SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes

Transcription

1 UE7 - MA5 : Aalyse SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes I. Gééralités Défiitio Etat doée ue suite (u ) de ombres réels ou complexes, o appelle série de terme gééral u la suite (S ) défiie par : () S = u 0 + u + + u = k = 0 S est appelée somme partielle d'idice (ou de rag, ou d'ordre ) de la série. u k Notatio O ote gééralemet u ou u la série de terme gééral u. 0 Exemples de séries déjà cosidérées : Séries géométriques ; suites défiies par des relatios de récurrece S = S - + u ; écriture décimale (évetuellemet illimitée) d'u réel. Défiitio 2, de la covergece O dit que la série u coverge si la suite (S ) défiie e () coverge. Das ce cas, la limite de la suite (S ) est appelée somme de la série et otée S = = 0 Quad la suite (S ) e coverge pas, o dit que la série diverge. u. Remarque Si o cosidère seulemet (u ) pour 0 > 0, o peut, pour 0, poser S = u k et appeler alors série de terme gééral u la ouvelle suite (S ). Cette série est alors otée 0 u. k = 0

2 Il est aisé de vérifier que la covergece de u équivaut à celle de u, mais e gééral u 'est pas égal à = 0 Défiitio 3 Pour ue série covergete, 0 0 u quad la série coverge. = 0 u, de somme S et de sommes partielles S, o appelle 0 reste d'ordre (ou de rag ) la différece R = S - S. R est aussi la somme de la série covergete u p, c'est-à-dire R = p + p = + u p. Exemple Si u = ( + ) ( + ) pour, o obtiet u = - +, S = - + coverge et a pour somme. et la série Exemple Si u = (-) pour 0, S = si est pair alors que S = 0 si est impair, et la série (-) diverge. Théorème Si la série u coverge, alors le terme gééral u ted vers 0 quad ted vers +. Attetio : la réciproque de ce théorème est fausse et il existe des séries dot le terme gééral ted vers 0 et qui sot divergetes (voir ci-dessous). Remarque 2 Le théorème précédet est utile sous la forme cotraposée : si (u ) e ted pas vers 0, la série u diverge. O dit alors que la série est grossièremet divergete. 2

3 Exemple de référece : séries géométriques La série a où a  est covergete si et seulemet si a < et sa somme est alors 0 S = - a = a. = 0 Attetio : la somme chage si la série e commece pas à = 0 ; par exemple si a <, a a 2 = - a. = 2 Le résultat qui suit permet de muir l'esemble des séries covergetes d'ue structure d'espace vectoriel : Théorème 2 Soiet u et v deux séries covergetes. La série somme (u + v ) est covergete et o a (u + v ) = = 0 = 0 u + = 0 v. Si est u scalaire, la série ( u ) est covergete et o a ( u ) =. = 0 = 0 u. O e déduit alors le résultat suivat : Corollaire Si u coverge et v diverge, alors la série (u + v ) diverge. E utilisat le résultat classique pour des suites réelles ou complexes selo lequel ue suite (S ) est covergete si et seulemet si c'est ue suite de Cauchy, o obtiet : Théorème 3 (critère de Cauchy pour les séries) Pour que la série de terme gééral u soit covergete, il faut et il suffit que : m u k ou ecore > 0, N, N, m, > 0, N, N, p 0, k = + p k = u k Remarque 3 Ce résultat est importat et il sera utilisé par la suite car il permet de démotrer la 3

