Mesures, incertitude et chiffres significatifs

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1 Mesures, icertitude et chiffres sigificatifs INCERTITUDE ABSOLUE, INCERTITUDE RELATIVE 1) défiitios De faço géérale, soit ue gradeur X à mesurer (ou à calculer à partir d autres gradeurs mesurées) : X = X e ± U(X) X e est l'estimatio de la gradeur X, U(X) est l'icertitude absolue sur X e : elle a la même uité que X et sigifie que : X e - U(X) <= X <= X e + U(X) UX X e : est l icertitude relative sur X e : elle a pas d uité (100 UX X e : doe l icertitude relative e pourcetage) U(X)déped de l'istrumet de mesure, des coditios opératoires, du traitemet statistique, si la mesure de X a été répétée plusieurs fois ou du traitemet mathématique si X est ue gradeur calculée à partir d'autres gradeurs mesurées. Remarque : ue étude statistique pour la détermiatio de U(X) permet de défiir le taux de cofiace que l o peut accorder pour que la valeur exacte de la gradeur mesurée soit das l itervalle X e - U(X)<= X <= X e + U(X) voir documet aexe I 2) règles d écriture E otatio scietifique, la valeur estimée et l icertitude absolue d ue gradeur doivet être écrites avec la même puissace de 10 (et la même uité!) (et u ombre de chiffres sigificatifs cohérets) Exemples : C = (1,00 0,02) x 10-2 mol.l -1 h = (1,70 0,01) m...et pas 1,70 m 1 mm par ex ESTIMATEUR DE : A) LA VALEUR D UNE GRANDEUR 1) lors d u mesurage uique X e = la mesure lue ou affichée 2) lors de plusieurs mesurages (étude statistique) E admettat que la même gradeur a été mesurée das les mêmes coditios (matériel et protocole) : E classe de Première S et Termiale S, o admettra que le meilleur estimateur de valeur d ue gradeur est la moyee arithmétique. B) L INCERTITUDE ABSOLUE SUR UNE GRANDEUR E 1S et TS, o admettra que l l icertitude absolue est de la forme : U(G) = k. u(g) Avec u : icertitude-type et k : facteur d élargissemet associé à u itervalle de cofiace 1) lors d u mesurage uique ) avec u istrumet gradué u(x)= (la plus petite graduatio) Remarque : le est obteu par u calcul statistique hors programme de Première S (voir Activité 1S : ) Exemples : règle graduée au mm => ud )= 0,3 mm burette graduée au 1/10 ème de ml => uv)= 0,03 ml Das le cas d ue double lecture, par exemple, lors du repérage de la positio d ue letille et de l écra sur lequel se fait ue image ette, o fait deux lectures sur le bac optique pour avoir d : la distace letille image, l icertitude type est alors ue icertitude «composée» et u(d) = u u avec u 1 = u 2 = (la plus petite graduatio) doc u(d)= = (la petite graduatio) Le déped de la ature de la loi statistique reteue (loi uiforme) ; il peut deveir si o chage de loi statistique (loi triagulaire) : ce problème est étudié e Termiale S (voir Activité TS : ou?) ) avec u istrumet à affichage digital Il y a pas de règle absolue et il coviet de lire la documetatio costructeur de l istrumet cosidéré. Ecole alsaciee Doc Première S - Termiale S Page 1

2 2) lors de plusieurs mesurages (étude statistique) E admettat que la même gradeur a été mesurée fois das les mêmes coditios (matériel et protocole) : O admettra que le meilleur estimateur de l icertitude type est l écart type d échatillo divisé par u(x) = -1 Rem 1 : pour la formule correspodat au calcul détaillée de cette gradeur, voir le documet aexe I Rem 2 : Il coviet de savoir faire le calcul de l écart type sur votre calculatrice, avec la calculette Widows et das Excel INCERTITUDE ABSOLUE ET NOMBRE DE CHIFFRES SIGNIFICATIFS 1) Ecriture d ue valeur umérique e scieces expérimetales E scieces expérimetales, quad la valeur d'ue gradeur est écrite sas écriture explicite de l'icertitude absolue, l'écriture du ombre red compte de faço implicite de l'icertitude absolue. Exemples : L = 1,0 m sigifie que U(L) = 0,05 m ou ecore L = (1,00 ± 0,05) m alors que L = 1,00 m sigifie que U(L) = 0,005 m ou ecore L = (1,000 ± 0,005) m Das le premier exemple, L comporte deux chiffres sigificatifs et das le deuxième 3 chiffres sigificatifs ; de faço géérale, l icertitude absolue porte au iveau du derier chiffre sigificatif. 