Chapitre 9 La loi binomiale

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1 A) Variables aléatoires 1) Défiitio Chapitre 9 La loi biomiale O appelle variable aléatoire X ue foctio qui associe à tout résultat (évéemet élémetaire) u ombre réel. Pour ue même expériece aléatoire, o peut bie etedu défiir plusieurs variables aléatoires différetes : par exemple, sur u jet de deux dés, l ue serait la somme et l autre le produit des deux chiffres sortis. Exemple : Soit le jeu de dés suivat : quad o fait 6 o gage 100 F, quad o fait 1 o gage 50 F, et de 2 à 5 o perd 40 F. Le gai (égatif si c est ue perte) est ue variable aléatoire, défiie par X({6}) = 100, X({1}) = 50 et X ({2}) = X({3}) = X({4}) = X({5}) = ) Vocabulaire, otatio - Soit X ue variable aléatoire et soit l évéemet élémetaire A : si X(A) = a, o dit que a est la valeur prise par X pour l évéemet A. - O appelle "X = a" l évéemet (pas forcémet élémetaire) qui cotiet tous les résultats pour lesquels X pred la valeur a. Exemple : Das le jeu ci-dessus, calculer la probabilité de l évéemet A = "X = - 40" (A = {2 ; 3 ; 4 ; 5}, p(a) = 4/6 = 2/3.) 3) Loi de probabilité d ue variable aléatoire a) Défiitio Soit u uivers Ω, mui d ue probabilité p, et soit X ue variable aléatoire preat les valeurs x 1, x 2,, x. La loi de probabilité de X est la foctio qui à chaque x i fait correspodre p("x = x i "). Lorsqu'il 'y a pas d ambiguïté, o pourra oter p(x = x i ) ou même p(x i ). b) Exemple Toujours das le même jeu de dés, calculer p("x = 100") et p("x = -40"). (p(x=100) = 1/6 ; p(x=-40) = 4/6) c) Applicatio Soit l'expériece cosistat à lacer deux dés e vue se calculer la somme des deux chiffres obteus. Pour pouvoir faire des calculs, o défiira Ω comme l'esemble des couples de chiffres obteus, et o otera Ω = {11 ; 12 ; 13 ; ; 16 ; 21 ; 22 ;. ; 66}, qui est doc u uivers équiprobable (preuve par la mise e arbre) O défiit alors S comme la variable aléatoire "somme de deux chiffres obteus", avec comme valeurs possibles {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12}. Le "2" e pouvat être obteu qu'avec le couple 11, sa probabilité sera de 1/36 (car il y a 36 élémets das Ω, vu qu'il y a 6*6 = 36 couples. Page 1/8

2 Le "3" peut être obteu avec 12 et 21, doc p(s=3) = 2/36. Faire le tableau de la loi de probabilité de S. S p(s) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 4) Espérace mathématique d ue variable aléatoire a) Sigificatio L espérace mathématique est l équivalet e probabilités de la moyee podérée par les fréqueces e statistiques. E lagage courat, c est la valeur moyee que predrait cette variable aléatoire sur u très grad ombre d expérieces aléatoires idetiques et idépedates. b) Défiitio L espérace mathématique E(X) d ue variable aléatoire X preat les valeurs x 1, x 2,. x? est le ombre oté E(X) tel que : c) Exemple Toujours le même jeu : E(X) = 100 p(x=100) + 50 p(x=50) 40 p(x=-40) E(X) = 100/6 + 50/6-40*4/6 = ( )/6. E(X) = - 10/6 (o est doc perdat si o joue assez logtemps!). O appelle "équitable" u jeu dot l espérace de gai est égale à zéro. 5) Variace et écart type a) Sigificatio Ceci représete la "dispersio" des valeurs que peut predre la variable aléatoire autour de so espérace. La variace se calcule plus facilemet, mais l'écart-type a l'avatage de s'exprimer das la même uité que la variable aléatoire. b) Défiitios (mêmes otatios que ci-dessus) Variace : V(X) = E(X²) (E(X))² = x 1 ² p(x = x 1 ) + x 2 ² p(x = x 2 ) + + x ² p(x = x ) (E(X))² Écart-type :. Note : o démotre aussi que V(X) = E((X E(X))²). c) Exemple E(X) = x 1 p(x=x 1 ) + x 2 p(x=x 2 ) + + x p(x=x ) Calculer V(X) et σ(x) pour le jeu vu plus haut. E(X²) = 100² p(x=100) + 50² p(x=50) + ( 40)² p(x=-40) E(X²) = ( * 4) / 6 = / 6 = V(X) = (-10 / 6)² = / σ X = V X ,1. Page 2/8

