EXERCICES de Statistiques

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1 EXERCICES de Statistiques Aette Corpart lycée Jea Zay de Thiers

2 EXERCICES sur la LOI NORMALE La variable aléatoire X suit la loi ormale N ( 12 ; 4 ). Calculer les probabilités suivates : P ( X 15 ) ; P ( X 18 ) ; P ( X 7 ) ; P ( X 9 ) ; P(8 X 17 ). O pose T = X 12, alors T suit N (0 ; 1). 4 P ( X 15 ) = P ( T 0,75 ) = 0,7734. P ( X 18 ) = P ( T 1,5 ) = 1 - (1,5) = 0,0668. P ( X 7 ) = P ( T - 1,25 ) = P ( T 1,25 ) = 0,8944. P ( X 9 ) = P ( T - 0,75 ) = 1 - (0,75) = 0,2266. P ( 8 X 17 ) = P ( -1 T 1,25 ) = (1,25) - ( 1 - (1)) = 0,7357. Ue machie produit des rodelles métalliques e grade série. Ue rodelle est acceptée si so diamètre extérieur est compris etre 21,9 et 22,1 mm. O suppose que sur l'esemble de la productio le diamètre extérieur des rodelles est ue variable aléatoire X qui suit la loi ormale de moyee m = 22 mm et d'écart type = 0,05 mm. Quelle est la probabilité qu'ue pièce soit refusée? O pose T = X 22, alors T suit N (0 ; 1). 0, 05 P ( 21,9 X 22,1 ) = P ( -2 T 2 ) = 2 (2) - 1 = 0,9544. Probabilité qu'ue pièce soit refusée = 1-0,9544 = 6. Le ombre de cliets d'u magasi suit chaque samedi ue loi ormale de moyee 350 et d'écart type 30. Quelle est la probabilité pour qu'il y ait u samedi doé, : - plus de 400 cliets? - mois de 300 cliets? - u ombre de cliets compris etre 320 et 380? O pose T = X 350, alors T suit N (0 ; 1). 30 P ( X 400 ) = P ( T 1,67 ) = 1 - (1,67) = 0,0475. P ( X 300 ) = P ( T - 1,67 ) = 1 - (1,67) = 0,0475. P ( 320 X 380 ) = P ( -1 T 1 ) = 2 (1) - 1 = 0,6826. Ue machie usie des pièces. O désige par X la variable aléatoire qui à chaque pièce associe sa logueur x. O suppose que X suit ue loi ormale de moyee m = 54 et d'écart type = 0,2. Ue pièce est cosidérée comme défectueuse si x 53,6 ou x 54,3 a) Calculer la probabilité qu'ue pièce soit défectueuse. b) Pour vérifier que la machie e s'est pas déréglée, o détermie des cotes d'alerte m - h et m + h défiies par : P ( m - h X m + h ) = 0,95. Calculer les cotes d'alerte. a) O pose T = X 54, alors T suit N (0 ; 1). 0, 2 P ( 53,6 X 54,3 ) = P ( - 2 T 1,5 ) = = (1,5) - ( 1 - (2)) = 0,9104. Probabilité qu'ue pièce soit défectueuse = 1-0,9104 = 0,0896. b) P ( 54 - h X 54 + h ) = 0,95. P ( h 0, 2 T h 0, 2 ) = 0,95.

