MÉTHODES STATISTIQUES

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1 MAT 080 XAM IAL AUTOM 005 ate : imache 8 décembre 005, de h00 à 7h00 ISTRUCTIOS MÉTHOS STATISTIQUS. étachez la feuille-réposes à la fi de ce cahier et iscrivez-y immédiatemet votre om, votre code permaet et votre uméro de groupe.. Seule la feuille-réposes doit être remise. Vous y iscrirez vos réposes sous la forme d ue lettre majuscule correspodat à votre choix. 3. Tout texte de référece (mauel, otes de cours, otes persoelles, etc.) est iterdit. Tout cas de plagiat ou de fraude sera soumis au Comité de disciplie.. L usage d ue calculatrice est autorisé. 5. L'étudiat doit placer sa carte d'étudiat (avec photo) sur la table et siger la feuille de présece lors de la remise de sa feuille-réposes. 6. Pas de téléphoe cellulaire sur la table. Problème [0 poits] O tire u échatillo aléatoire simple de écoles parmi les écoles (privées et publiques) d ue ville. as chacu des cas éumérés das la e coloe (Paramètre à estimer) du tableau ci-dessous, idetifier le paramètre qu'il s'agit d'estimer. aites votre choix de répose das la liste de gauche. Paramètre à estimer Liste des réposes possibles [répodre par A,,, ou H] A: La moyee µ y d ue certaie variable Y -a) La proportio de filles parmi les élèves de la ville : La moyee µ d d ue certaie variable Y das u domaie. C: Le total τ d d ue certaie variable Y das u domaie. -b) Le ombre total d élèves das la populatio -c) Le ombre d écoles privées : Le total τ y d ue certaie variable Y -d) La proportio d écoles privées : Le ombre c d'uités apparteat à ue certaie classe C : Le quotiet R = µ Y /µ X de deux variables Y et X G: La proportio p d'uités apparteat à ue certaie classe H:Aucu des paramètres ci-dessus -e) Le ombre moye d élèves par école -f) Le ombre moye d élèves par professeur -g) Le ombre moye d élèves das les écoles privées -h) Le ombre total d élèves das les écoles privées -i) -j) La ote moyee e fraçais des élèves allophoes de la populatio Le ombre total d ordiateurs possédés par les garços de la populatio lac :

2 Questio [3 poits] O tire u échatillo de 30 comptes de dépeses d ue populatio de 00 comptes de dépeses soumis par des employés pour voyages d affaires. Pour chaque compte o détermie Y le motat du compte et X la durée du voyage (e ombre de jours): Y : Motat du compte X : urée du voyage O ote égalemet si la destiatio est iteratioale ou atioale. Les doées de l échatillo sot présetées e aexe [Veuillez utiliser les écarts-types, les moyees et la covariace tels que présetés, sas plus de décimales] [Choisissez vos réposes parmi celles proposées au bas de la page] -a) stimer le ombre total de voyages iteratioaux das la populatio -b) stimer le motat moye des comptes, utilisat l estimateur par le quotiet et le fait que la durée moyee d u voyage das la populatio est de 3,9 jours. -c) stimer le motat total des comptes pour voyages iteratioaux. -d) stimer l écart-type de l estimateur e -a) -e) stimer l écart-type de l estimateur e -b). -f) stimer l écart-type de l estimateur e -c). -g) stimer la taille de l échatillo qu il aurait fallu prélever pour estimer (par la moyee) le motat moye des comptes avec ue marge d erreur de 0 %. -h) stimer la taille de l échatillo qu il aurait fallu prélever pour estimer le motat total des comptes pour voyages iteratioaux avec ue marge d erreur de 30 % [Vous supposerez qu o e peut pas idetifier à l avace les comptes avec voyages iteratioaux]. Questio 3 [0 poits] Ue populatio de commerces de détail est répartie e 3 strates. Le tableau suivat présete les tailles de ces strates aisi qu ue estimatio des écarts-types (corrigés) de la variable «ombre d employés». Strate Strate Strate Strate 3 ombre d uités das la strate Écart-type corrigé de la strate O compte tirer u échatillo stratifié de taille 70 afi d estimer le ombre moye d employés. 3-a) stimer l écart-type de l estimateur lorsqu o utilise l allocatio proportioelle. 3-b) stimer l écart-type de l estimateur lorsqu o utilise l allocatio optimale. Choix de répose [pour les questios et 3] A 0,07-0,09 G 7-76 M S ,9-0, H T C,5 -,6 I 9-93 O U ,9-, J 8-30 P V ,9-9,0 K 89-9 Q W L R Aucue des réposes ci-dessus lac :

