Suites et séries. converge dans M d (C).

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1 Prép-greg Suites et séries I Questios de cours Soit (u ) ue suite de ombres réels telle que lim (u + u ) =. L suite (u ) est-elle covergete? 2 Étudier l suite (u ) défiie pr u et l récurrece u + = + u. 3 Éocer et démotrer le théorème de Cesàro. 4 Éocer et démotrer le théorème des séries lterées. 5 Soiet ( ) et (b ) deux suites de ombres réels telles que b qud. Que peut-o dire des séries et b? 6 Motrer que l série A! coverge ds M d (C).. Motrer que l série u est cover- 7 L expoetielle complexe étt défiie pr e z = e +b = e e b. 8 Pour N, o pose u = 2 ( ) k k! k= gete et clculer s somme. z k, démotrer l formule k! 9 Quel est le ryo de covergece de l série etière! z? Doer u exemple d ue suite de foctios cotiues qui coverge simplemet vers sur [; ] mis ps uiformémet. Doer u exemple d ue suite de foctios de clsse C sur [; ] qui coverge uiformémet vers ue foctio o dérivble e. 2 Motrer que C ([; ]) est complet pour l orme. C défiie pr f C = f + f. Est-il complet pour l orme.? II Exercices Exercice Soit ( ) N ue suite de ombres positifs, et soit (u ) l suite défiie pr u =

2 2 Étudier le cs où l suite ( ) est costte, puis celui où = λ 2+ pour ue certie costte λ. 2 Motrer que l suite (u ) est covergete si et seulemet si sup /2 <. Exercice 2 Soit f : R C ue foctio dérivble e, vec f() =. Détermier ( ) k lim f. 2 k= Exercice 3 Soit c > et soit f : [; c] [; c] ue foctio cotiue. O suppose qu u voisige de, o f(x) = x x α + o(x α ), où > et α >. Motrer que si x est ssez petit, lors l suite (x ) défiie pr x + = f(x ) coverge vers. 2 O se plce ds le cs du. Détermier u réel β tel que x β + x β it ue limite o ulle, et e déduire u équivlet simple de x. 3 Triter les cs f(x) = si x et f(x) = Log( + x). Exercice 4 Soit (K, d) u espce métrique compct, et soit (f ) ue suite de foctios cotiues, f : K R. Motrer que les propriétés suivtes sot équivletes. () L suite (f ) est uiformémet covergete. (2) Pour toute suite covergete (x ) K, l suite (f (x )) est covergete. Exercice 5 Soit (u ) ue suite croisste de réels positifs tedt vers + et vérifit lim (u + u ) =. Motrer que l suite (e iu ) est dese ds le cercle uité T. Exercice 6 Soit J u itervlle de R et soit f : J J ue foctio de clsse C. O suppose que f dmet u poit fixe α. Soit églemet u I, et soit (u ) l suite défiie pr u + = f(u ). O suppose qu o f (α) <. Motrer que si u est suffismet proche de α, lors l suite (u ) coverge vers α vec u u C k, où C est ue costte et k < (covergece géométrique). 2 O suppose qu o f (α) >. Motrer que l suite (u ) e peut coverger vers α que si elle est sttioire. 3 O suppose que f est de clsse C 2, qu o f (α) =, et que u est suffismet proche de α u ses de. Motrer qu o ue mjortio du type u α C k 2, où C est ue costte et k < (covergece qudrtique).

