Comparaison ancien et nouveau Programme de Tale S

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1 Comparaiso acie et ouveau Programme de Tale S Frédéric Barôme Comparaiso acie et ouveau programmes de Tale S Retrée AEFE Asie-Pacifique Disparu Pas chagé Apparu Suites - O présetera le pricipe de récurrece comme u axiome. - Raisoemet par récurrece. - Ce type de raisoemet (par récurrece) iterviet tout au log - O étudiera umériquemet sur u ou deux exemples, la rapidité de covergece de covergece d ue suite. - O motrera sur des exemples que l étude sur calculatrice ou au tableur d ue suite permet de cojecturer des limites qui devrot esuite être justifiées. - Suites adjacetes et théorème des suites adjacetes. - La otio de suites adjacetes sera itroduite e liaiso avec le calcul itégral : ecadremets d aires (par exemple aire par la méthode d Archimède, aire sous ue parabole). O motrera le lie avec l écriture décimale d u réel. - Limite fiie ou ifiie d'ue suite. - Pour exprimer que u ted vers l quad ted vers +, o dit que : «tout itervalle ouvert coteat l cotiet toutes les valeurs u à partir d u certai rag». Pour exprimer que u ted vers + quad ted vers +, o dit que : «tout itervalle de la forme ] A ; + [ cotiet toutes les valeurs u à partir d u certai rag». - Limites et comparaiso. - Démotrer que si (u ) et (v ) sot deux suites telles que : - u est iférieur ou égal à v à partir d u certai rag - u ted vers + quad ted vers + ; alors v ted vers + quad ted vers +. - Le théorème dit «des gedarmes» est admis. - Opératios sur les limites. - Comportemet à l ifii de la suite (q ), q état u ombre réel. - Démotrer que la suite (q ), avec q > 1, a pour limite +. - Détermier la limite évetuelle d ue suite géométrique. - O traitera e exercice quelques problèmes meat à l étude de suites arithmético-géométriques défiies par u +1 = a u + b. - Suite mootoe, majorée, miorée, borée. - Théorème de covergece des suites croissates majorées. Ce théorème est admis. de l aée et pas seulemet das le cadre de l étude des suites. - Das le cas d ue limite ifiie, état doés ue suite croissate (u ) et u ombre réel A, détermier à l aide d u algorithme u rag à partir duquel u est supérieur à A. - Comme e classe de première, il est importat de varier les approches et les outils sur lesquels le raisoemet s appuie. - O présete des exemples de suites qui ot pas de limite. - Démotrer que si ue suite est croissate et admet pour limite l, alors tous les termes de la suite sot iférieurs ou égaux à l. - O peut étudier des situatios où iterviet la limite de la somme des premiers termes d ue suite géométrique. - O démotre par récurrece que pour a réel strictemet positif et tout etier aturel : (1 + a) 1 + a. - Il est itéressat de démotrer qu ue suite croissate o majorée a pour limite +. - Des activités algorithmiques sot meées das ce cadre. - (AP) Approximatios de réels ( π, e, ombre d or, etc).