3 Questio [5 poits] Ue parfumerie qui produit trois fragraces d eau de toilette aux du il (0 % des vetes d eau de toilette), Jardis des îles (30 % des vetes), et Volupté (50 % des vetes) décide de refaire les desigs des flacos. U a plus tard, afi d e évaluer les effets, elle prélève les doées suivates sur les vetes (après le chagemet) de 300 flacos de cette eau de toilette. laco Total aux du il Jardis des îles Volupté ffectif (ombre de flacos vedus) tre autres, o voudrait détermier si les ouveaux desigs ot modifié la distributio des choix des cosommateurs de ce produit. -a) ites lequel ou lesquels des éocés suivats est (sot) acceptable(s) comme hypothèse ulle:[aites votre choix das la liste présetée plus bas.] H 0 : La distributio a chagé depuis l itroductio des ouveaux desigs H 0 : La distributio a pas chagé depuis l itroductio des ouveaux desigs H 03 : La distributio a-t-elle chagé depuis l itroductio des ouveaux desigs? H 0 : La distributio des vetes depuis l itroductio des ouveaux desigs est (e fréqueces) : 8/300; 90/300 ; 9/300. H 05 : La distributio des vetes depuis l itroductio des ouveaux desigs est (e fréqueces) : 0,; 0,3 ; 0,5. Choix de répose [pour la questio -a)] Les coclusios suivates sot justifiées [Iscrire l ue des lettres A à J]: A C H H 0 seulemet 0 et H 03 H 0 et H 0 seulemet seulemet G H I J H 0 seulemet H 0 et H 05 seulemet H 03 et H 0 seulemet H 03 et H 05 seulemet H 0, H 03 et H 0 seulemet H 0 et H 03 seulemet H 0, H 03 et H 05 seulemet -b) étermier le tableau des effectifs théoriques (choisir le tableau A,, C,, ou ) : aux du Jardis A Volupté il des îles ffectif aux du Jardis C Volupté il des îles ffectif aux du Jardis Volupté il des îles ffectif 0, 0,3 0,5 aux du Jardis Volupté il des îles ffectif aux du Jardis Volupté il des îles ffectif aux du Jardis Volupté il des îles ffectif lac 3 :

4 -c) Calculer la valeur de khi-deux et tirer la coclusio qui e découle [Choisir la combiaiso χ /coclusio qui s applique et iscrire A,,, ou R] Valeur observée de khi-deux Coclusio 3,-3,5 0,-0,3 3,0-, O peut coclure que la distributio a chagé depuis le A C chagemet de desig O e peut pas coclure que la distributio a chagé depuis le G H I J K L chagemet de desig i l ue i l autre des coclusios ci-dessus est justifiée M O P Q R Questio 5 [8 poits] Pour chacue des descriptios suivates, dire de quel mode d'échatilloage il s'agit. Choisir ue répose parmi les suivates: A: aléatoire simple : stratifié C: systématique : par grappes avec probabilités de sélectio égales : par grappes avec probabilités de sélectio iégales. 5-a) Populatio: l esemble des formulaires soumis aux autorités douaières par des passagers arrivat à u aéroport. À partir d u momet choisi au hasard, o tire chaque 00 e formulaire. 5-b) Populatio: l esemble des PM d u pays. O divise le pays e 35 régios; puis o tire 5 régios au hasard. L'échatillo compred toutes les PM des 5 régios choisies. 5-c) Populatio: l'esemble des employés d ue compagie. O dresse ue liste de tous les employés, puis o tire successivemet et sas remise 300 employés. 5-d) Populatio: l esemble des comptes mesuels de dépeses soumis par les employés d ue compagie au courat d ue aée. O tire trois comptes pour chacu des mois (doc 36 comptes au total). 5-e) Populatio : l esemble des PM d u pays. O divise le pays e 35 régios; puis o tire PM das chaque régio. 5-f) Populatio: l'esemble des étudiats de l'uqàm. O tire au hasard trois programmes, et o iclut das l'échatillo tous les étudiats iscrits das ces trois programmes 5-g) Populatio: l'esemble des logemets d'ue petite ville. O divise la ville e 5 secteurs, puis o tire au hasard 5 logemets das chacu des 5 secteurs. 5-h) Populatio: l esemble des logemets d ue ville. O divise la ville e quartiers, puis, sur u pla de la ville, o choisit au hasard poits. L échatillo est l esemble des logemets situés das les quartiers touchés par les poits. lac :

