Introduction aux problèmes inverses

Transcription

1 Introducton aux problèmes nverses La défnton des problèmes nverses n est pas smple. On peut les caractérser de façon strcte par des défntons mathématques pour chaque problème, mas ben souvent cette appellaton recouvre des problèmes dvers qu partagent tous le même caractère mal posé par opposton aux problèmes dts drects. On commence par présenter quatre stuatons types, mas lées à des problèmes concrets. Pus on passe en revue les dverses caractérstques de ces problèmes et partculèrement leurs dffcultés propres. Les méthodes de résoluton (vore même de formulaton) de ces problèmes ans que les algorthmes assocés font l objet des autres chaptres. 1. QUATRE EXEMPLES DE PROBLEMES INVERSES 1.1. Détermnaton de la lo de comportement d un matérau à partr d essas de torson pure : Equaton ntégrale de Fredholm de premère espèce 1.. Identfcaton de fssures, hétérogénétés ou de cavtés : données surabondantes au bord, opérateur de Drchlet-Neuman Identfcaton de paramètres dstrbuées pour une équaton d évoluton Identfcaton d un paramètre de condtons aux lmtes : coeffcent d échange pour un bord naccessble, le cas des pettes perturbatons 7. PROBLEMES MAL POSES 9.1. Problèmes ben posés : les problèmes drects et contre exemples 9.. Caractère mal posé des exemples de problèmes nverses Equaton de Fredholm de premère espèce Opérateur de Drchlet-Neuman 14 1

2 1. Quatre exemples de problèmes nverses 1.1. Détermnaton de la lo de comportement d un matérau à partr d essas de torson pure : Equaton ntégrale de Fredholm de premère espèce Un grand nombre de problèmes nverses apparassent sous cette forme. Prenons l exemple de la détermnaton de la lo de comportement unaxale d un matérau. On cherche à détermner la lo csallement / dstorson d un matérau va un essa de torson pure sur un barreau cylndrque (cylndre de révoluton). L expérence est réalsée en mposant une rotaton (rgdfante) Θ, d axe Oz, à l extrémté d un cylndre encastré à l autre extrémté. Aucun autre effort qu un couple de torson Γ n est applqué à l éprouvette. Ce couple est mesuré au cours d une expérence de rotaton crossante. Γ Θ Γ Θ z Courbe donnée : couple /angle τ? Foncton cherchée : csallement/ dstorson γ Données : Inconnue :. la géométre du système (rayon R et longueur L du cylndre),. une foncton Γ(Θ), Θ [, Θ max ]. la foncton τ = f(γ) où τ est le csallement et γ la dstorson correspondante (on suppose pour smplfer que cette lo est njectve (en chargement crossant par exemple cec n est pas une hypothèse trop restrctve, elle nclut les comportements adoucssants, parfatement plastques..) Le problème drect serat ben sûr de détermner la courbe moment-rotaton globale, l hstore de rotaton étant donnée ans que la lo de comportement du matérau. La façon de poser le problème nverse ntrodut mplctement quelques hypothèses, lées à notre connassance du problème drect : 1. Les champs de contrantes et de déformatons qu se développent sont supposés ndépendants de la varable z (cf fgure pour les notatons).. le champ de contrantes est unaxal : σ(r, θ) = τ(r) (e θ e z + e z e θ ). On peut vérfer que ce type de champ est statquement admssble dès que :. τ est une foncton quelconque de r (en partculer elle n a pas à être contnue)

3 . les efforts de csallement équlbrent le couple applqué : π τ() rrdr =Γ 3. le champ de déplacement est supposé réalser des rotatons rgdfantes de chaque secton, la rotaton axale (de torson) évoluant lnéarement avec z. u(r, θ, z) = Θ rz L e θ (u est cnématquement admssble avec les condtons en z= et z=l). ce qu condut au tenseur de déformaton lnéarsé suvant (qu respecte ben l hypothèse 1) : r ε(r,θ) = γ(r) (e θ e z + e z e θ ), avec γ(r)= Θ L La proprété que le csallement τ est relé unquement à la dstorson γ résulte d hypothèses sur le matérau (symétres). Dans le cas d un matérau ansotrope, l faudra en sus s assurer que les proprétés de symétres du matérau sont compatbles avec la géométre de l essa (dans le cas d ansotrope transverse par exemple : que l axe d sotrope transverse est celu du cylndre). Moyennant ces hypothèses, une équaton sur la foncton nconnue f apparaît mmédatement en rassemblant les proprétés des tenseurs des déformaton et des contrantes : R Θr f ( ) L rdr Γ( Θ) = Θ [, Θ max ] π R Il est mmédat de constater que l on ne pourra détermner f que sur l ntervalle [, R Θ max ] L S ben que le problème nverse se formule par : Trouver la foncton f de L (], R Θ max L R Θr [) telle que : f ( ) L rdr Γ( Θ) = π Θ [, Θ max ] (1) L équaton précédente est une équaton ntégrale de Fredholm de premère espèce, dont la forme générale est : g étant donnée, Trouver f(x) sur l ntervalle I telle que : k( x, y) f ( x) dx = g( y) y J I k(x,y) est le noyau de l équaton. On remarquera que les ensembles de défnton de f et g (respectvement I et J) sont dfférents. Dans l exemple traté, cela apparaît naturellement : la donnée et l nconnue étant de nature physque dfférente. Dans la résoluton du l équaton, l faudra garder à l esprt cette partcularté lorsque l on dscrétsera le problème. Ans apparaîtrons deux dscrétsatons : l une sur l ntervalle I pour décrre la foncton f recherchée, et l autre sur l ntervalle J pour obtenr un nombre fn d équatons à partr de l équaton ntégrale. Compte tenu de la forme de l équaton (1), on peut la smplfer encore en effectuant le changement de varable : x= rθ/l. Il vent alors : Trouver la foncton f de L (], R Θ max L RΘ Θ [) telle que : L f ( x) x dx ( ) = 3 ΓΘ 16πL 3 Θ [, Θ max ] () Cette équaton est un équaton de Volterra de premère espèce. C est une équaton de Fredholm pour laquelle I=J et telle que le noyau possède la proprété : k(x,y) = s x> y g étant donnée, Trouver f(x) de L (]a,b[) telle que : k( x, y) f ( x) dx= g( y) y J (3) y a 3

