SYMÉTRIES DE L'ESPACE ET DU TEMPS ET LOIS DE CONSERVATION

Transcription

1 SYMÉTRIES DE L'ESPACE ET DU TEMPS ET LOIS DE CONSERVATION Pascal Rebetez Août 203

2 RÉSUMÉ Apès une ntoducton concenant les symétes et les los de consevaton, nous appelons les concepts de base et les postulats de la mécanque classque et démontons les conséquences de ces denes su les popétés de syméte de l'espace et du temps. Nous pécsons ensute le statut de l'énege potentelle et cetanes de ses popétés. Nous démontons fnalement que, de l'homogénété, de l'sotope et de l'unfomté de l'espace et du temps, découlent les los de consevaton de la quantté de mouvement, du moment cnétque et de l'énege. P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 2/2

3 TABLE DES MATIÈRES Péambule...4 Intoducton...4 Les los de consevaton... 4 La syméte en physque... 4 Symétes et los de consevaton (pa Glles Cohen-Tannoudj)... 5 Concepts et défntons en mécanque classque...5 La quantté de mouvement... 5 La foce... 5 Le taval et l'énege... 6 Taval d'une foce... 6 Énege cnétque... 7 Foce consevatve et énege potentelle d'une patcule... 7 Les deux expessons d'une foce consevatve... 9 Énege potentelle d'un système de patcules... 9 Énege mécanque d'un système de patcules... 0 Les postulats de la mécanque classque...0 Le temps absolu... 0 Le pncpe d'nete... Le pncpe de elatvté galléenne... Homogénété, sotope et unfomté de l'espace et du temps... Homogénété et sotope de l'espace... Unfomté du temps... 3 Statut et popétés de l'énege potentelle...3 Statut de l'énege potentelle... 4 L'énege potentelle ne dépend pas explctement du temps... 4 L'énege potentelle ne dépend que des dstances elatves ente patcules... 4 Unfomté du temps et consevaton de l'énege...5 Homogénété de l'espace et consevaton de la quantté de mouvement...6 Isotope de l'espace et consevaton du moment cnétque...7 Concluson...9 Réféences...9 Remecements...9 Annexe Le gadent d'une foncton scalae...20 Annexe 2 Popétés du podut mxte...2 P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 3/2

4 Péambule La noton de syméte et son explotaton en physque est habtuellement ntodute dans le cade de la fomulaton lagangenne de la mécanque classque. Cette fomulaton se base su le théoème de Noethe et nécesste l'usage du calcul vaatonnel. Cette appoche est taonnellement abodée au nveau unvestae. Cet atcle a pou but d'explote le concept de syméte et d'en lluste la tès gande féconé en montant que les tos los de consevaton de l'énege, de la quantté de mouvement et du moment cnétque, sont une conséquence des popétés de syméte de l'espace et du temps. Plus pécsément, nous démontons que les tos pofondes mplcatons unfomté du temps consevaton de l'énege homogénété de l'espace consevaton de la quantté de mouvement sotope de l'espace consevaton du moment cnétque peuvent s'obten sans fae usage du fomalsme lagangen et du théoème de Noethe. En effet, nous n'auons ecous qu'aux notons de quantté de mouvement et d'énege potentelle, défnes à pat des enttés fondamentales que sont l'espace et le temps. Intoducton Les los de consevaton La soluton exacte des équatons du mouvement (découlant des los du mouvement de Newton) d un système mécanque est en généal mpossble à obten. En fat, seuls quelques systèmes elatvement smples admettent une soluton analytque complète qu pemet d expme la poston des patcules explctement en foncton du temps écoulé. Pa conte, même pou des systèmes tès complexes, l exste des los, es de consevaton, qu stpulent que cetanes quanttés telles l énege, la quantté de mouvement et le moment cnétque, demeuent constantes au cous du temps. Ces los de consevaton nous pemettent de caactése patellement le mouvement du système, même s celu-c ne peut ête détemné de manèe complète. Ben que ces los de consevaton découlent des los du mouvement de Newton et qu'elles n'appotent pa conséquent aucune nfomaton supplémentae, elles ont un domane d'applcaton plus vaste. En effet, les los du mouvement de Newton ne sont n valables à l'échelle mcoscopque des atomes (domane ég pa les los de la mécanque quantque), n pou des vtesses poches de c (domane ég pa les los de la mécanque elatvste). En evanche, les los de consevaton de la quantté de mouvement, de l'énege, du moment cnétque, de la chage électque et d'autes encoe, se véfent dans toutes les stuatons expémentales obsevées jusqu'c. C'est pouquo les los de consevaton sont plus fondamentales que les los de Newton. La syméte en physque "Une chose est symétque s on peut la soumette à une cetane opéaton et qu'elle appaasse exactement la même apès l'opéaton". C'est la défnton de la noton de syméte adoptée pa R. Feynman (R. Feynman, le cous de physque de Feynman mécanque ). Plus pécsément, une syméte en physque est une tansfomaton des vaables du système qu peuvent ête des vaables géométques ou des vaables plus abstates qu ne change pas la fomulaton des los physques. P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 4/2

