUES Archimède a défii das les aées 220 avat J.-C. deux suites permettat d'obteir de très boes valeurs approchées de π. Héro d'alexadrie au premier siècle après

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes.

Plus en détail

Suites numériques 1 / 12 A Chevalley

Suites numériques 1 / 12 A Chevalley MT8 A 03 Suites umériques Aleth Chevalley. Rappels.. Défiitio O appelle suite umérique réelle, toute applicatio f : ϒ qui à tout etier aturel, fait correspodre le ombre réel f() et o désige la suite par

Plus en détail

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques Uiversité Deis Diderot (Paris VII) 006-007 MP 3 Quelques exercices corrigés Suites et séries umériques Das les pages qui suivet ous proposos la correctios de quelques exercices de la feuille sur les suites

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = 3 + 1 3 + Trouver

Plus en détail

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite Eseigemet spécifique Chapitre 1. Les suites umériques Pricipe de récurrece Limite d ue suite I. Rappels sur les suites umériques 1. géérale Ue suite umérique est ue foctio défiie de N vers R, elle peut

Plus en détail

S n = u u n. S = u k. k=0

S n = u u n. S = u k. k=0 Chapitre 3 Séries umériques 3. Défiitios et exemples 3.. Défiitios Défiitio 3.. Soit (u ) ue suite réelle. O lui associe (S ) ue ouvelle suite défiie par S = u 0 + + u. O appelle série de terme gééral

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés Séries umériques Nature de séries umériques Exercice [ ] [Correctio] Détermier la ature des séries dot les termes gééraux sot les suivats : a

Plus en détail

Feuille d Exercices : Suites, suite!

Feuille d Exercices : Suites, suite! ECS 1 Dupuy de Lôme Semaie du 6 décembre 004 Feuille d Exercices : Suites, suite! Exercice 1 : Pour tout etier, o défiit u = 1. Motrez que u est mootoe.. Motrez que v est géométrique. k= 3. E déduire l

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites umériques Eocés Exercice Les assertios suivates sot-elles vraies ou fausses? Doer ue démostratio de chaque assertio vraie, et doer u cotre-exemple de chaque

Plus en détail

Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI

Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI Ξ 2 Suites umériques 2016-2017 Résumé du cours de MPSI I/ Défiitio, propriétés globales 1/ Défiitio Ue suite de complexes u est ue applicatio de N das C Notatios : L'image d'u etier par u se ote u( ou

Plus en détail

CHAPITRE II. - Séries à termes réels positifs ou nuls. III-Séries - à termes quelconques. Définition.

CHAPITRE II. - Séries à termes réels positifs ou nuls. III-Séries - à termes quelconques. Définition. CHAPITRE II Séries umériques I II - Défiitios et propriétés géérales - Séries à termes réels positifs ou uls III-Séries - à termes quelcoques I-Défiitios et propriétés géérales Défiitio. Soit (u N ue suite

Plus en détail

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin MVA101 - Aalyse et calcul matriciel 2012 2013 T. Horsi (thierry.horsi@cam.fr) Attetio: Ce documet est ue base de travail qui peut coteir des coquilles. Les zoes e bleus sot, de loi, hors programme, et

Plus en détail

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites 12 Cours - Suites.b 1/11 Suites I) Gééralités 1) Défiitio 2) Notatio 3) Commet peut être défiie ue suite 4) Suites et ordre 5) Propriété vraie à partir d u certai rag 6) Exercice 7) Suites arithmétiques,

Plus en détail

1 Séries numériques COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES =?

1 Séries numériques COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES =? COURS L2, 200-20. SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES Séries umériques. série géométrique et série téléscopique + 2 + 4 + 8 + 6 +? Figure. quelle est la logueur? Soit q > 0 (das l exemple ci-dessus q

Plus en détail

Chapitre : Séries numériques.

