EXERCICES PROBABILITES

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1 EXERCICE : Calculer, pour EXERCICES PROBABILITES Soit,,3, 4,5,6, ( ) x, l itégrale I dx. 0 x ; détermier le réel pour que l o défiisse ue probabilité p sur * e posat, pour tout etier,6 p I Quelle est la probabilité de l évéemet,,3? EXERCICE :, * * Détermier le réel pour que l o défiisse ue probabilité p sur tout etier aturel o ul, 0,. EXERCICE 3 : E posat, pour tout etier aturel o ul, p * *,?, e posat, pour p r r où r est u réel apparteat à l itervalle défiit-o ue probabilité p sur EXERCICE 4 : tirages élémetaires Ue ure cotiet 5 boules rouges, 3 vertes et bleues. Les boules sot idiscerables au toucher. O tire au hasard boules (les tirages sot supposés équiprobables). E distiguat les tirages successifs (avec ou sas remise) et les tirages simultaés. Quelle est la probabilité d obteir: a. boules rouges b. Ue boule bleue puis ue boule rouge c. Ue boule bleue et ue boule rouge d. Au mois ue boule rouge e. boules de même couleur. EXERCICE 5 : Ue ure cotiet 6 boules idiscerables au toucher : 4 vertes et deux jaues. O tire au hasard, deux fois de suite, deux boules simultaémet, les boules état pas remises das l ure. Calculer la probabilité de l évéemet : «ue boule verte et ue boule jaue sot tirées au cours du deuxième tirage de deux boules». EXERCICE 6 : (ESSEC T 994) Des pièces fabriquées das ue usie peuvet préseter deux types de défaut, otés A et B. Des études statistiques ot motré que : 8% des pièces présetet le défaut A Parmi les pièces atteites du défaut A, 5 % présetet le défaut B Parmi les pièces o atteites du défaut A, 5% présetet le défaut B. O choisit au hasard ue pièce produite.détermier les probabilités des évéemets suivats : ) la pièce présete les défauts A et B ) la pièce présete le défaut B mais e présete pas le défaut A 3) la pièce présete le défaut B 4) la pièce e présete i le défaut A i le défaut B.

2 EXERCICE 7 : Ue usie d horlogerie fabrique ue série de motres.la fabricatio comporte deux phases.la première phase fait apparaître u défaut «a» das % des cas ; la secode phase u défaut «b» das 0 % des cas Ue motre est tirée au hasard. O défiit les évéemets suivats : A : «la motre présete le défaut a» B : «la motre présete le défaut b» O suppose que les évéemets A et B sot idépedats Calculer la probabilité des évéemets suivats : C : «la motre présete les deux défauts» D : «la motre e présete aucu des deux défauts» E : «la motre présete u et seul des deux défauts» EXERCICE 6 : Ue ure U cotiet boules rouges, 3 boules bleues et 5 boules vertes. Ue ure U cotiet 4 boules rouges et 5 boules bleues. Ue ure U 3 cotiet 3 boules bleues et 6 boules vertes. O procède à l expériece suivate : o tire au hasard ue boule de U que l o place dasu, puis o tire au hasard ue boule de U que l o place das U 3 et efi o tire au hasard ue boule de U3que l o place dasu Quelle est la probabilité que la compositio de l ure U ait pas variée à l issue de ces trois maipulatios? EXERCICE 7 : * Soit. O cosidère ures umérotées de à. L ure uméro k cotiet boules dot k blaches et k boules oires O choisit au hasard ue ure puis ue boule das cette ure. Quelle est la probabilité d obteir ue boule blache? EXERCICE 8 : Soit u etier aturel. O dispose de uresu, U,..., U. L ure U k cotiet k boules blaches et k boules oires. ) O choisit ue ure au hasard, puis o tire successivemet avec remise boules de cette ure. Quelle est la probabilité d obteir boules blaches? ) Même questio qu au ) e cosidérat cette fois ci que le tirage des boules se fait sas remise? EXERCICE 9 : Soit u etier strictemet positif et E,,...,. x, y a) Trouver le ombre de couples x, y b) Trouver le ombre de couples c) Trouver le ombre de triplets x, y, z E tels que x y. E tels que x y 3 E tels que x y z.