5 Symétes et los de consevaton (pa Glles Cohen-Tannoudj) "La pse en compte des popétés de syméte est un fl conducteu qu pacout toute l'hstoe de la physque modene, de Gallée et Newton à l'unfcaton des nteactons fondamentales à l'ade du modèle standad de la physque des patcules. La fomulaton lagangenne de la mécanque atonnelle classque met en lumèe le ôle fondamental des popétés de syméte. Le théoème de Noethe stpule qu'à toute syméte coespond la consevaton d'une quantté physque. Les popétés d'nvaance pa des tansfomatons de syméte sont lées à des popétés de elatvté. Nous entendons pa là l'mpossblté d'effectue des mesues absolues, c'est-à-de l'nobsevablté de cetanes enttés absolues. Ans, le théoème de Noethe atcule nobsevablté, syméte et lo de consevaton, comme l'ndque le tableau c-dessous dans les cas patcules d'nobsevables coespondant au temps, à la poston et à la decton dans l'espace. Inobsevable Syméte Lo de consevaton Ogne du temps Tanslaton dans le temps Énege Ogne de l'espace Tanslaton dans l'espace Quantté de mouvement Decton pvlégée Rotaton Moment cnétque Nous voyons ans que la lo s fondamentale de consevaton de l'énege est équvalente à l'nvaance pa tanslaton dans le temps, c'est-à-de l'absence d'ogne du temps." (Glles Cohen-Tannoudj, On alos que le temps est unfome. De même, l'espace est homogène et sotope. Concepts et défntons en mécanque classque La quantté de mouvement À pat du Moye Âge, on a éalsé que la vtesse ne suffsat pas à explque à elle seule toutes les caactéstques du mouvement. Ves 330, un Pasen, Jean Budan eut l'ntuton que la gandeu cucale à pende en compte pou déce le mouvement d'un objet état le podut de sa masse pa sa vtesse. Quand Newton a fomulé ses los du mouvement, la noton pemèe qu'l utlsat état la quantté de mouvement (momentum en anglas), podut de la masse d'un objet pa sa vtesse : p = mv () La foce Au début des Pncpa, Newton défnt la foce comme "une acton execée su un cops pou change son état, sot de epos, sot de mouvement unfome ". Selon lu, la foce est ce qu modfe le mouvement. La manèe dont s'effectue cette modfcaton du mouvement est décte pa la deuxème lo de Newton qu s'expme en temes de foce, de masse et de quantté de mouvement : la foce execée su un cops est égale à la vaaton de sa quantté de mouvement pa unté de temps : F = d p (2) P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 5/2

6 La deuxème lo de Newton (2) ne peut cependant pas ête consdéée comme une lo de la natue. En effet, comme le pécse R. Feynman : "Le contenu éel des los de Newton est cec : elles supposent qu'une foce possède cetanes popétés ndépendantes, en plus de la lo F = dp ; mas les popétés spécfques ndépendantes que possède la foce ne fuent complètement déctes n pa Newton n pa quelqu'un d'aute et de ce fat, la lo physque F = dp est une lo ncomplète." (R. Feynman, le cous de physque de Feynman mécanque ). Ans, pou dspose d'une théoe complète du mouvement, l faut auss connaîte la lo de la foce, qu pemet de calcule la foce agssant su un cops en foncton des popétés du cops et de son envonnement. La lo de la gavtaton unveselle découvete pa Newton est un exemple d'une telle lo. La lo de la foce et la deuxème lo de Newton pemettent alos conjontement de connaîte l'évoluton du mouvement d'un cops au cous du temps, en foncton des popétés du cops et de son envonnement. En ce sens, à elle seule, la deuxème lo de Newton est à consdée comme une défnton de la foce. Le taval et l'énege L'énege est défne à pat de la noton de taval, lequel est défn à pat de la noton de foce. L'énege se manfeste sous deux fomes fondamentales ; l'énege cnétque, assocée au mouvement des patcules et l'énege potentelle, assocée aux nteactons ente patcules. Le schéma suvant lluste l'enchaînement des dfféentes défntons qu condusent des notons fondamentales d'espace, de temps et de masse à la noton d'énege : espace et temps " vtesse# $ " quantté de mouvement " foce " taval " énege masse % À pat de la noton de taval, on ntodut la noton de foce consevatve. Fnalement, l'énege cnétque d'une patcule s'obtent en calculant le taval de la foce ésultante qu s'exece su cette patcule et l'énege potentelle, en calculant le taval d'une foce consevatve qu s'exece su cette patcule : énege cnétque = taval de la foce ésultante énege potentelle = taval d'une foce consevatve S les patcules du système consdéé nteagssent pa le bas de pluseus foces consevatves, à chacune de ces foces coespond une énege potentelle. C'est la somme des éneges cnétque et potentelles qu obét à une lo de consevaton. Cette somme est appelée énege mécanque : énege mécanque = énege cnétque + somme des éneges potentelles Donnons mantenant l'expesson mathématque de ces dfféentes gandeus. Taval d'une foce Sot une foce F agssant su une patcule. En généal, cette foce dépend de la poston de la patcule, cette poston étant epéée pa un vecteu elatvement à un epèe ( O, x, y,z). Nous noteons donc cette foce F ( ). Consdéons deux ponts A et B de l'espace, epéés pa les vecteus A, espectvement B et un chemn C menant de A à B. Le taval de la foce F su le chemn C ente les pont A et B est noté W AB et défn pa : P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 6/2