3 h 0, 2 = 0,975 doc h 0, 2 = 1,96 d'où h = 0,392. Das u pays d'afrique, 15 % de la populatio est atteite du virus du sida. Ue campage de dépistage est mise e place sur u échatillo de 500 persoes prises au hasard das la populatio. O suppose que l'effectif de la populatio est très grad. O suppose que les risques d'erreur du test sot égligeables et o admet que la probabilité qu'u test réalisé sur ue persoe prise au hasard das la populatio soit positif est 0,15. O appelle X la variable aléatoire qui pred pour valeur le ombre de tests positifs sur les 500 tests effectués. 1 Quelle est la loi de probabilité de X? Calculer l'espérace mathématique et l'écart type de X. 2 Par quelle loi ormale peut-o approcher la loi défiie ci-dessus? 3 E utilisat cette loi ormale, calculer la probabilité que plus de 80 tests se révèlet positifs. 1 X suit la loi biomiale B ( 500 ; 0,15 ) 2 X peut être approchée par la loi ormale N ( 75, 63, 75 ). 3 O pose T = X 75, alors T suit N (0 ; 1). 63, 75 P ( X 80 ) = P ( T 0,626 ) = 1 - (0,626) 0,266. EXERCICES TESTS D'HYPOTHESE Das u atelier ue machie fabrique des pièces e grade série; o s'itéresse à leur logueur mesurée e cm. O admet que la variable aléatoire qui, à chaque pièce tirée au hasard das la productio associe sa logueur, suit ue loi ormale de moyee m et d'écart type = 0,14. Afi de cotrôler le fait que la moyee m des logueurs des pièces produites est 150, o se propose de costruire u test d'hypothèse. O prélève des échatillos aléatoires de 49 pièces (chaque échatillo état obteu par tirage avec remise). A chaque échatillo aisi défii, o associe la moyee des logueurs des 49 pièces; o défiit aisi ue variable aléatoire X. L'hypothèse ulle est H 0 : m = 150; l'hypothèse alterative est H 1 : m 150. Le seuil de sigificatio du test est fixé à 0,05. a) Quelle est, sous l'hypothèse ulle H 0, la loi de la variable aléatoire X? Détermier le ombre réel positif h tel que p(150 - h X h) = 0,95. b) Eocer la règle de décisio permettat d'utiliser ce test. c) La moyee observée sur u échatillo de 49 pièces est x = 149,9. Que peut-o coclure au seuil de sigificatio 5 % quat à la qualité des pièces produites? a) Sous H 0, X suit N ( 150 ; 0,14 ) soit N ( 150 ; 0,02 ) O pose T = X , alors T suit N (0 ; 1). P ( h X h ) = 0,95. P (- h T h ) = 0,95. h ) = 0,975 doc h = 1,96 d'où h = 0,0392 soit h = 0,04 à 0,001 près b) Règle de décisio : Soit x la moyee observée sur u échatillo de 49 pièces. Si x [ 149,96 ; 150,04 ], alors o accepte H 0 et o rejette H 1 Si x [ 149,96 ; 150,04 ], alors o accepte H 1 et o rejette H 0 c) Utilisatio du test : Ici x = 149,9 : o rejette H 0. O coclut au seuil de 5 % que la moyee 'est pas m = 150.

4 Ue etreprise commercialise des pieds de lit de type boule. Pour ces pieds o utilise ue bague e matière plastique de diamètre itérieur x. O défiit aisi ue variable aléatoire X qui, à chaque bague tirée au hasard das la productio, associe so diamètre itérieur x mesuré e millimètres. O admet que X suit la loi ormale de moyee m et d'écart type 0,04. Le fourisseur affirme que m = 12,1. O veut cotrôler cette affirmatio e prélevat au hasard et avec remise u échatillo de 64 pièces das la livraiso. A tout échatillo o associe la moyee x des diamètres itérieurs des bagues. O défiit aisi ue variable aléatoire X. a) Quelle est la loi suivie par X? b) Costructio d'u test bilatéral au seuil de risque de 10 %. Doer l'hypothèse ulle H 0 et l'hypothèse alterative H 1. Détermier les deux valeurs critiques qui permettet de décider si la livraiso est coforme. Eocer la règle de décisio du test. c) Pour l'échatillo prélevé la moyee obteue est 12,095. Que cocluez-vous? a) X suit N (m ; 0, ) soit N ( m ; 0,005 ) b) Choix des hypothèses : Hypothèse ulle H 0 : m = 12,1; hypothèse alterative H 1 : m 12,1. Détermiatio de la régio critique : Sous H 0, X suit N ( 12,1 ; 0,005 ). O pose T = P ( 12,1 - h X 12,1 + h ) = 0,9. T ) = 0,9. P (- h h h ) = 0,95 doc h X 12,1, alors T suit N (0 ; 1). = 1,645 d'où h = 0,0082 0,01. Règle de décisio : Soit x la moyee observée sur u échatillo de 64 pièces. Si x [ 12,09 ; 12,11 ], alors o accepte H 0 et o rejette H 1 Si x [ 12,09 ; 12,11 ], alors o accepte H 1 et o rejette H 0 c) Utilisatio du test : Ici x = 12,095 : o 'a pas de raiso de rejeter H 0. Soit u stock importat dot o estime qu'u caractère X suit ue loi ormale de moyee = 240 et d'écart type = 50. O prélève u échatillo de 40 uités, dot la moyee observée est x = 260. Au risque de 1 % peut-o cosidérer que est effectivemet égal à 240? (Costruire u test bilatéral : choix des hypothèses, détermiatio de la régio critique, règle de décisio puis utiliser le test) Et au risque de 5 %? Choix des hypothèses : Hypothèse ulle H 0 : = 240; hypothèse alterative H 1 : 240. Détermiatio de la régio critique : Soit X la variable aléatoire qui à tout échatillo de taille 40 associe la moyee x des uités de cet échatillo. Sous H 0, X suit N ( 240 ; 50 ) soit N ( 240 ; 7,9 ). O pose T = X 240, alors T suit N (0 ; 1). 40 Risque de 1 % : P ( h X h ) = 0,99. ) = 0,99. P (- h T h h ) = 0,995 doc h Règle de décisio : Soit x la moyee observée sur u échatillo de 40 uités. = 2,575 d'où h 0,3.