3 B) Expérieces idetiques et idépedates 1) Répétitio d expérieces idetiques et idépedates Preos ue expériece aléatoire au protocole bie défii (par exemple, le jet d u dé). Imagios que l o répète cette expériece fois, sas qu aucue expériece modifie la prévisibilité des résultats des suivates. Cette série d expériece est alors ue répétitio d expérieces idetiques et idépedates. Exemples : Ue série de tirages de boules das u sac sas remise etre pas das cette défiitio, puisqu à chaque fois, l expériece se déroule avec u coteu différet du sac. Ue série de lacer d ue même pièce de moaie correspod bie à la défiitio. 2) Calculs de probabilité avec u arbre podéré Das le cas d ue répétitio d expérieces idetiques et idépedates, la probabilité d ue liste ordoée de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. O peut représeter cette série d expérieces à l aide d u arbre où chaque brache est complétée par la probabilité qu elle a d être emprutée. Exemple : 3 lacers d u pièce de moaie truquée où le pile a 60 % de chaces de se produire et le face 40 % : 60 % P P 60 % P 60 % P 60 % 40 % F 60 % P 60 % 40 % P F 60 % P O peut lire sur ce schéma que la probabilité d obteir le résultat PPF, par exemple, est de 60%*60%*40% = 14,4%. Exercices : a) Calculer la probabilité de chaque séquece et vérifier que leur somme fait bie 100%. b) Étudier de la même faço trois lacers d u dé cubique avec trois faces marquées 1, deux faces marquées 2 et ue face marquée 3. C) Loi et schéma de Beroulli 1) Épreuves et loi de Beroulli O appelle épreuve (ou expériece) de Beroulli ue expériece aléatoire admettat seulemet deux issues dot l ue a pour probabilité p. O peut oter ces issues S (succès) et S ou E (échec). Si S a pour probabilité p, alors S aura forcémet pour probabilité 1 p. Page 3/8

4 Exemples : a) Lacer d ue pièce de moaie o truquée (p = 1 p = 0,5) b) Lacer de la pièce truquée du A2, le succès état pile (p = 0,6 et 1 p = 0,4) c) Lacer d u dé, le résultat état divisible par 3 doe S et E sio. O aura alors p = 2/6 = 1/3 et 1 p = 2/3. Remarque : le lacer d'u dé avec ses 6 possibilités 'est pas ue épreuve de Beroulli. 2) Loi de Beroulli, espérace et variace La loi de Beroulli est la loi de probabilité de la variable aléatoire X telle que X = 1 si S et X = 0 si S. O obtiet alors pour la loi de Beroulli l espérace et la variace suivates : Soit au fial : 3) Schéma de Beroulli. E ( X )= p V ( X )= p(1 p) σ( X )= p (1 p) O appelle schéma de Beroulli ue répétitio fois d épreuves de Beroulli, idetiques et idépedates etre elles. Exemples : Le premier exemple vu e B2) est u schéma de Beroulli. L exemple C1c), s il est répété fois, sera aussi u exemple de schéma de Beroulli. D) La loi biomiale 1) Défiitio La loi biomiale est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y = ombre de succès das u schéma de Beroulli compreat épreuves de Beroulli de probabilité p, idetiques et idépedates. Elle e déped doc que des paramètres et p. Y correspod à la somme des variables X du schéma. Y est doc u ombre etier, qui peut varier de 0 à. 2) Coefficiets biomiaux Pour calculer la probabilité d u résultat pour Y, il faut d abord coaître le ombre d issues combiées fiales doat la valeur k à Y, c est à dire le ombre de chemis meat à la valeur k. Ce ombre déped uiquemet de et k,et o l appelle coefficiet biomial que l o ote (aciee otatio : ). La probabilité qu Y pree la valeur k, soit p(y = k) est alors égal à. O démotre que l espérace, la variace et l'écart-type de Y sot : E (Y )= p V (Y )= p(1 p) σ (Y )= p(1 p) Page 4/8.

5 Cas particuliers : Cours de Mathématiques Classe de 1 re STI2D Chapitre 9 La loi biomiale E effet, u seul chemi mèe à tous les succès, et pour avoir u seul succès (ou u seul échec), il faut que ce succès (ou échec) se recotre das ue seule des braches du chemi, qui e comporte. Remarque : Les tableurs et les calculatrices ayat des foctios statistiques ot ue foctio qui permet de calculer les coefficiets biomiaux et les probabilités p(y = ) et p(y ) e loi biomiale. E) Propriétés de la loi biomiale 1) Symétrie des coefficiets biomiaux Pour toutes valeurs de et k avec k compris etre 0 et, o a : E effet, les résultats S et E jouat u rôle symétrique, o aura autat de chemis pour aboutir à k fois le résultat S qu à aboutir à k fois le résultat E, qui correspod à k le résultat S. 2) Triagle et relatio de Pascal k = Pour tous etiers aturels et k tels que k <, o a :. D où le triagle de Pascal (cou e Chie depuis logtemps, mais popularisé e Occidet par Pascal). 3) Comptage et formule géérale des coefficiets biomiaux a) Factorielles et Permutatios O appelle factorielle de et o ote! la valeur de l expressio ( 1) ( 2) (2) (1), c est à dire le produit des etiers aturels compris etre 1 et. Il est facile de voir que ce ombre représete le ombre de permutatios possibles d u esemble ordoé compreat objets, qu o ote E effet, le premier peut être choisi parmi possibilités, le secod das les 1 restats, etc..., et le produit de ces possibilités exclusives l ue de l autre doe bie!. O a doc. Page 5/8