7 B W AB = # F ( )" d (3) où F ( )" d est le podut scalae ente le vecteu foce F nfntésmal d. Le taval d'une foce est donc une gandeu scalae. A ( ) et le vecteu déplacement Énege cnétque À pat des défntons qu pécèdent, on peut défn et touve l'expesson de l'énege cnétque d'une patcule. On consdèe une patcule de masse m soumse à une foce F supposée ête la foce ésultante. Calculons le taval de cette foce ente deux postons A et B de cette patcule su sa tajectoe, où ces deux postons sont epéées pa les vecteus A, espectvement B : B W AB = " F ( )d dp v B v B = " v = " d( mv ) v A v A v A v A v B = m " v dv = m v # & B # v 2 $ % 2 ' ( = m 2 v & 2 $ % ' ( v A v B v A = 2 mv 2 B ) 2 mv 2 A L'avant denèe égalté c-dessus s'obtent en se appelant que v 2 = v " v = v 2 # v 2. Ans : W AB = 2 mv 2 B " 2 mv 2 A (4) Le taval de la foce ésultante qu s'exece su une patcule ente deux ponts A et B de sa tajectoe est égal à la vaaton de la quantté 2 mv 2 ente A et B. On appelle cette quantté énege cnétque de la patcule et on la note E cn : E cn = 2 mv 2 (5) Le ésultat (4) est appelé théoème de l'énege cnétque et stpule que le taval de la foce ésultante qu s'exece su une patcule ente deux ponts de sa tajectoe est égal à la vaaton de son énege cnétque ente ces deux ponts : W = "E cn (6) L'unté d'un taval et d'une énege cnétque est : [ E cn ] = ML 2 T 2 en kg" m 2 s 2 dans le système ntenatonal d'unté, où kg" m 2 s 2 est appelé Joule, de symbole J. Foce consevatve et énege potentelle d'une patcule On d'une foce F qu'elle est consevatve s son taval ente deux ponts A et B est ndépendant du chemn C le long duquel l est calculé. Le taval d'une foce consevatve ne dépend donc que des ponts A et B ente lesquels l est calculé et l'on peut le note : P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 7/2

8 "U # U B ( ) $U( A ) = $ B & F ( )% d (7) où le sgne négatf dans (7) a été ntodut pa conventon et U( ) est une foncton scalae défne en tout pont de l'espace. Elle est appelée énege potentelle (assocée à la foce consevatve F ) de la patcule su laquelle s'exece cette foce et "U # U( B ) $U( A ) est la vaaton d'énege potentelle de la patcule ente les ponts A et B. Le teme d'énege que l'on attbue à la foncton U( ) est justfé pa le fat que son unté est la même que celle d'une énege cnétque. De la défnton c-dessus, on peut établ une elaton ente la foce consevatve et l'énege potentelle qu lu est assocée : F ( ) = " #U #x A " #U j " #U #y #z k $ " #U # $ "%U (8) où, j et k sont des vecteus de base dans le epèe ( O, x, y,z) et les deux denèes égaltés sont d'autes notatons de la pemèe. " est appelé gadent d'une foncton scalae et nous en donnons quelques pécsons dans l'annexe. Supposons que la patcule que nous avons consdéée c-dessus appatenne à un système solé de patcules et que la foce F qu'elle subt sot la ésultante de celles execées pa les autes patcules du système. La foce F ( ) appaassant dans l'ntégale (7) est alos une foce ntene à ce système. Consdéons mantenant une foce extene au système (.e. execée pa un agent qu ne fat pas pate du système), notée F ext ( ), qu compense F ( ), c'est-à-de ( ) = " F ( ). L'ntégale (7) s'éct alos : F ext ( ) "U( A ) = U B On peut ans expme l'énege potentelle de la patcule au pont B : ( ) = U( A ) + U B B $ ( )# d (9) A F ext B # ( )" d (0) L'équaton (0) pemet d'ntepéte l'énege potentelle de la patcule au pont B comme le taval de la foce extene à exece su la patcule pou la déplace du pont A au pont B (à vtesse constante, ca la ésultante des foces qu s'exece su cette patcule est alos nulle). En fxant la valeu de U au pont A, (0) défnt l'énege potentelle de la patcule en un pont P quelconque, epéé pa le vecteu poston : ( ) = U U A F ext ( A ) + F ext A ( ) qu'à une constante U L'expesson (0) ne détemne U abtaement. Seule la vaaton d'énege potentelle U # ( )" d () ( A ) pès, que nous pouvons chos A ( ) "U ( ) ente les ponts A et P a P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 8/2