4 L exemple prs c est encore une forme dégénérée de l équaton de Volterra pusque le noyau ne dépend pas de y. La soluton de ce problème est «explcte», l sufft de dérver l équaton () : f( R Θ L 1 1 d 3 ) = [ Θ Γ( )] πr Θ 3 Θ dθ 1 = [ 3Γ( Θ) + ΘΓ'( )] πr 3 Θ Θ [, Θ max ] (4) L équaton précédente montre que l on a «résolu» théorquement le problème nverse posé. Les dffcultés pratques de résoluton de l équaton (3), horms le cas où Γ est donnée sous forme analytque, sont cependant les mêmes que celle de l équaton (1). Nous le verrons plus lon. Noter que le problème de «dérvaton numérque» rencontré c (pusqu en général la donnée Γ n est connue que par un nombre fn de mesures) est assez fréquent. Ctons par exemple le cas de la détermnaton des contrantes dans un tube à partr de la mesure du profl déformé : cela requert de calculer la dérvée seconde d une donnée, connue sous forme dscrète... et brutée par les névtables erreurs de mesure. Le lecteur vérfera sans pene que l équaton de Volterra assocée à la recherche de la foncton f, dérvée d ordre n d une donnée g est la suvante : 1 y 1 f ( x)( y x) n dx = g( y) (5) ( n 1)! 1.. Identfcaton de fssures, d hétérogénétés ou de cavtés : données surabondantes au bord, opérateur de Drchlet-Neuman Dans l étude des problèmes drects ellptques, c est à dre en général des problèmes d «équlbre» (thermque, mécanque, électrque,..) on donne souvent comme règle heurstque sur les condtons aux lmtes qu elles dovent porter sot sur la varable prmale (température, champ de déplacement, potentel électrque,..) sot sur la varable duale (flux de température, densté d effort surfacque, vecteur courant). Dans les cas les plus complqués, on peut avor une combnason de condtons mas le nombre de condtons ndépendantes dot toujours être le même. Ces condtons assurent en général que le problème drect est soluble ; c est à dre grossèrement que la détermnaton des champs dans le solde est possble, une fos les données au bord connues (et éventuellement les «sources» ou les efforts volumques» donnés). Dans ces problèmes on suppose également connue la géométre du solde et ses caractérstques physques (conductvté, modules élastques,...). On peut avor alors l dée de détermner ces caractérstques, physques ou géométrques, en se donnant plus de données au bord qu l n est nécessare pour résoudre le problème drect. Ans, exstel une grande famlle de problèmes nverses dans lesquels on mpose sur le bord du solde une condton portant sur un paramètre, par exemple un flux de chaleur, et on mesure le paramètre dual, par exemple la température en surface. Mun de ces données, dtes surabondantes, on peut alors chercher à détermner s le solde présente des fssures, des cavtés, à dentfer la forme d un bord naccessble (problèmes nverses géométrques), ou encore à estmer les proprétés physques du mleu (champ de conductvté, de perméablté, de module de Young,...). Ces problèmes portent souvent le nom de tomographe, nom générque 1 auquel on ajoute le phénomène physque employé (tomographe électrque, hydraulque etc..). Nous prendrons pour exemple, le cas le plus smple celu de la tomographe thermque ou électrque, toutes deux formulées à l ade des mêmes équatons. 1 Mot forgé dans les années trente sur tomos : «morceau découpé, tranche» et graphe : «écrre, enregstrer» 4