5 Questio 6 [5 poits] Lesquelles des affirmatios suivates sot vraies? P : L estimatio de la moyee das u échatillo systématique a pas de variace P : U estimateur sas biais est u estimateur qui est égal au paramètre P 3 : U échatillo stratifié est toujours plus précis qu u échatillo aléatoire simple, quelle que soit l allocatio Choix de réposes [pour la questio 6] A : Aucue est vraie : Seule P est vraie C : Seule P est vraie : Seule P 3 est vraie : Seules P et P sot vraies : Seules P et P 3 sot vraies G : Seules P et P 3 sot vraies H : Toutes sot vraies Questio 7 [5 poits] Lesquelles des affirmatios suivates sot vraies? P : L allocatio optimale das u échatillo stratifié est parfois mois précise que l allocatio proportioelle P : L estimateur par le quotiet est pas sas biais P 3 : L estimateur par la différece est pas sas biais Choix de réposes [pour la questio 7] A : Aucue est vraie : Seule P est vraie C : Seule P est vraie : Seule P 3 est vraie : Seules P et P sot vraies : Seules P et P 3 sot vraies G : Seules P et P 3 sot vraies H : Toutes sot vraies Questio 8 [5 poits] Choisir das la coloe de gauche l'expressio mathématique qui complète correctemet la phrase das la coloe cetrale. Iscrire l ue des lettres A à O sur la feuille-réposes. A: µ σ ˆ = σ µ σ ˆ σˆ : < µ C: µˆ y d < y : µ y = µ : µ µ ˆ = µ yd µ σ ˆ σˆ : = µ G: µ ˆ yd < µ H: < σ σ ˆ µ σ ˆ I: < σ σ ˆ σσ ˆ J: µ σ ˆ = µ K: µ = σˆ y L: σ < M: µ ˆ yd σ y σ y σσ ˆ = σ y y : σˆ y = σ y O : Aucu de ces éocés 8-a) ire que l'estimateur de µ par la différece µ ˆ y d est meilleur que la moyee arithmétique, c'est dire que 8-b) O a deux estimateurs sas biais, σˆ et σˆ, de l'écart-type σ de la populatio. ire que σˆ est le meilleur des deux c'est dire que 8-c) ire qu'u estimateur σˆ de σ (l'écart-type de la populatio) est sas biais, c'est dire que 8-d) ire que la moyee y de l échatillo est sas biais pour la moyee µ, c'est dire que 8-e) ire que σ ˆ y est u estimateur sas biais de la variace de y c'est dire que lac 5 :

6 Aexe oées sur u échatillo de taille 30 tiré d ue populatio de 00 comptes de dépeses. # ombre de jours Motat dépesé estiatio 599, Iteratioale 9 08,56 Iteratioale ,36 Iteratioale 7 350,0 Iteratioale ,7 Iteratioale ,85 Iteratioale ,7 atioale 8 6 5,57 atioale ,3 atioale 0 5 7,35 atioale 5 93,33 atioale 90,09 atioale 3 957,7 atioale 65,86 atioale 5 363,88 atioale ,53 atioale 7 3 7,7 atioale 8 3 8, atioale ,07 atioale , atioale 3 567,7 atioale 3 390,57 atioale ,6 atioale 677, atioale 5 59,6 atioale 6 57,98 atioale 7 58, atioale 8 38,8 atioale 9 08, atioale ,56 atioale Moyees,3 73, Écarts-types (corrigés),39 3,9 Covariace 65,9 lac oées :