2 Frédéric Barôme Comparaiso acie et ouveau programmes de Tale S Retrée AEFE Asie-Pacifique Limites - Limite fiie d ue foctio e u réel a. - Limite de la composée d ue suite et d ue foctio. - O pourra parler de limite à droite ou à gauche à l occasio de certais exemples. - Limite fiie ou ifiie d ue foctio à l ifii. - Limite ifiie d ue foctio e u poit. - Limite de la composée d ue suite et d ue foctio. - Limites de la somme, du produit, du quotiet de deux foctios. - Limite de la composée de deux foctios. - Le travail réalisé sur les suites est étedu aux foctios, sas formalisatio excessive. L objectif essetiel est de permettre aux élèves de s approprier le cocept de limite, tout e leur doat les techiques de base pour détermier des limites das les exemples recotrés e termiale. - La composée de deux foctios est recotrée à cette occasio, mais sas théorie géérale. - Théorème «des gedarmes» : o démotrera ce théorème lorsque la variable ted vers l ifii. O étedra ce théorème au cas des limites ifiies. - O reverra à cette occasio la otio d asymptote oblique, e se limitat aux foctios se mettat sous la forme ax + b + h(x), où h ted vers 0 à l ifii. Cotiuité - O illustrera la otio de cotiuité e parlat de tracé sas lever le crayo. - O défiira la cotiuité de f e u poit a par lim x a f(x) = f(a) ou lim h 0 f(a+h) = f(a). - O présetera à titre de cotre-exemple le cas de la foctio partie etière. - Théorème des valeurs itermédiaires : «Soiet f ue foctio défiie et cotiue sur u itervalle I et a et b deux réels das I. Pour tout réel k compris etre f(a) et f(b), il existe u réel c compris etre a et b tel que f(c)=k». - Ce théorème pourra être admis ou démotré à l aide de suites adjacetes. Dérivatio - Dérivatio d ue foctio composée. - O fera remarquer que toute foctio dérivable est cotiue. - O rappellera e particulier le théorème suivat qui sera utilisé à propos des primitives : ue foctio dot la dérivée est ulle sur u itervalle est costate sur cet itervalle. - Applicatio à l étude de la foctio tagete. - À l occasio des exercices, o recotre des relatios etre gradeurs de la forme x= f(t), y = g(x), v = u(t) etc, où t représete u temps, x et y des logueurs, v ue vitesse : das ces coditios, f '(t) est ue vitesse, g'(x) est u ombre et u'(t) ue accélératio, ce que l écriture différetielle met e valeur. - Écriture différetielle dy=f '(x) dx. O se cotetera d expliquer que l écriture différetielle exprime symboliquemet l égalité : y = f '(x) x + ( x), où ted vers zéro avec x. - Détermier des limites par mioratio, majoratio et ecadremet. - Asymptote parallèle à l u des axes de coordoées. - Iterpréter graphiquemet les limites obteues. - O admet que les foctios usuelles sot cotiues par itervalle. - O coviet que les flèches obliques d u tableau de variatio traduiset la cotiuité et la stricte mootoie de la foctio sur l itervalle cosidéré. - Théorème des valeurs itermédiaires. - Exploiter le théorème des valeurs itermédiaires das le cas où la foctio est strictemet mootoe. - Ce cas particulier est étedu au cas où f est défiie sur u itervalle ouvert ou semi-ouvert, boré ou o, les limites de f aux bores de l itervalle état supposées coues. - Calculer les dérivées des foctios : x u(x) ; x u (x), etier relatif o ul ; x e u(x) ; x l (u(x)). - Calculer la dérivée d ue foctio x f (ax + b) où f est ue foctio dérivable, a et b deux ombres réels. - O se limite à ue approche ituitive de la cotiuité. - O présete quelques exemples de foctios o cotiues, e particulier issus de situatios cocrètes. - Le théorème des valeurs itermédiaires est admis. - Des activités algorithmiques sot réalisées das le cadre de la recherche de solutios de l équatio f (x) = k. - À partir de ces exemples, o met e évidece ue expressio uifiée de la dérivée de la foctio x f(u(x)), mais sa coaissace est pas ue capacité attedue. - Les calculs techiques e doivet pas être u frei à la résolutio de problèmes. O a recours si besoi à u logiciel de calcul formel. - (AP) Exemples de foctios discotiues, ou à dérivées o cotiues, ou cotiues ulle part dérivables.