5 On consdère un solde, de conductvté k(x) supposée sotrope pour smplfer, pouvant renfermer des fssures ou des cavtés, ou comporter un bord naccessble : toutes ces frontères nconnues étant pour le moment désgnées par. Sur le bord accessble aux mesures c, on suppose que l on sat mposer un flux Φ ou une famlle de flux Φ, ( I) et mesurer la température T m attente à l équlbre (ou les températures correspondantes T m ). Les équatons du problème sont les suvantes : dv( q) = dans q = k T dans qn. = sur ou encore dv( k. T ) = T k = n dans sur (6) m Avec les données : T = T et q. n = Φ sur (7) On a supposé c que les fssures ou les cavtés (vore le bord extéreur nconnu) sont solées thermquement. D autres condtons sont évdemment possbles. On notera le bord du domane sous la forme : = c e. Ans : e = c e est le bord extéreur du domane. est le bord des cavtés ou des fssures à l ntéreur du domane. On peut formuler tros problèmes nverses selon les paramètres connus. DN1 : Identfcaton de paramètres dstrbués, à géométre connue ( = ) : A partr de la famlle de données (Φ, T m ) I, détermner le champ k(x) DN : Identfcaton de fssures ou cavtés, à conductvté k(x) connue ( e = ) : A partr de la famlle de données (Φ, T m ) I, détermner le bord ntéreur au domane DN3 : Identfcaton de frontères extéreures, à conductvté k(x) connue ( = ) : A partr de la famlle de données (Φ, T m ) I, détermner le bord e au domane Une formulaton plus précse, mathématquement, des deux premers problèmes peut être défne en ntrodusant l opérateur de Drchlet-Neuman. C est l opérateur noté DN qu assoce à la donnée de la température sur le bord (donnée de Drchlet selon la termnologe des problèmes aux lmtes), le flux correspondant (donnée de Neuman). En supposant le domane réguler et k(x) satsfasant aux condtons de postvté et borntude usuelles : c on a : < k k(x) K < pp dans DN (,k) : H ½ ( ) H -½ ( ) T m Φ= k T n (8) où T est soluton de dv( k. T ) = m T = T dans sur e Les questons assocées aux deux premers problèmes nverses sont ans tradutes de la façon suvante : 5

6 La connassance de l opérateur DN (c est à dre de tous les couples (T m,φ) ) détermne-t-elle celle de k ou de? une connassance partelle de DN sufft-elle? Comment exploter cette connassance pour effectvement détermner le champ k ou le domane (c est à dre la parte nconnue de son bord )? 1.3. Identfcaton de paramètres dstrbuées pour une équaton d évoluton Les problèmes nverses sont en général posés de façon analogue au cas précédent mas la structure des données et des nconnues peut être varable. De l exemple suvant, nous trerons la forme la plus usuelle des problèmes nverses. Consdérons une équaton de transport monodmensonnelle : l x d = u (,t) o= u (l,t) u t + x f ( u) = On cherche à détermner la foncton f(u) par des essas de laboratore, sur des éprouvettes de longueur l, dans lesquels les condtons ntales étant connues u(x,)= u (x), on contrôle la donnée à une extrémté de l éprouvette u(,t) = d(t). Enfn on observe u à l autre extrémté u(l,t) = o(t). On dspose alors des équatons suvantes : Equaton d état : u t x u ) = x ], l [, t ],T[ (9) Condton ntale : u(x,)= u (x), x [, l ] (1) Condton donnée à la lmte : u(,t) = d(t), t [,T] (11) Observaton : u(l,t) = o(t) t [,T] De façon générale, on note : F l espace des paramètres : c est c un espace de fonctons f défnes sur un segment [,u max ] à valeur dans IR. C l opérateur d observaton qu va de l espace des états dans l espace des observatons : C : U O. U est c un espace de fonctons sur ], l [x[,t] à valeurs dans IR, et l espace d observaton O un espace de fonctons de [,T] dans IR : Cu = (u(l,t) ; t [,T]) Des contrantes d orgne physque (par exemple la postvté de la foncton f) ou des connassances a pror (par exemple f est crossante, décroît exponentellement, à un comportement quadratque au vosnage de zéro etc..) peuvent permettre de restrendre la recherche à un sous-ensemble de l espace des paramètres : F adm Une approche très fréquente de ce type de problèmes nverses consste à mnmser la norme de l écart entre l observaton et la soluton assocée à une foncton paramètre (output least square error) : f sol mnmse J(f) = ½ Cu(f) - o O sur l ensemble F adm, u(f) satsfasant (9)-(11). O est une norme sur l espace des observatons. Dans l exemple suv, c ce peut être : 6