3 Exercice 7 (méthode de Newto) Soit I u itervlle de R et soit g : I R ue foctio de clsse C 2. O suppose que g possède u uique zéro α I, et qu o g (α). Motrer qu il existe u itervlle fermé (o trivil) J I cotet α, tel que f(x) = x g(x) g (x) est bie défii sur J, l itervlle J étt de plus stble pr f. 2 Soit u J, et soit (u ) l suite défiie pr u + = f(u ). Iterpréter géométriquemet l défiitio de u +. b Motrer que si u est suffismet proche de α, lors l suite (u ) coverge vers α, et estimer l vitesse de covergece. 3 Étudier le cs où g(x) = x2 2 et I = [ 2; [. Exercice 8 Soit (f ) N ue suite de foctios de clsse C sur [; ]. O suppose que pour tout k N, o sup f (k) <. Motrer que (f ) dmet ue sous-suite (g ) qui coverge uiformémet vers ue foctio f C ([; ]), et dot toutes les dérivées coverget uiformémet vers les dérivées correspodtes de f. Exercice 9 Détermier les ryos de covergece des séries etières e si z et ( )2 z. Exercice Détermier l ture des séries Exercice. Motrer que pour tout N, o peut écrire! e = p ( + )( + 2) + v, ( ) ( ) + α (α > ) et si + 2 π 2. où p est u etier de même prité que + et v = O( 2 ). E déduire l ture de l série si(!πe). Exercice 2 Soit (u ) ue suite décroisste de ombres positifs. Motrer que si l série u est covergete, lors u = o(/). 3 Exercice 3 Pour x ] ; [, clculer x 2 x 2+. Exercice 4 (critères d Abel) Soit (u ) ue suite de foctios défiies sur u même esemble X. Ds chcu des deux cs suivts, motrer que l série de u (x) coverge uiformémet sur X.

4 4 u (x) est de l forme (x)b, où les sommes prtielles de l série sot uiformémet borées sur X, b ted vers et l série b + b est bsolumet covergete. b u (x) est de l forme b (x), où l série coverge et il existe ue costte C telle que b (x) + b +(x) b (x) C pour tout x X. Exercice 5 O ote Log l détermitio priciple du logrithme ds C \ R : si z = re iθ vec θ ] π; π[, lors Log(z) = l(r) + iθ. O rppelle que l foctio Log est holomorphe ds C \ R, vec Log (z) = /z. Quel est le développemet e série etière de Log( z) ds le disque uité D := { z < }? 2 Motrer que l série z coverge uiformémet sur tout compct de D\{}. 2b E déduire que pour tout poit ζ T\{}, o ζ = Log( ζ). = 3 Pour x ] ; 2π[, étblir les formules cos (x) ( x ) = Log 2 si, 2 = si (x) = π x 2 = Exercice 6 (théorème d Abel) Soit S = c z ue série etière de ryo de covergece R ] ; + [. O suppose que l série c ζ coverge pour u certi poit ζ D(, R). Motrer que l série S coverge uiformémet ds tout domie du type (ζ, C) = {z D(, R); z ζ C (R z )}, où C <. 2 O ote f l somme de l série S ds le disque D(, R). Motrer que f(rζ) ted vers c ζ qud r ted vers. Exercice 7 L série si est-elle bsolumet covergete? Exercice 8 Ds tout l exercice, ( ) est ue suite décroisste de ombres positifs tedt vers.

5 Motrer que l série si(t) coverge simplemet sur R, et uiformémet sur tout itervlle [α; 2π α], α >. 2 Pour t R, o pose R (t) = k> k si(kt). Motrer qu o R (t) 2 + si(t/2) pour tout t ]; π] et pour tout. b Motrer que si t ]; π] et, p N, lors R (t) tp sup k k + 2π +p. k t 3 Motrer que l série si(t) coverge uiformémet sur R si et seulemet si = o( ). 5 Exercice 9 (covergece d u produit ifii) Soit ( ) ue suite de ombres complexes,. O supose que l série est bsolumet covergete. Motrer que k= (+ k) dmet ue limite qud, et qu o ( + ). O pourr commecer pr observer que + C \ R pour ssez grd. Exercice 2 (compriso série-itégrle ) A Soit N, et soit f : [; [ R ue foctio positive décroisste. Motrer que f(k) f(t) dt dmet ue limite l R+. E déduire que l série f() est covergete si et seulemet si f(t) dt <. 2 Motrer que si l série f() est divergete, lors S := f(k) est équivlet à f(t) dt qud. Motrer que si f() est covergete et si f(x) = o ( f(t) dt) qud X, lors R X := k> f(k) est équivlet à f(t) dt. B Détermier u équivlet des restes ou des sommes prtielles des séries (α > ) et 2 (β > ). Log() β α Exercice 2 (compriso série-itégrle 2) A Soit N, et soit f : [; [ C ue foctio de clsse C. Motrer que pour tout etier >, o f(k) = f(t) dt + {t}f (t) dt, k=+ où {t} est l prtie décimle de t, i.e. {t} = t E(t). 2 Motrer que si f (t) dt <, lors l série f() est de même ture que l itégrle f(t) dt. B Détermier l ture des séries cos(log), si et +iθ (θ R).