2) Règles pour les chiffres sigificatifs d ue valeur écrite e otatio scietifique (id est : matisse x 10 exposat ) Il y a quatre règles pour détermier les chiffres sigificatifs: 1. Les chiffres sigificatifs e coceret que la matisse 2. Les chiffres différets de zéro sot toujours sigificatifs 3. Les zéros à gauche e sot jamais sigificatifs. 4. Les zéros à droite sot toujours sigificatifs. Exemples : Soit la masse m = 1, kg. Ce ombre est correctemet écrit e otatio scietifique et il comporte 7 chiffres sigificatifs. Le ombre de chiffres sigificatifs e serait pas modifié si ce ombre était écrit sous les formes m = 0, kg. ou ecore m = 166, kg Soit ue substace chimique e solutio de cocetratio cetimolaire : cette cocetratio molaire suivat qu elle est écrite C = 0,01 mol.l -1 ou C = 0,00100 mol.l -1 a pas la même précisio puisque das le premier cas cela sigifie qu elle est coue avec 1 chiffre sigificatif et das le deuxième cas avec 3. D ailleurs das le cas où cette cocetratio molaire est coue à 1% près, il est préférable d écrire : C = 1, mol.l -1 écriture correcte relativemet à la otatio scietifique et au respect des chiffres sigificatifs. 3) Choix du ombre de chiffres sigificatifs das l écriture d ue valeur umérique a) das le cas d ue gradeur mesurée Pour ue gradeur mesurée, le ombre de chiffres sigificatifs est détermié par l icertitude absolue sur cette gradeur. L icertitude absolue s exprime au maximum avec deux chiffres sigificatifs. Remarque : de faço géérale, l icertitude absolue est écrite avec, au maximum, deux chiffres sigificatifs ; la valeur estimée et l icertitude d ue gradeur doivet écrites avec u ombre de chiffres sigificatifs cohéret. Exemples : Soit ue itesité électrique mesurée de valeur I = 1,607 ma = 1, A (affichage d u appareil digital par ex) et le costructeur idique I = 0,03 ma. Il faut do écrire : I = 1,61 ± 0,03 ma = (1,61 ± 0,03) 10-3 A b) das le cas d ue gradeur calculée O applique alors u pricipe de base : U résultat e peut être plus précis que les doées qui ot servi à le calculer. Mais ce pricipe de base déped des coditios das lesquelles le calcul doit être fait : Soit o coaît les icertitudes sur toutes les gradeurs etrat das la formule de calcul et alors o peut détermier l icertitude sur la gradeur calculée (voir documet aexe II) Soit o coaît uiquemet les valeurs des gradeurs etrat das la formule de calcul, chacue avec u certai ombre de chiffres sigificatifs qui est gééralemet différet pour chaque gradeur et il coviet de détermier le ombre de chiffres sigificatifs avec lequel o va exprimer le résultat Ce derier cas correspod à la situatio la plus courate recotrée das la résolutio d u exercice ou d u problème : o adoptera alors quelques règles empiriques. Ecole alsaciee Doc Première S - Termiale S Page 2

3 Suivat le type d opératio faite, o adoptera les règles empiriques suivates : Remarque : Il s agit bie de règles empiriques visat à éviter des calculs sophistiqués a) das le cas d'ue multiplicatio ou d'ue divisio : Le résultat sera exprimé avec le même ombre de chiffres sigificatifs que la mois précise des doées. Exemple 1 : Par des mesures spectroscopiques, o mesure la logueur d ode d ue radiatio lumieuse soit = 0,5345 µm. Quelle est la fréquece N de cette radiatio das le vide? N = C/ = 5, Hz (à la calculette : 10 chiffres à l affichage) soit 5, Hz avec 4 chiffres sigificatifs comme car il est implicite que C, la célérité de la lumière das le vide, est coue avec ue très grade précisio. Exemple 2: O prépare ue solutio de soude e diluat m = 4,00 g de soude das ue fiole de 500 ml. Quelle est la cocetratio molaire de la solutio obteue? (Doée : la masse molaire de la soude M = 40,00 g/mol) C = m/(m.v) = 2???? 10-1 mol/l Das ce calcul, il est implicite car o doit légitimemet attedre d u lycée qu il sache que la verrerie employée est alors ue fiole jaugée de 500 ml - que le volume V de 500 ml est coue avec ue précisio supérieure à celle de la masse dissoute de même que la masse molaire de la soude : il s esuit que la cocetratio molaire doit s exprimer avec le même ombre de chiffres sigificatifs que m d où C = = 2, mol/l. b) das le cas d'ue additio ou soustractio : U petit calcul est écessaire... 