3 EXERCICE 0 : Soiet et N deux etiers aturels tels que 0 N.O cosidère ue ure coteat N boules umérotées de à N.O tire simultaémet de ces boules. Soit k u etier aturel tel que 0 k N.. Calculer la probabilité pour que tous les uméros tirés soiet iférieurs ou égaux à k. Calculer la probabilité que le plus grad des uméros tirés soit égal à k 3. E déduire que N k N k. EXERCICE : Soit u etier strictemet positif. Ue ure cotiet boules umérotées de à. ) O tire successivemet deux boules de l ure. Quelle est la probabilité pour que la deuxième boule tirée ait u uméro supérieur ou égal à celui de la première boule? a) si le tirage se fait avec remise. b) si le tirage se fait sas remise. ) O tire successivemet p boules de l ure. E utilisat les évéemets A k : «la p ème boule tirée porte le uméro k», calculer la probabilité pour que la p ième boule tirée ait u uméro supérieur ou égal aux uméros des (p-) premières boules tirées? a) si le tirage se fait avec remise. (O trouvera k k ) b) si le tirage se fait sas remise (O utilisera le résultat de la questio 3) de l exercice 3) c) détermier la limite de ces probabilités lorsque ted vers +. EXERCICE : Travail prélimiaire : Soiet deux etiers et N tels que N, motrer par récurrece sur N que N j N j Exercice : O doe maiteat etiers et N tels que N 3 et N. O cosidère N ures,,..., N j,,..., N l ure U j cotiee j boules blaches et N+-j boules oires. ) O tire ue boule d ue ure prise au hasard. a) Calculer la probabilité que la boule obteue soit blache. b) Sachat que la boule tirée est blache. Calculer la probabilité pour que la boule tirée viee de l ureu. p U U U telles que pour tout Calculer la probabilité pour que la boule tirée viee de l ureu ou de l ureu ) O tire simultaémet boules d ue ure prise au hasard. Calculer la probabilité d obteir boules blaches. EXERCICE 3 : (EMLYON 987) Tous les dés cosidérés sot cubiques, et les apparitios des faces sot équiprobables. O cosidère le dé A dot les faces sot umérotées de à 6, et les sept dés D i i 7 tels que, pour chaque i, le dé D possède i faces blaches et 7 i faces oires. i (par exemple le dé D 3 cotiet faces blaches et 4 faces oires) J N

4 O choisit tout d abord u uméro i compris etre et 7 e laçat le dé A et e procédat de la faço suivate : Si le résultat du lacer est, 3, 4, 5 ou 6, o choisit le uméro sorti. Si le résultat du lacer est, o lace à ouveau le dé A, et si le ouveau résultat est, ou 3 o choisit le uméro, sio o choisit le uméro 7. Après avoir choisi de cette faço le uméro i i 7, o joue exclusivemet avec le dé Di. O lace Di successivemet plusieurs fois de suite ; les lacers successifs sot idépedats les us des autres. L observateur qui compte les faces oires igore quel est le dé D i utilisé. ) Calculer la probabilité pour qu il sorte ue face oire au premier lacer. ) Sachat qu il est sorti ue face oire aux deux premiers lacers, calculer la probabilité qu il sorte ue face oire au troisième lacer. ème 3 ) Calculer la probabilité qu il sorte ue face oire au lacer, sachat que das les lacers précédets, il est toujours sorti ue face oire. Calculer la limite de cette probabilité quad ted vers EXERCICE 4 : Ue ure cotiet iitialemet b boules blaches et r boules rouges.o effectue des tirages successifs d ue boule de cette ure selo le protocole suivat : si à rag quelcoque o obtiet ue boule rouge, celle-ci est remise das l ure avat le tirage suivat et si à u rag quelcoque o obtiet ue boule blache, o e la remet pas das l ure. ) Quelle est la probabilité de tirer ue boule blache au cours des premiers tirages? ) Quelle est la probabilité de tirer au mois ue boule blache au cours des premiers tirages? 3) Sachat qu au cours des premiers tirages o a tiré exactemet ue boule blache, quelle est la probabilité qu elle ait été tirée e derier? EXERCICE 5 : * Soit. Ue ure cotiet ue boule rouge, ue boule blache et ue boule oire.o tire successivemet boules de cette ure, avec, après chaque tirage, remise das l ure de la boule tirée. ) Quelle est la probabilité pour que la première et la derière boule tirée soiet de la même couleur? ) Quelle est la probabilité d obteir au mois ue boule rouge au cours de ces tirages? 3) Quelle est la probabilité d obteir au mois ue boule de chaque couleur au cours de ces tirages? EXERCICE 6 : (EDHEC 995) Ue ure cotiet 8 boules rouges, 4 boules oires et boules vertes. U joueur effectue das cette ure des tirages d'ue boule, avec remise de la boule tirée avat de tirer la suivate, jusqu'à ce qu'il obtiee : Soit ue boule rouge, auquel cas il a gagé et le jeu s'arrête. Soit ue boule verte, auquel cas il a perdu et le jeu s'arrête égalemet. O désige par u etier aturel o ul. O ote A l évéemet : "le joueur est déclaré vaiqueur à ' issues du -ième tirage" ) a) Calculer P (A ). b) Quelle est la probabilité que le joueur gage? ) Quelle est la probabilité que le joueur perde? 3) Quelle est la probabilité que ce jeu e s'arrête jamais?

