TD1. Dénombrements, opérations sur les ensembles.

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1 Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée TD1. Déombremets, opératios sur les esembles. 1. Combie de faços y a-t-il de classer 10 persoes à u cocours sas ex-æquo? Et combie de faços s il peut y avoir des ex-æquo à la première place? Que vaut le quotiet de ces deux ombres? Solutio de l exercice 1. Il est utile de se souveir de la formule des arragemets : la solutio est A !. Ue autre maière de répodre cosiste à remarquer qu il y a 10 cadidats possibles pour la première place, 9 pour la secode, etc, c est-à-dire ! cofiguratios différetes. Si l o tolère {2,..., 10} cadidats ex-æquo à la première place, il y a ( 10 (10! cofiguratios possibles. Le quotiet de ces deux ombres vaut : ( 10 10!!, (10! qui représete le ombre de faços d ordoer les cadidats arrivés ex-æquo à la première place. 2. U TGV est costitué de huit wagos idetiques ecadrés par deux locomotives idetiques et disposées e ses cotraire, selo le schéma ci-dessous. O supposera que chaque wago peut rouler das les deux ses. O dispose das u hagar de huit wagos et deux locomotives. De combie de maières peut-o costituer u TGV et y placer u coducteur? Et si o dispose de douze wagos et trois locomotives? Solutio de l exercice 2. Il y a deux possibilités pour la première locomotive, 8 pour le premier wago, 7 pour le secod, etc, et ue uique possibilité pour la derière locomotive. Il y a doc 2 8! TGV possibles. Avec trois locomotives et douze wagos, il y a A 2 3A 8 12 trais possibles (o arrage 2 locomotives parmi 3 et 8 wagos parmi Avec u jeu de 32 cartes, combie peut-o former de paires? De brelas? De full (ciq cartes coteat ue paire et u brela? 1

2 E tirat trois cartes successivemet avec remise, de combie de faços peut-o tirer trois cartes de la même hauteur? E tirat ciq cartes successivemet avec remise, de combie de faços peut-o tirer u full? Solutio de l exercice 3. Das u jeu de 32 cartes, il y a 8 hauteurs et 4 couleurs. Pour former ue paire, il y a 8 maières de choisir la hauteur, et ( maières de choisir la couleur des deux cartes de même hauteur. O peut doc former paires. De même o peut former 8 ( brelas. Pour former u full, il y a 8 maières de choisir la hauteur de la paire, puis 7 de choisir celle du brela, ( 4 2 de choisir les couleurs de la paire et ( 4 3 celles du brela, soit possibilités. Pour les tirages successifs (cette fois l ordre compte de 3 cartes avec remise, pour former u brela, o a 32 possibilités pour la première carte, puis 4 pour chacue des suivates, soit possibilités. O peut aussi le voir aisi : il y a 8 maières de choisir la hauteur, puis 4 de choisir la couleur de chacue des trois cartes (vu que le tirage est avec remise et ordoé, soit maières de former u brela. Le tirage d u full (ordoé avec remise est la doée de : la hauteur du brela (8 possibilités, la hauteur de la paire (7 possibilités restates, les couleurs (4 3 possibilités pour le brela ordoé et 4 2 pour la paire ordoée, et efi de commet sot imbriquées les cartes du brela et de la paire, autremet dit des places occupées par les cartes de la paire parmi les 5, il y a doc ( choix possibles. Fialemet, o obtiet tirages d u full ordoé avec remise. 4. Jusqu e 2008, u tirage du loto était u esemble de six ombres etiers disticts compris etre 1 et 49. Combie y avait-il de tirages possibles? Pour tout etier compris etre 0 et 6, détermier le ombre de ces tirages ayat exactemet uméros commus avec u tirage doé. Combie y avait-il de tirages e coteat pas deux ombres cosécutifs? Depuis 2008, u tirage est ue paire formée d u esemble de ciq etiers disticts compris etre 1 et 49 et d u etier compris etre 1 et 10. Y a-t-il plus ou mois de tirages possibles qu avat 2008? Combie y a-t-il de tirages formés de six ombres disticts? Solutio de l exercice 4. Avat 2008, il y avait ( tirages possibles. État doé u tirage, choisir u autre tirage ayat exactemet uméros e commu avec le premier reviet à choisir les uméros du premier tirage à coserver (il y a ( 6 maières de le faire, puis les 6 autres uméros, parmi les 43 uméros restats (les 49 uméros de la grille auxquels o retire les 6 uméros coteus das le tirage iitial, soit ( ( 43 6 choix possibles ; soit 6 ( 43 6 tirages ayat exactemet uméros e commu avec u tirage doé. Pour déombrer les tirages sas uméros cosécutifs, remarquos qu u tirage est doé par la positio des 6 uméros tirés parmi 49 uméros possibles et peut doc être écrit comme u septuplé ( 0,..., 6 où 0 représete le ombre de uméros o choisis avat 2

