par Robert Rolland n=1

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1 EXEMPLE DE LÉOPOLD FEJÉR par Robert Rollad Résumé. Paul Du Bois-Reymod a doé e 873 u exemple de foctio cotiue périodique dot la série de Fourier diverge au poit. L exemple suivat doé par Léopold Fejér das [] est très simple. Il est basé sur la sommatio par blocs d ue série de Fourier bie choisie.. Prélimiaires.. But de ce paragraphe prélimiaire. Le but de ce paragraphe est de rappeler les propriétés de la série de Fourier : () = si(x), qui costitue u exemple fodametal, otammet pour l étude de la covergece poctuelle des séries de Fourier. Nous fixeros aussi das ce paragraphe les otatios géérales utilisées. Les démostratios des résultats gééraux sur les séries de Fourier se trouvet das [2]..2. Notatios. Les otatios utilisées sot celles de [2]. E particulier, si f est ue foctio périodique de période 2π qui est das L ([, 2π]), o pose pour tout N : (2) a (f) = π f(t) cos(t)dt,

2 2 R. ROLLAND (3) b (f) = π f(t) si(t)dt. Défiitio.. Les coefficiets a (f) et b (f) sot les coefficiets de Fourier trigoométriques de f. À partir de ces coefficiets de Fourier o défiit la série de Fourier de f par : Nous oteros : S[f] = a (f) 2 + S N (f)(t) = a (f) 2 = + (a (f) cos(t) + b (f) si(t)). N (a (f) cos(t) + b (f) si(t)) = la somme partielle de rag N de la série de Fourier de f..3. U exemple fodametal. Les résultats cocerat la série de Fourier () sot éocés das le théorème suivat : Théorème.2. Soit S la série de Fourier + si(x) =. Alors cette série vérifie : () S est la série de Fourier S[φ] de la foctio φ périodique de période 2π qui vaut : φ(x) = π x 2 sur l itervalle semi-ouvert [, 2π[ et prologée par périodicité sur tout R; (2) S coverge vers φ(x) pour tout x 2kπ et vers pour tout x = 2kπ; (3) S coverge uiformémet vers φ sur tout itervalle fermé de R qui e cotiet aucu poit de la forme 2kπ; (4) les sommes partielles S N (φ)(x) de la série de Fourier S = S[φ] sot uiformémet borées, c est-à-dire qu il existe ue costate C telle que N, x, o ait : S N (φ)(x) C. La démostratio de ce théorème se trouve das [2].

3 EXEMPLE DE LÉOPOLD FEJÉR 3 2. Ue famille pathologique de polyômes trigoométriques Soiet et N deux etiers tels que : < < N. Défiissos le polyôme trigoométrique : Q(x, N, ) = 2 si(nx) s= si(sx). s Le théorème suivat est ue coséquece directe du théorème.2 : Théorème 2.. La famille des polyômes Q(x, N, ) est uiformémet borée, c est-à-dire qu il existe ue costate C > telle que : N,, x, Q(x, N, ) C. Démostratio. E majorat si(nx) par, o obtiet : Q(x, N, ) 2 s= si(sx) s Le théorème.2 affirme que la somme iterveat das le secod membre de l iégalité précédete est uiformémet borée, ce qui permet de coclure.. E utilisat la formule trigoométrique : 2 si(nx) si(sx) = cos ((N s) x) cos ((N + s) x), o obtiet :

4 4 R. ROLLAND Q(x, N, ) = cos ((N ) x) cos ((N + ) x) cos ((N ) x) cos ((N + ) x) cos ((N + ) x) cos ((N + ) x). Si o e cosidère que la première partie du polyôme trigoométrique Q(x, N, ), qu o otera Q (x, N, ) : Q (x, N, ) = o voit que : cos ((N ) x) cos ((N + ) x) cos ((N ) x) Q (, N, ) = s= s > l(). Ce polyôme cotiet doc e germe u comportemet pathologique apte à ous aider à costruire des mauvaises séries de Fourier. 3. Exemple de Fejér Soiet (N k ) k et ( k ) k deux suites d etiers telles que : () < k < N k (2) N k + k < N k+ k+ Nous oteros I k l itervalle d etiers : I k = {N k k,, N k + k }. Les itervalles I k sot deux à deux disjoits, ous oteros : I = + k= I k. Par ailleurs, soit (α k ) k ue suite telle que : () k, α k > (2) + k= α k < +. Cosidéros alors la série : (4) k= α k Q(x, N k, k ). Propositio 3.. Cette série coverge uiformémet vers ue foctio cotiue f.

5 EXEMPLE DE LÉOPOLD FEJÉR 5 Démostratio. La covergece uiforme découle immédiatemet du fait que les Q(x, N k, k ) sot uiformémet borés et que la série de terme gééral positif α k est covergete. Comme les Q(x, N k, k ) sot des polyômes trogoométriques, doc des foctios cotiues, et que la covergece de la série est uiforme, la somme f est cotiue. Propositio 3.2. La série de Fourier de f s exprime sous la forme : o : S[f] = r= a r cos(rt) si s / I α a r = k s si r = N k s, s k α k s si r = N k + s, s k Démostratio. La défiitio des coefficiets de Fourier de f et la covergece uiforme de la série (4) ous permet d écrire que : a r = π b r = π f(t) cos(rt)dt = f(t) si(rt)dt = lim M + lim M + M k= M k= α k π α k π Comme Q(t, N k, k ) est u polyôme e cosius, Q(t, N k, k ) si(rt)dt =, Q(t, N k, k ) cos(rt)dt, Q(t, N k, k ) si(rt)dt. doc b r =. Das le cas des a r la seule cotributio o ulle peut proveir d u terme Q(t, N k, k ) cos(rt)dt pour lequel le polyôme trigoométrique Q(t, N k, k ) aurait u terme e cos(rt). Ceci doe le résulat aocé. Propositio 3.3. La série de Fourier de la foctio cotiue f diverge au poit.

6 6 R. ROLLAND Démostratio. Remarquos que compte teu de la prpositio 3.2 : ( S Nk (f)() S Nk k (f)() = α k ), k et doc : Si o pred : S Nk (f)() S Nk k (f)() > α k l( k ). α k = k, 2 k = N k 2 = 2k3, alors toutes les cotraites imposées aux α k, N k, k sot réalisées et de plus : lim α k l( k ) = +. k + La suite des sommes partielles de la série de Fourier de f au poit est pas ue suite de Cauchy et doc diverge. Référeces [] Léopold Fejér Sur les sigularités de la série de Fourier des foctios cotiues Aales scietifiques de l É.N.S. 3e série, tome 28 (9), p [2] Robert Rollad Les séries de Fourier Documet de travail versio 2 23 Février 26 R. Rollad, Istitut de Mathématiques de Lumiy, Case 97, 3288 Marseille cedex 9., [email protected]