4 covergece ou la divergece de certaies séries sas que l'o ait besoi de chercher, e même temps, leur somme. Exemple La série harmoique + + diverge : il suffit de remarquer que S 2 - S = est, pour tout, mioré par 2 ( termes supérieurs à 2 ). Le résultat suivat peut être utile pour étudier ue série à terme gééral u complexe : Propositio u coverge si et seulemet si les deux séries Re u et Im u coverget et o a : u = Re u + i Im u = 0 = 0 = 0 Exercice ) Ecrire sous forme décimale illimitée le ombre 3/7. 2) Ecrire sous la forme p / q avec p et q etiers le ombre 2, où le bloc 36 est répété idéfiimet. Exercice 2 Calculer le ombre 0, ,3636 Exercice 3 Motrer que la série de terme gééral u coverge et calculer sa somme das les cas : (a) u = - 2, 2 (b) u = ( + )( + 2) + (c) u = ( + ) - (d) u = (e) u = 3! e exprimat 3 e foctio de ( - )( - 2), ( - ) et Exercice 4 Motrer que la série de terme gééral u est divergete das les cas : 4

5 (a) u = (-) (b) u =. + (c) u = e.! (o pourra étudier u + u ) Exercice 5 Détermier la ature de la série de terme gééral : u = ( + ) å + ( + 3) å - 2 ( + 2) å, å È, 0 Si elle coverge, calculer sa somme. Exercice 6 Soit ß ue permutatio de *. Motrer, e utilisat le "paquet de Cauchy" série de terme gééral ß() 2 diverge. 2 k = + ß(k) k 2 que la II. Séries à termes réels positifs ou uls Pour l'étude des séries de terme gééral u réel positif ou ul, o dispose de résultats simples obteus à partir de la remarque que S est alors croissate. Les résultats ci-dessous sot bie sûr applicables si les u e sot positifs qu'à partir d'u certai 0 (cf. remarque du I) ou si tous les u sot égatifs ou uls (cf. théorème 2 du I) e utilisat (-u ).. Ue CNS de covergece pour les séries à termes 0 Théorème Ue série de terme gééral u réel positif ou ul est covergete si et seulemet si la suite des sommes partielles S est majorée. 2. Comparaiso de deux séries à termes 0 Le théorème précédet coduit facilemet au théorème suivat : 5

6 Théorème Soiet u et v deux séries à termes réels positifs telles que pour tout o ait 0 u v. Si la série v coverge, la série u coverge aussi et = 0 u = 0 v. Si la série u diverge, il e est de même de la série v. Exemple 0 u = si 2 2 doc si 2 coverge. Corollaire Soiet (u ) et (v ) deux suites de réels positifs tels qu'il existe deux réels µ > 0, tels que pour tout o a : µ v u v. Alors les deux séries u et v sot de même ature, c'est-à-dire que soit elles coverget toutes les deux, soit elles diverget toutes les deux. Il est parfois plus facile d'utiliser des équivalets que des majoratios ou mioratios, et le corollaire précédet fourit le résultat suivat : Théorème 2 Soiet u et v deux séries à termes réels positifs telles que u õ v ). Alors les deux séries sot de même ature. Exemple 2 + si u = 3 + õ ) doc la série de terme gééral u est divergete. Exemple 6

7 Si > 0, la série de terme gééral u = covergete. Or u calcul simple motre que u õ gééral + est doc covergete quad > 0. - ( + ) est ue série télescopique + ). La série de terme 3. Comparaiso d'ue série avec ue itégrale O cosidère ici des séries dot le terme gééral est de la forme u = f(). Par ecadremet, e s'aidat d'u dessi, o obtiet : Théorème Soit f ue foctio défiie sur [0, + [ à valeurs réelles positives, cotiue et décroissate. La série f() coverge si et seulemet si l'itégrale 0 + f(x) dx coverge. Remarque Le résultat est ecore valable si la foctio f est positive, cotiue et décroissate sur u itervalle [a, + [ e cosidérat la série 0 f() avec 0 a. Exemple de référece : séries de Riema La série å où å È coverge si et seulemet si å >. E effet, pour å 0 la série est grossièremet divergete et si å > 0 le théorème précédet ramèe la covergece à celle de l'itégrale de Riema vue au chapitre précédet. 4. Quelques règles pratiques Les résultats des paragraphes II.2 et II.3 permettet d'obteir des résultats simples à appliquer e comparat ue série à termes positifs soit à ue série de Riema, soit à ue série géométrique. Il peut être plus ou mois facile de majorer ou miorer, de calculer ue limite ou de détermier u équivalet simple, ce qui coduit à plusieurs versios de ces comparaisos : Règle de Riema (ère versio) Soit u 0. Si u õ A / å avec A réel strictemet positif et å È, alors u coverge si et seulemet si å >. 7

