MATHEMATIQUES Option scientifique Vendredi 13 mai 2005 de 8h à 12h

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1 ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Cocours d'admissio sur classes préparatoires MATHEMATIQUES Optio scietifique Vedredi 3 mai 5 de 8h à h La présetatio, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot pour ue part importate das l'appréciatio des copies Les cadidats sot ivités à ecadrer, das la mesure du possible, les résultats de leurs calculs Ils e doivet faire usage d'aucu documet ; seule l'utilisatio d'ue règle graduée est autorisée L'utilisatio de toute calculatrice et de tout matériel électroique est iterdite Exercice Das cet exercice, est u etier aturel supérieur ou égal à O désige par I la matrice uité de M (IR O ote tr l applicatio liéaire qui à toute matrice de M (IR associe sa trace, c est-à-dire la somme de ses élémets diagoaux a Motrer que Im tr = IR b E déduire la dimesio de Ker tr c Établir que M (IR = Ker tr Vect(I Soit f l applicatio qui, à toute matrice M de M (IR associe f (M = M + tr(m I, a Motrer que f est u edomorphisme de M (IR b Utiliser la première questio pour détermier les valeurs propres de f E déduire que f est u automorphisme diagoalisable de M (IR 3 Soit g l applicatio qui, à toute matrice M de M (IR associe g (M = M + tr(m J, où J désige ue matrice o ulle de M (IR dot la trace est ulle O admet que g est u edomorphisme de M (IR a Établir que le polyôme X X + est u polyôme aulateur de g b Motrer que est la seule valeur propre de g c g est-il diagoalisable? Sujet EDHEC 5 Math S

2 Exercice Pour tout réel x, o ote x la partie etière de x et o rappelle que x est le seul etier vérifiat : x x < x + O cosidère ue variable aléatoire X défiie sur u espace probabilisé (Ω, A, P et qui suit la loi expoetielle de paramètre (avec > O ote F sa foctio de répartitio O pose X = X, X = ( X X et l o admet que X et X sot des variables aléatoires défiies elles aussi sur (Ω, A, P a Détermier X (Ω b Pour tout de X (Ω, exprimer P(X = à l aide de F c E déduire que X + suit ue loi géométrique dot o doera le paramètre d Détermier E(X e foctio de a Détermier X (Ω et dire ce que représete X b Justifier que, pour tout élémet de {,,, 9}, P(X = = PX ( = i X =, + puis motrer que : {,,, 9}, P(X = = ( Fi ( + Fi ( + E déduire que {,,, 9}, P(X = = e e e 3 Motrer que X et X sot idépedates Exercice 3 Das cet exercice, est u etier aturel supérieur ou égal à O cosidère la foctio de variables réelles, otée f, défiie par : x = (x, x,, x IR, f (x, x,, x = + ( x x a Motrer que f est de classe C sur IR b Calculer les dérivées premières et secodes de f a Détermier le seul poit critique (a, a,, a de f sur IR b Vérifier que la hessiee de f e ce poit est la matrice A = (I + J, où I désige la matrice uité de M (IR et J la matrice de M (IR dot tous les élémets sot égaux à 3 a Détermier le rag de J E déduire que est valeur propre de J et détermier la dimesio du sous-espace propre associé b Calculer le produit J M c À l aide des questios précédetes, doer les valeurs propres de J, puis celles de A = = 4 a Motrer que, pour tout H = h h M h o ul, o a : t H A H > Sujet EDHEC 5 Math S