3 Frédéric Barôme Comparaiso acie et ouveau programmes de Tale S Retrée AEFE Asie-Pacifique Foctios sius et cosius Foctio expoetielle - L existece sera admise das u premier temps. Elle sera établie ultérieuremet à l occasio de la quadrature de l hyperbole. - O costruira avec la méthode d Euler itroduite e première des représetatios approchées de f das le cas k = 1. - Approximatio affie, au voisiage de 0, de h e h. - À l ifii, l expoetielle de x l emporte sur toute puissace de x. À travers des exemples, o étedra ces règles au cas des polyômes (comme pour la foctio x x² + 1 ). Équatios différetielles y = ay + b Foctio logarithme épérie - O peut, pour l itroduire :... e x - soit traiter le logarithme après l itégratio. - O positioera, à l aide d u grapheur, les courbes représetatives de x e x et de x l x par rapport à celles des foctios x x. - Approximatio affie, au voisiage de 0, de h l(1+h). - Les puissaces de x l emportet sur le logarithme de x. Foctios x a x, pour a > 0. Foctio racie -ième. - Coaître la dérivée des foctios sius et cosius. - O fait le lie etre le ombre dérivé de la foctio sius e 0 et la limite e 0 de si x. x - La foctio expoetielle est présetée comme l uique foctio f dérivable sur telle que : f ' = f et f (0) = 1. - Démotrer l uicité. - Relatio foctioelle caractéristique. - Notatio e x. - Coaître le ses de variatio et la représetatio graphique de la foctio expoetielle. - Coaître et utiliser lim x + x et x lim x ex. - O fait le lie etre le ombre dérivé de la foctio expoetielle e 0 et la limite e 0 de ex 1. x e x - O peut itroduire la foctio logarithme épérie grâce aux propriétés de la foctio expoetielle ou à partir de l équatio foctioelle. - Coaître le ses de variatio, les limites et la représetatio graphique de la foctio logarithme épérie. - Relatio foctioelle. - Dérivée. - Utiliser, pour a réel strictemet positif et b réel, l équivalece l a = b a = e b. l x - Coaître et utiliser lim x + x. - O évoque la foctio logarithme, otée log, pour so utilité das les autres disciplies et so rapport avec l écriture décimale des ombres. - Coaître quelques propriétés de ces foctios, otammet parité et périodicité. E dehors des exemples étudiés, aucu développemet est attedu sur les otios de périodicité et de parité. - Coaître les représetatios graphiques de ces foctios. O fait le lie etre les résultats obteus e utilisat le cercle trigoométrique et les représetatios graphiques des foctios x cos x et x si x. - [SPC] Odes progressives siusoïdales, oscillateur mécaique. - L existece est admise. - O étudie des exemples de foctios de la forme x exp( u(x) ) avec u (x) = kx ou u (x) = kx² ( k > 0 ), qui sot utilisées das des domaies variés. - [SPC et SVT] Radioactivité. - (AP) Etude de phéomèes d évolutio. - (AP) Équatios foctioelles. - O soulige das les cadres algébrique et graphique que les foctios logarithme épérie et expoetielle sot réciproques l ue de l autre. Tout développemet théorique sur les foctios réciproques est exclu. - [SI] Gai lié à ue foctio de trasfert. - [SPC] Itesité soore, magitude d u séisme, échelle des ph.

4 Frédéric Barôme Comparaiso acie et ouveau programmes de Tale S Retrée AEFE Asie-Pacifique Primitive d ue foctio cotiue sur u itervalle - Applicatio de la dérivatio des foctios composées à la primitivatio de u' u, u' eu, u' u. - L itégratio permet d établir l existece des primitives des foctios cotiues et d e doer des méthodes umériques de calcul. Itégratio - Pour ue foctio f cotiue positive sur [a ; b ], itroductio b f(x) dx comme aire sous la courbe. de la otatio a - Les élèves ot ue otio ituitive d aire (avec la propriété d additivité) et savet calculer certaies aires élémetaires ; l objectif est de leur doer u aperçu de la défiitio et du calcul de l aire de domaies plas liés aux foctios ; tout développemet théorique est exclu. - O idiquera que l aire sous la courbe peut être approchée e l ecadrat par deux suites adjacetes costruites e quadrillat le pla de plus e plus fiemet. - Exemple où la foctio itégrée est e escalier. - Théorème : «Si f est cotiue sur u itervalle I, et si a est u poit de I, la foctio F telle que F(x) = ax f(t) dt est l uique primitive de f sur I s aulat e a.» - O démotrera que F est ue primitive de f das le cas où f est cotiue et croissate, et o admettra le cas gééral. - Les propriétés géérales de l itégrale serot