Chapitre : Séries numériques. ESI. Math. 009/00. Chapitre : Séries umériques. Itroductio géérale: Le but de ce chapitre est de défiir ce qu est ue série umérique et ce que veut dire qu elle coverge, o doera otamet u ses à ue somme

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

Exercices corrigés sur les séries de fonctions

Exercices corrigés sur les séries de fonctions Eercices corrigés sur les séries de foctios Eocés Eercice Motrer que la série ( ) est uiformémet covergete mais o ormalemet covergete sur [, ] Eercice 2 Étudier la covergece sur R + de la série de foctios

Plus en détail

TD n o 1 : suites numériques

TD n o 1 : suites numériques MAT232 : séries et itégrales gééralisées Uiversité Joseph Fourier 23-24 Greoble TD o : suites umériques Rappel importat : il existe u cours de L e lige, ititulé M@ths e Lge, à l adresse : http://ljk.imag.fr/membres/berard.ycart/mel/

Plus en détail

TD1 - Suites numériques

TD1 - Suites numériques IUFM du Limousi 2008-09 PLC1 Mathématiques S. Viatier Exercices TD1 - Suites umériques Exercice 1 Soit α > 0, étudier la covergece des suites déies par u = ( ) 1 + si α, v = 3 + cos α ( ) 1 + α. 3 + Idicatio

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k. Exo7 Suites et séries de foctios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Limite d'une suite. soit n > 9

Limite d'une suite. soit n > 9 Limite d'ue suite I) Limite d'ue suite : a) ite ifiie : défiitio : Ue suite (u ) a pour ite + quad ted vers + si tout itervalle de la forme ]A; +[ (A état u réel) cotiet tous les termes u à partir d'u

Plus en détail

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE. Exercice. Ue suite de réels positifs qui coverge vers 0 est décroissate à partir d u certai rag. C est faux. Pour costruire u cotre-exemple, o pourrait cosidérer

Plus en détail

Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques

Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques Séries etières Préparatio au Capes de Mathématiques I - Covergece des séries etières Notatios Pour tout élémet r de R +, o ote D r = fz 2 C / jzj < rg et D r = fz 2 C / jzj rg Déitio 1 O appelle série

Plus en détail

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43 Chapitre 4: Croissace, divergece et covergece des suites 4.1 Quelques défiitios Défiitios : Ue suite est croissate si chaque terme est supérieur ou égal à so précédet

Plus en détail

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs UFR SFA, Licece 2 e aée, MATH326 Séries à termes positifs Das ce chapitre, u Ø 0, pour tout, et o étudie q u. O a S S = u Ø 0 : (S ) est croissate!. Gééralités. Propositio. Soit (u ) Ø0 ue suite de réels

Plus en détail

Comportement asymptotique des suites

Comportement asymptotique des suites Comportemet asymptotique des suites Table des matières 1 Itroductio 2 2 Limite d ue suite 2 2.1 Limite fiie d ue suite........................................... 2 2.2 Limite ifiie d ue suite..........................................

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) une suite décroissante de réels telle que

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) une suite décroissante de réels telle que [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 7 août 07 Eocés Calcul asymptotique Comparaiso de suites umériques Eercice [ 08 ] [Correctio] Trouver u équivalet simple au suites u suivates et doer leur limite :

Plus en détail

Correction du TD 3 : Séries numériques

Correction du TD 3 : Séries numériques Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques Correctio du TD : Séries umériques Exercice A chaque fois, puisqu'o demade la covergece et la valeur, o reviet à la somme partielle : esuite, soit o recoaît

Plus en détail

1. Convergence des Séries Numériques

1. Convergence des Séries Numériques Séries umériques 8 - Sommaire. Covergece des Séries Numériques.. Nature d ue série umérique.......2. Séries géométriques............ 2.3. Coditio élémetaire de covergece. 2.4. Suite et série des différeces.......

Plus en détail

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004 3 octobre 2004 Exemple 2. O se doe a I et q C(I, K). L équatio différetielle liéaire : y (x) q(x) y(x) = 0 avec les coditios y(a) = α, y (a) = β SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS PC*2 3 octobre 2004 Admet

Plus en détail

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )]

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )] PC - DS N 6 - U corrigé Questios de cours QC..a L assertio a. est fausse. Par exemple, la suite + ted vers 0, alors que la série harmoique + est divergete. QC..b L assertio b. est vraie. Supposos que la

Plus en détail

Exercices. Exercice 1 (Suites adjacentes) On considère les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par: 1 k u n = n 3, v n = u n + 1 n 1 2n 2