6 6 Exercice 22 Détermier des équivlets de kα (α ) et k> e kα (α > ) qud. Exercice 23 Motrer qu o. k= klogk = 2 Log Log + O(Log) qud 2 Exercice 24 (série hrmoique) Le but de l exercice est d obteir u développemet symptotique de H = k. k= Motrer que H Log() dmet ue limite γ R +. 2 O pose u = H Log() γ. Détermier u équivlet simple de u u, et e déduire u équivlet de u. 3 Motrer qu o H = Log() + γ + 2 ( ) 2 + o. 2 2 Exercice 25 Soit (u ) ue suite de ombres strictemet positifs. Rppeler l règle clssique portt sur u + u permettt de décider si l série u est covergete. O suppose qu o u + u = + o( ), où > et α >, α. Détermier α α l ture de l série u. 2 O suppose qu o u + u = + α pour tout N, où l série α est bsolumet covergete et >,. Détermier l ture de u. Exercice 26 Soit ( ) ue suite de ombres complexes dmettt ue limite l C. Quel est le ryo de covergece de l série etière! z? 2 Détermier lim x + e x! x. Exercice 27 Pour x R, o pose f(x) = e cos( 2 x). Motrer que f est de clsse C et que le ryo de covergece de s série de Tylor e est ul. Exercice 28 Soit f : R R ue foctio développble e série etière u voisige de, vec f(). Motrer à l mi que /f est développble e série etière u voisige de. Exercice 29 Motrer que f(x) = x2 est équivlet à π 2 x vers. O pourr comprer à ue itégrle. qud x ted

7 7 Exercice 3 Pour x ] ; [, o pose f(x) = = x x. Motrer que f est bie défiie, et qu elle est de clsse C sur ] ; [. 2 Motrer que f(x) est équivlet à Log( x) qud x. x 3 Pour N, o ote d() l somme des diviseurs de. Motrer qu o f(x) = d()x. Exercice 3 Pour x, o pose f(x) = = e x 3/2. Motrer que f est cotiue sur [; [ et de clsse C sur ]; [. 2 Étudier l dérivbilité de f e. Exercice 32 (lemme de Kroecker) Soit ( ) ue suite croisste de réels positifs tedt vers +, et soit (x ) ue suite de ombres complexes. O suppose que l série x est covergete. Motrer que x k ted vers. Exercice 33 Soit (X,. ) u espce vectoriel ormé. Motrer que les propriétés suivtes sot équivletes. () (X,. ) est complet. (2) Toute série bsolumet covergete à termes ds X est covergete. Exercice 34 (poits de discotiuité des foctios croisstes) Motrer que si f : R R est ue foctio croisste, lors l esemble des poits de discotiuité de f est déombrble. 2 Soit R. Quelle est l foctio croisste borée l plus simple yt pour seul poit de discotiuité? 2b Soit D R u esemble déombrble. Motrer qu il existe ue foctio croisste f : R R dot l esemble des poits de discotiuité est exctemet D. Mii-problèmes Problème (ombre de rottio) Soit f : R R ue foctio cotiue croisste, telle que f(x + ) = f(x) + pour tout x R. Pour N, o pose f = f f. Le but de l exercice est de