3 b E déduire que f admet u miimum local e (a, a,, a et vérifier que ce miimum est égal à 4( + Problème O cosidère deux jetos J et J, équilibrés (c est-à-dire tels que chaque face a ue chace sur deux d apparaître au cours d u lacer Le jeto J possède ue face umérotée et ue face umérotée Le jeto J possède deux faces umérotées U joueur choisit au hasard u jeto puis effectue ue série de lacers avec ce jeto O ote E l évéemet «le jeto J est choisi pour le jeu» et, pour tout etier aturel o ul, U l évéemet «le ème lacer fait apparaître ue face umérotée» Partie : étude de quelques variables aléatoires liées à cette épreuve a Détermier la probabilité que le joueur obtiee fois ( IN* ue face portat le uméro lors des premiers lacers b Das cette questio, o suppose que le joueur a obteu fois ( IN* ue face portat le uméro lors des premiers lacers Quelle est la probabilité qu il ait joué avec le jeto J? Quelle est la limite de cette probabilité lorsque ted vers? Iterpréter ce résultat Das la suite, o cosidère la variable aléatoire X égale au rag d apparitio de la première face portat le uméro et o pose X = si la face portat le uméro apparaît jamais O cosidère égalemet la variable aléatoire Y égale au rag d apparitio de la première face portat le uméro et o pose Y = si la face portat le uméro apparaît jamais O suppose ces variables aléatoires défiies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P a Calculer, pour tout etier aturel o ul, la probabilité P(X = b E déduire que P(X = = Ce résultat était-il prévisible? c Motrer que X a ue espérace puis détermier E(X d Motrer que X (X a ue espérace, la détermier puis vérifier que V(X = 3 a Calculer, pour tout etier aturel o ul, la probabilité P(Y = b E déduire que P(Y = = c Motrer que Y a ue espérace puis détermier E(Y d Motrer que Y (Y a ue espérace, la détermier puis vérifier que V(Y = O défiit sur (Ω, A, P la variable aléatoire S par : ω Ω, S(ω = Max (X(ω, Y(ω a Détermier S(Ω b Motrer que P(S = = P(X = = c Pour tout etier supérieur ou égal, comparer d ue part (X = et (Y < et d autre part (Y = et (X <, puis e déduire que : (S = = (X = Y = d Recoaître alors la loi de S et préciser so espérace et sa variace 5 O défiit sur (Ω, A, P la variable aléatoire I par : ω Ω, I(ω = Mi (X(ω, Y(ω a Motrer que I est ue variable de Beroulli b Détermier P(I = puis doer la loi de I, aisi que so espérace et sa variace Sujet EDHEC 5 Math S 3

4 Partie : simulatio des variables X et Y O rappelle que radom( revoie au hasard u etier de {, } O cosidère le programme suivat : Program edhec5 ; Var jeto, lacer, X : iteger ; Begi Radomize ; X : = ; jeto : = radom( + ; if (jeto = the begi repeat X : = X + ; lacer : = radom( ; util (lacer = ; ed ; Writel (X ; ed a Expliquer le foctioemet de ce programme et détermier quel est le coteu de la variable affichée à la fi b Est-o certai que le ombre de passages das la boucle «Repeat util» est fii? Écrire u programme Pascal qui doe la valeur de la variable aléatoire Y Sujet EDHEC 5 Math S 4

5 Corrigé de l Epreuve Mathématiques Optio S Cocours 5 Exercice a Im tr est u sous-espace vectoriel de IR, il est doc soit de dimesio et Im tr est alors réduit au seul réel, soit de dimesio et Im tr est alors égal à IR Comme tr(i =, o e coclut que la première possibilité est pas recevable E coclusio : Im tr = IR b D après la formule du rag, o a : dim M (IR = dim Im tr + dim Ker tr Comme dim Im tr =, o a : dim Ker tr = c E premier lieu, il faut oter que Ker tr et Vect(I sot deux sous-espaces de M (IR D autre part, la matrice I état pas la matrice ulle, o a : dim Vect(I =, ce qui permet d écrire : dim M (IR = dim Ker tr + dim Vect(I Il reste doc à motrer que Vect(I Ker tr = {} Soit doc M ue matrice apparteat à Vect(I Ker tr Comme M appartiet à Vect(I, il existe u réel α tel que M = α I et o a tr(m = α Comme, de plus, M appartiet à Ker tr, o obtiet α = L éocé idiquat que est supérieur ou égal à, o a doc α =, ce qui, e remplaçat, doe M = O viet de motrer que : Vect(I Ker tr {} L iclusio réciproque état évidete (tous les espaces vectoriels cotieet le vecteur ul, o a bie : M (IR = Ker tr Vect(I a Soit M et N deux matrices de M (IR et u réel f ( M + N = ( M + N + tr( M + N I Par liéarité de la trace, o obtiet : f ( M + N = ( M + N + tr(m I + tr(n I = (M + tr(m I + (N + tr(n I, ce qui prouve que : f ( M + N = f (M + f (N L applicatio f est doc liéaire Comme de plus, f (M est combiaiso liéaire des deux matrices M et I qui sot élémets de M (IR, o est sûr que f (M appartiet à M (IR E coclusio : f est u edomorphisme de M (IR