5 Si x [ 219,7 ; 260,3 ], alors o accepte H 0 et o rejette H 1 Si x [ 219,7 ; 260,3 ], alors o accepte H 1 et o rejette H 0 Utilisatio du test : Ici x = 260 : o 'a pas de raiso de rejeter H 0 au seuil de 1 %. Risque de 5 % : P ( h X h ) = 0,95. ) = 0,95. P (- h T h h ) = 0,975 doc h Règle de décisio : Soit x la moyee observée sur u échatillo de 40 uités. Si x [ 224,5 ; 255,5 ], alors o accepte H 0 et o rejette H 1 Si x [ 224,5 ; 255,5 ], alors o accepte H 1 et o rejette H 0 Utilisatio du test : Ici x = 260 : o rejette H 0 au seuil de 5 %. = 1,96 d'où h,5. O s'itéresse das cet exercice aux allergies déclechées par u certai médicamet. Das ue populatio de grad effectif, o a observé que 40 % des idividus sot allergiques à ce médicamet. Ces allergies sot détectées par des tests effectués e laboratoire. O examie u échatillo de 100 aalyses choisies au hasard et o observe que 31 idividus révèlet l'allergie à ce médicamet. Au seuil de risque 0,05 peut-o coclure que l'échatillo est représetatif de la populatio pour cette allergie? Et au risque 0,10? Soit p la proportio d'allergiques au médicamet das la populatio et soit F la variable aléatoire qui à tout échatillo de taille 100 prélevé das cette populatio associe la fréquece des idividus allergiques das cet échatillo. Choix des hypothèses : Hypothèse ulle H 0 : p = 0,4; hypothèse alterative H 1 : p 0,4. Détermiatio de la régio critique : Sous H 0, F suit N ( 0,4 ; Risque de 5 % : P ( 0,4 - h F 0,4 + h ) = 0,95. P (- h T 0,4 0,6 ) soit N ( 0,4 ; ). O pose T = 100 h ) = 0,95. F 0,4, alors T suit N (0 ; 1). h ) = 0,975 doc h = 1,96 d'où h. Règle de décisio : Soit f la fréquece observée das u échatillo de 100 persoes. Si f [ 0,304 ; 0,496 ], alors o accepte H 0 et o rejette H 1 Si f [ 0,304 ; 0,496 ], alors o accepte H 1 et o rejette H 0 Utilisatio du test : Ici f = 0,31 : o accepte H 0 au seuil de 5 %. O cosidère que l'échatillo est représetatif de la populatio pour laquelle p = 0,4. Risque de 10 % : P ( 0,4 - h F 0,4 + h ) = 0,9. P (- h T h ) = 0,9. h ) = 0,95 doc h = 1,645 d'où h. Règle de décisio : Soit f la fréquece observée das u échatillo de 100 persoes. Si f [ 0,319 ; 0,481 ], alors o accepte H 0 et o rejette H 1