7 h O = ht () dt T Au meux cette erreur sera nulle s la foncton f condut exactement à l observaton o, snon la fonctonnelle est toujours postve. Dans cette approche, on consdère l ensemble des équatons du problème comme un «système» dans lequel l «entrée» est la foncton nconnue f et la «sorte» est l observaton : on recherche l «entrée» qu mnmse l erreur entre la «sorte» et l observaton. Il faut d ores et déjà ben comprendre que malgré sa forme agréable la fonctonnelle J n est pas quadratque sauf dans le cas très partculer où les paramètres f ntervennent de façon lnéare dans l observaton Cu... ce qu est ben rare (mas néanmons rencontré parfos). Cette méthode de constructon du problème nverse est ben sûr susceptble de s adapter à un grand nombre de stuatons selon la nature de l équaton d état, des contrantes et des condtons sur l ensemble des paramètres recherchés ou sur le type d observaton. Cependant son apparente smplcté cache ben des dffcultés qu apparassant dès que l on s attaque à la résoluton du problème de mnmsaton Identfcaton d un paramètre de condtons aux lmtes : coeffcent d échange pour un bord naccessble, le cas des pettes perturbatons On va étuder c un problème assez proche de l exemple (Identfcaton de fssures ou du champ de conductvté à partr de mesures surabondantes au bord) mas en explotant une stuaton partculère : celle où l on recherche de pettes perturbatons d une foncton connue. Cet exemple sera également l occason de montrer comment utlser des champs auxlares, cette approche sera utlsée par la sute pour obtenr des résultats d exstence et d uncté ou construre des méthodes performantes d nverson. On consdère à nouveau un solde dont le bord = c est consttué d une parte naccessble aux mesures, noté. On suppose connus : la géométre, c est à dre le domane et son bord ; le champ de conductvté du mleu qu consttue le solde ; un couple (ou une famlle de couples) de température-flux sur le bord c. Sur le bord nconnu, la condton à la lmte est une condton d échange (avec un flude à température nulle pour smplfer) ou condton de Fourer : q.n - k(x) T.n = h(x) T(x) La foncton h est nconnue, mas l on suppose qu elle se met sous la forme : h(x) = H(x) + η(x) avec η << H et H connue Le problème nverse est donc le suvant : Identfcaton d une condton d échange sur un bord naccessble : A partr de la famlle de données, (Φ, T m ) I, détermner la foncton η(x) sur le bord Les équatons du problème sont donc : On pourra chercher la «formulaton par erreur aux mondres carrés» des tros autres exemples donnés dans cette parte. 7

8 dv( k. T) = dans k. T. n = ( H+ η) T sur k. T. n = Φ sur c avec la donnée T= T m sur c S ben que le champ de température à l équlbre satsfat également 3 : k T = Φϕ ϕ ( H + η) Tϕ ϕ (1) c Introdusons alors les champs auxlares suvants : ) le champ T H soluton du problème à flux mposé Φ sur c, pour une condton d échange de coeffcent H(x) sur, sot : k = Φϕ T ϕ HT ϕ ϕ (13) H H c ) une famlle de champs Ψ µ, ndcée par µ, à l équlbre avec un flux F µ sur c et un coeffcent d échange H sur : k Ψ = F µ ϕ µ ϕ HΨµ ϕ ϕ (14) c En utlsant Ψ µ comme foncton test dans l équaton (1), T comme foncton test dans l équaton (14) et en soustrayant les deux égaltés obtenues, l vent : η TΨ µ = c ΦΨ µ + F T En lnéarsant le premer membre cette équaton pour tenr compte du fat que la foncton η est pette devant H, c est à dre en remplaçant dans le produt ηt, T par T H, on obtent une équaton ntégrale du type équaton de Fredholm de premère espèce pour η : µ m Trouver η(x) sur telle que η T Ψ = ΦΨ + F T µ H µ c µ µ m Dans cette équaton, le second membre est en effet connu : (T, Φ) sont donnés et (Ψ µ, F µ ) sont les champs auxlares. La recherche de la perturbaton η et non de la foncton h(x) a perms de se ramener à une équaton lnéare, ben que le problème sot a pror fortement non lnéare. Ben entendu, la stratége de résoluton sera lé au chox de la famlle des champs Ψ µ (famlle analytque, famlle obtenue par le calcul, famlle de «pette talle»,...) 3 q =, ϕ ( q ) = ϕ, qϕ, sot qϕ, = qnϕ 8

9 . Problèmes mal posés.1. Problèmes ben posés : les problèmes drects et contre exemples La plupart des problèmes «drects» de l ngéneur sont posés va des équatons dfférentelles ou aux dérvées partelles. Le domane dans lequel on recherche le champ u est noté, (ce peut être le produt d un domane spatal ω par un ntervalle de temps [,T] s le problème est un problème d évoluton). Les équatons à résoudre comportent un opérateur A qu condut à l équaton A(u) = f dans, équaton à laquelle on ajoute des condtons de bord sur. Au premer abord, l peut sembler que toutes les condtons de bord sont possbles pourvu qu elles ne soent pas surabondantes. En fat, l n en est ren et les condtons «correctes» à mposer sont lées de façon très précses à la nature de l opérateur A. Exemple 1 : On consdère un domane rectangulare ], L[x[,h], sur lequel on cherche un champ scalare u connu sur les bords du domane et satsfasant l équaton suvante : y f yh f x u, xy = f y f xl x ] [ ] [ u, xy = dans, L x, h ux (, ) = f y ( x) uxh (, ) = f yh ( x) u(, y) = fx ( y) uly (, ) = fxl ( y) Les solutons de l équaton aux dérvées partelles sont nécessarement de la forme : u(x,y) = U(x) +V(y) s ben qu aucune soluton n exste au problème posé s la donnée f = (f x, f xl, f y, f yh ) ne satsfat pas les condtons suvantes : f y (x) - f yh (x) = C y = cste et f x (y) - f xl (y) = C x = cste Il s agt c d un problème hyperbolque de «propagaton» dans lequel on tente d mposer la valeur du champ sur tout le bord du domane. En effet, en effectuant le changement de varables : X = y+ x, t = y x l équaton devent l équaton des ondes : U, XX - U, tt = Physquement, on conçot que l on ne peut mposer une valeur quelconque à l ampltude de l onde à un nstant donné s l on se donne son ampltude à l nstant ntal. C est le sens de la condton sur la donnée f. Exemple : 9