3 la boule uméro 1, i le ombre de uméros o choisis etre la boule uméro i et la boule i + 1 et 6 le ombre de uméros o choisis après la boule uméro 6. Le ombre de boules o-choisies état costat égal à 43, il y a doc ue bijectio etre les tirages de 6 uméros parmi 49 et les septuplés vérifiat { i {0,... 6}, i 0 O cherche maiteat à déombrer les tirages sas uméros cosécutifs, vérifiat les coditios 1 1, E elevat 1 à chacu des ombres etre 1 et 5, cela reviet à déombrer le ombre de septuplés ( 0,..., 6 vérifiat les coditios : { i {0,... 6}, i 0 Et de la même maière, il y a ue correspodace bijective etre ces septuplés et les tirages ( de 6 uméros parmi 44. Aisi le ombre de tirages sas uméros cosécutifs est Actuellemet, il y e a ( ( > ( , il y a doc davatage de tirages possibles. Pour éviter d avoir 2 ombres idetiques, il faut détermier e premier l etier etre 1 et 10 puis le retirer de la liste des 49 uméros. O obtiet doc ( tels tirages. 5. De combie de faços peut-o mettre boules umérotées das p ures? De combie de faços peut-o mettre boules idetiques das p ures? Solutio de l exercice 5. Il y a p choix idépedats pour chaque boule, soit p maières de placer boules umérotées das p ures. Si les boules sot idetiques, cela reviet à cosidérer + p 1 positios aligées, avec deux parois aux deux extrémités. Sur les + p 1 positios, o place boules et p 1 parois, dessiat aisi p ures dot la somme des boules est égale à. Voici u exemple lorsque 5, p 3 : il y a 2 boules das la première ure, 0 das la deuxième, 3 das la troisième : O choisit doc la positios des boules parmi les + p 1 positios possibles, les p 1 parois état alors placées das les positios restates. De maière aalogue, o pourrait aussi placer les p 1 parois. Il y a doc ( ( +p 1 p 1 +p 1 maières de le faire. O peut aussi voir que ce problème reviet à décomposer comme somme de p etiers aturels, où l etier aturel i représete le ombre de boules das la i-ième ure. 3