8 8 motrer que f (x) dmet ue limite pour tout x R, et que cette limite est de plus idépedte de x. Soiet m, N. E ott l prtie etière de f (), motrer qu o f m () + f m+ () f m () + +. b Soit (u ) ue suite de ombres réels vérifit, m N u + u m u +m u + u m +. Motrer que l suite ( u ) est covergete. O pourr commecer pr motrer que si p, q N, lors upq uq. pq q q c Motrer que l suite ( f () ) est covergete. 2 Soiet x, y R, et soit k N tel que x y k. Motrer que pour tout N, o f (x) f (y) k. 3 Coclure. Problème 2 (3-cycles et -cycles) Soit E u segmet de R (i.e. u itervlle compct), et soit f : E E ue pplictio cotiue. O pose f = id et f = f f pour N. O dit qu u poit x E est périodique de période N pour f si f (x) = x et f k (x) x pour tout k {;... ; }. O défiit ue reltio etre segmets de I de l fço suivte: I I si et seulemet si I f(i ). O predr grde u fit que cotriremet à ce que suggère l ottio, l reltio est ps trsitive. Motrer que si I I, lors o peut trouver u segmet J I tel que f(j) = I. b Soit N, et soiet I,..., I des segmets de E tels que I I I I (si =, il fut simplemet lire I I ). Motrer que f dmet u poit fixe x tel que f k (x ) I k pour tout k {;... ; }. 2 Soiet E tel que < f() < f 2 () et f 3 () =. O pose I = [; f()] et I = [f(); f 2 ()]. Vérifier qu o I I I et I I. b Motrer que f possède u poit fixe et u poit 2-périodique. c Soit 4. Motrer que f possède u poit fixe x I tel que f k (x) I pour tout k {;... }. Motrer esuite que x est périodique de période. 3 Motrer que si f possède u poit périodique de période 3, lors f possède u poit périodique de période pour tout N. Problème 3 (sommbilité u ses d Abel et de Cesàro)

9 Soit ( ) ue suite de ombres complexes. O dit que l série x est sommble u ses de Cesàro, vec pour somme l C, si lim A k = l, k= où A k = k i= i. O dit que l série x est sommble u ses d Abel, vec pour somme l, si l série x coverge pour tout x [; [ et si lim x x = l. A Que peut-o dire de géérl cocert l covergece de l série et s sommbilité u ses d Abel ou de Cesàro? B O suppose que l série est sommble u ses de Cesàro. Pour N, o pose T = A k. Motrer que pour tout x [; [, les séries T x et x sot covergetes vec x = ( x) 2 T x. 2 Motrer que est sommble ses d Abel, vec l même somme. C O suppose que l série est sommble u ses d Abel. Motrer que si les sot réels positifs, lors l série est covergete. 2 Pour x [, [, o pose f(x) = x. Motrer que pour tout etier N, o k f(x) ( x) k k + x sup k. 2b E déduire que si = o(/), lors l série est covergete (théorème de Tuber). D Le but de cette prtie est de motrer que ds C2b, o peut remplcer l coditio = o(/) pr = O(/) (théorème de Littlewood). O suppose doc que l série est sommble u ses d Abel, vec = O(/), et o cherche à motrer que l série coverge. Pour x [; [, o pose f(x) = x. O pose ussi A = k. Efi, o ote : R + C l foctio défiie pr (t) = pour t [; + [. Vérifier que pour tout N, o A = (t)g(e t ) dt, où g est l foctio idictrice de l itervlle [/e; ]. k> 9

10 2 Motrer que l foctio x g(x) x est itégrble sur ]; [. E déduire que pour x( x) tout ε >, o peut trouver u polyôme Q = Q ε tel que g(e t ) Q(e t ) t dt < ε vec de plus Q() = et Q() =. 3 Motrer que pour tout s >, l foctio u (u)e su est itégrble sur R +, et qu o (u)e su du = e s f(e s ). s 3b E déduire l limite lim (t)q(e t ) dt, pour tout polyôme Q vérifit Q() =. 4 Démotrer le résultt souhité. Problème 4 (covolutio discrète; séries produits) A Si = (()) N et b = (b()) N sot deux suites de ombres complexes, o défiit ue suite b pr l formule b() = (k)b( k). k= Autremet dit, b() est le terme géérl de l série produit des séries () et b(). Motrer que l opértio est biliéire, commuttive et ssocitive. 2 Motrer que si l suite dmet ue limite l et si b() <, lors b() l b(). 3 Motrer que si l suite ted vers et si l suite b est borée, lors b(). + E déduire que si les suites et b dmettet des limites l et l, lors b() + ll. B Soiet et b deux séries umériques, et soit c l série produit. E cs de covergece, o ote A, B, C les sommes de ces séries. Ds quels cs peut-o à coup sûr écrire C = AB? Utiliser A pour étblir les résultts suivts. Si est covergete et si b est bsolumet covergete, lors c est covergete et C = AB (théorème de Mertes). b Si et b sot covergetes, lors c est sommble u ses de Cesàro, vec pour somme AB. C O grde les ottios de B. Motrer que si les trois séries, b et c sot covergetes, lors C = AB. Problème 5 (séries de Dirichlet)