10 On consdère un domane rectangulare ], L[x[,h], sur lequel on cherche un champ scalare u satsfasant l équaton de Laplace, avec des «condtons ntales» sur le bord y=. On mpose de plus que u s annule sur les bords latéraux x= et x=l : y u = u = u = x u = dans L h u = sur L h L h u = f sur y ], [ x], [ [, ] x{} {}[ x, ] {}[ x, ] ], L[ x{} u = u, y = f Il s agt d un problème de Cauchy (condtons portant sur u et ses dérvées sur une courbe) posé pour un opérateur ellptque. Examnons le cas partculer où la donnée f est une foncton snus : f n (x) = L nπ sn nπx/l En cherchant une soluton à varables séparées, l vent mmédatement : L u n (x,y) = n π sn nπx/l sh nπy/l Il exste donc une soluton pour chaque donnée f n. En convenant que f =, la soluton u est dentquement nulle. Cependant, ben que les fonctons f n tendent vers f lorsque n tend vers zéro, l n en va pas de même pour les solutons correspondantes. En effet pour tout (x,y), la dfférence des solutons u n et u, qu n est autre que u n elle-même, peut être rendue arbtrarement grande pour n suffsamment grand (pour y > ). En fat, les fonctons u n ne convergent vers u dans aucune topologe rasonnable. Tel qu l est posé le problème n est donc pas stable vs à vs de perturbatons des données. Ces deux exemples montrent que tous les problèmes «drects» ne sont pas nécessarement formulés d une façon qu assure que l on pusse les résoudre d une façon «rasonnable». Jacques Hadamard a proposé une défnton des problèmes ben posés, qu rassemble les condtons pour que la résoluton de ceux-c sot robuste. Sot le problème abstrat 4 : K(u) = f (P) où :. f Y. u est cherché dans X,. X et Y sont deux espaces muns d une topologe On dra que le problème (P) est ben posé s et seulement s : ) pour tout f de Y, l exste une soluton à (P) ) cette soluton est unque dans X ) la dépendance de u vs à vs de f est contnue (pour les topologes de Y et X) 4 K ncluant à la fos l opérateur A et les condtons de bord dans le cas d un problème aux lmtes du type de ceux consdérés précédemment. 1

11 On vot que le caractère ben posé d un problème qualfe en fat le trplet (K,X,Y). De façon évdente : la condton ) mpose que K sot surjectf : K(X) =Y, la condton ) que K sot njectf, s ben que l ensemble des deux condtons nécesste que K sot nversble. La dernère condton n est pas autre chose que la contnuté de l opérateur nverse de K pour les topologes de X et Y. Un problème ne satsfasant pas les tros condtons d Hadamard est dt mal posé et une méthode de résoluton approchée de ce type de problèmes est dte méthode de régularsaton. Deux pstes sont possbles pour régularser un problème mal posé : modfer les espaces X et Y 5, ou modfer l opérateur K. Que l on en sot conscent ou non, proposer une méthode de résoluton d un problème qu est mal posé, c est toujours proposer une méthode de régularsaton : en effet seuls les problèmes ben posés ont un comportement rasonnable pour les applcatons pratques! La premère pste est très souvent mplctement suve dans bon nombre de problèmes nverses : on restrent l espace de recherche des solutons et on «lsse» la donnée afn d avor une soluton. On peut auss de façon plus explcte chercher des topologes mons exgeantes. Le cas le plus fréquent de régularsaton «mplcte» est ben sûr celu de la réducton à un problème en dmenson fne, Néanmons, en général, s le nombre de degrés de lberté (ou de paramètres de descrpton de la soluton) crot, on se retrouve confronté à des problèmes très smlares aux dffcultés de la dmenson nfne, nous y revendrons tout au long de ce cours. La seconde pste est en général ben mons mplcte pusque l on modfe l opérateur lu-même. Il est parfos très dffcle de vérfer de façon précse s les condtons de Hadamard sont vérfées ou non. En général, la condton de contnuté ou de non contnuté de la soluton vs à vs des données est la plus apparente. Les questons d uncté ou d exstence de la soluton sont quasment toujours ouvertes, l exste cependant des résultats plus ou mons complets dont on donnera quelques exemples... Caractère mal posé des exemples de problèmes nverses..1. Equaton de Fredholm de premère espèce Les problèmes formulés à l ade d une équaton de Fredholm de premère espèce sont mal posés. Rappelons que la forme générale en est (pour des fonctons à support et à valeur dans IR) g étant donnée, Trouver f(y) sur l ntervalle I telle que : k ( x, y) f ( y) dx = g( x) x J Tout d abord, l examen de cette équaton montre que la foncton g possède une régularté lée à celle de k. Par exemple, s k est contnu et f ntégrable, alors g est nécessarement contnue. Ans, l exstence de soluton n est pas assurée, en partculer s la donnée g est trop rrégulère. La condton ) de Hadamard n est donc pas satsfate. Sur le plan pratque néanmons, ce pont n est pas le plus gênant. En effet, la donnée g étant connue de façon approchée, l est souvent losble (et parfos nécessare pour pouvor travaller avec cette donnée) de l approcher par une foncton régulère très proche, vore quasment ndscernable, de la donnée orgnale. I 5 On vot clarement que s l on peut trouver un sous espace Z de X, compact et sur lequel K est contnu et njectf, alors le problème (K, Z, K(Z)) est ben posé. Cependant, lorsqu elle est possble, cette méthode est souvent très artfcelle quant à son nterprétaton physque. 11

