Nous pouvons représenter cette situation par le système d équations suivant:

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1 dré Ross lgèbre liéaire e géomérie vecoriel Mise e siuaio 1 lice e Beoî vo au magasi Ils achèe 2 ypes d aricles: Le premier aricle coûe x dollars e le secod aricle coûe y dollars. lice achèe 2 fois le premier aricle e ue fois le deuxième aricle au prix de 12 dollars. Beoî achèe ue fois le premier aricle e quare fois le deuxième aricle au prix de 1 dollars. Nous pouvos représeer cee siuaio par le sysème d équaios suiva: lice Beoî er e 1 aricle 2 aricle Toal 2 x + y = 12 x + 4 y = 1 Pour résoudre le sysème d équaios (rouver les valeurs de x e de y), ous verros qu il es pas écessaire de «raîer» les variables x e y i les éiquees de liges e de coloes. Il suffira alors d orgaiser l iformaio periees das u ableau (ue marice!) où les éiquees de liges e de coloes so défiies de faço implicie P = O emploie gééraleme ue lere majuscule pour désiger ue marice. Mise e siuaio 1 (Suie) lice e Beoî reviee au magasi. lice reoure so aricle au prix y, rachèe u aricle au prix x e paye dollars. Beoî reoure so aricle au prix x, rachèe deux aricles au prix y e reçoi 1 dollar. Le déail de cee rasacio es coeu das la marice suivae : 1 1 Q = u oal, ils acheé e payé P + Q = = = O peu doc addiioer deux marices e addiioa les éléme correspodas ere eux. lice aura doc acheé fois le premier aricle pour 15$. Beoî lui, aura acheé 6 fois le deuxième aricle pour 12$. O peu aussi e déduire aiséme le prix des deux aricles ( x = 5 e y = 2 ). Page 1

2 dré Ross lgèbre liéaire e géomérie vecoriel Défiiio: Ue marice es u ableau recagulaire cosiué de m liges e de coloes. O di alors que la marice es de dimesio. Lire «m par» e e pas effecuer la muliplicaio. Les marices P, Q e P + Q de la mise e siuaio précédee so ous de forma / 2 La marice = Noaio: e es ue de forma 2. O oe a11 a12 a1 a a a am 1 am2 am = ou ecore m = a. a es l éléme qui se rouve à l iersecio de la lige i e de la coloe j. Par exemple, si 2 1/ 2 = 5 4, alors a = ; si [ 5] B =, alors b 12 = 5. O covie de oer ue marice par ue lere majuscule; s il es écessaire de préciser ses dimesios, o les idique e idices; les leres miuscules désige les élémes (les erées). Défiiio: Deux marices m e B p q so égales ( = B ) si e seuleme si: 1) Les marices o la même dimesio ( m = p e = q ); 2) Les élémes correspodas so égaux ( a = b pour ou i e pour ou j ). Noaio: O déoe par M l esemble des marices de dimesio. OPÉRTIONS SUR LES MTRICES ET MTRICES PRTICULIÈRES Défiiio (ddiio de marices): Soi = a e B b =, deux marices de même dimesio. La somme de ces marices, oée + B, es ue marice de dimesio défiie par + B = a + b = a + b. Lorsque les marices o pas le même forma, o di de ces marices qu elles so icompaibles pour l addiio. Page 2

3 dré Ross lgèbre liéaire e géomérie vecoriel Sacha que 1 = e B = 5 2. La somme des marices e B doe + B = Sacha que C = e 1 D = 4 2. La somme des marices C e D es icompaible. Défiiio (Muliplicaio par u scalaire): Soi = a e k u scalaire (u ombre). La muliplicaio de la marice par le scalaire k doe ue marice oée k e défiie par k = k a = ka (chaque éléme es muliplié par le scalaire k ). Sacha que 2 = 1 7 π, alors 2 ( 1) = = 1 7 π. oaio La marice obeue e chagea le sige de chacu des élémes de la marice es appelée la marice opposée de. O oe la marice opposée à la marice ( ) + = = oaio De faço géérale, le résula de l addiio d ue marice m e de so opposée m la marice ulle de dimesio, oée 0, do ous les élémes so uls. Défiiio (Trasposiio): Soi doe = a. O appelle marice rasposée de, oée, la marice de dimesio m do la i e coloe es la i e lige de la marice pour i = 1, 2,..., m. E d aures mos, si = a M, alors M où b = B = b m = a. Exemple: Sacha que 2 = 1 7 π alors 2 1 = 7. π Page

4 dré Ross lgèbre liéaire e géomérie vecoriel Pei lexique mariciel: Défiiio 0.1: O appelle marice CRRÉE d ordre oue marice de forma. Défiiio 0.2: L ORDRE d ue marice carrée es le ombre de ses liges (ou de ses coloes). Défiiio 0.: O appelle DIGONLE PRINCIPLE d ue marice carrée ou les élémes de la forme a d ue marice carrée. L aure diagoale es appelée DIGONLE SECONDIRE. ii TYPE SPÉCIFICITÉ(S) EXEMPLE(S) LIGNE 1) Forma 1 m. [ 1 2 5] COLONNE 1) Forma 1. 5 NULLE 1) Forma ; Noaio: 0 2) a = 0 pour oues les valeurs de i e de j. 02 = TRINGULIRE 1) Forma ; SUPÉRIEURE 2) a = 0 pour oues les valeurs de i > j , (zéros e dessous de la diagoale pricipale) TRINGULIRE 1) Forma ; 0 0 INFÉRIEURE 2) a = 0 pour oues les valeurs de i < j , (zéros au dessus de la diagoale pricipale) , 0 [ ] 1 = 0 DIGONLE 1) Forma ; 0 0 2) a = 0 pour oues les valeurs i j. 02 = 0 0, 0 1 IDENTITÉ 1) Forma ; Noaio: I 1 si i = j I 1 = [ 1], I 2 = 2) a 0 1, I, = 0 si i j SCLIRE 1) Forma ; 0 k si i = j I 2 = 2) a = ( k R ) 0 1, 0 0 si i j SYMÉTRIQUE 1) Forma ; 1 4 2) a = a pour oues les valeurs de i e de j. 2 1, 0, I NTISYMÉTRIQUE 1) Forma ; ) a = a pour oues les valeurs de i e de j , , 0 Remarques: 1) Ue marice diagoale es à la fois riagulaire supérieure e riagulaire iférieure. 2) Ue marice scalaire peu s exprimer comme ki où k es u scalaire réel. Page 4

5 dré Ross lgèbre liéaire e géomérie vecoriel À faire cee semaie: 1) cheer le livre d dré Ross (lg. li. e géomérie vecorielle, pplicaios e sc. hum.) 2) Relire vos oes de cours e\ou le chapire 1 (p.-9 + p.11-16). ) Faire les exercices 1.2 # 1,6,7 (p.9) e classe e les aures à la maiso. 4) Faire les exercices 1.4 # 1,2,,7,8,12,17 (p.17) e classe e les aures à la maiso. Page 5