11 Ds ce qui suit, S est ue série de Dirichlet, c est à dire ue série de foctios de l forme S(z) = e λz, où les sot des ombres complexes, et (λ ) est ue suite strictemet croisstes de ombres positifs tedt vers +. Si z C et si l série S(z) coverge, o ote f(z) l somme de cette série. Soit z C. Motrer que si l série S(z ) est bsolumet covergete, lors l série S(z) coverge ormlemet ds le demi-pl {Re(z) Re(z )}. b Motrer qu il existe u uique ombre x [ ; + ] tel que l série S(z) coverge bsolumet pour Re(z) > x et e coverge ps bsolumet pour Re(z) < x. O dit que x est l bscisse de covergece bsolue de l série S. 2 Motrer que pour, b R, < b, et pour w = x + iy C, vec x, o e w e bw w ) (e x e bx. x 2b Soit z C. O suppose que l série S(z ) coverge. Déduire de que l série S(z) coverge uiformémet ds tout secteur gulire du type Σ α = {z; rg(z z ) α}, où α < π/2. 2c Motrer qu il existe u uique x c [ ; + ] tel que l série S(z) coverge pour Re(z) > x c et diverge pour Re(z) < x c. O dit que x c est l bscisse de covergece de l série S. 3 Motrer que f est holomorphe ds {Re(z) > x c }. 4 Motrer qu o x c x x c + µ, où µ = lim Log λ. 5 O pred λ = pour tout. Motrer qu o x = x c = lim résultt cou retrouve-t-o e ppliqut 2b? 6 Détermier x et x c ds les cs suivts. =, λ = Log. b = ( ), λ = Log c = ( ), λ = LogLog. d = e α, λ = β (α, β > ). Log. Quel Exercice (iéglité de Crlem) A Motrer que si,..., sot des ombres positifs, lors... k k.! A2 Motrer que N +! e. k=

12 2 B Déduire de A que pour toute suite de ombres positifs ( ), o... e. = C Trouver u équivlet simple de N = =! qud N. C2 E déduire que l costte C = e est l meilleure possible ds l iéglité démotrée e B. Problème 6 (théorème de Borel) Soit ϕ ue foctio de clsse C sur R, à support coteu ds [ ; ]. Soiet églemet, i deux etiers positifs tels que 2i, et soit ε ] ; ]. O pose ψ(x) = x! ϕ(x/ε). Motrer qu il existe ue costte C i, dépedt de i mis idépedte de et ε, telle que ψ (i) C i ε /2. Clculer ussi ψ k () pour tout k N. 2 Soit ( ) ue suite de ombres complexes. Motrer qu il existe ue foctio f C (R) telle que f () () = pour tout. Problème 7 (zéros des foctios C ) Soit (ϕ k ) ue suite de foctios de clsse C sur R, à supports compcts. Motrer que si les λ k > sot choisis suffismmet petits, lors l formule f(x) = λ kϕ k (x) défiit ue foctio de clsse C. 2 Motrer que tout ouvert de R est réuio déombrble de boules ouvertes. 3 Motrer que si B R est ue boule ouverte, lors o peut trouver ue foctio positive ϕ C (R ) telle que ϕ(x) > pour tout x B et ϕ e dehors de B. 4 Soit F u fermé de R. Motrer qu il existe ue foctio f C (R ) telle que F = f (). Problème 8 (théorème d extesio de Tietze) Soit (X, d) u espce métrique, et soit C u fermé de X. Le but du problème est d étblir le résultt suivt: toute foctio cotiue f : C [; ] peut se prologer e ue foctio cotiue F : X [; ]. Soiet A, B X deux fermés disjoits. Motrer qu il existe ue foctio cotiue ϕ : X [; ] telle que ϕ sur A et ϕ sur B. 2 Soit f : C [; ] cotiue. Motrer qu il existe ue foctio cotiue f : X [; /3] telle que f (z) = si z C et f(z) /3, et f (z) = /3 si z C et f(z) 2/3. b Motrer qu o f(z) f (z) 2/3 pour tout z C.