12 Tournons nous mantenant vers la queston de l uncté de la soluton (condton ) d Hadamard). Le contre-exemple suvant montre que l examen du noyau k(x,y) est une préoccupaton qu l est bon d avor avant de se lancer dans la résoluton d un problème que l on a pu formuler va une équaton de Fredholm de premère espèce. Dans cet exemple : le noyau de l équaton est k(x,y) = x sn y l équaton est posée sur les segments I = J = [, π] la donnée g est g(x)= x π sot : k( x, y) f ( y) dy = x Une soluton de cette équaton est ben sûr la foncton constante f(y) = ½, mas toutes les fonctons de la forme f n (y) = ½ + sn ny, avec n enter sont auss solutons. L opérateur lnéare K défn par la noyau k, possède un noyau 6, c est à dre qu l exste un sous-espace de fonctons annulant K, c ce sont les fonctons orthogonales à la foncton snus, pour le produt scalare de L (J) : ϕ Ker K Kϕ = x ϕ( y)snydy = π Cependant, la plus séreuse dffculté rencontrée dans la résoluton des équatons de Fredholm de premère espèce tent surtout à la non contnuté de sa soluton vs à vs de la donnée (condton ) d Hadamard). En effet, de façon générale cette équaton est très sensble aux données oscllantes. Dès que le noyau k est de carré ntégrable, alors le lemme de Lebesgue permet de s assurer que : lm k( x, y)sn nydy = n Or, l équaton de Fredholm étant lnéare, on a : π π 1 1 π k ( x, y) f ( y) + sn ny dy = g( x) + k( x, y)sn nydy ε ε Cec exprme que la foncton ~ 1 f ( y) = f ( y) + sn ny est la soluton de l équaton consdérée, pour la ε 1 π donnée g ~ ( x) = g( x) + ε k( x, y) sn nydy. Cependant, pour tout ε, l écart entre les données g et ~g peut être rendu arbtrarement pett dès que l on augmente n (d après le lemme de Lebesgue) pusque : g g ~ 1 = ε π k( x, y) sn ny alors que l écart entre les solutons f et ~ f est lu ndépendant de n : f ~ 1 1 π 1 f = sn ny = sn = ε ε nydy ε π 6 Le lecteur attentf aura comprs qu l y a noyau (de l ntégrale) et noyau (d un opérateur lnéare). En anglas la dstncton exste : k est le «kernel» de l opérateur ntégral, son noyau Ker K au sens d un opérateur lnéare est de façon plus magée qu en franças le «nullspace» 1