5 EXERCICE 7: ESCP 984 Deux joueurs A et B disposet d u dé équilibré et fot ue partie selo la règle suivate : A lace le dé : S il obtiet l as, il est déclaré gagat et le jeu s arrête. S il obtiet ou 3, c est à B de jouer. S il obtiet 4, 5, ou 6 la partie est déclarée ulle et le jeu s arrête. Lorsque B lace le dé : S il obtiet as, ou 3 il est déclaré gagat et la partie s arrête. S il obtiet 4 ou 5, c est à A de jouer selo la règle ci-dessus. S il obtiet 6 la partie est déclarée ulle et le jeu s arrête. Calculer les probabilités des évéemets : A : «Le joueur A est déclaré gagat au (i+) ième lacer» i i G A : «Le joueur A est déclaré gagat» G B : «Le joueur B est déclaré gagat» N : «La partie est déclarée ulle» I : «la partie se poursuit idéfiimet». EXERCICE 8: (HEC T 006) Ue société de locatio de voitures possède trois ageces, ue à Rees, ue à Lyo, ue à Marseille. Lorsqu'u cliet loue ue voiture, u jour doé, das ue des trois villes, il la restitue le jour même das ue des trois ageces.o suppose qu'ue voiture doée 'est louée qu'ue seule fois das la jourée. Ue étude statistique a permis de motrer que, pour ue voiture doée : si elle est louée à Rees u certai jour, alors elle est laissée le soir à Lyo avec la probabilité 4, tadis qu'elle est laissée à Marseille avec la probabilité 3 4 ; si elle est louée à Lyo, alors elle est laissée à Rees avec la probabilité, laissée à Marseille avec la probabilité 4, et rameée à Lyo avec la probabilité 4 ; si elle est louée à Marseille, elle est laissée à Rees avec la probabilité, laissée à Lyo avec la probabilité 4, et rameée à Marseille avec la probabilité 4. Pour tout de, o ote R (respectivemet L, M ) l'évéemet «la voiture se trouve à ième Rees (respectivemet Lyo, Marseille) le soir du jour». O cosidère les probabilités suivates: r P( R), l P( L), m P( M) O suppose qu'au départ, la voiture est à Rees, et o pose doc: r 0, l0 0, m O désige par I la matrice idetité d'ordre 3, défiie par: I Pour tout etier de, o défiit la matrice coloe à trois liges U par: U r l m