Exercices. Exercice 1 (Suites adjacentes) On considère les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par: 1 k u n = n 3, v n = u n + 1 n 1 2n 2 Exercices Exercice (Suites adjacetes) O cosidère les suites (u ) N et (v ) N défiies par: u 3, k3 k 2 + v u + 2 2 Motrer que (u ) N et (v ) N sot adjacetes. Exercice 2 Soiet les deux suites (u ) et (v

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 2005 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES PREMIER EXERCICE a. T (x + y dxdy = = ( y= (x + y dy y= x dx = ((x + 2 ( x2 + x2 2 dx = T (x + y dxdy = 4 3. [xy +

Plus en détail

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann Corrigé du problème: autour de la foctio zeta alterée de Riema I Gééralités Pour x >, la suite décroît vers, doc la série coverge par le critère spécial des séries alterées Pour x, e ted pas vers, ce qui

Plus en détail

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN Das ce qui suit, o utilisera des argumets élémetaires et o e suppose aucue coaissace des foctios exp et l Ce qui suit sert à les défiir comme

Plus en détail

LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN

LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN LIMITES DE SUITES I Limites fiies ou ifiies Exercice 1 Pour chacue des suites, e calculat différets termes, cojecturer la valeur limite de u quad deviet ifiimet grad (c'est-à-dire quad ted vers + ). 1

Plus en détail

Développement en série de Fourier

Développement en série de Fourier [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Eocés Développemet e série de Fourier Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f ue foctio cotiue périodique. O suppose que la série de Fourier de f coverge

Plus en détail

Suites de variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires. Uiversité Pierre et Marie Curie 200-20 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 8 Suites de variables aléatoires.. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Détermier pour chacue des covergeces suivates

Plus en détail

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k.

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k. PHEC Correctio feuille d exercices 00-006 correctio de l exercice t. 8t R + ; + t 6 l( + t) 6 t : Pour cela, o itroduit les foctios f : t 7 l( + t) t et g : t 7 t l( + t) + t dé ies sur [0; +[ et o étudie

Plus en détail

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation).

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation). T ale S Chapitre. Résumé page 3.. Pricipe de récurrece. a. Exemple. 3 + 3 = + 8 = 9 = ( + ) 3 + 3 + 3 3 = + 8 + 7 = 36 = ( + + 3) O voudrait démotrer la propriété géérale : P() : quelque soit etier aturel

Plus en détail

1. Limite d'une suite... p2. Suites convergentes

1. Limite d'une suite... p2. Suites convergentes Suites covergetes 1.... p2 4. Cas particuliers... p9 2. Limites et comparaiso... p6 5. Suites mootoes... p11. Opératios sur les limites... p7 1. Limite d'ue suite 1.1. Limite ifiie a) Défiitios O dit que

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 07 Eocés Calcul de ites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la ite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = + + d u =

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u :

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u : SUITES NUMERIQUES Coteus : Capacités attedues : Commetaires : Suites Limite d ue suite défiie par so terme gééral Notatio lim u Suites géométriques : - somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique

Plus en détail

Les suites récurrentes à convergence lente

Les suites récurrentes à convergence lente Les suites récurretes à covergece lete Daiel PERRIN 0. Itroductio. Je me propose d écrire ue sorte de bila sur la covergece des suites u + = f(u ), avec f de classe C au mois, vers u poit fixe α, das le

Plus en détail

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 206 Eocés Etude asymptotique de suites de solutios d ue équatio Exercice [ 02289 ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l équatio x + l x = d icoue x R +.

Plus en détail

Révisions d analyse (corrigé des indispensables).

Révisions d analyse (corrigé des indispensables). Révisios d aalyse (corrigé des idispesables). Limites des foctios de variable réelle à valeurs das ou.. a. La foctio f est le produit d e foctio borée sur ( a si ) et d e foctio qui ted vers 0 e 0 ( a

Plus en détail

Séries Numériques. Chapitre Suites Numériques Définitions

Séries Numériques. Chapitre Suites Numériques Définitions Chapitre Séries Numériques Suites Numériques Défiitios Ue suite umérique est ue applicatio de N (ou d ue partie de N) à valeurs das R ou das C O la ote u(), ou u, et o désige la suite (c est-à-dire l applicatio)

Plus en détail

«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal)

«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal) Lycée Stedhal (Greoble) Niveau : Termiale S Titre Cours : Chapitre 0 : Les suites Aée : 204-205 «J'aimais et j'aime ecore les mathématiques pour elles-mêmes comme 'admettat pas l'hypocrisie et le vague,

Plus en détail

Cours de Mathématiques Séries numériques ou vectorielles Sommaire

Cours de Mathématiques Séries numériques ou vectorielles Sommaire Sommaire Sommaire I Gééralités sur les séries......................... 2 I. Espace vectoriel des séries, Sous-espace des Séries covergetes.... 2 I.2 Critère de Cauchy. Espace des séries ormalemet covergetes....