6 b M Ker tr f (M = M, ce qui prouve que est valeur propre de f et que Ker tr est le sous-espace propre de f associé à la valeur propre Ce sous-espace propre état de dimesio, f possède au plus ue autre valeur propre associée à u sous-espace propre de dimesio (puisque dim M (IR = Or, pour toute matrice M apparteat à Vect(I, o peut écrire M = α I, d où l o déduit : f (M = α I + α I, soit : f (M = ( + α I = ( + M Ceci motre que + est valeur propre de f et que Vect(I est le sous-espace propre de f associé à la valeur propre + (puisqu il est de dimesio Les valeurs propres de f sot doc et + D après la questio c, M (IR est somme directe des sous-espaces propres de f, doc f est diagoalisable état pas valeur propre de f, o e déduit que f est u automorphisme E coclusio : f est u automorphisme diagoalisable de M (IR 3 a Pour toute matrice M de M (IR, o a : g (M = g(m + tr(m J, d où, par liéarité de g : g (M = g(m + tr(m g(j Mais, comme tr(j =, o a g(j = J + tr(j J = J doc : g (M = g(m + tr(m J, d où : g (M = M + tr(m J + tr(m J = M + tr(m J D autre part, g(m M = M + tr(m J M = M + tr(m J O peut doc e déduire que : M M (IR, g (M = g(m M Pour fiir, o a bie, e otat id l edomorphisme idetique de M (IR : g g + id = X X + est u polyôme aulateur de g b est la seule racie de X X + doc est la seule valeur propre possible de g O a vu plus haut que g(j = J, ce qui prouve que est effectivemet valeur propre de g (puisque J est pas la matrice ulle O peut doc affirmer que : est la seule valeur propre de g c Le sous-espace propre de g associé à la valeur propre est l esemble des matrices M de M (IR telles que g(m = M, c est-à-dire : tr(m J = Comme J, o obtiet tr(m = Ceci motre que le sous-espace propre de g associé à la valeur propre est Ker tr dot la dimesio est strictemet iférieure à celle de M (IR Par coséquet : g est pas diagoalisable Exercice a Comme X(Ω = IR +, o a X (Ω = IN b Par défiitio de la partie etière, o a, pour tout de IN : (X = = ( X < + Comme X est ue variable à desité, P( X < + = P( < X + O e déduit alors que : P(X = = F( + F(

7 c E remplaçat ci-dessus, o trouve : P(X = = ( e (+ ( e, d où efi : P(X = = e e (+ = e ( e Maiteat, o remarque que (X + (Ω = IN * et o peut écrire que, pour tout de IN *: P(X + = = P(X = = = e ( ( e Tout ceci prouve que : X + suit la loi géométrique de paramètre e d D après le cours, X + a ue espérace qui vaut comme E(X = E(X +, o e déduit que : E(X = E(X = e e e e doc X a ue espérace et, soit fialemet : a O a, toujours par défiitio de la partie etière X X < X + doc X X < E multipliat par, o obtiet : (X X < Par passage à la partie etière, o trouve alors : X (Ω = {,,, 9} (X X est le ombre dot le chiffre à gauche de la virgule est la première décimale de X et X est aisi la première décimale de X Par exemple, avec X = 7,563, o a X X =,563, puis (X X = 5,63 et efi X = 5 b D après la formule des probabilités totales associée au système complet d évéemets (X = i i IN, o a, pour tout élémet de {,,, 9} : P(X = = PX ( = i X = D après la défiitio de la partie etière, o e déduit : P(X = = P( [ X = i] [ < ( X X + ], soit ecore : P(X = = + P ( [ X = i] [ < ( X X ], puis, e remplaçat X par i : P(X = = + P ( [ X = i] [ i + < X i + ] Par défiitio de X, o e tire : P(X = = + P ( [ i < X i + ] [ i + < X i + ] Comme appartiet à {,,, 9}, o a : i i + et i + + i + O e déduit que : + [ i + < X i + ] [ i < X i +], ce qui permet d écrire : + P(X = = Pi ( + < X i +, d où fialemet : 3