1) o écrit le plus grad des opérades e écriture scietifique 2) o écrit les autres ombres e écriture scietifique e adaptat la puissace sur celle du plus grad ombre 3) o fait l'opératio voulue (additio ou soustractio) 4) o exprime le résultat avec le même ombre de décimales que l'opérade ayat le plus petit ombre de décimales après la trasformatio 2)... e arrodissat ou e troquat suivat la décimale suivate Exemple (sur additio) : Soit u objet evoyé e colis express par la poste dot la masse est m = 1,26 kg (3 chiffres sigificatifs doc m est mesurée à 5 g près). O place cet objet das u carto de masse m = 82 g (2 chiffres sigificatifs doc m est mesurée à 0,5 g près). Quelle est la masse M du paquet? M = m + m = 1342 g mais combie garde-t-o de chiffres sigificatifs? Règles de calcul 1) le plus grad ombre : 1,26 (x 10 0 implicite) 2) l'autre ombre : 0,082 (écrit avec la même puissace : x 10 0 implicite) 3) la somme : 1,342 4) les deux opérades 1,26 : deux décimales 0,082 : trois décimales => résultat exprimé avec deux décimales soit 1, 34 kg (derier chiffre 4 puisque suivat 2 doc trocature) c) Das le cas d'ue foctio : Le résultat sera exprimé avec le même ombre de chiffres sigificatifs que l argumet* * Ceci est ue règle empirique très simplificatrice mais suffisate e 1S et TS. Exemple : L étude expérimetale de la réfractio limite lors du passage d u dioptre d u milieu d idice relatif à l air doe u agle i lim = 72,0 Que vaut l idice du milieu icidet? L idice est défii par la relatio = 1/si(i lim ) = 1,05146 Mais combie faut-il garder de chiffres sigificatifs? i lim = 72,0 => trois chiffres sigificatifs doc = 1,05 Ecole alsaciee Doc Première S - Termiale S Page 3

4 Aexe I sur la mesure et so traitemet statistique : Estimatios statistiques de X e et u(x): Soit ue gradeur X (par exemple masse, volume, etc.), mesurée fois (de faço idépedate et das les mêmes coditios - même istrumet de mesure, protocole, etc.-) et soiet les différetes mesures {x 1, x 2, x } O appelle x moy, la moyee des résultats obteus calculée suivat la formule : µ (ou x ) i (x moy état représeté par µ ou x barre et représetat le ombre de mesures) aisi que l écart type d échatillo s (ou -1 ) calculé suivat la formule : s (ou -1 ) = Ecole alsaciee Doc Première S - Termiale S Page 4 x i x i x i E classe de Première S et Termiale S o cosidèrera que : X = X e ± U(X) Avec U(X) = k. u(x) X e = et u(x) = -1 O predra comme valeur du facteur d élargissemet k : E Première S, k = 1 E Termiale S, k = 2 A vrai dire, la valeur de k déped de l itervalle de cofiace reteu et le ombre de mesures faites (voir l aexe Loi de Studet). Les choix des valeurs de k sot doc arbitraires ils correspodet, par exemple, pour la classe de Termiale S à u itervalle de cofiace d eviro 95% Attetio ; les formules ci-dessus e sot pas à coaître mais.. il faut savoir faire les calculs de ces gradeurs : 1) sur votre calculatrice 2) das le logiciel EXCEL 3) évetuellemet sur la calculatrice das les accessoires Widows Avec votre calculatrice : Avec Excel : formules de calcul Foctio moyee lire la documetatio de VOTRE calculatrice pour calculer moyee et écart-type = Moyee(.) Foctio ecartype = ecartype(..) (attetio de e pas predre ecartypep(..) qui est l écart-type de populatio) Avec la calculatrice de Widows (das les Accessoires) Activer les foctios de statistiques de la calculatrice (Widows 95, 98, 98 SE, ME, XP etc.) la calculatrice de Widows possède des foctios avacées de statistiques (moyee, ecart-type, etc..) Pour profiter pleiemet de ces foctioalités, vous devez tout d'abord être e mode "scietifique", ce qui est le cas après avoir sélectioé l'optio "Scietifique" das le meu "Affichage". Passos à l'etrée des doées : o Tapez votre première doée. o Cliquez sur Sta, puis igorez la feêtre qui apparait et cliquez sur Dat (sur la calculatrice). o Tapez vos autres doées e cliquat sur Dat après avoir etré chacue d'etre elles. Lorsque vous avez termié, cliquez ue derière fois sur Sta. Vous pouvez à préset cliquer sur le bouto de la foctio statistique que vous souhaitez utiliser. (Moyee = Average, ecart-type = s)