8 Règle de Riema (2ème versio) Soit u 0. a) S'il existe u etier 0, u réel A 0 et u réel å > tels que, pour tout 0 o ait 0 u A / å, la série u coverge. b) S'il existe u etier 0, u réel A > 0 et u réel å tels que, pour tout 0 o ait u A / å, la série u diverge. Cette versio permet d'e obteir ue autre souvet plus facile à appliquer : Règle de Riema (3ème versio) Soit u 0. a) S'il existe u réel å > tel que å. u admette ue limite fiie lorsque ted vers l'ifii, alors la série u coverge. b) S'il existe u réel å tel que å. u admette ue limite strictemet positive ou ifiie quad ted vers l'ifii, alors la série u diverge. Exemple Soit u = L(). + Si, la deuxième versio avec u fourit facilemet la divergece de la série + alors que si > la troisième versio avec u å ], [ fourit facilemet la covergece de la série. Règle de d'alembert (ère versio) Soit u > 0. a) S'il existe 0 tel que, pour tout 0 o ait u + u alors la série u diverge. b) S'il existe 0 et u réel [0, [ tels que, pour tout 0 o ait u + u alors la 8

9 série u coverge. Attetio ici à e pas oublier les iégalités strictes u > 0 et <. Règle de d'alembert (2ème versio) Soit u > 0. O suppose que la suite u + u a ue limite fiie ou +. a) Si <, la série u coverge. b) Si > ou +, la série u diverge. Exemple La série 0 l'ifii. a!, où a > 0, coverge car ici u + u = a + ted vers 0 quad ted vers Règle de Cauchy (ère versio) Soit u 0. a) S'il existe 0 tel que, pour tout 0 o ait u alors la série u diverge. b) S'il existe 0 et u réel [0, [ tels que, pour tout 0 o ait u alors la série u coverge. Règle de Cauchy (2ème versio) Soit u 0. O suppose que la suite u a ue limite fiie ou +. a) Si <, la série u coverge. b) Si > ou +, la série u diverge. 9

10 Exemple La série a a, où a 0, coverge car = a ted vers 0 quad ted vers l'ifii. Attetio : les règles de d'alembert et de Cauchy e permettet pas de coclure si = et les exemples et 2 motret que, das ce cas, il peut aussi bie y avoir divergece que covergece. 5. Sommatio des équivalets Le théorème 2 du paragraphe II.2 peut être complété afi de permettre de calculer des équivalets de restes ou de sommes partielles de séries : Théorème Soiet a et b deux séries à termes réels positifs tels que a õ b ) (doc de même ature). a) Si les séries coverget, leurs restes respectifs d'ordre sot équivalets quad ted vers l'ifii, c'est-à-dire : k = + u k õ k = + v k ) b) Si les séries diverget, leurs sommes partielles respectives d'ordre sot équivaletes quad ted vers l'ifii, c'est-à-dire : u k õ v k ) k = 0 k = 0 Exemple + Comme dx x = L + õ ) et que la série harmoique diverge, le 0