9 un sens physque. Pa commoé, on chost souvent pou A un pont noté O de sote que U ( O ) = 0. On obtent alos : U( ) = # F ext ( )" d (2) O Ans, l'énege potentelle d'une patcule à la poston est défne comme le taval de la foce extene à exece su la patcule pou la déplace d'une poston O où son énege potentelle est nulle pa conventon, à la poston. Nous avons défn l'énege potentelle en teme de foce extene afn de ende ce concept ntutf, mas on peut auss l'expme en teme de foce ntene, ce qu a pou avantage de ne fae éféence qu'au système auquel appatent la patcule : ( ) = " U $ F ( )# d = "W OP (3) O En teme de foce ntene, l'énege potentelle d'une patcule à la poston est défne comme l'opposé du taval de la ésultante des foces ntenes execées su la patcule pou la déplace d'une poston O où son énege potentelle est nulle pa conventon, à la poston. On peut monte que toute foce centale est consevatve, ce qu est le cas de la foce gavtatonnelle et de la foce électostatque. Les deux expessons d'une foce consevatve À pat de la défnton d'une foce (2) et de la elaton ente une foce consevatve et l'énege potentelle qu lu est assocée (8), on obtent deux expessons d'une foce consevatve : F = d p = "#U # (4) Ces deux expessons nous seont utles dans les démonstatons qu suvont. Nous nsstons su le fat que ces expessons ésultent de défntons ssues des notons fondamentales que sont l'espace, le temps et la masse. Énege potentelle d'un système de patcules À pat de la défnton (2) de l'énege potentelle d'une patcule, on peut défn l'énege potentelle d'un système de patcules. Consdéons un système solé consttué de n patcules dont les postons espectves sont epéées pa les vecteus, 2,, n. Supposons que ces patcules nteagssent pa le bas de foces consevatves, pa exemple un système de patcules chagées nteagssant pa le bas de la foce électostatque. On défnt l'énege potentelle d'un système de patcules dans une confguaton donnée, pa le taval que dot effectue un agent extéeu pou constue le système à pat d'une confguaton ntale de éféence. Explctons la manèe de "constue" le système. Nous patons de la stuaton où toutes les patcules du système sont nfnment élognées les unes des autes, ce qu epésente la confguaton ntale de éféence. Notons la poston de l'une des patcules et appochons-en (à vtesse constante) une deuxème patcule jusqu'à sa poston fnale 2. Le déplacement de cette patcule equet le taval d'une foce extene P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 9/2

10 pou vance la foce qu'elle subt de la pat de la pemèe patcule. Déplaçons mantenant une tosème patcule jusqu'à sa poston fnale 3. À nouveau, cec equet le taval d'une foce extene pou vance les foce execées pa les deux pemèes patcules stuées en espectvement 2, su cette tosème patcule. On contnue cec jusqu'à la n-ème patcule du système que l'on déplace jusqu'à sa poston fnale n, ce qu equèe le taval d'une foce extene pou vance les foces execées pa les n " autes patcules stuées espectvement en, 2,, n ", su cette n-ème patcule. L'énege potentelle d'un système dont les patcules occupent les postons espectves, 2,, n est donc la somme des tavaux des foces extenes à exece su chaque patcule pou déplace chacune d'elle d'une poston O où son énege potentelle est nulle pa conventon, à sa poston, où =,, n : ( ) = U, 2,..., n # O n F ext ( )" d n $ = $ U( ) (5) En vetu de l'advté des foces, le taval de la foce extene à exece su la -ème patcule pou la déplace jusqu'à sa poston fnale, en pésence des " autes patcules stuées espectvement en, 2,, " est la somme du taval de la foce extene à exece en pésence de la èe patcule seulement et du taval de la foce extene à exece en pésence de la 2 ème patcule seulement, etc. Pa conséquent, la somme des tavaux des foces extenes à exece su les patcules du système pou les déplace jusqu'à leu poston fnale est ndépendante de l'ode dans lequel on effectue ces déplacements. Pusque les tavaux des foces extenes sont auss ndépendants des chemns suvs pou déplace les patcules (ca les foces d'nteacton ente les patcules du système sont supposées consevatves), on en conclut que l'énege potentelle d'un système de patcules est entèement détemnée pa les postons espectves, 2,, n des patcules du système et nous notons cette énege U(, 2,..., n ). L'énege potentelle caactése le système dans son ensemble. Énege mécanque d'un système de patcules À pat de la défnton de l'énege cnétque (5) et de celle de l'énege potentelle d'un système de patcules (5), on défnt l'énege mécanque d'un système de patcules comme la somme des éneges cnétques des patcules adonnée à l'énege potentelle du système : E mec = 2 m 2 " v +U, 2,..., n ( ) (6) Les postulats de la mécanque classque Le temps absolu Losqu'Isaac Newton ( ) pose les bases de la mécanque classque en 685, l pésuppose l'exstence d'un temps unvesel et absolu : "Le temps absolu, va et mathématque, sans elaton à en d'extéeu, coule unfomément." P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 0/2