rapidemet commetées et admises ; les élèves s e servirot comme règles opératoires. - Itégratio par parties. - Détermier des primitives des foctios usuelles par lecture iverse du tableau des dérivées. - Coaître et utiliser les primitives de u' e u, u' u ( etier relatif, différet de 1 ). Théorème : «Toute foctio cotiue sur u itervalle admet des primitives.» - Défiitio de l itégrale d ue foctio cotiue et positive sur [ a ; b ] comme aire sous la courbe. Notatio ab f(x) dx. - Ue primitive F de la foctio cotiue et positive f état coue, o a : ab f(x) dx = F(b) F(a). - Calculer ue itégrale d ue foctio cotiue de sige quelcoque. - Liéarité, positivité, relatio de Chasles. - Pour u strictemet positive, coaître et utiliser les primitives de u' u. - Pour u strictemet positive, coaître et utiliser les primitives u' de u. - Il est itéressat de démotrer ce théorème das le cas d u itervalle fermé boré, e admettat que la foctio a u miimum. O admet le cas gééral. - O fait observer que certaies foctios comme x e x² ot pas de primitive explicite. - O s appuie sur la otio ituitive d aire recotrée au collège et sur les propriétés d additivité et d ivariace par traslatio et symétrie. - O peut meer u calcul approché d aire (parabole, hyperbole, etc.) pour illustrer cette défiitio. - Théorème : «Si f est ue foctio cotiue et positive sur [ a ; b ], la foctio F défiie sur [ a ; b ] par F(x) = ax f(t) dt est dérivable sur [ a ; b ] et a pour dérivée f. - Il est itéressat de démotrer ce théorème das le cas d u itervalle fermé boré, e admettat que la foctio a u miimum. O admet le cas gééral. - La formule ab f(x) dx = F(b) F(a) établie pour ue foctio cotiue et positive, est étedue au cas d ue foctio cotiue de sige quelcoque.

5 Frédéric Barôme Comparaiso acie et ouveau programmes de Tale S Retrée AEFE Asie-Pacifique - E lie avec la physique, o metioera le problème des uités : si x et y sot deux gradeurs liées par ue relatio y = f(x), l itégrale ab f(x) dx est ue gradeur homogèe au Valeur moyee. - La otio de valeur moyee est illustrée par des exemples issus d autres disciplies. - [SPC] Mouvemet uiformémet accéléré. - [SI] Valeur moyee, valeur efficace das u trasfert éergétique. produit des gradeurs xy tadis que la valeur moyee est homogèe à y. - Iégalité de la moyee. - Ecadrer ue itégrale. - Pour ue foctio mootoe positive, mettre e oeuvre u algorithme pour détermier u ecadremet d ue itégrale. - O illustrera l itérêt de l itégrale par diverses situatios, etre autres : - expressio itégrale de la distace parcourue sur ue droite par u poit mobile dot o coaît la vitesse istataée - O illustrera l itérêt de l itégrale par diverses situatios, etre autres : - expressio itégrale du volume d u solide dot o coaît les aires des sectios avec les plas d équatio z = costate. Nombres complexes - O retrouvera à cette occasio la otio de coordoées polaires et celle, sous-jacete, d équatio paramétrique d u cercle (sous la forme z = z + r e i ou x = x + r cos, y = y + r si ). - Forme algébrique, cojugué. - Somme, produit, quotiet. - Effectuer des calculs algébriques avec des ombres complexes. - O itroduit das ce chapitre des élémets lui doat ue dimesio historique. - Résoudre das ue équatio du secod degré à coefficiets réels. - Représeter u ombre complexe par u poit - Détermier l affixe d u poit - Forme trigoométrique : module et argumet, iterprétatio géométrique. - Passer de la forme algébrique à la forme trigoométrique et iversemet. - (AP) Calcul du volume d u solide. - Représeter u ombre complexe par u vecteur. - Détermier l affixe d u vecteur. - Les ombres complexes permettet de mémoriser les formules trigoométriques d additio et de duplicatio vues e première. - Coaître et utiliser la relatio z z = z 2. - Notatio expoetielle. La otatio expoetielle est itroduite après avoir motré que la foctio x cos x + i si x vérifie la même relatio foctioelle que la foctio expoetielle. - Module et argumet d u produit, d u quotiet. - Effectuer des opératios sur les ombres complexes écrits sous différetes formes. - Iterprétatio géométrique de z z' avec z' = z + b ou z' - w = k ( z w ) avec k réel o ul, ou z' w = e iα ( z w ). - O utilisera les ombres complexes pour traiter des exemples simples de cofiguratios et résoudre des problèmes faisat iterveir des traslatios, des rotatios, des homothéties. - [SI] Aalyse fréquetielle d u système.