6 b) Arragemets Cours de Mathématiques Classe de 1 re STI2D Chapitre 9 La loi biomiale O appelle arragemet de k objets choisis parmi le ombre de possibilités pour rager ces k objets pris das u esemble de objets. O ote ce ombre. O peut avec le même raisoemet que ci-dessus voir que ce ombre est égal à Par coséquet,. c) Combiaisos et formule géérale des coefficiets biomiaux Si l o veut calculer le ombre de combiaisos (o ordoées) de k objets pris parmi, ce qui correspod au coefficiet biomial, il suffit alors de diviser le ombre d arragemets de ces objets par le ombre de permutatios de k objets. O a alors : O peut aussi écrire : soit d) Applicatios. Calculer les coefficiets suivats par la méthode du triagle de Pascal ou par la formule ci-dessus : Retrouver les propriétés des coefficiets biomiaux à l aide de la formule géérale. F) Loi biomiale et échatilloage 1) Rappels de secode E échatilloage, o cosidère ue populatio où l'o étudie la présece d'u caractère C de proportio p. O y prélève aléatoiremet et avec remise u échatillo de taille. O y calcule la fréquece f du caractère das l'échatillo et o aimerait e déduire u itervalle de cofiace sur la valeur de p (exemple d'utilisatio : les sodages). O a vu e Secode que pour > 24 et p compris etre 0,2 et 0,8 f a 95% de chaces d'apparteir à l'itervalle [ p 1 ; p+ 1, et que réciproquemet, si o e coaît que f et o p, o peut ] Page 6/8

7 déduire de la valeur de f que p aura 95% de chaces d'être das l'itervalle [ f 1 ; f + 1 ]. 2) Itervalle de fluctuatio e loi biomiale La loi biomiale, lorsqu'elle est applicable, permet de préciser cet itervalle de fluctuatio. E effet : Soit X la variable aléatoire qui compte le ombre de préseces du caractère C, de fréquece p das la populatio, das u échatillo de taille. Alors X suit la loi biomiale de paramètres et p. L'itervalle de fluctuatio à 95% des valeurs probables de X est alors [ a ; b ] où a est le plus grad etier aturel tel que p(x a) 0,025 et b le plus petit etier tel que p(x b) 0,975. Remarque : O peut aussi dire pour a que : "a est le plus petit etier aturel tel que p(x > a) > 0,025", et dire pour b que : "b est le plus grad etier aturel tel que p(x > b) < 0,025". Das la pratique, o utilisera la première défiitio et la méthode suivate : Pour trouver a, o part de 0 et o augmete jusqu'à dépasser 0,025 Pour trouver b o part de et o dimiue jusqu'à descedre au-dessous de 0, C'est plus facile parce que les calculatrices ous doet la valeur de p(x k) et o p(x > k). Exemples : a) Soit p = 0,15 et = 20 (ici, o 'est plus obligé d'avoir > 24 et p etre 0,2 et 0,8!). Calculer les bores de l'itervalle à 95%. b) Soit p = 0,47 et = Même questio. Page 7/8

8 Probabilités Fiche de révisio Espérace mathématique d ue variable aléatoire X L espérace mathématique est l équivalet e probabilités de la moyee podérée par les fréqueces e statistiques. C est la valeur moyee que predrait cette variable aléatoire sur u très grad ombre d expérieces aléatoires idetiques et idépedates. Elle se calcule par la formule : Variace et écart-type d ue variable aléatoire X Ils représetet la "dispersio"des valeurs que peut predre la variable aléatoire autour de so espérace. L avatage de l écart-type est d être exprimé das la même uité que la variable. σ X = V X Loi de Beroulli (sur ue épreuve de Beroulli de probabilité p) E ( X )= p V ( X )= p(1 p) σ( X )= p (1 p) Loi biomiale C'est la loi de probabilité du ombre de succès das u schéma de Beroulli de épreuves de Beroulli idépedates et idetiques de probabilité p) p( X =k )=( k ) pk (1 p) k E ( X )= p V ( X )= p (1 p) σ ( X )= p(1 p) Loi biomiale et itervalle de cofiace à 95% : I =[ a ; b ] où : a est le plus grad etier aturel tel que p(x a) 0,025 p( X [ a ; b])=95 % et b est le plus petit etier tel que p(x b) 0,975. ( 0 ) ( = ) =1 (1 E(X) = x 1 p(x = x 1 ) + x 2 p(x = x 2 ) + + x p(x = x ) V(X) = E((X E(X))²) = (x 1 - E(X))² p(x = x 1 ) + (x 2 - E(X))² p(x = x 2 ) + + (x - E(X))² p(x = x ) V(X) = E(X²) (E(X))² = x 1 ² p(x = x 1 ) + x 2 ² p(x = x 2 ) + + x ² p(x = x ) (E(X))² Coefficiets biomiaux et Triagle de Pascal : ) ) +1 = = ( 1 ( k) ( = k) ( k) ( + k+1) ( = k+1 = k = ) ( k ) =! k!( k)! Page 8/8