11 théorème précédet motre que + Cette derière somme vaut k k = k + õ k = k dx ). x dx = L( + ) et x k õ L() ). k = Exemple 2 p + O vérifie facilemet que si å >, p dx x å õ p å ) et, avec le théorème précédet, o obtiet + dx p å õ x å ) itégrale qui se calcule aisémet. p = Le résultat obteu peut aussi être démotré par comparaiso série - itégrale. Exemple 3 Si ue suite réelle (u ) coverge vers, elle est borée doc il est possible de choisir u assez grad pour que la suite (u + ) soit formée de termes positifs et que + > 0. Comme cette suite coverge vers +, le théorème précédet fourit : (u k + ) õ ( + ) ) k = ou ecore ou efi k =. k = (u k + ) = + u k = C'est u résultat classique dû à Cesaro. 6. Majoratio des restes de séries covergetes De telles majoratios sot liées aux méthodes employées pour prouver la covergece de la série : ère méthode Si u > 0 et si o a détermié u etier 0 et u réel [0, [ tel que, pour tout 0 o ait u + u alors, pour tout 0 o a : R = k = + u k - u

12 2ème méthode Si u 0 et si o a détermié u etier 0 et u réel [0, [ tel que, pour tout 0 o ait u alors, pour tout 0 o a : R + - 3ème méthode Si u = f() avec f positive, cotiue décroissate sur [a, + [ et a + f(x) dx covergete, o a pour tout a : + + f(x) dx R + f(x) dx Exercice 7 Etudier la ature des séries dot le terme gééral est : (a) ( + ) (b) si 2 π + (c) +2 (d) e si (e) a + cos 2 - si, a 0 (f) 3 + (g) si 2 2 (h) e - + (i) (j) 2. e - (k) 2 si π 2 (l) ( + )( + 2) 2 (m) + a 2 + b () (o) () 2 + (p) /2 - (q) ta a - si a / (r) 0 dt + t 2

13 (s). (!) 2 (3)! (t) ( ) - () Exercice 8 Etudier la covergece et calculer évetuellemet la somme de la série de terme gééral : a ( + 3) + b ( + 2) + c ( + ) Exercice 9 Soit (u ) ue suite à termes positifs. Motrer que les séries de termes gééraux u et v = u + u sot de même ature. Exercice 0 Motrer que l'équatio Arctg x = L x + π admet, pour chaque, ue uique racie x > 0. Détermier la ature de la série de terme gééral x. Exercice Détermier la ature des séries de terme gééral u défiies par u 0 0 et u + = e- u pour tout *. Exercice 2 Soiet u et v deux séries à termes positifs telles que u + u v + v pour tout N. ) Motrer que si v coverge alors u coverge. 2) E déduire la covergece de la série de terme gééral u = 3 5 (2 - ) (2 + 2). (Predre v = - å avec < å < 3/2 et utiliser le développemet limité à l'ordre de v + - u +. ) v u Exercice 3 O cosidère, pour å >, u = k å. k = + E utilisat ue comparaiso série - itégrale, discuter la ature de la série de terme gééral u. 3

14 Exercice 4 Soit u ue série umérique à termes positifs covergete telle que la suite (u ) soit décroissate. Etudier la série de terme gééral (u - - u ) et e déduire que +. u = 0. Exercice 5 Motrer que la suite u = sa limite. (Utiliser le théorème de sommatio des équivalets.) ( + ) +, où 22, est covergete et calculer Le but des exercices 6 à 2 est de mettre e oeuvre deux résultats : A : la covergece d'ue suite (u ) équivaut à la covergece de la série de terme gééral u - u - B : le théorème de sommatio des équivalets pour des séries à termes positifs Exercice 6 ) E remarquat que ( + ) - () õ ) et, e utilisat B, motrer que : õ () ) 2) E utilisat A, motrer que la suite défiie par u = () est covergete. Soit C (appelée costate d'euler) sa limite. 3) + dx E justifiat et e utilisat x 2 õ 2 ), puis e cosidérat la série de terme gééral u + - u, motrer que u - C õ 4) E cosidérat la suite v = u - C - 2, motrer que v õ ). 5) Calculer u 8, u 6, u 32 et avec u' = u - 2 ). et e utilisat la série de terme gééral v + - v , u' 8, u' 6, u' 32. Exercice 7 Exercice aalogue au précédet avec u =