8 + P(X = = ( Fi ( + ( Fi ( + O coaît F, doc, e remplaçat, o trouve : P(X = = ( ( e ( e P(X = = ( e Il reste à mettre e P(X = = e ( + + i ( i+ i+ i+ + ( ( e ( i+ e facteur, ce qui doe : ( i+ ( P(X = = e ( e, puis e simplifiat : e, puis e scidat la première expoetielle : e i = e ( e i ( e, ce qui amèe à l égalité demadée, grâce au résultat cocerat la somme d ue série géométrique covergete : P(X = = e e e 3 D après le calcul fait ci-dessus (troisième lige avat la fi : ( i+ i IN, {,,, 9}, P(X = i X = = e ( e, Or o sait que P(X = i = e i ( e et P(X = = e P(X = i P(X = = e i ( e e e = e i e e O trouve alors : P(X = i X = = P(X = i P(X = e e ( e, o a doc : ( i+ = e ( e X et X sot idépedates Exercice 3 a La foctio f est polyomiale, elle est doc de classe C (et même plus sur IR b Pour tout i de {,,, }, f (x,, x = x i + x x i Pour tout i de {,,, }, f (x,, x = + = 4 x i = 4

9 f Pour tout (i, j de {,,, } tel que i j, x x i j (x,, x = a Les poits critiques de f sot les -uplets (x,, x solutios du système : x = x = i {,,, }, f (x,, x =, c est-à-dire : x = x = x i M x = x = Avec les opératios élémetaires L i L i L (pour i élémet de {, 3,, }, o trouve le x = x = système équivalet : x = x x Par substitutio, o obtiet : = x M x = = x = x x = x Le seul poit critique de f est (a,, a = ( +,, + b Par défiitio, la hessiee de f e (a,, a est la matrice dot l élémet situé à l itersectio de la i ème lige et de la j ème f coloe est (a,, a, o a doc : x j x i 4 A = O Ceci cofirme bie que : O 4 A = (I + J 3 a Les coloes de J sot toutes égales et o ulles doc rg(j = Ceci prouve que J est pas iversible, c est-à-dire que est valeur propre de J, associée au sous-espace propre Ker J qui est de dimesio (grâce à la formule du rag b J M = M c L égalité écrite ci-dessus motre que est valeur propre de J associée à u sous-espace propre de dimesio au mois égale à Comme la somme des dimesios des sous-espaces propres de J e peut pas excéder, o est certai que J e possède pas d autre valeur propre que et 5

10 La matrice J état diagoalisable, il existe ue matrice iversible P et ue matrice diagoale D = diag(,,, telle que J = P D PP Comme A = (I + J, o peut alors écrire : A = (P I PP + P D P P = P (I + D PP = P ( I + D P P A est doc semblable à la matrice diagoale I + D, dot les élémets diagoaux sot et +, ce qui prouve que les valeurs propres de A sot et + 4 a D après ce qui précède, les valeurs propres de la matrice symétrique A sot strictemet positives, ce qui prouve que A est défiie positive O a doc : H M, (IR, H, t H A H > b D après l iégalité précédete, la forme quadratique associée à A est défiie positive, ce qui prouve que f admet u miimum local au poit (a,, a Ce miimum vaut f (a,, a = f ( +,,, ce qui doe : + f (a,, a = 4( + + ( = ( + = ( +, d où : f (a,, a = = 4( + + ( ( = + = f (a,, a = + 4( + 4( + ( + E réduisat au même déomiateur, o trouve :, ce qui se réduit à : ( + = f (a,, a = 4( + Problème Partie a La probabilité cherchée est P(U U La formule des probabilités totales associée au système complet d évéemets (E, E, s écrit : P(U U = P E (U U P(E + P E (U U P( E O a, par idépedace des lacers avec le jeto J : P E (U U = ( Le jeto ayat que des faces portat le uméro : P E (U U = Les jetos état choisis au hasard, P(E = P( E = E remplaçat, o trouve : P(U U = ( + P U b Das cette questio, o cherche (E U 6