6 Frédéric Barôme Comparaiso acie et ouveau programmes de Tale S Retrée AEFE Asie-Pacifique Droites et plas - Les élèves doivet aussi savoir qu ue droite de l espace peut être représetée par u système de deux équatios liéaires. Caractérisatio barycetrique d ue droite, d u pla, d u segmet, d u triagle. Géométrie vectorielle - O repredra les problèmes de cocours. - Les élèves doivet aussi savoir qu ue droite de l espace peut être représetée par u système de deux équatios liéaires. Produit scalaire - Étudier les positios relatives de droites et de plas : itersectio et parallélisme. - Orthogoalité de deux droites, d ue droite et d u pla. Établir l orthogoalité d ue droite et d u pla. - O éted à l espace la otio de vecteur et les opératios associées. - Repérage et coordoées. - Représetatio paramétrique d ue droite. - Produit scalaire de deux vecteurs das l espace : défiitio, propriétés. - O éted aux vecteurs de l espace la défiitio du produit scalaire doée das le pla. - Pla orthogoal à u vecteur passat par u poit. - Équatio cartésiee d u pla : caractériser les poits d u pla de l espace par ue relatio ax + by + cz + d = 0 avec a, b, c trois ombres réels o tous uls. - Détermier ue équatio cartésiee d u pla coaissat u poit et u vecteur ormal. - Démotrer qu ue droite est orthogoale à toute droite d u pla si et seulemet si elle est orthogoale à deux droites sécates de ce pla. - Le cube est ue figure de référece pour la représetatio des positios relatives de droites et de plas. O étudie quelques exemples de sectios plaes du cube. Ce travail est facilité par l utilisatio d u logiciel de géométrie dyamique. - Il est itéressat de préseter la démostratio du théorème dit «du toit». - Caractérisatio d u pla par u poit et deux vecteurs o coliéaires. - Vecteurs coplaaires. - Décompositio d u vecteur e foctio de trois vecteurs o coplaaires. Choisir ue décompositio pertiete das le cadre de la résolutio de problèmes d aligemet ou de coplaarité. - O fait percevoir les otios de liberté et de dépedace. - O fait observer que des plas dirigés par le même couple de vecteurs o coliéaires sot parallèles. - Utiliser les coordoées pour : - traduire la coliéarité ; - caractériser l aligemet ; - détermier ue décompositio de vecteurs. - La caractérisatio d u pla par u poit et deux vecteurs o coliéaires coduit à ue représetatio paramétrique de ce pla. - O e se limite pas à des repères orthogoaux. - [SI] Ciématique et statique d u système e mécaique. - Vecteur ormal à u pla. - Détermier si u vecteur est ormal à u pla. - O caractérise vectoriellemet l orthogoalité de deux droites et o itroduit la otio de plas perpediculaires.