4 6. O lace dés idistiguables. Combie y a-t-il de lacers disticts possibles? De combie de faços peut-o obteir chiffres disticts? Repredre ces questios e supposat les dés peits de couleurs distictes. Solutio de l exercice 6. Lorsque les dés sot idistiguables, u lacer équivaut à placer boules idistiguables das 6 ures, où le ombre de boules das la i-ième ure représete le ombre de répétitios de la valeur i, i {1,..., 6}. D après l exercice précédet, o sait qu il y a ( +5 possibilités. Si o veut que les valeurs soiet différetes, il faut que 6. O a alors autat de possibilités que de choix de ces chiffres parmi 6, soit ( 6. Supposos maiteat les dés de couleurs différetes. Il y a 6 possibilités pour chaque dé, soit 6 tirages possibles. Si o veut que les valeurs soiet différetes, il faut que 6 et o a alors 6 possibilités pour le premier dé, 5 pour le secod... et pour le derier, soit A 6 possibilités. 7. Ue ure cotiet N boules, chacue peite avec ue couleur choisie parmi p. Pour chaque i {1,..., p} o ote N i le ombre de boules de couleur i. Aisi, N N N p. O se doe u etier et des etiers 1,..., p tels que p. De combie de faços peut-o tirer sas remise boules de cette ure de telle sorte qu o ait i boules de couleur i pour chaque i {1,..., p}? Qu e est-il si l o tire maiteat avec remise? Remarque : u tirage est ici u tirage ordoé Solutio de l exercice 7. Rappelos d abord la défiitio du coefficiet multiomial, qui est ue gééralisatio du coefficiet biomial. Le ombre de faços de répartir objets das p familles de sorte que la i-ième famille cotiee i élémets est égale à :! 1!... p!. Ce ombre se ote ( 1... p et s appelle coefficiet multiomial. C est aussi le coefficiet de x x p p das le développemet de (x 1 + +x p, ou ecore le ombre d aagrammes avec p lettres distictes coteat exactemet i fois la i ème lettre, pour i 1,..., p. Cosidéros le tirage sas remise. Pour chaque i 1,..., p, il y A i N i maières de choisir les i boules de couleur i, ordoées. Il faut esuite choisir la positio des couleurs sur les positios, autremet dit le ombre d aagrammes (formés de couleurs au lieu de lettres avec p couleurs coteat exactemet i fois la i ème couleur, soit ( 1... p possibilités. Il y doc A 1 N 1... A p N p ( 1... p 4 ( N ( Np p!

5 faços de tirer sas remise les boules de maière à avoir i boules de couleur i pour chaque i. La deuxième égalité se compred directemet e commeçat par u tirage o-ordoé et teat compte esuite de l ordre. Cosidéros le tirage avec remise. Pour chaque i 1,..., p, il y N i i maières de choisir les i boules de couleur i, ordoées. Le choix de la positio des couleurs est le même que das le tirage sas remise. Aisi, le ombre de faços de tirer avec remise les boules de maière à avoir i boules de couleur i pour chaque i est : ( N N p p 1... p 8. Soit E u esemble. Pour toute partie A de E, o défiit la foctio idicatrice de A et o ote 1 A la foctio 1 A : E {0, 1} défiie par { 1 si x A x E, 1 A (x 0 sio. Motrer que l applicatio de P(E das {0, 1} E qui à ue partie associe sa foctio idicatrice est ue bijectio. E déduire que P(E est fii si E est fii et calculer so cardial. Solutio de l exercice 8. Si f est ue foctio idicatrice (autremet dit ue foctio E {0, 1}, o peut lui associer la pré-image A de {1} par f. O a alors, pour tout x E, x A f(x 1. Autremet dit f est la foctio idicatrice de A. O peut aussi partir d u esemble A, cosidérer sa foctio idicatrice f, puis la préimage par celle-ci de {1}, dot o vérifie facilemet (grâce à la même équivalece qu il s agit de A. L exercice 1 permet ce coclure que l applicatio de P(E das {0, 1} E qui à ue partie associe sa foctio idicatrice est ue bijectio, et que sa réciproque est l applicatio qui à ue idicatrice associe la pré-image de {1}. E particulier si E est fii, o a #P(E #({0, 1} E 2 #E. 9. Soit E u esemble. Soiet A et B des parties de E. Exprimer 1 A c e foctio de 1 A. Exprimer 1 A B e foctio de 1 A et 1 B. E écrivat A B e foctio de A c et B c, exprimer 1 A B e foctio de 1 A et 1 B. O observera que si A est fiie, A x E 1 A(x. Solutio de l exercice 9. O ote 1 : 1 E la foctio costate égale à 1 sur E (souvet idetifiée à 1. 5