13 3 Soit à ouveu f : C [; ] cotiue. Motrer qu o peut costruire ue suite de foctios cotiues (f ), f : X R, vérifit les propriétés suivtes: ( (i) f (x) 2 ) 3 3 pour tout x X; (ii) f(z) k= f k(z) ( 2 3) pour tout z C. 4 Démotrer le résultt souhité. 3 Problème 9 (formule de Stirlig) Motrer qu il existe ue costte C telle que! C e qud. O pourr étudier l série (Log(u + ) Log(u )), où u =!e. 2 Pour N, o pose I = π 2 cos t dt. Trouver ue reltio de récurrece etre I et I 2. b E déduire d ue prt ue formule explicite pour I 2k et I 2k+, et d utre prt u équivlet simple de I qud. 3 Démotrer l formule de Stirlig:! e 2π qud. + 2 Problème (formule d Euler, sius, foctio Gmm) A Motrer ss utiliser le logrithme complexe que pour tout ombre complexe z, o e z = lim ( + z ). ( ) x 2 B Motrer que pour tout x R, o si x = lim x (2 + ) 2 t ( ) 2 kπ k= 2+ B2 E déduire le développemet du sius e produit ifii : ) si x = x ( x2. π 2 2 = C Pour x >, o pose Γ(x) = t x e t dt. Justifier l défiitio. Soit x >. Pour N, clculer l itégrle ( t ) t x dt. E déduire qu o x! Γ(x) = lim x(x + )... (x + ). 2 Motrer que Γ(x) pour tout x >, et qu o ( Γ(x) = xeγx + x ) e x/k, k k= où γ est l costte d Euler, γ = lim ( Log). k

14 4 3 Motrer que pour tout x ]; [, o l formule des complémets: Γ(x)Γ( x) = π si πx. Problème Pour x R, o pose ζ(x) = séries coverget. = et α(x) = x = ( ), lorsque ces Quels sot les domies de défiitio de ζ et α? b Motrer que ζ et α sot de clsse C. 2 Motrer que si x >, lors α(x) = ( 2 x )ζ(x). E déduire u équivlet simple de ζ(x) qud x +. 3 Motrer qu o x 2 x ζ(x + ) α(x) x ( 2 x )ζ(x + ) pour tout x >. E déduire l limite de α(x) qud x +. Problème 2 (fmilles sommbles) Si ( i ) i I est ue fmille d élemets de [; ] idexée pr u esemble I, o pose { } i = sup i ; F I, F fii. i I i F Que deviet cette défiitio lorsque I = N? Étblir les résultts suivts. Additivité : i I ( i + b i ) = i I i + i I b Si (I k ) k K est ue prtitio de I, lors i = i. i I k K i I k c Fubii : i,j = i,j = i,j. i I j J (i,j) I J j J i I d Chgemet de vrible : i I i = i I b i. x σ(i) pour toute bijectio σ : I I. 2 O dit qu ue fmille de ombres complexes ( i ) i I est sommble si i I i <. Défiir i I i pour ue fmille sommble ( i ) i I, et éocer les résultts ttedus. Problème 3 Pour x >, o pose ζ(x) =. x = Détermier lim x + ζ(x) et trouver u équivlet simple de ζ(x) qud x +. O pourr comprer à ue itégrle. 2 O ote (p ) l suite des ombres premiers (rgés pr ordre croisst).