7 Frédéric Barôme Comparaiso acie et ouveau programmes de Tale S Retrée AEFE Asie-Pacifique - Expressio e repère orthoormal de la distace d u poit à ue droite. - Iéquatio défiissat u demi-espace. Probabilités : coditioemet - O justifiera la défiitio de la probabilité de B sachat A, par des calculs fréquetiels. - O utilisera à bo esciet les représetatios telles que... diagrammes pour résoudre des problèmes de probabilités. - Les élèves doivet savoir appliquer sas aide la formule des probabilités totales. - Applicatio à la problématique des tests de dépistage e médecie et à la loi de l équilibre géétique lors d appariemets au hasard. - Expérieces idépedates. Cas de la répétitio d expérieces idetiques et idépedates. (Programme de 1 ère Modèle de la répétitio d expérieces idetiques et idépedates à deux ou trois issues.) Probabilités : lois - Loi de Beroulli, loi biomiale (Programme de 1 ère ) - Coefficiet biomial k (Programme de 1ère ) - Choisir la forme la plus adaptée etre équatio cartésiee et représetatio paramétrique pour : - détermier l itersectio d ue droite et d u pla ; - étudier la positio relative de deux plas. - Coditioemet par u évéemet de probabilité o ulle. Notatio P A (B). - Costruire u arbre podéré e lie avec ue situatio doée. - Exploiter la lecture d u arbre podéré pour détermier des probabilités. - U arbre podéré correctemet costruit costitue ue preuve. - Calculer la probabilité d u évéemet coaissat ses probabilités coditioelles relatives à ue partitio de l uivers. - (AP) Perpediculaire commue à deux droites o coplaaires. - (AP) Itersectio de trois plas. - O représete ue situatio à l aide d u arbre podéré ou d u tableau. - Cette partie du programme se prête particulièremet à l étude de situatios cocrètes. - Des activités algorithmiques sot meées das ce cadre, otammet pour simuler ue marche aléatoire. - [SVT] Hérédité, géétique, risque géétique. - O éoce et o justifie les règles de costructio et d utilisatio des arbres podérés. - Le vocabulaire lié à la formule des probabilités totales est pas u attedu du programme, mais la mise e oeuvre de cette formule doit être maîtrisée. - Idépedace de deux évéemets. - Démotrer que si deux évéemets A et B sot idépedats, alors il e est de même pour A et B. - Loi à desité sur u itervalle. - Les exemples étudiés s appuiet sur ue expériece aléatoire et u uivers associé, mui d ue probabilité. O défiit alors ue variable aléatoire X, foctio de das, qui associe à chaque issue u ombre réel d u itervalle I de. O admet que X satisfait aux coditios qui permettet de défiir la probabilité de l évéemet { X J } comme aire du domaie : { M ( x ; y ) ; x J et 0 y f(x) } où f désige la foctio de desité de la loi et J u itervalle iclus das I. Toute théorie géérale des lois à desité et des itégrales sur u itervalle o boré est exclue.

8 Frédéric Barôme Comparaiso acie et ouveau programmes de Tale S Retrée AEFE Asie-Pacifique - Loi uiforme sur [ a ; b ]. - Coaître la foctio de desité de la loi uiforme. - Loi expoetielle. - Calculer ue probabilité das le cadre de la loi expoetielle. - O motre qu ue variable aléatoire T suivat ue loi expoetielle vérifie la propriété de durée de vie sas vieillissemet : pour tous réels t et h positifs, P T t ( T t + h ) = P ( T h ). - Cette partie du programme se prête particulièremet à l étude de situatios cocrètes, par exemple sur la radioactivité ou la durée de foctioemet d u système o soumis à u phéomèe d usure. - Espérace d ue variable aléatoire suivat ue loi uiforme. - L istructio «ombre aléatoire» d u logiciel ou d ue calculatrice permet d itroduire la loi uiforme sur [0,1]. La otio d espérace d ue variable aléatoire à desité sur [a, b] est itroduite à cette occasio par ab f(t) dt. O ote que cette défiitio