6 a) Vérifier que, pour tout de, o a la relatiou AU, où A est la matrice 0 carrée d'ordre 3 suivate: A b) ExpliciterU 0. Etablir, à l'aide d'u raisoemet par récurrece que, pour tout de,o a: U A U0.. O se propose das cette questio de calculer A. 4 0 O cosidère la matrice S, carrée d'ordre 3, défiie par: A a) Motrer que la matrice S est iversible et calculer explicitemet sa matrice iverse S. b) O pose S AS. Expliciter, sous forme de tableau, la matrice. c) Doer, pour tout de, l'expressio sous forme de tableau de la matrice. d) Exprimer A e foctio de S, S et. E déduire que, pour tout de, o a A S S. e) Doer, pour tout de, l'expressio sous forme de tableau de A. 3. a) Exprimer, pour tout de, r, l, m e foctio de. b) Détermier les limites de ces probabilités quad ted vers. EXERCICE 9 : (EDHEC 996) 0 0 Partie I : O cosidère les matrices I = 0 0, J = et M = 0 0 / 3 / 6 / 6 / 6 / 3 / 6. / 6 / 6 / 3 ) Exprimer J, puis pour tout etier supérieur ou égal à, J e foctio de J. ) E déduire que, pour tout etier aturel : M = I ( ) J. 3 Partie II : U mobile se déplace aléatoiremet das l'esemble des sommets d'u triagle ABC de la faço suivate : si, à l'istat, il est sur l'u quelcoque des trois sommets, alors à l'istat +, soit il y reste, avec ue probabilité de /3, soit il se place sur l'u des deux autres sommets, et ceci avec la même probabilité. O suppose que le mobile se trouve e A à l istat 0. O ote A l'évéemet : "le mobile se trouve e A à l'istat " B l'évéemet : "le mobile se trouve e B à l'istat " C l'évéemet : "le mobile se trouve e C à l'istat ". O pose a = P (A ), b = P (B ), c = P (C ). Exprimer, pour tout etier, a +, b +, c + e foctio de a, b, c. Calculer a, b, c e foctio de.

7 EXERCICE 0 : U dé hoête est lacé ue ifiité de fois. Calculer la probabilité pour que l as apparaisse jamais. EXERCICE : O cosidère ue ure coteat des boules jaues, oires et bleues e proportio pqet, r respectivemet où pqet, r sot des réels élémets de l itervalle 0,. O effectue das cette ure des tirages successifs d ue boule avec remise. Motrer que la probabilité de obteir aucue boule bleue au cours d ue ifiité de tirages est ulle EXERCICE : (HEC 000) O dispose de deux jetos A et B que l o peut placer das deux cases C0 etc, et d u dispositif permettat de tirer au hasard et de maière équiprobable, l ue des lettres abou, c.au début de l expériece, les deux jetos sot placés das C 0.O procède alors à ue série de tirages idépedats de l ue des trois lettres abou, c. si la lettrea est tirée, o chage le jetoa de case, si la lettre b est tirée, o chage le jeto B de case, si la lettrec est tirée, o echage pas le placemet des jetos. ) Soit u etier strictemet positif. Détermier la probabilité que, à l'issue de la ieme opératio, le jetoa 'ait jamais quittéc 0. ) Quelle est la probabilité que le jeto A reste idéfiimet dasc 0? EXERCICE 3 : Paul possède u sac qui cotiet au début 3 billes vertes et bille rouge. Il joue avec so copai Luc de la faço suivate ; à chaque étape Luc ajoute 3 billes vertes das le sac, puis il tire de faço équiprobable ue bille du sac et la garde. Le jeu s arrête dès que Luc tire la bille rouge. ) Vérifier que, pour tout etier aturel, o a ) Calculer, pour tout etier aturel o ul ; la probabilité de l évéemet G : «Luc a pas tiré la bille rouge à l issue des premiers tirages» 3) Motrer que, pour tout etier aturel o ul, 6 PG 6 probabilité de l évéemet G : «Luc e tire jamais la bille rouge».e déduire la EXERCICE 4 : Les ombres a et b sot des etiers aturels o uls tels que a b O effectue das ue ure coteat iitialemet b boules blaches et b boules oires ue suite ifiie de tirages avec remise e rajoutat das l ure a boules blaches supplémetaires après chaque tirage ayat doé ue boule blache ) Calculer la probabilité de l évèemet B : «les premiers tirages ot tous ameé ue boule blache» b b ) Motrer que l lorsque k ted vers b ka ka 3) E déduire la probabilité que tous les tirages amèet ue boule blache

8 EXERCICE 5: ORAL HEC 009 EXERCICE 6: ORAL HEC 007 (QUESTION SANS PREPARATION) EXERCICE 7 : ORAL HEC 0 (QUESTION SANS PREPARATION)