15 Motrer qu o ζ(x) = = b E déduire que l série p ( p ) pour tout x >. est divergete. 5 Problème 4 (séries etières uiverselles) Soit P : [; ] R ue foctio cotiue telle que P () =. Soiet églemet N N et ε >. Motrer qu il existe u polyôme R tel que x [; ] P (x) x N R(x) ε. 2 Soit (P ) N ue suite de polyômes à coefficiets réels, vec P () =. Motrer qu il existe ue suite de polyômes (Q ) N telle que (i) vl(q ) > deg(q ) si ; (ii) N x [; ] P (x) Q k(x) 2. 3 Motrer qu il existe ue série etière x vérifit l propriété suivte: pour toute foctio cotiue f : [; ] R, il existe ue suite strictemet croisste d etiers ( k ) telle que l suite de sommes prtielles S k (x) = k = x coverge uiformémet vers f. Problème 5 (suites équiréprties) O dit qu ue suite (u ) d élémets de [; ] est équiréprtie si pour tout itervlle [; b] [; ], o lim crd {i {;... ; }; u i [; b]} = b. A Soit (u ) ue suite ds [; ]. O ote E l esemble des foctios mesurbles borées f : [; ] R vérifit b lim f(u k ) = f(t) dt. k= Soit mitet f : [; ] R ue foctio mesurble borée. Motrer que ds chcu des cs suivts, o peut coclure que f E. f est limite uiforme d ue suite d élémets de E. b f est limite simple d ue suite croisste d élémets de E et d ue suite décroisste délémets de E. B Motrer que pour ue suite (u ) [; ], les propriétés suivtes sot équivletes. (i) (u ) est équiréprtie.

16 6 (ii) Pour toute foctio cotiue f : [; ] R, o b lim f(u k ) = f(t) dt. k= (iii) Pour tout etier m Z \ {}, o lim e 2iπmu k =. k= C Soit θ [; ]. Motrer que l suite ({θ}) est équiréprtie si et seulemet si θ Q. Problème 6 (séries de Hrdy) Ds ce problème, o étudie l covergece de l série si(π ) e foctio du α prmètre α >. A Que dire si α >? B Triter le cs < α < e comprt vec ue itégrle. 2 C Motrer qu o e iπ + e iπ = iπeiπ 2 π2 e iπ ( ) +O qud. 8 3/2 C2 Triter le cs α =. 2 D Triter efi le cs α < 2, e écrivt si(π ) = si(π ) α 2 α. Problème 7 (théorème de Weierstrss) Le but du problème est de doer ue preuve u peu exotique du théorème de Weierstrss (toute foctio cotiue f : [; ] R peut s pprocher uiformémet pr des foctios polyomiles). A O défiit ue suite de polyômes (P ) pr P = et P + (x) = P (x) + 2 (x P 2 (x)). Motrer que pour tout x [; ], o P (x) et x P (x) ( x ) x. 2 E déduire que P (x) ted vers x uiformémet sur [; ]. A2 Motrer qu il existe ue suite de polyômes qui coverge uiformémet vers x sur [ ; ].

17 B Pour [; ], o ote φ : [; ] R l foctio x x. Motrer que toute foctio cotiue ffie pr morceux f : [; ] R est combiiso liéire de foctios φ. C Démotrer le théorème de Weierstrss e utilist ce qui précède. Problème 8 (limites simples de foctios cotiues) Ds tout l exercice, (E, d) est u espce métrique complet et (f ) N est ue suite de foctios cotiues, f : E R, coverget simplemet vers ue foctio f : E R. Le but du problème est de motrer que l esemble des poits de cotiuité de f est dese ds E. Pour ε >, o pose O ε = {x E; V voisige de x tel que y, z V f(y) f(z) ε}. Motrer que chque O ε est ouvert, et que si u poit x X pprtiet à p N O /p, lors x est u poit de cotiuité de f. 2 Soiet ε > et N fixés. O pose F = {x E; p, q f p (x) f q (x) ε}. Motrer qu o F O 3ε. 3 Soit (F ) N ue suite de fermés de E telle que F = E. Motrer que F est dese ds E. 4 Démotrer le résultt souhité. Problème 9 (ue foctio cotiue ulle-prt dérivble) Soit ϕ : R R l foctio 2-périodique telle que ϕ(x) = x pour tout x [ ; ]. O défiit f : R R pr f(x) = 2 ϕ(8 x). = Motrer que f est cotiue. 2 Soit x R, et soit m N. Motrer qu o peut choisir ε m { ; } de sorte qu e post h m = εm 2 8 m, il y it ps d etier etre 8 m x et 8 m (x + h m ). b Pour N, o pose d m, = ϕ(8 x) ϕ(8 (x + h m )). Clculer d,m pour > m, h m motrer qu o d,m 8 pour < m, et clculer d m,m. 3 Motrer que l foctio f est dérivble e ucu poit. Problème 2 (uicité du développemet trigoométrique) Le but du problème est d étblir le résultt suivt: si ue foctio f : R C est l somme d ue série trigoométrique e it (i.e. l série coverge e tout poit vers f(t)), lors les coefficiets sot détermiés de mière uique. 7