costitue u prologemet das le cadre cotiu de l espérace d ue variable aléatoire discrète. - (AP) Méthode de Mote-Carlo. - Démotrer que l espérace d ue variable aléatoire suivat ue loi expoetielle de paramètre est 1 L espérace est défiie comme la limite quad x ted vers + de 0 expoetielle. t f(t) dt où f est la foctio de desité de la loi À partir de là, tout ce qui suit est «Apparu». Loi ormale cetrée réduite N (0,1). - Coaître la foctio de desité de la loi ormale N (0,1) et sa représetatio graphique. - Pour itroduire la loi ormale N (0,1), o s appuie sur l observatio des représetatios graphiques de la loi de la variable aléatoire Z = de grades valeurs de et ue valeur de p fixée etre 0 et 1. Le théorème de Moivre-Laplace assure que pour tous réels a et b, P Z a,b ted vers. - Démotrer que, lorsque X suit la loi ormale N (0,1), pour tout ] 0 ; 1 [, il existe u uique réel positif t tel que P( t X t ) = 1. - Coaître les valeurs approchées t 0,05 1,96 et t 0,01 2,58. Loi ormale N (, ) d espérace et d écart-type. - Utiliser ue calculatrice ou u tableur pour calculer ue probabilité das le cadre d ue loi ormale N (, ). - Ue variable aléatoire X suit ue loi N (, ) si X suit la loi ormale N (0,1). X p p(1 p) où X suit la loi biomiale B (, p), et cela pour a b 1 2 e x²/2 dx lorsque ted vers + O fait percevoir l iformatio apportée par la valeur de l écart-type. - [SI et SPC] Mesures physiques sur u système réel e essai. - Coaître ue valeur approchée de la probabilité des évéemets suivats : { X [ ; + ] } ; { X [ 2 ; + 2 ] } ; { X [ 3 ; + 3 ] } lorsque X suit la loi ormale N (, ). - La coaissace d ue expressio algébrique de la foctio de desité de la loi N (, ) est pas u attedu du programme. - O illustre ces ouvelles otios par des exemples issus des autres disciplies.

9 Frédéric Barôme Comparaiso acie et ouveau programmes de Tale S Retrée AEFE Asie-Pacifique Statistiques : estimatio Itervalle de fluctuatio. - Démotrer que si la variable aléatoire X suit la loi B (, p), alors, pour tout das ] 0 ; 1 [, o a : lim + P X ( ) I p (1 p) = 1, où I désige l itervalle [ p t p (1 p) ; p + t ]. - La démostratio ci-cotre doe l expressio d u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 1 de la variable aléatoire F = X, qui à tout échatillo de taille associe la fréquece obteue. p (1 p) - Coaître l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % : [ p 1,96 ; p + 1,96 - E pratique, o fait l approximatio dès que 30, p 5 et (1 p) 5. E majorat 1, 96 p (1 p), o retrouve l itervalle de fluctuatio préseté e classe de secode. La problématique de prise de décisio, déjà recotrée, est travaillée à ouveau. p (1 p) ], où p désige la proportio das la populatio. Itervalle de cofiace et iveau de cofiace. - Estimer ue proportio icoue à partir d u échatillo. - Détermier ue taille d échatillo suffisate pour obteir ue estimatio d ue proportio au iveau de cofiace 0,95 pour ue précisio attedue. - Les attedus de ce paragraphe sot modestes et sot à exploiter e lie avec les autres disciplies. - O peut démotrer que l itervalle [ F 1 ; F + 1 ] cotiet la proportio à estimer avec ue probabilité au mois égale à 0,95. O peut alors éocer que p est élémet de l itervalle [ f 1 ; f + 1 ] avec u iveau de cofiace de plus de 95 %, où f désige la fréquece observée sur u échatillo de taille. La simulatio de sodages sur tableur permet de sesibiliser aux fourchettes de sodage. f ( 1 f ) f ( 1 f ) Il est importat de oter que, das d autres champs, o utilise l itervalle [f 1,96 ; f + 1,96 ] qu il est pas possible de justifier das ce programme. - [SVT] Aalyse de graphiques où les doées sot fouries par des itervalles de cofiace. - (AP) Prise de décisio lors de la comparaiso de deux proportios (par exemple lors d u essai thérapeutique).