11 Newton postule en plus, l'exstence d'un espace absolu : "L'espace absolu, sans elaton aux choses extéeues, demeue toujous smlae et mmoble." Cependant, ce postulat n'ntevent pas dans le développement subséquent de sa mécanque. En oute, s l'on compend la noton d'espace absolu comme un éféentel absolu, au epos, que l'on peut dstngue des autes éféentels d'nete, alos ce postulat est en contadcton avec le pncpe de elatvté galléenne. Le pncpe d'nete Le pncpe d'nete fomulé ntalement pa Gallée ( ) stpule que : Tout cops este mmoble ou conseve un mouvement ectlgne et unfome auss longtemps qu'aucune foce extéeue ne vent modfe son état. Un éféentel dans lequel le pncpe d'nete est valable est appelé éféentel d'nete. On monte faclement que s R est un éféentel d'nete, alos tout éféentel R' se déplaçant en mouvement ectlgne et unfome pa appot à R est lu auss un éféentel d'nete. Le pncpe de elatvté galléenne C'est encoe à Gallée que l'on dot la pemèe expesson du pncpe de elatvté. Le pncpe de elatvté galléenne stpule que : Les los de la mécanque sont dentques dans tous les éféentels d'nete. Une aute manèe de fomule ce pncpe est de de que : Tous les éféentels d'nete sont équvalents pou la descpton des phénomènes mécanques. Toutes les expéences confment ce pncpe et plus tad, Ensten ( ) étenda son domane d'applcaton à toutes los physques (exceptée la lo de la gavtaton) pou en fae l'un des postulats de sa théoe de la elatvté estente en 905. En 95, Ensten généalsea ce pncpe à tous les éféentels, y comps les éféentels accéléés, pou en fae l'un des postulats de sa théoe de la elatvté généale. Homogénété, sotope et unfomté de l'espace et du temps Nous montons c que, des tos postulats énoncés c-dessus découlent l'homogénété, l'sotope et l'unfomté de l'espace et du temps. Homogénété et sotope de l'espace Comme mentonné c-dessus, deux éféentels d'nete dfféents sont en mouvement ectlgne unfome l'un pa appot à l'aute. De plus, les oentatons des axes des epèes lés à chaque éféentel peuvent ête dfféentes, pusque ces oentatons ésultent d'un chox. Pa alleus, l'évoluton d'un système de patcules au cous du temps est ége pa les los du mouvement, lesquelles font nteven les postons (les coodonnées) des patcules du système pa le bas de leus nteactons. O, la tansfomaton qu ele les coodonnées des P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton /2

12 patcules elatvement à deux éféentels d'nete dfféents est la combnason d'une tanslaton et d'une otaton. Pou démonte cec, consdéons deux éféentels d'nete R et R' où R' se déplace à la vtesse V pa appot à R. Nous notons ( O, x, y,z) espectvement ( O ", x ", y ", z ") les epèes lés à ces deux éféentels. S l'oentaton des deux epèes est la même, la tansfomaton de Gallée pemet d'expme les coodonnées = ( x,y,z) d'une patcule dans R à l'nstant t en foncton de ses coodonnées " = x ", y ", z " ( ) dans R' au même nstant : # = " + V t $ % t = t " où, à l'nstant t = t' = 0, les ognes O et O' des deux epèes sont confondues. La tansfomaton de Gallée ésulte de consdéatons géométques élémentaes, comme l'ndque la fgue c-dessous (qu lluste une stuaton patculèe où V est paallèle à l'axe Ox) et du postulat stpulant l'exstence d'un temps absolu, expmé pa la deuxème équaton c-dessus. y y' V O x O' " P x' z z' La pemèe équaton c-dessus monte que pou toute patcule du système, le vecteu est obtenu pa une tanslaton du vecteu ", en adonnant à ce dene le vecteu V t qu est popotonnel au temps t. Consdéons mantenant deux epèes lés au même éféentel, de mêmes ognes et d'oentatons dfféentes, c'est-à-de que l'oentaton du epèe ( O ", x ", y ", z ") est obtenue pa une otaton d'un angle " du epèe ( O,x, y,z) pa appot à un axe " donné. La fgue cdessous lluste cette stuaton dans le cas patcule de epèes en deux dmensons pou lesquels la otaton d'un angle " est effectuée autou d'un axe pependculae aux axes des epèes et passant pa leu ogne commune. y y' " O O' #" #" + $ " x' x P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 2/2