Plus en détail

Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques et géométriques «I» : Suites arithmétiques 1/ Défiitio Suites arithmétiques et géométriques La suite (u ) est arithmétique de raiso r sigifie que : Pour tout etier aturel : u +1 = u + r Exemple : La suite ( ; 5 ; 8 ;

Plus en détail

230. Séries numériques. Comportement des restes ou sommes partielles. Exemples.

230. Séries numériques. Comportement des restes ou sommes partielles. Exemples. 23. Séries umériques. Comportemet des restes ou sommes partielles. Exemples. Pierre Lissy December 8, 29 Das tout ce qui suit, K désige R ou C Covergece d'ue série. Déitio et modes de covergece[3] Déitio.

Plus en détail

Feuille d exercices 4

Feuille d exercices 4 UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Aée 2009/200 MIME 22 LM5-Suites et Itégrales Groupe 22 Feuille d exercices Suites Covergece de suites Exercice Ecrire l éocé qui traduit : (u ) N est pas croissate Cet

Plus en détail

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points)

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points) INSA Toulouse, STPI, IMACS 2 mercredi 18 décembre 212 Correctio exame d'aalyse I (coquilles probables) Exercice 1 (Séries etières - 5 poits) Calculer le rayo de covergece et le domaie de covergece simple

Plus en détail

Chapitre 5 : Suites classiques

Chapitre 5 : Suites classiques Chapitre 5 : Suites classiques Objectifs : Révisios sur les suites arithmétiques et géométriques. Révisio du théorème de croissace comparée. Savoir exprimer e foctio de les termes d ue suite récurrete

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths (TS) Suites numériques

Synthèse de cours PanaMaths (TS) Suites numériques Sythèse de cours PaaMaths (TS) Suites umériques Das ce chapitre, le terme «suite» désige ue suite umérique (c'est-à-dire, das le cadre du programme de Termiale S, ue suite de réels). Ue telle suite sera

Plus en détail

Suites numériques. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés

Suites numériques. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Suites umériques. 1. Mode de géératio des suites... p2 4. Le raisoemet par récurrece... p4 2. Relatio de récurrece... p3 5. Ses de variatio des suites... p6 3. Suites arithmétiques, suites géométriques...

Plus en détail

Limites de suites, cours, terminale S

Limites de suites, cours, terminale S Limites de suites, cours, termiale S Covergece de suites Déitio : Soit (u ) ue suite. O dit que (u ) coverge vers u réel l ou a pour limite l lorsque tout itervalle ouvert A coteat l, cotiet tous les termes

Plus en détail

SUITES (Partie 2) = 3u n. et u 0. q n na (inégalité de Bernoulli), a pour limite car lim 4 n = +.

SUITES (Partie 2) = 3u n. et u 0. q n na (inégalité de Bernoulli), a pour limite car lim 4 n = +. SUITES (Partie ) I Comportemet à l'ifii d'ue suite géométrique ) Rappel Défiitio : Ue suite (u ) est ue suite géométrique s'il existe u ombre q tel que pour tout etier, o a : u + = q u Le ombre q est appelé

Plus en détail

Séries entières. Plan de cours

Séries entières. Plan de cours 5 Séries etières «U mathématicie qui est pas aussi quelque peu poète e sera jamais u mathématicie complet.» Extrait d ue lettre de Karl Weierstrass à Sophie Kowalevski (883) Pla de cours I Rayo de covergece

Plus en détail

Suites réelles ou complexes

Suites réelles ou complexes 3 Suites réelles ou complexes 3. Prérequis L esemble R des ombres réels est supposé costruit avec les propriétés suivates : c est u corps commutatif totalemet ordoé ; il cotiet l esemble Q des ombres ratioels

Plus en détail

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n.