18 8 A Soit (c ) Z ue suite de ombres complexes telle que lim + (c e it +c e it ) = pour tout t R. Motrer qu o lim c =. (O pourr commecer pr motrer, e cosidért 2π si( k t) 2 dt, qu il existe ucue suite d etiers ( k ) telle que si( k t) pour tout t R.) B Pour ue foctio F : R C et pour t R, o pose F [2] (t) = lim h + F (t + h) + F (t h) F (t) h 2 lorsque cette limite existe. Que vut F [2] (t) lorsque l foctio F est deux fois dérivble u poit t? Soit F : R R cotiue. O suppose que F [2] (t) existe e tout poit et qu o F [2] (t) pour tout t R. Motrer que si u : R R est ue foctio ffie et si ε >, lors l foctio t F (t) u(t) + εt 2 e possède ps de mximum locl. b Motrer que F est covexe. 2 Motrer que si F : R C est ue foctio cotiue telle que F [2] (t) existe e tout poit et F [2], lors F est ue foctio ffie. C Soit ϕ : R C ue foctio de clsse C, et soit (α ) ue suite de ombres complexes. O suppose que l série α est covergete, et qu o R ϕ (t) dt <. Motrer que l série de foctios α ϕ(x) coverge uiformémet sur R. D Soit (c ) Z ue suite de ombres complexes. O suppose que l série trigoométrique c e it coverge e tout poit vers, utremet dit que pour tout t R, o lim N N = N c e it =. Motrer que l série c e it coverge uiformémet sur R. O pose 2 F (t) = c 2 eit. 2 Motrer que pour t R et h >, o peut écrire F (t + h) + F (t h) 2F (t) h 2 où l foctio ϕ est à détermier. 3 Motrer que l foctio F est costte. 4 Motrer que tous les c sot uls. E Coclure. = c e it ϕ ( ) h, 2 Problème 2 (covergece icoditioelle)

19 A Soit X u espce de Bch, et soit (x ) N ue suite de poits de X. Motrer que les propriétés suivtes sot équivletes. () Pour toute bijectio σ : N N, l série x σ() est covergete. (2) Pour tout ε >, o peut trouver N N tel que J x < ε pour tout esemble fii J N vérifit mi(j) > N. (3) Pour toute suite strictemet croisste d etiers ( k ), l série x k est covergete. Lorsque ces propriétés sot vérifiées, o dit que l série x est icoditioellemet covergete. B O suppose que X est de dimesio fiie. Motrer que l série x est icoditioellemet covergete si et seulemet si x <. C O suppose que X = H est u espce de Hilbert. Pour tout esemble fii J N, o pose J = { ; } J, et o ote J le ombre d élémets de J. Motrer que si (x ) J est ue suite fiie d élémets de H, lors 2 J ε J 2 ε x = x 2. J J 2 Motrer que si x est ue série icoditioellemet covergete à termes ds H, lors x 2 <. 3 O suppose que H est de dimesio ifiie. Motrer que pour toute suite (λ ) N [; [ telle que λ2 <, il existe ue suite x H telle que x = λ pour tout et l série x est icoditioellemet covergete. 9