5 Aexe II sur la mesure et so traitemet statistique : Calcul d icertitude sur ue gradeur calculée (coaissat les icertitudes sur les opérades) Il coviet alors de predre e compte la ature de l opératio effectuée sur les doées : celle-ci modifie la faço avec laquelle les icertitudes se propaget. Nous evisageos ci-dessous les opératios les plus courates recotrées au iveau du lycée. Soiet les symboles suivats : x;, le résultat du calcul permettat de calculer la gradeur X qui est ue foctio des paramètres a, b etc a, b & c; les paramètres permettat de calculer x (a, b et c doivet être des gradeurs idépedates) s x ; l écart type sur x s a, s b & s c ; les écart types sur les paramètres a, b et c. Opératio Calcul de l icertitude x = a + b c s x = s a 2 + s b 2 + s c 2 x = a b / c La puissace (e admettat qu il y a pas d icertitude sur le degré b) x = a b s x = x. ( s a a )2 + ( s b b )2 + ( s c c )2 s x = x.b. s a a Le logarithme a) de base e : x = L a b) de base 10 : x = = log 10 a L expoetielle a) de base e : x = e a b) de base 10 x = 10 a s x = s a a s x = 1/L(10) x s x = x. s a s x = L(10). x. s a s a a Exemple Pour doser u acide, o pred ue prise d essai d u volume V a = 20,00 ml que l o dose par ue base forte de cocetratio C b = 1,00 x 10-2 mol.l -1. A l équivalece, o trouve u volume V b E = 17,8 ml. Que vaut la cocetratio de l acide C a? Soiet les symboles suivats : X = C a, a = C b b = V b eq c = V a s x ; l icertitude sur x s a, = 0,005 x 10-2 mol.l -1 s b = 0,0.5 ml s c ; = 0,005 ml s x 2 = (8, ) 2 {(0,005/1) 2 + (0,05/17,8) 2 + (0,005/20) 2 } => s x 0, mol.l -1 Rappel : le calcul grossier (règle empirique sur produit et divisio) aurait doé : C a = C b x V B E /V a = 1,00 x 10-2 x 17,8 / 20,00 = 8, mol.l -1 (3 chiffres sigificatifs comme la mois précise des doées) la règle empirique suffit à trouver le bo ordre de gradeur de l icertitude absolue! Ecole alsaciee Doc Première S - Termiale S Page 5

6 Aexe III sur la mesure et so traitemet statistique : Loi de Studet Ue approche plus élaborée pour l'estimateur de l'icertitude absolue : Le calcul statistique motre que l o peut défiir l icertitude absolue U(X) : U(X) = t. -1 das laquelle t représete ue variable qui suit ue loi statistique précise appelée loi de Studet à (N 1) degré de liberté. Itervalle de cofiace : E admettat que toute icertitude systématique a été écartée, o peut défiir u itervalle de cofiace de la forme : X e - U(X) <= X <= X e + U(X) associé à u iveau de cofiace doé (à x %) Par exemple (pour u ombre de mesures N différet de 10, voir la table ci-dessous) : Les tables statistiques doet pour N =10 mesures: pour u iveau de cofiace de 95 % : t = 2,26 pour u iveau de cofiace de 99 % : t = 3,25 Loi de Studet Pour N mesures et l itervalle à X %, o trouve la valeur du coefficiet t : N mesures degré liberté à 90 % 6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 à 95 % 12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 à 99 % 63,66 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 N mesures degré liberté à 90 % 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73 1,72 à 95 % 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 à 99 % 3,11 3,05 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,85 N mesures degré liberté à 90 % 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,70 1,70 à 95 % 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06 2,05 2,05 2,05 2,04 à 99 % 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2,76 2,76 2,75 Les valeurs ci-dessus ot été obteues e utilisat la foctio Loi de Studet iverse das Excel. Exemple : Supposos que l o veuille calibrer ue pipette de 20 ml e pesat 10 fois le coteu de la pipette sur ue balace au cetième de gramme. Après avoir vérifié que la balace est juste, o obtiet alors dix mesures de masse: m (g) 19,92 m moy = 19,98 g 19,98 19,94-1 = 0, g 19,95 arrodi à 19,97-1 / = 0, ,0143g 20,02 avec = 10 20,06 20,03 19,94 19,99 Les tables statistiques doet pour 10 mesures: pour u iveau de cofiace de 95 % : pour u iveau de cofiace de 99 % : t = 2,26 => U(m) = 0,032 g (avec 2CS) ou U(m) = 0,03 g (avec 1 CS) t = 3,25 => U(m) = 0,046 g (avec 2CS) ou U(m) = 0,05 g (avec 1 CS) Ecole alsaciee Doc Première S - Termiale S Page 6