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n. Lycée secodaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math Exercice Das chacu des cas suivats, calculer la limite de la suite ( U ) lorsque + ) U = 3 + ; ) U = si π =

Plus en détail

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1 Correctio Exercice 1 O cosidère la suite (v ) défiie par v 0 = 3 et pour tout 1, v +1 = v 2 3v +4. 1. Démotrer que la suite est croissate. v +1 v = v 2 4v +4 = (v 2) 2 0 quelque soit etier. Doc (v ) est

Plus en détail

Ch.1 ( ) ( ) + 9 ( ) ( ) = n ( n + 1 )( n + 2) ( )? ( ) ( ) ( )( n + 2) SUITES PARTIE 1 récurrence et suites bornées

Ch.1 ( ) ( ) + 9 ( ) ( ) = n ( n + 1 )( n + 2) ( )? ( ) ( ) ( )( n + 2) SUITES PARTIE 1 récurrence et suites bornées Termiale S Ch1 SUITES PARTIE 1 récurrece et suites borées Das tout le chapitre, les etiers cosidérés sot aturels, c'est-à-dire positifs ouls I Raisoemet par récurrece 1 / Itroductio Exercice 1 : soit u

Plus en détail

Chapitre 8 : Séries. Introduction. 1 Dénitions. ECE3 Lycée Carnot. 2 décembre 2010

Chapitre 8 : Séries. Introduction. 1 Dénitions. ECE3 Lycée Carnot. 2 décembre 2010 Chapitre 8 : Séries ECE3 Lycée Carot 2 décembre 200 Itroductio Reveos pour itroduire ce chapitre quelques siècles e arrière, au temps de Zéo d'élée, philosophe grec du ciquième siècle avat J-C. Celui-ci

Plus en détail

Exercices corrigés sur les séries entières

Exercices corrigés sur les séries entières Exercices corrigés sur les séries etières Eocés Exercice Détermier le rayo de covergece des séries etières a z suivates : a l, a l, a, a e /3, a +!, a arcsi + π 4. Exercice Détermier le rayo de covergece

Plus en détail

Suites et séries réelles

Suites et séries réelles Suites et séries réelles Ue suite umérique est ue famille de ombres réels ou complexes idicées par les etiers aturels. O ote ue suite u idifféremmet (u ) N, ou (u ) 0, ou simplemet (u ). L esemble des

Plus en détail

Corrigé feuille d exercices 4

Corrigé feuille d exercices 4 UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Aée 008/009 MIME LM5-Suites et Itégrales Groupes Corrigé feuille d exercices Suites Covergece de suites Exercice Ue suite u N est pas croissate, si o N, u + u est vérifiée

Plus en détail

Suites et séries numériques

Suites et séries numériques Suites et séries umériques Ue suite d'élémets de K R ou C est ue applicatio déie sur N (ou ue partie de N) à valeurs das K. O ote u (u ) N ou u (u ) ue telle suite. Pour simplier, o suppose que les suites

Plus en détail

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand?

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand? Exercice : Détermier la limite de chaque suite (u ). a) u = si π b) u = () c) u = + d) 0,5 + cos(π) Exercice 2 : la costate d Apéry Pour tout etier, u = 3 + + 2 3 +. + 3 ) Doer u miorat de cette suite.

Plus en détail

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie A CORRIGE DE LA ère COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Eercice. Calculer, e, la dérivée de : Arc ta( ) Soit f ( ) Arc ta( ), alors f ( ) Arc ta( )

Plus en détail

Analyse mathématique II

Analyse mathématique II UNIVERSITÉ IBN ZOHR Faculté des Scieces Juridiques Écoomiques et Sociales Corrigés des QCM Aalyse mathématique II FILIÈRE SCIENCES ÉCONOMIQUES ET GESTION PREMIERE ANNÉE Sessio ormale 03/04 40 questios

Plus en détail

Chap2 Les suites : Raisonnement par récurrence limites de suites

Chap2 Les suites : Raisonnement par récurrence limites de suites I Rappels de première Chap2 Les suites : Raisoemet par récurrece limites de suites II Suites majorées, miorées, borées Défiitios : O dit qu ue suite ( u ) est majorée lorsqu il existe u réel M tel que

Plus en détail

Les calculatrices sont autorisées. **** **** Le sujet comporte 6 pages. 1 n. (resp. f x ln 1 e ) la somme de cette série.