13 Cela sgnfe que les coodonnées d'une patcule expmée pa appot au epèe ( O, x, y,z) en foncton de ses coodonnées " expmée pa appot au epèe ( O ", x ", y ", z "), est donnée pa une otaton d'un angle " des coodonnées de " pa appot à l'axe " : = " # où " est un opéateu agssant su l'espace R 3, coespondant à cette otaton. S mantenant, ce epèe ( O ", x ", y ", z ") est lé à un éféentel d'nete R' qu se déplace à la vtesse V pa appot au éféentel R auquel est lé le epèe ( O,x, y,z), la tansfomaton qu ele et " est donnée pa : = V t + " # qu est ben la combnason d'une tanslaton et d'une otaton. Pa conséquent, de que les los de la mécanque sont dentques dans tous les éféentels d'nete event à de que ces los sont nvaantes pa appot à une tanslaton et pa appot à une otaton (des coodonnées des patcules) du système. C'est-à-de que du pont de vue mécanque, l'espace a les mêmes popétés en chacun de ses ponts et dans toutes les dectons ; on qu'l est homogène et sotope. Unfomté du temps Le pncpe d'nete mentonné plus haut sgnfe que, s une patcule solée est mmoble ou en mouvement ectlgne et unfome à un nstant t pa appot à un éféentel d'nete, elle le sea encoe à tout aute nstant t 2 > t. Une patcule en mouvement ectlgne et unfome se déplace à vtesse v constante, donnée pa : v = " "t D'apès le pncpe d'nete, cette vtesse constante est dentque à tout nstant, c'est-à-de que la duée "t nécessae à la patcule pou effectue un déplacement " à un nstant t, est dentque à celle nécessae pou effectue le même déplacement " à un aute nstant t 2 > t. Cela sgnfe que l'écoulement du temps est le même à tout nstant ; on que le temps s'écoule unfomément ou qu'l est unfome. Les démonstatons qu pécèdent peuvent se ésume pa le dagamme suvant : Temps absolu" # % homogénété et sotope de l'espace Pncpe de elatvté galléenne$ Pncpe d'nete % unfomté du temps Statut et popétés de l'énege potentelle Nous pécsons dans cette pate le ôle que joue l'énege potentelle dans les démonstatons qu suvont. Nous montons ensute que les popétés de syméte de l'espace et du temps mposent cetanes popétés à la foncton énege potentelle ; elle ne peut pas dépende P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 3/2

14 explctement du temps d'une pat et elle ne dépend que des dstances elatves ente patcules d'aute pat. Statut de l'énege potentelle L'évoluton d'un système dépend des nteactons des patcules qu le composent et est ége pa les los du mouvement. Les nteactons des patcules d'un système étant déctes pa l'énege potentelle de ce dene, les los du mouvement dovent fae nteven cette foncton. En vetu du pncpe de elatvté galléenne, ces los dovent ête dentques dans tous les éféentels d'nete et l dot en ête de même pou l'énege potentelle. Ans, l'énege potentelle est la gandeu qu caactése un système de patcules et détemne complètement son évoluton dans tout éféentel d'nete. C'est donc cette gandeu que nous allons consdée dans la sute et à laquelle nous mposeons les popétés d'nvaance qu découlent de l'homogénété, de l'sotope et de l'unfomté de l'espace et du temps. L'énege potentelle ne dépend pas explctement du temps Du fat de l'unfomté du temps, la foncton énege potentelle d'un système solé de patcules ne peut pas dépende explctement du temps. Elle est donc de la fome : ( ) U, 2,..., n comme nous l'avons écte dans l'expesson données plus haut ; elle ne dépend donc que des postons espectves des patcules du système au même nstant. Cela mplque qu'un changement de poston de l'une des patcules modfe nstantanément l'énege potentelle du système ; on peut de que l'nteacton se popage nstantanément. Cette nstantanété des nteactons est névtable en mécanque classque (non elatvste), pusqu'elle découle dectement des postulats fondamentaux de cette denèe, à savo l'exstence d'un temps absolu et le pncpe de elatvté galléenne. En effet, s l'nteacton se popageat non pas nstantanément mas à vtesse fne, cette denèe seat dfféente dans des éféentels dfféents (en mouvement elatf ectlgne et unfome) pusque l'exstence d'un temps absolu mplque que la fomule d'adon des vtesses de la elatvté galléenne est applcable à tous les phénomènes. Mas alos, les los du mouvement des patcules qu nteagssent seaent dfféentes dans des éféentels d'nete dfféents, ce qu contedat le pncpe de elatvté galléenne. En concluson, l'unfomté du temps mpose à la foncton énege potentelle d'un système solé de patcules de ne pas dépende explctement du temps, mas unquement des postons espectves des patcules du système au même nstant. Cela mplque l'nstantanété des nteactons, cette nstantanété étant mposée pa le postulat d'un temps absolu et le pncpe de elatvté galléenne. On peut ésume cec pa le dagamme suvant : Pncpe d'nete " unfomté du temps " U, 2,..., n ( ) " nstantanété des nteactons # $ Temps absolu % & Pncpe de elatvté L'énege potentelle ne dépend que des dstances elatves ente patcules Comme mentonné c-dessus, l'énege potentelle U(, 2,..., n ) d'un système solé de patcules ne dépend que des postons des patcules. Mas, du fat de l'homogénété de l'espace, toute tanslaton du système dans l'espace dot lasse nvaante la foncton énege potentelle. Pa conséquent, cette foncton ne dot dépende que des postons elatves des patcules ; elle est donc de la fome : P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 4/2