13 Ans l ne peut y avor contnuté de la soluton vs à vs des données : une varaton arbtrarement pette des données (ε pett, mas n suffsamment grand) pouvant condute à une varaton arbtrarement grande de la soluton (ε pett). Cet exemple n est pas s artfcel qu l n y paraît peutêtre au premer abord. En effet, supposons que la donnée g sot connue par sa valeur en N ponts régulèrement espacés sur le segment [, π] et que sa mesure sot entachée d une ncerttude η. S on note g m la foncton qu prend la valeur médane obtenue au mleu de la barre d ncerttude pour tous les ponts de mesure, alors toutes les fonctons du type : ~g (x) = g m (x) + η sn(nx +φ) où φ est un angle quelconque peuvent être consdérées comme des données «équvalentes» à g m pour le système de mesure employé.,6,5,4,3,,1,,4,6,8 1 -,1 Mesure avec ncerttudes : o mesures g, mesures avec brut g ~ Il faut donc retenr que la résoluton des équatons de Fredholm de premère espèce nécesste donc toujours une régularsaton. Lors de la constructon d une méthode de résoluton, on peut parfos passer à côté de la dffculté dans la premère phase de mse au pont s l on utlse ce qu on appelle des données synthétques pour tester l effcacté de la méthode. Des données sont synthétques lorsqu elles sont obtenues par la résoluton du problème drect assocé au problème nverse que l on souhate trater. C est une façon smple d obtenr des données et de vérfer la capacté à les retrouver pour la technque d nverson que l on construt. Cependant, ces données étant en général peu brutées, horms par la précson des calculs qu les ont produtes, on ne testera pas en général la robustesse de la méthode d nverson retenue. Cette robustesse sera cependant essentelle dès que l on s attachera à trater des données réelles. La règle d or est donc de toujours bruter les données synthétques s on les utlse. Ben qu l sot souvent ardu d ntrodure un brut «réalste», cela permet de fare apparaître les «vraes» dffcultés de la résoluton. Pour revenr un moment sur l exemple de l dentfcaton de la lo de comportement csallement dstorson de l exemple N 1, sgnalons que l équaton de Volterra de premère espèce est souvent consdérée comme «plus stable» que celle de Fredholm : s les dffcultés assocées sont de même type, elles sont cependant amondres. Pour clore cette analyse de l équaton de Fredholm de premère espèce, notons enfn que tous les problèmes formulés par une équaton ntégrale ne sont pas mal posés. Un cas partculer mportant est celu des problèmes assocés à une équaton de Fredholm de seconde espèce, qu s écrt : g étant donnée, Trouver f(x) sur l ntervalle I telle que : k( x, y) f ( x) dx+ αf ( y) = g( y) y J et qu sont eux ben posés pour toute valeur de α strctement postve, s k est postf. Vue la smltude des équatons de premère et de seconde espèce, on peut être alors tenté d utlser cette proprété pour régularser le problème ntal en l approchant par cette équaton pour des valeurs «pettes» du paramètre α. Cette possblté sera effectvement utlsée dans les méthodes de régularsaton de Tkhonov abordées plus lon. I 13

14 ... Opérateur de Drchlet-Neuman Nous avons rencontré cet opérateur dans la recherche de cavtés, de fssures, ou dans la détermnaton de paramètres physques comme la conductvté thermque, à partr de données surabondantes sur le bord du solde auquel on s ntéresse. On va llustrer le caractère mal posé des problèmes nverses formulés à l ade de cet opérateur. Commençons par un exemple très smple (et ntutvement sans grand espor qu l sot très utle dans la pratque!) : celu de la détermnaton de la répartton des modules de Young d un matérau hétérogène par des essas unaxaux de tracton smple. Un barreau de longueur L et de secton S est consttué d un matérau de module E(x). Dans la stuaton monodmensonelle consdérée c, les bords du solde sont donc les deux extrémtés x = et x = L. S l on néglge les forces de masse, l équaton d équlbre et la lo de comportement élastque condusent à l équaton suvante, où u est le déplacement axal (constant dans une secton du barreau) : d dx E ( x ) du dx = x ],L[ (16) tands qu aux bords du domane, on a les équatons (ou les défntons) : F = E( x) du F L = E( x) du dx x = dx x = L (17) u() = U, u(l) = U L (18) L opérateur de Drchlet-Neuman est donc l opérateur qu rele les données en déplacement (U, U L ) aux données duales en effort (F, F L ). Un examen plus attentf montre que : l équaton d équlbre mpose que les deux efforts (F, F L ) aux extrémtés soent égaux pusque E x du ( ) cste dx = = F = F L (19) le déplacement est détermné à une translaton près, les déplacements u(x) et u(x) + C satsfasant les équatons (16) et (18) pour toute valeur de C. Ans l opérateur de Drchlet-Neuman est l opérateur lnéare relant la valeur commune F des actons aux extrémtés (qu coïncde ans avec l effort normal dans la barre) à la dfférence des déplacements aux extrémtés, U L -U (l élongaton de la barre). Il est donc entèrement détermné par la valeur de la constante DN telle que: F = DN x (U L -U ) 1 On peut en donner une expresson explcte grâce à (19) : DN = L dx E( x) Résultat assez ntutf! On constate donc que le cas monodmensonel est très «pauvre» : l opérateur de Drchlet-Neuman dégénère en un unque scalare, et lasse peu d espor de détermner le champ E(x) unquement à partr de la connassance de DN! On aura accès unquement à la moyenne de la souplesse 1/E. Il n y a donc pas dentfablté, c est à dre uncté, pour ce problème : tous les champs de modules ayant même moyenne harmonque sont ndscernables. 14

15 Restons encore sur ce cas très smple pour llustrer les questons de stablté de l opérateur de Drchlet-Neuman. Consdérons un barreau de module homogène E(x) = E et la famlle de barreaux de modules varables en espace : E E n (x) = + cos n π x L soums à une force de masse connue noté K. S les barreaux sont fxés en x = L, d du E x = K dx ( ) dx Les solutons en déplacement pour une force nulle exercée à l extrémté x = sont respectvement : kl u (x) = kx où k = K/E nπx nπx u n (x) = kx kx sn k cos L L kl k( 1) + + n π nπ n L L n L x u(x) Examnons les valeurs des déplacements et des efforts aux extrémtés : x = u ()= kl F = E( x) du dx x = kl u n () = = F n = + n ( 1) 1 n π x = L u ()= u n () = F L = KL F nl = KL Les opérateurs de Drchlet-Neuman pour les deux soldes sont très proches : DN : [u(l) - u( )] F L DN : U F L = U E L DN n : U F nl = U E L 1 ( 1 + ) n n π Et donc 7 la sute d opérateurs DN n converge : DN 1 DN L = n π n 7 On rappelle que pour un opérateur lnéare : T = sup Tx x = 1 15