11 PE( U U P( E D après le cours, o peut écrire : P U U (E =, d où : PU ( U P U U (E = E multipliat umérateur et déomiateur par +, o obtiet : ( + P U U (E = + Comme lim =, o a : lim P U U (E = Ceci se compred bie das la mesure où, si l o obtiet ue ifiité de fois la face portat le uméro, il est quasi-certai que l o joue avec le jeto uméro, ce qui sigifie qu il est quasi-impossible que l o joue avec le jeto uméro a Toujours avec le même système complet d évéemets : P(X = = P E (X = P(E + P E (X = P( E Pour tout etier aturel o ul, P E (X = = ( car o atted, avec le jeto J, le premier succès (la face portat le uméro das ue suite d épreuves idépedates (car o sait que l o joue avec J à deux issues, la probabilité de succès état égale à Pour tout etier aturel o ul, P E (X = = car le jeto J a pas de face portat le uméro E remplaçat, o obtiet : P(X = = + b Comme, d après l éocé, X est ue variable aléatoire, o a : PX ( = =, ce qui doe : P(X = + PX ( = =, et e teat compte du résultat de la questio a, o a : P(X = + = =, ce qui s écrit : P(X = = = = Après le chagemet d idice i =, o obtiet : P(X = + 4 = = i O recoaît alors ue série géométrique covergete de raiso, ce qui permet d avoir : P(X = + 4 E coclusio : =, d où l o déduit : P(X = + = 7

12 P(X = = Ce résultat était prévisible car o sait qu il est quasi-impossible de e jamais obteir la face portat le uméro avec le jeto uméro (e relatio avec la loi géométrique de paramètre, par coséquet, l évéemet «e jamais obteir la face portat le uméro» est l évéemet «choisir le jeto uméro» qui est de probabilité c Pour tout etier supérieur ou égal à, o a : P(X = = 4 ( Comme la série de terme gééral ( est absolumet covergete (série géométrique dérivée dot la raiso est strictemet comprise etre et, o peut coclure que X a ue espérace Celle-ci est alors doée par : E(X = ( 4 = =, ce qui doe 4 ( : E(X = d Pour tout etier supérieur ou égal à, o a : ( P(X = = 8 ( ( La série de terme gééral ( ( est absolumet covergete (série géométrique dérivée secode dot la raiso est strictemet comprise etre et, o peut doc coclure que X (X ue espérace Celle-ci est alors doée par : E(X (X = ( ( 8 = =, ce qui 8 3 ( doe E(X (X = Par liéarité de l espérace, ceci doe E(X E(X = et, comme E(X =, o a E(X = 3 O sait que V(X = E(X (E(X, doc : V(X = 3 a Comme das la questio a, P(Y = = P E (Y = P(E + P E (Y = P( E Pour tout etier aturel o ul, P E (Y = = ( car o atted, avec le jeto J, le premier succès (la face portat le uméro das ue suite d épreuves idépedates (car o sait que l o joue avec J à deux issues, la probabilité de succès état égale à Si l o joue avec le jeto J, o est sûr d obteir ue face portat le uméro dès le premier lacer doc : P E (Y = = 8

13 O e déduit alors que, pour tout etier supérieur ou égal à : P E (Y = = E remplaçat das la formule des probabilités totales écrite plus haut, o trouve : P(Y = = 3 4 et, P(Y = = + b Comme, d après l éocé, Y est ue variable aléatoire, o a : PY ( = =, ce qui doe : P(Y = + P(Y = + 3a, o a : P(Y = + = = PY ( = =, et e teat compte du résultat de la questio =, ce qui s écrit : P(Y = = = = Après le chagemet d idice i =, o obtiet : P(Y = = i 8 O recoaît alors ue série géométrique covergete de raiso, ce qui permet d avoir : P(Y = E coclusio : =, d où l o déduit : P(Y = = P(Y = = Ceci a rie d étoat car, avec le jeto J, il est quasi-certai d obteir la face portat le uméro (toujours e relatio avec la loi géométrique de paramètre et, avec le jeto J, il est certai qu o l obtiedra à tous les lacers c Pour tout etier supérieur ou égal à, P(Y = = 4 ( Comme la série de terme gééral ( est absolumet covergete (série géométrique dérivée dot la raiso est strictemet comprise etre et, o peut coclure que Y a ue espérace Celle-ci est alors doée par : E(Y = P(Y = + P( Y= O e déduit que E(Y = E(Y = ( ( = ( = ( ( = = (4 ce qui doe : 4 = E(Y = 3 9