Les calculatrices sont autorisées. **** **** Le sujet comporte 6 pages. 1 n. (resp. f x ln 1 e ) la somme de cette série. Les calculatrices sot autorisées **** NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio Si u cadidat est ameé à repérer ce qui peut lui sembler

Plus en détail

Cours I : SUITES NUMERIQUES. I Quelques rappels

Cours I : SUITES NUMERIQUES. I Quelques rappels Agrocampus Ouest ENIHP ère aée p. Cours I : SUITES NUMERIQUES / Défiitio I Quelques rappels Défiitio : Ue suite u est ue applicatio de l esemble N ou ue partie de N das R qui à chaque élémet de N associe

Plus en détail

Existence de la fonction exponentielle

Existence de la fonction exponentielle Eistece de la foctio epoetielle O cosidère les suites réelles (u ) et (v ) défiies pour tout 1 par : u () = 1+ et v () =. La démarce est alors la suivate : Démotrer que les deu suites sot adjacetes et

Plus en détail

Feuille 2 : Séries numériques.

Feuille 2 : Séries numériques. Feuille 2 : Séries umériques. Master Eseigemet Spécialité Maths Coseils O accordera ue importace toute particulière aux démostratios des théorèmes du cours. Certais exercices de cette feuille sot ispirés

Plus en détail

Correction de la question de cours 1

Correction de la question de cours 1 Math I Aalyse Exame du 9 décembre 2007 Durée 2 heures Aucu documet est autorisé. Les calculatrices, téléphoes portables et autres appareils électroiques sot iterdits. Il est iutile de recopier les éocés.

Plus en détail

Auteur : Simplice TANKOUA Activités de mise en place de la leçon.

Auteur : Simplice TANKOUA Activités de mise en place de la leçon. Auteur : Simplice TANKOUA (stakoua@yahoofr) Cours SUITES NUMÉRIQUES Leço : GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES Activités de mise e place de la leço Activité : (formule explicite) Exercice O cosidère la liste ordoée

Plus en détail

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé

Plus en détail

Séries numériques. n 3. 6) a n ) 1 + ( 1)n n. 1! + 2! n!. (n + 2)! 12) 15) n + ( 1) (ln n)n n ln n. 18) 1. ( 1) n + n α, ( ) a et.

Séries numériques. n 3. 6) a n ) 1 + ( 1)n n. 1! + 2! n!. (n + 2)! 12) 15) n + ( 1) (ln n)n n ln n. 18) 1. ( 1) n + n α, ( ) a et. Séries umériques Exercice. Étude de covergece Étudier la covergece des séries de terme gééral : + e. ch α sh α. 3 l 3 + 3 l +. 4 +. 5 arccos 3 + 3. 6 a + + a. 7 +. 8 l. 9 +. 0 3.4.6.... l + siπ/3. 4 6

Plus en détail

Séries numériques. 1 q n+1 1 q. si q 1 ; n + 1 si q = 1. q k = k=0. , posons U n = k. α. k=1

Séries numériques. 1 q n+1 1 q. si q 1 ; n + 1 si q = 1. q k = k=0. , posons U n = k. α. k=1 Séries umériques Défiitios et premières propriétés. Défiitios Défiitio (Série umérique) Soit () N ue suite complexe. Pour tout N o pose : U = ( ème somme partielle). La suite (U ) N est alors appelée la

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Comparaiso des suites Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Devoir à rendre le 4 janvier 2017

Devoir à rendre le 4 janvier 2017 Uiversité Paris-Dauphie, L MIDO, groupe Aalyse (206-207) Devoir à redre le javier 207 Eercice Soit D u domaie o vide de R et f : D!R.. O souhaite démotrer la caractérisatio séquetielle de l uiforme cotiuité

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Valeurs absolues. Partie etière. Iégalités Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très

Plus en détail

France métropolitaine Juin 2010 Série S Exercice 1. Restitution organisée de connaissances

France métropolitaine Juin 2010 Série S Exercice 1. Restitution organisée de connaissances Frace métropolitaie Jui 200 Série S Exercice Restitutio orgaisée de coaissaces Démotrer, à l aide de la défiitio et des deux propriétés cidessous que si ( u ) et ( v ) sot deux suites adjacetes, alors

Plus en détail