16 alors que les champs de modules élastques E n (x) ne convergent pas vers E : en chaque pont x, le module E n (x ) n a pas de E lmte : En E = L la norme L de l écart entre E n et E est constante : En E =,47979 L E L Répatton spatale des modules, E 1,5 E1 1, E,5,,,,4,6,8 1, On pourra remarquer c que les champs u n convergent vers u pour la norme de L (],L[) mas pas pour celle de H 1 (],L[) qu est la norme 8 naturellement attachée aux solutons de l équaton (16). Ecart u-un L un u = L n π n π 18cos( nπ) ,5 u-u1,,,,4,6,8 1, -,5-1, u-u -1,5 Ecart des gradents 1,,5 u'-u1' L cos( n ) u' n u' = + L 6 π 3 n π n π,,,,4,6,8 1, -,5 u'-u' -1, Termnons cette rapde analyse des dffcultés à prévor lors de l utlsaton de l opérateur de Drchlet-Neuman par un autre contre-exemple en dmenson deux cette fos. Nous allons montrer que s l on recherche à dentfer le tenseur de conductvté K d un matérau hétérogène à partr de l opérateur de Drchlet Neuman( problème DN3), alors l exste une nfnté de soluton c est à dre de champs de tenseur K(x). Plus précsément, nous allons construre une famlle nfne de champs de tenseurs K(x) condusant au même opérateur de Drchlet-Neuman, c est à dre pour lesquels mposer la température sur le bord du domane nécesstera d mposer le même flux de chaleur sur le bord, quelque sot l élément consdéré de la famlle. Consdérons les deux problèmes à température mposé T m sur le bord, l un pour un solde sotrope de conductvté k(x), l autre pour un solde ansotrope de tenseur conductvté K(x) : dv( k T) = dans m T = T sur dv( K. T! ) = dans m T! = T sur où (K.U) = K j U j () H L L 8 f = f + f ' 1 16

17 Les opérateurs de Drchlet-Neuman DN k et DN K des deux soldes coïncderont s pour toute donnée T m, les flux de chaleur sont dentques sur le bord du domane géométrque : T m, q k T.n = K.! T.n!q sur Pour construre une famlle de tenseurs K(x), rappelons tout d abord la formulaton fable de l équlbre thermque dans les deux soldes : k T ϕ = pour toute foncton ϕ telle que ϕ = K. T! ϕ = pour toute foncton ϕ telle que ϕ = Consdérons alors une transformaton régulère Φ du domane (un dfféomorphsme), lassant le bord nvarant : Φ : Φ() (x ) (X I ) = (Φ I (x )) avec Φ I (x ) = x I s (x ) Φ x X Pour T m donnée, et donc pour T soluton du problème d équlbre thermque dans le solde de conductvté k, posons : T! ( X) = T( Φ 1 ( X)) (les températures T et T! sont les mêmes aux ponts mages l un de l autre par la transformaton Φ) Examnons les proprétés du champ! T. a) Sur le bord, T et! T coïncdent pusque Φ y est l dentté, leur valeur est donc T m. b) Les gradents de T et T! sont lés par : T, = [ T(Φ(x))],! = T,! I x s ben que l on a l égalté suvante pour toute foncton ϕ : Φ I, par alleurs d Φ = dét DΦ d I J d k( x) T k! ( X ) T! Φ ϕ =, I!, ϕ Φ Φ J = K( X). XT!! Xϕd Φ ( ) Φ ( ) x x détdφ Φ où K est le tenseur symétrque : K( X) IJ = 1 k( Φ ( X)) ΦI Φ détdφ x x J c) on en dédut les deux résultats suvants : 17

18 ) K. T! ϕ = pour toute foncton ϕ telle que ϕ =, pusque k T ϕ = ce qu prouve que T! est la température d équlbre dans le solde de conductvté K, auquel on mpose la température T m sur le bord ( grâce à a)). ) par ntégraton par partes de chaque membre de l égalté : K. T!! ϕ = k T ( ) ϕ Φ et en utlsant le fat que, sur le bord, ϕ et!ϕ coïncdent : ( k T n K T n)..!. ϕ = pour toute foncton ϕ cette égalté montre que les flux q et!q sont égaux. Ans tout dfféomorphsme Φ condut à un tenseur de conductvté K pour lequel l opérateur de Drchlet-Neuman est exactement celu de la conductvté sotrope k(x) (ou du tenseur k(x)i). La condton ) d Hadamard n est donc pas satsfate s l on autorse des tenseurs de conductvté quelconques dans la formulaton du problème nverse va l opérateur de Drchlet-Neuman. 18