6 Si f [ 0,319 ; 0,481 ], alors o accepte H 1 et o rejette H 0 Utilisatio du test : Ici f = 0,31 : o rejette H 0 au seuil de 10 %. O cosidère que l'échatillo ' est pas représetatif d'ue populatio pour laquelle 40 % des idividus sot allergiques. Pour u sodage électoral, o costitue deux échatillos d'électeurs de tailles 300 et 200 respectivemet das deux circoscriptios A et B. Cela met e évidece des itetios de vote de 56 % et 48 % pour u cadidat doé. Tester, au seuil de 5 %, les hypothèses : - il y a ue différece etre les circoscriptios. - le cadidat est préféré das la circoscriptio A. O compare les pourcetages p A et p B de votats pour le cadidat das les deux populatios A et B. Soit F A la variable aléatoire qui à tout échatillo de taille 300 prélevé das la circoscriptio A associe la fréquece f A des votats pour le cadidat das cet échatillo et soit F B la variable aléatoire qui à tout échatillo de taille 200 prélevé das la circoscriptio B associe la fréquece f B des votats pour le cadidat das cet échatillo. F A suit N ( p A ; F B suit N ( p B ; 0,56 0,44 ) soit N ( p 300 A ; 0,029 ) 0,48 0,52 ) soit N ( p 200 B ; 0,035 ). O pose D = F A - F B. Alors D suit N ( p A - p B ; 0,0292 0, 0352 ) soit N ( p A - p B ; ) Test bilatéral : o teste s' il y a ue différece etre les deux circoscriptios. Choix des hypothèses : Hypothèse ulle H 0 : p A = p B ; hypothèse alterative H 1 : p A p B. Détermiatio de la régio critique au seuil de 5 % : Sous H 0, D suit N ( 0 ; ). P ( - h D h ) = 0,95. P (- h T h ) = 0,95. h ) = 0,975 doc h = 1,96 d'où h. Règle de décisio : Soit d = f A - f B la différece etre deux fréqueces observées respectivemet das deux échatillos des circoscriptios A et B. Si d [ - 0,09 ; 0,09 ], alors o accepte H 0 et o rejette H 1 Si d [ - 0,09 ; 0,09 ], alors o accepte H 1 et o rejette H 0 Utilisatio du test : Ici d = 0,08 : o 'a pas de raiso de rejeter H 0 au seuil de 5 %. O cosidère qu'il 'y a pas de différece sigificative etre les deux circoscriptios. Test uilatéral : o teste si le cadidat est préféré das la circoscriptio A. Choix des hypothèses : Hypothèse ulle H 0 : p A = p B ; hypothèse alterative H 1 : p A > p B. Détermiatio de la régio critique au seuil de 5 % : Sous H 0, D suit N ( 0 ; ). P ( D h ) = 0,95. P ( T 0, 045 h ) = 0,95. h ) = 0,95 doc Règle de décisio : h = 1,645 d'où h.

7 Soit d = f A - f B la différece etre deux fréqueces observées respectivemet das deux échatillos des circoscriptios A et B. Si d 0,07, alors o accepte H 0 et o rejette H 1 Si d > 0,07, alors o accepte H 1 et o rejette H 0 Utilisatio du test : Ici d = 0,08 : o rejette H 0 au seuil de 5 %. O cosidère que le cadidat est préféré das la circoscriptio A. EXERCICES INTERVALLES DE CONFIANCE O admet que la variable aléatoire X qui pred comme valeurs les résultats de la pesée d'u même objet doé suit la loi ormale de moyee m et d'écart type. O suppose que m et sot icous. O a relevé das le tableau suivat les résultats de 10 pesées d'u même objet : masse e grammes 72,20 72,24 72,26 72,30 72,36 72,39 72,42 72,48 72,50 72,54 1 Calculer la moyee et l'écart type de cet échatillo. 2 E déduire des estimatios poctuelles de la moyee m et de l'écart type de la variable X. 3 Das la suite, o admet que la variable aléatoire qui à tout échatillo de 10 pesées associe la moyee de ces pesées suit ue loi ormale. E preat pour écart type la valeur estimée e 2, doer u itervalle de cofiace au seuil de 5% de la moyee m. 4 L'écart type de l'appareil de pesée, mesuré à partir de ombreuses études atérieures, est e réalité, pour u objet ayat eviro cette masse, de 0,08. Das cette questio, o pred doc = 0,08. Détermier (à l'uité près) pour que au seuil de %, u itervalle de cofiace de m soit [72,31 ; 72,43]. 1 x = 72,37 et s = 0,11 2 m = 72,37 et = 0, = 0,12 3 [ x - t ; x + t ] = [72,37-1,96 x 0,12 ; 72,37 + 1,96 0,12 x ] = [72,29 ; 72,45] t x 0, 08 = 0,06 ; t = 2,37 ; 2 (t ) - 1 = 2 (2,37) - 1 0,98 d'où = 2 %. 10 U cadidat à ue électio fait effectuer u sodage das sa circoscriptio comportat électeurs. Sur 1068 persoes iterrogées, 550 déclaret vouloir voter pour ce cadidat. O suppose que cet échatillo peut être assimilé à u échatillo prélevé au hasard das la populatio des électeurs de la circoscriptio. 1 Soit F la variable aléatoire qui, à tout échatillo de taille = 1068 prélevé au hasard das cette populatio, associe le pourcetage d'électeurs de cet échatillo voulat voter pour le cadidat. O suppose que F suit ue loi ormale. Doer les paramètres de F e foctio de p, le pourcetage icou des électeurs de la circoscriptio voulat voter pour le cadidat. 2 Détermier u itervalle de cofiace de p avec le coefficiet de cofiace 0,95. 3 Au vu du résultat de ce sodage, le cadidat a-t-il raiso de peser que si les électios avaiet eu lieu au momet où le sodage a été réalisé et si les réposes au sodage étaiet sicères, il aurait été élu au premier tour? 1 F suit N ( p ; pq 1068 ) 2 [f - t f (1 f ) 0, 515 0,485 f (1 f ) ; f + t ] = [0,515-1,96 x 0, 515 0,485 ; 0, ,96 x ] soit [0,485 ; 0,545] ou, e pourcetages [48,5 % ; 54,5 %] 3 Avec le coefficiet de cofiace 95 %, le pourcetage des électeurs votat pour A est situé das l'itervalle [48,5 % ; 54,5 %] A 'est doc pas écessairemet élu.