15 ( ) U = U " j où " j est un vecteu (la dfféence de deux vecteus) expmant la poston elatve de la - ème et de la j-ème patcule. En effet, une tanslaton dentque de toutes les patcules du système ne modfe pas leus postons elatves. De plus, du fat de l'sotope de l'espace, toute otaton du système dans l'espace dot lasse nvaante la foncton énege potentelle. Pa conséquent, cette foncton ne dot dépende que des dstances elatves ente patcules ; elle est donc de la fome : ( ) U = U " j où " j est un scalae (la nome d'un vecteu) expmant la dstance elatve ente la -ème et la j-ème patcule. En effet, une otaton dentque de toutes les patcules du système ne modfe pas leus dstances elatves. Unfomté du temps et consevaton de l'énege Nous montons c que la lo de consevaton de l'énege mécanque découle de l'unfomté du temps. Comme mentonné plus haut, l'unfomté du temps mpose à la foncton énege potentelle d'un système solé de patcules de ne pas dépende explctement du temps. Elle ne dépend donc qu'mplctement du temps, pa le bas des postons ( t) des patcules du système au même nstant. Ans, une vaaton nfntésmale du de la foncton énege potentelle qu ésulte d'une tanslaton nfntésmale du système dans le temps, ne dot fae nteven que cette dépendance mplcte du temps. Développons les calculs expmant ce fat : du = # "U " d (7) En utlsant la elaton (4) et le fat que d = d où p = m v et d où d v v = d " % 2 $ v # 2 ' : & n'est aute que la vtesse v : du = " #, on a : dp du = "# d (8) d m v ( ) v = " # dv m v (9) d # & 2 du = ") m % v $ 2 ( = " d # ' 2 m & 2 )% v $ ( (20) ' P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 5/2

16 d'où : du = " d # 2 m & 2 )% v $ ( (2) ' On obtent fnalement : d " " 2 m % % 2 $ ( $ v # ' +U' = 0 (22) # & & " Ans, la gandeu 2 m % 2 ( $ v # ' +U este constante au cous du temps. Il s'agt de l'énege & mécanque du système. Donc, l'énege mécanque du système est consevée. Homogénété de l'espace et consevaton de la quantté de mouvement Nous montons c que la lo de consevaton de la quantté de mouvement découle de l'homogénété de l'espace. Du fat de cette homogénété, toute tanslaton dans l'espace d'un système solé de patcules dot lasse nvaante la foncton énege potentelle de ce système. On appelle tanslaton dans l'espace d'un système de patcules, une tansfomaton qu, à la poston de chaque patcule à un nstant t, fat coesponde la poston + a au même nstant ; toutes les patcules du système sont déplacées dans l'espace d'un segment a de même oentaton et de même longueu. Ans, une vaaton nfntésmale du de l'énege potentelle qu ésulte d'une tanslaton nfntésmale da du système dans l'espace, dot ête nulle. Développons les calculs expmant ce fat : du = En utlsant la elaton (4) et le fat que d = da, on a : d'où : # "U " d = 0 (23) dp du = "# da = "da d # p = 0 (24) d " p = 0 (25) Ans, la gandeu " p este constante au cous du temps. Il s'agt de la somme des quanttés de mouvement des patcules, que l'on appelle quantté de mouvement du système, notée P. Donc, la quantté de mouvement du système est consevée. P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 6/2

17 Isotope de l'espace et consevaton du moment cnétque Nous montons c que la lo de consevaton du moment cnétque découle de l'sotope de l'espace. Du fat de cette sotope, toute otaton dans l'espace d'un système solé de patcules dot lasse nvaante la foncton énege potentelle de ce système. Une otaton est caactésée pa un axe (une dote) et un angle ". À toute otaton, on peut assoce un vecteu " dont la nome est égale à l'angle de otaton ", dont la decton coïncde avec l'axe de otaton et dont le sens est donné pa la ègle de la man dote (ou du te-bouchon). " " On appelle otaton dans l'espace d'un système de patcules, une tansfomaton qu, à la poston de chaque patcule à un nstant t, fat coesponde la poston obtenue pa une otaton de cette patcule au même nstant ; toutes les patcules du système subssent une otaton d'un même angle pa appot au même axe. Ans, une vaaton nfntésmale du de l'énege potentelle qu ésulte d'une otaton nfntésmale d " du système dans l'espace, dot ête nulle. Développons les calculs expmant ce fat : du = # "U " d = 0 (26) Sans pete de généalté, nous plaçons l'ogne du epèe su l'axe de otaton, ce qu pemet d'expme la vaaton nfntésmale d de la poston de chaque patcule due à une otaton d " : d = d " # (27) d " d" d + d " En effet, on vot su la fgue c-dessus que : O P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 7/2