14 d Pour tout etier supérieur ou égal à, o a : ( P(Y = = 8 ( ( La série de terme gééral ( ( est absolumet covergete (série géométrique dérivée secode dot la raiso est strictemet comprise etre et, o peut doc coclure que Y (Y ue espérace Celle-ci est alors doée par : E(Y (Y = ( ( 8 = =, ce qui 8 3 ( doe E(Y (Y = Par liéarité de l espérace, ceci doe E(Y E(Y = et, comme E(Y = 3, o a E(Y = 7 O sait que V(Y = E(Y (E(Y, doc : V(Y = a Au premier lacer, o obtiet : soit ue face portat le uméro : das ce cas, Y pred la valeur et X predra alors la valeur (si l o obtiet jamais la face portat le uméro ou ue valeur plus grade que soit ue face portat le uméro : das ce cas X pred la valeur et Y predra alors la valeur (si l o obtiet jamais la face portat le uméro ou ue valeur plus grade que O a doc : S(Ω = IN * b (S = = (X = Y = (X = Y = (X = Y = : l ue des deux variables pred la valeur et l autre pred ue valeur iférieure ou égale à P(X = Y = = car o e peut pas obteir au premier lacer ue face uméro et ue face uméro (X = Y = (Y = et P(Y = = doc P(X = Y = = (X = (Y = car, si l o obtiet jamais la face portat le uméro alors o obtiet certaiemet la face portat le uméro au premier tirage (et d ailleurs à tous les autres O e déduit que (X = Y = = (X = Il reste doc : P(S = = P(X = = c (X = (Y < car si (X = est réalisé, alors o a obteu la première face uméro au ème lacer ce qui implique que l o a obteu ue face uméro avat, ce qui réalise l évéemet (Y < De la même faço, o a aussi : (Y = (X < D autre part, pour tout etier aturel supérieur ou égal à, o a (l explicatio est la même que celle doée das la questio 4b : (S = = (X = Y < (X < Y = (X = Y =

15 L évéemet (X = Y = est impossible car o e peut pas obteir au ème lacer ue face uméro et ue face uméro Comme (X = (Y <, o a : (X = Y < = (X = Comme (Y = (X <, o a : (X < Y = = (Y = Il reste doc : (S = = (X = (Y = d Les évéemets (X = et (Y = sot icompatibles (ceci a été vu 6 liges plus haut doc : P(S = = P(X = + P(Y =, d où l o déduit : P(S = = +, ce qui + + doe fialemet :, P(S = = Cette formule reste valable pour =, puisque l o a trouvé P(S = = O recoaît alors que S suit la loi géométrique de paramètre Le cours assure alors que : E(S = et V(S = 5 a Au premier lacer, l ue des deux variables pred la valeur (il est certai que l o obtiedra l ue des deux faces Selo les lacers suivats, soit l autre variable predra ue valeur supérieure strictemet à (si la face e questio est obteue après le premier lacer et das ce cas I pred la valeur, soit l autre pred la valeur (si la face e questio est jamais obteue et das ce cas I pred la valeur E coclusio, I(Ω = {, }, ce qui prouve que I est ue variable de Beroulli b (I = = (X = Y = (X = Y (X Y = (X = Y = et (X Y = sot iclus das (Y = qui est de probabilité ulle, doc : P(X = Y = = P(X Y = = O a doc : P(I = = P(X = Y, et comme o l a vu à la questio 4b, o sait que (X = (Y doc o a (X = Y = (X = et il reste : P(I = = P(X = = O e déduit que P(I = = E coclusio : I suit la loi B (, E(I = et V(I = 4 Remarque : o pouvait égalemet trouver ce résultat e remarquat que : (I = = (X = Y =, d où l o déduit l égalité : P(I = = P(X = + P(Y = P(X = Y = ce qui permet de coclure plus vite Partie a Après avoir iitialisé la variable X à, le programme choisit u jeto au hasard Si le jeto est le uméro, le programme simule le lacer de ce jeto jusqu à ce que l o obtiee

16 le ombre auquel cas X pred la valeur du rag d obtetio du uméro et sio, il e se passe rie, c est-à-dire que X vaut à la fi de l éxécutio Ce programme simule doc l expériece aléatoire décrite das le problème, calcule et affiche la valeur prise par la variable aléatoire X b Avec le jeto uméro, il est quasi-certai d obteir la face portat le uméro à u lacer ou à u autre, ce qui motre que la boucle «repeatutil» est presque sûremet fiie O peut s appuyer sur la structure du programme proposé das la questio a de cette partie, la seule différece état ici, qu il est certai d obteir la face si l o joue avec le jeto uméro Program Edhec5_bis ; Var jeto, lacer, Y : iteger ; Begi Radomize ; jeto : = radom( + ; if (jeto = the Y : = else begi Y : = ; repeat Y : = Y + lacer : = radom( ; util (lacer = ; ed ; Writel(Y ; ed