8 O tire au hasard au sei d'ue populatio (très grade), u échatillo de 100 sujets et l'o mesure la glycémie de chacu d'etre eux. O obtiet pour cet échatillo ue moyee x = 92,2 et u écart type s = 7,17. 1 A partir des résultats obteus pour cet échatillo, estimer poctuellemet la moyee m et l'écart type de la glycémie das la populatio. 2 O suppose que la variable aléatoire X qui, à tout échatillo de taille 100 associe la glycémie moyee de cet échatillo suit ue loi ormale et o pred pour valeur de l'écart type de la glycémie das la populatio l'estimatio poctuelle obteue. a) Quels sot les paramètres de la loi suivie par X? b) Détermier u itervalle de cofiace de la glycémie moyee m das la populatio avec le iveau de cofiace de 99 %. c) Quelle doit être la taille miimale de l'échatillo pour coaître avec le iveau de cofiace de 95 % la glycémie moyee m das la populatio à 1 mg / 100 ml près? 1 m = 92,2 et = 7,17 x 100 = 7, a) X suit N ( m ; 0,72 ) b) [ x - t ; x + t ] = [92,2-2,575 x 0,72 ; 92,2 + 2,575 x 0,72] = [90,3 ; 94,1] 7, 21 1,96 7, 21 c) 1,96 = 0,5 ; = 0, 5 d'où = 799 Ue agece de voyages propose, das u de ses circuits, la visite d'ue expositio sous forme d'optio supplémetaire. E prélevat au hasard 60 fiches de cliets parmi les 2379 cliets de la période cosidérée, o observe que seulemet 14 fiches comportet cette optio. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échatillo de taille = 60 prélevé au hasard parmi les 2379 cliets, associe le pourcetage des cliets de l'échatillo ayat pris cette optio. O ote p le pourcetage icou des 2379 cliets ayat pris l'optio et o suppose que F suit ue loi ormale. 1 Quels sot les paramètres de la loi suivie par F? 2 Détermier ue estimatio de p par u itervalle de cofiace à 95 %. 3 Avec quel effectif miimal obtiet-o, avec le coefficiet de cofiace 95 %, ue estimatio de p par u itervalle de cofiace e comportat que des pourcetages iférieurs à 25 %? Coclure. 1 F suit N ( p ; 2 [f - t f (1 f ) 3 0, 233 1, 96 pq 60 ) ; f + t f (1 f ) 0, 233 0, 767 0, 233 0, 767 ] = [0,233-1,96 ; 0, ,96 60 = [0,126 ; 0,340] 0, 25 d' où , 233 0, ].

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