15 Exercice 8 ) Motrer que - x dx õ () ). 2) E utilisat B, motrer que (!) õ () ). Exercice 9 Soit u =! e. E utilisat la série de terme gééral (u + ) - (u ), motrer que la suite (u ) a ue limite o ulle. Remarque : ce résultat est évidet si o utilise la formule de Sterlig :! õ. e 2π ) mais e fait la formule de Sterlig s'obtiet e utilisat cet exercice. Exercice 20 O cosidère la série 2 + et o appelle R so reste d'ordre. ) Motrer que R õ ). 2) O pose u = - R. Motrer que u + - u õ - 3 ) et e déduire que u õ S = S partielle d'ordre de la série. Exercice 2 2 ) et doc 2 2 e appelat S et S respectivemet la somme et la somme Soit å > 0. O cosidère ue suite défiie par u > 0 et u + = u + e- u ) Cosidéros le cas de å >. a) Motrer que (u ) coverge. O otera sa limite. e - b) Motrer que - u õ (å - ) å - ). 2) Cosidéros le cas de å. a) Motrer que (u ) ted vers +. b) Démotrer que e u + - e u õ å ). c) E déduire u équivalet de u quad ted vers l'ifii. å pour tout. 5

16 Exercice 22 O cosidère la série de terme gééral 0. Prouver que pour 9 : R 9 8 ( + ) 0 +. Exercice 23 Calculer ue valeur approchée à 0-5 près de. 2 (doc de 2 = comme il sera vu grâce aux séries etières). = III. Quelques résultats pour les séries dot le terme gééral 'est pas réel de sige costat Das de tels cas, la première idée est d'essayer de se rameer à des séries à termes positifs :. Covergece absolue Défiitio Ue série u à termes réels ou complexes est dite absolumet covergete si la série u est covergete. Exemples Si o a u = si() 2 ou v = e i 2 o a aussi u 2 et v = 2 ayat pour terme gééral u ou v sot absolumet covergetes. doc les séries L'itérêt de cette otio est doé par : Théorème Toute série absolumet covergete est covergete. Attetio, la réciproque est fausse : o verra au paragraphe suivat que la série de terme gééral (-) est covergete alors qu'o a motré que la série des modules est divergete. Ue telle série qui est covergete sas être absolumet covergete est dite semi-covergete. 6

17 Les théorèmes et règles éocés au paragraphe II peuvet être utilisés pour la série u et doet des moyes de prouver la covergece absolue, et doc la covergece, ou la o covergece absolue et das ce derier cas il faudra repredre autremet l'étude de la covergece. O a par exemple : Règle de Riema S'il existe å > tel que la suite å u soit borée (e particulier si elle a ue limite fiie), alors la série u est absolumet covergete. Règle de d'alembert Si u 0 pour tout 0 et si la suite u + u a ue limite <, alors la série u est absolumet covergete. Règle de Cauchy Si u a ue limite <, alors la série u est absolumet covergete. Bie sûr, si pour 0, u + ou u, alors le terme gééral u u e ted pas vers 0 et la série est grossièremet divergete. Exemple Avec la règle de d'alembert, o obtiet que la série a! coverge absolumet pour tout a complexe. 2. Séries alterées Il s'agit de séries dot le terme gééral est réel et de la forme u = (-). a avec les a tous positifs (ou égatifs) à partir d'u certai rag. Pour de telles séries, o a le résultat suivat : 7