6 O vérifie facilemet que 1 A c 1 1 A et 1 A B 1 A 1 B. Comme A B (A c B c c, les formules précédetes doet : 1 A B 1 ((1 1 A (1 1 B 1 A + 1 B 1 A 1 B. 10. Soit E u esemble. Soiet A 1,..., A des parties de E. Motrer que A 1... A ( 1 1 A i1... A i. 1 1 i 1 <...<i C est la formule d iclusio-exclusio, aussi coue sous le om de formule du crible de Poicaré. E appliquat cette formule à u esemble et à des parties bie choisies, établir ue formule pour le ombre de surjectios de {1,..., p} das {1,..., } pour tous et p etiers. Solutio de l exercice 10. Comme das l exercice précédet, o obtiet D où 1 1 A1 A 1 A c A c (1 1 A1 (1 1 A2... (1 1 A ( 1 Ai 1 A1 A I {1,2,...,} i I ( ( 1 1 ( I {1,2,...,},#I 1 i I A i 1 i 1 <i 2 < <i 1 i 1 <i 2 < <i 1 Ai1 A i2 A i. 1 Ai1 A i2 A i. E sommat sur tous les élémets x E la valeur e x du membre de gauche, o obtiet #(A 1 A 2 A, et e faisat la même chose pour le membre de droite o obtiet l expressio voulue. Remarquos d abord que si p <, le ombre de surjectios de {1,..., p} das {1,..., } est égal à 0. Supposos doc p. Soit E l esemble des applicatios de {1,..., p} das {1,..., }. Pour tout i 1,...,, o cosidère le sous-esemble A i de E formé des applicatios de {1,..., p} das {1,..., } 6

7 qui e preet pas la valeur i. Alors, (A 1 A c A c 1 A c {f E : i 1,...,, x i {1,..., p} t.q. f(x i i}. Aisi, (A 1 A c est l esemble des surjectios de {1,..., p} das {1,..., }. D autre part, pour tout 1 i 1 < i 2 < < i, A i1 A i {f E : f e pred pas les valeurs {i 1,..., i }} {f E : f : {1,..., p} {1,..., } \ {i 1,..., i }}. Doc le cardial de A i1 A i est ( p. D après la formule d iclusio-exclusio, o obtiet : (A 1 A c ( 1 A 1 A ( 1 1 i 1 <i 2 < <i 1 i 1 <i 2 < <i ( ( 1 ( p ( p ( ( 1 p. 11. Soiet E u esemble fii de cardial p et F u esemble fii de cardial. a Rappeler le cardial : du ombre d applicatios de E das F, du ombre d ijectios de E das F. Combie y-a-t-il de bijectios de E das F? b Soit E u esemble fii de cardial. Détermier le ombre d applicatios bijectives f : E E telles que pour tout x E o ait f(x x. Il s agit de détermier le ombre de déragemets (bijectios sas poit fixe d u esemble de cardial. Quelle est la limite, lorsque ted vers l ifii, de la proportio de bijectios de E das E qui ot cette propriété? Solutio de l exercice 11. a Le ombre d applicatios de E das F est p. Si p >, le ombre d ijectios de E das F est ul, si p, il est égal à A p. Si p, le ombre de bijectios de E das F est ul, sio il est égal à!. b O peut supposer sas perte de gééralité que E {1,..., }. O procède de maière aalogue à l exercice précédet. O pred comme esemble de départ E l esemble des bijectios de E das E. Pour tout i 1,...,, o cosidère le sous-esemble A i de E formé des bijectios de E das E qui fixet i. Alors, (A 1 A c A c 1 A c {f E : i 1,...,, f(i i}. 7

8 Aisi, (A 1 A c est l esemble des bijectios sas poit fixe de E. D autre part, pour tout 1 i 1 < i 2 < < i, A i1 A i {f E : f(i 1 i 1,..., f(i i }. Ces applicatios qui ot (au mois poits fixes s idetifiet aturellemet à des applicatios bijectives de {1,..., } \ {i 1,..., i } das lui même. Il y e a doc (!. D après la formule d iclusio-exclusio, o obtiet : (A 1 A c ( 1 ( 1 1 i 1 <i 2 < <i 1 i 1 <i 2 < <i A 1 A (! ( ( 1 (!! ( 1.! Lorsqu o divise par! pour obteir la proportio de bijectios de E qui ot pas de poit fixe, o recoaît le développemet à l ordre de exp(x pour x 1, qui coverge doc vers 1/e lorsque. 8