7 ormulaire ormulaire MAT080 xame fial Résumé des paramètres, leur estimateur, l écart-type de l estimateur, et l estimateur de l écart-type de l estimateur. stimateur de l écart-type de Paramètre stimateur Écart-type de l estimateur l estimateur S s Moyee µ y σ y = f σˆ y = f Proportio p ˆp = X U quotiet R = µ y Rˆ = x µ Moyee µ stimatio par la différece Moyee µ stimatio par le quotiet Moyee µ d d u domaie y x µ ˆ yd = µ x + ( y x) σ Rˆ µˆ yq = µ x Rˆ f y d : Moyee du domaie das l échatillo σ pˆ = p( p) S R S f y + x RS xy ˆ ˆ µ x R σ µ ˆ = f yd Sy + Sx Sxy y x S + R S RSxy σ = ˆσ pˆ = f x σ ˆ µ ˆ = f yd f d d s f y sd d pˆ ( pˆ ) s Rˆ + s Rs ˆ y + R x xy sy + sx sxy ˆ sx ou Rs ˆ xy sd selo que d est cou ou pas d Total τd = d µ d d u domaie ( d cou) Total τd = d µ d d u domaie ( d icou) d T d = d y d d T ˆd = ˆ d y d = y' où ˆ d = d f d sd d s' f = Taille d échatillo stimatio de la moyee La taille d échatillo écessaire pour que la marge d erreur absolue soit égale à est o S = où o = o +. La taille d échatillo écessaire pour que la marge d erreur relative soit égale à R est o S = où o =. o + Rµ lac ormules :

8 ormulaire stimatio d ue proportio p Pour estimer ue proportio p de telle sorte que la marge d erreur absolue soit égale à, la taille approximative de l échatillo qu il faut tirer est doée par o p( p) = où o =. + o Pour estimer ue proportio p de telle sorte que la marge d erreur relative soit égale à R, la taille approximative de l échatillo qu il faut tirer est doée par o ( p) = où o =. + o R p Échatilloage par strates L estimateur de la moyee das u échatillo stratifié est y st = L h= W h yh. So écart type est σ y st = L h= W h σy où h σ y h = (-f h ) S h et f h = h / h. h L estimateur d ue proportio das u échatillo stratifié est pˆ ˆ st = = Whp h. pˆ ˆ h( ph) So écart-type est estimé par σ ˆ pˆ = fh. st L allocatio optimale pour l estimatio d ue moyee das u échatillo stratifié est doée par h proportioels aux W h S h Test du khi-deux h L h χ = ( Oi Ti), Ti Poits critiques (α = 5 %) d ue loi khi-deux ν χ ν ν χ ν ν χ ν ν χ ν 3,85 6,596 9, ,96 5,995 7,067,06 7 7, ,87 8 5,5073 3,36 8 8,8693 9, ,99 3, ,35 5, ,307 5, ,0 lac ormules :

9 rouillo

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12 euille-réposes /00 MAT 080 xame fial autome 005 Méthodes statistiques imache 8 décembre 005, de h00 à 7h00 e rie écrire ici om : Préom : Code permaet : Questio Répose Questio Répose -a) -a) -b) -c) -d) -e) -f) -g) -h) -i) -j) -a) -b) -c) -d) -e) -f) -g) -h) 3-a) 3-b) G A C H L S R G J C 0 0 -b) -c) 5-a) 5-b) 5-c) 5-d) 5-e) 5-f) 5-g) 5-h) C C A 6 A 7 C 8-a) 8-b) 8-c) 8-d) 8-e) L I A K Groupe: lac