18 d = sn"d# On econnaît la nome du podut vectoel de et d " au membe de dote de l'égalté cdessus. De plus, le vecteu d est pependculae au plan détemné pa les vecteus et d ". L'obsevaton de la fgue c-dessus pemet de conclue l'égalté (27). En utlsant les elatons (4) et (27), (26) s'éct : du = # " d p d $ % ( ) = 0 (28) On utlse c la popété suvante du podut mxte de tos vecteus A, B, et C : A " ce qu pemet d'éce (28) sous la fome : B ( # C ) = $ B " A # C ( ) (29) du = d $ " d p # ' * & % ) = +d " * ( # d p = 0 (30) où l'on a utlsé l'antsyméte du podut vectoel dans l'avant denèe égalté c-dessus. Nous démontons la popété (29) dans l'annexe 2. On utlse c la ègle de dévaton d'un podut vectoel : d ( " p ) = d " p + " d p p = v " p + " d p = " d où nous avons posé v " p = 0 c-dessus, pusque v et p sont colnéaes. Ans : d ( " p ) = " d p (3) (32) En substtuant (32) dans (30), on obtent : d'où : Ans, la gandeu du = "d d #% ( $ p ) = " d # d % $ p = 0 (33) d # " p = 0 (34) # " p este constante au cous du temps. Il s'agt de la somme des moments cnétques des patcules, où le moment cnétque d'une patcule est défn pa l = " p. Donc, le moment cnétque du système, défn pa L = # " p est consevé. P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 8/2

19 Concluson Nous avons démonté que les postulats de la mécanque classque non elatvste mplquent l'homogénété et l'sotope de l'espace ans que l'unfomté du temps. De ces popétés de syméte de l'espace et du temps découlent dectement les los de consevaton de la quantté de mouvement, du moment cnétque et de l'énege mécanque. Ces démonstatons peuvent se ésume pa le dagamme suvant : Temps absolu" # % homogénété et sotope de l'espace % consevaton de la quantté de mouvement et du moment cnétque Pncpe de elatvté galléenne$ Pncpe d'nete % unfomté du temps % consevaton de l'énege mécanque Rappelons que ces tos los de consevaton sont équvalentes à toutes les los de la mécanque classque. Pa conséquent, l'évoluton de tout système mécanque est complètement dctée pa les popétés de syméte tès ntutves de l'espace et du temps. Cec est fascnant! Réféences ISAAC NEWTON Phlosophae Natuals Pncpa Mathematca (685). L. LANDAU et E. LIFCHITZ mécanque, tadut du usse pa Claude Lgny, Éons en langues étangèes (960). KITTEL, KNIGHT, RUDERMAN Bekeley : cous de physque, volume mécanque, tadut pa Pee Lallemand, Amand Coln (972). RICHARD FEYNMAN Le cous de physque de Feynman Tatant sutout de la mécanque, du ayonnement et de la chaleu, InteEons (979). DAVID HALLIDAY et ROBERT RESNICK mécanque physque, tadut et adapté pa Régnald Sauvageau, Réjean Tanguay, Sege Gagnon, Éons du Renouveau Pédagogque Inc. (979). HEUGENE HECHT Physque, tadut pa T. Becheawy, De Boeck Unvesté (2000). JEAN HLADIK et MICHEL CHRYSOS Intoducton à la elatvté estente, Dunod (2006). GILLES COHEN-TANNOUDJI Remecements Je emece M. Davd Sénéchal, Pofesseu et Decteu du dépatement de physque à l'unvesté de Shebooke, Canada, pou sa lectue attentve de cet atcle et les emaques dont l m'a fat pat. P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 9/2

20 Annexe Le gadent d'une foncton scalae Consdéons une foncton scalae f ( x, y,z) défne dans l'espace R 3 et, j et k des vecteus de base dans un epèe ( O, x, y,z). On défnt le gadent de cette foncton, que l'on note "f ou encoe "f ", comme le vecteu fomé pa les dévées patelles de cette foncton : "f ( x, y,z) = #f + #f j + #f k #x #y #z ( ) au vosnage d'un pont "f est une vecteu qu expme la vaaton de la foncton f x, y,z de coodonnées ( x, y,z). La decton du gadent "f est celle dans laquelle la foncton f augmente le plus apdement. On peut monte que la dfféentelle d f de la foncton f s'expme comme sut en foncton du gadent : que l'on peut auss éce : d f ( ) = "f # d d f x, y,z ( ) = "f "x d x + "f "y d y + "f "z dz P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 20/2

21 Annexe 2 Popétés du podut mxte Popété Le scalae : A ( " B )# C = V est le volume d'un paalléléppède dont A " B est l'ae de la suface de base et C, l'aête latéale. En étudant la fgue c-conte, on vot que : A " B ( # C ) = ( A # B )" C On peut donc ntechange les poduts scalae et vectoel sans modfe la valeu du podut mxte de tos vecteus. A " B B A C Popété 2 Montons mantenant la elaton (29). Nous patons de la popété c-dessus : A " En utlsant à nouveau la popété : A " B ( # C ) = ( A # B )" C = C " B ( # C ) = C " A # B ( ) A ( # B ) = ( C # A )" B En utlsant la popété d'antsyméte du podut vectoel, on obtent : A " B ( # C ) = ( C # A )" B = $ ( A # C )" B = $ B " A # C ( ) Ans : A " B ( # C ) = $ B " A # C ( ) ce qu achève note démonstaton de la elaton (29). P. Rebetez Symétes de l'espace et du temps et los de consevaton 2/2