18 Critère spécial des séries alterées Soit (a ) ue suite décroissate de réels qui coverge vers 0 (doc a 0). Alors la série (-). a est covergete. O peut préciser ce résultat : E otat S les sommes partielles de cette série et S sa somme, la suite (S 2p ) est décroissate, la suite (S 2p+ ) est croissate et o a, pour tout p : S 2p+ S S 2p. Aisi, pour tout, o a : R = S - S a + ce qui est ue majoratio très simple du reste d'ordre. Exemple Pour tout å > 0, la série (-) harmoique alterée (-) å coverge, e particulier pour å =, la série coverge. Attetio à bie vérifier les coditios d'applicatio du critère : la série de terme gééral (-) (-) (resp. + (-) + (-) ) e permet pas d'utiliser le critère (le vérifier) mais e multipliat umérateur et déomiateur par - (-) (resp. - (-) ), o obtiet facilemet que la série diverge (resp. coverge). 3. Utilisatio de développemets asymptotiques (limités) Il est possible, e utilisat des développemets limités, de trasformer le terme gééral d'ue série u e somme de deux (ou plus) termes gééraux de séries de covergeces plus faciles à étudier. (-) Si o cosidère, par exemple, u = å + (-) avec å > 0, il est bie sûr clair que la série de terme gééral u est absolumet covergete si et seulemet si å >, mais pour å ]0, ] le critère spécial e s'applique pas. Cepedat, e utilisat le développemet limité à l'ordre de e 0, o peut écrire : + x 8

19 u = (-) å + (-) å = (-) (-) å - å ( + ()) avec lim () = 0 et e posat v = å, w = + () 2å o a : u = v - w. La série de terme gééral v est covergete pour å > 0 d'après le critère spécial des séries alterées et la série de terme gééral w, positif pour assez grad, coverge si et seulemet si å > 2 car w õ 2å. Les résultats vus au paragraphe I (théorème 2 et corollaire) motret alors que la série de terme gééral u coverge si et seulemet si å > Regroupemet de termes Propositio Cosidéros ue série u dot le terme gééral u ted vers 0 quad ted vers l'ifii. Notos v p = u 2p + u 2p+. Alors les séries u et v p sot de même ature et, si elles coverget, ot la même somme. (-) Exemple u = +(-), 2 O a bie lim u = 0 et v p 2p + - 2p = 2p(2p + ). La série de terme gééral v p est covergete (utiliser u équivalet) doc la série de terme gééral u est aussi covergete. Remarque Il est facile de gééraliser la propositio au regroupemet de trois termes ou d'au plus k termes, k état fixé. Exercice 24 Etudier la covergece et la covergece absolue des séries dot le terme gééral est : 9

20 (a) (-) 2 + si( 2 ) (b) (-) (c) (-) + (d) exp (-) - (e) cos (f) (-) th (g) ( + ) π π si x x dx Exercice 25 Détermier la ature des séries dot le terme gééral est : (a) si(π 2 + ) (b) + (-). å 2å (c) (-) 2/3 + cos (d) (-) - + å, å > 0 (e) si (-) 3 Exercice 26 Démotrer que : (a) = 2 (-) 2 - = 4 (b) si k etier : = 2k (-) 2-4k 2 = 3 6k 2 Exercice 27 Détermier la ature de la série de terme gééral u = (-) Exercice 28 Détermier la ature de la série de terme gééral u = (-) (-) + + (Le crochet s'écrit S - R où S est la somme et R le reste d'ordre d'ue série covergete.). Exercice 29 Détermier la ature de la série de terme gééral u = (-). 0 e - 2 t 2 dt. 20

21 Exercice 30 Das la série de terme gééral o remplace les termes (3p) Détermier la ature de la série obteue. par - 2 (3p). Exercice 3 (Sujets d'exames) Détermier la ature des séries dot le terme gééral est : (a) u = (-) + (-) + (Septembre 997) (b) u = 2 å +, È, å > 0 (Novembre 997) (c) u = k 4 k = + e motrat que dt t 4 õ 4 ) (Novembre 997) (d) u = et v = (-) / - (Javier 998) (e) u = arcta å, å È (Septembre 998) (f) u = si 3 et v =. + - (Novembre 998) (g) u = L - å, å È (Javier 999) (h) u = a, a > 0 (Septembre 999) 2