La loi normale. Chapitre Introduction Motivation à partir de la loi binomiale Notion de variable aléatoire à densité

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1 Chpitre 4 L loi normle 4.1 Introduction Dns le chpitre précédent, les probbilités rencontrées se rmenient à lister tous les cs possibles, leur ttribuer l même probbilité, et diviser le nombre de cs fvorbles pr le nombre totl de cs. Bien sûr, cette méthode étit en générl trop longue, et on montré comment, dns le cs des modèles de tirges, clculer les probbilités sns voir à lister tous les cs. Dns ce chpitre, on étudier des probbilités pprissnt dns un cdre conceptuellement légèrement différent : celui des vribles létoires continues 1. On verr que pour de telles vribles les probbilités s expriment comme l ire sous une courbe, c est-à-dire l intégrle d une fonction. L exemple clé de ce chpitre ser l loi normle, très importnte en sttistiques, et qui fournit une bonne pproximtion des lois binomiles et hypergéométriques vues u chpitre précédent Motivtion à prtir de l loi binomile Commençons tout d bord pr un cs trité dns le chpitre précédent : on lnce 20 fois une pièce non biisée et on note X le nombre de fois qu on obtenu pile. On sit lors que X suit l loi binomile B20; 0,5. On peut clculer les probbilités P[X = 0], P[X = 1], etc. On peut ussi les représenter pr un digrmme en tuyux d orgue : des rectngles dont les huteurs sont les probbilités P[X = 0], P[X = 1], etc. On obtient insi l figure 4.1 ci-près. On peut lors clculer pr exemple l probbilité P[6 X < 12] = P[X = 6] + P[X = ] + + P[X = 11], c est-à-dire l somme des ires des rectngles grisés sur l figure 4.2 ci-près. Une idée importnte de ce chpitre est d pprocher cette surfce pr l ire sous une courbe, comme en figure 4.2b ci-près. On est donc ppelé à définir des vribles pour lesquelles l probbilité d voir s vleur dns un intervlle est donnée pr l ire sous une courbe : ces vribles s ppellent vribles létoires à densité Notion de vrible létoire à densité Définition Étnt donnée une fonction f, et une vrible létoire X, on dir que f est l densité de X si l probbilité pour X de prendre s vleur dns un intervlle [; b[ est donnée pr P[ X < b] = b fxdx, 1. Plus précisément les vribles que nous considérons sont ppelées bsolument continues pr les mthémticiens. 1

2 2 CHAPITRE 4. LA LOI NORMALE P 15% 10% 5% x Figure 4.1 Digrmme en tuyux d orgue des probbilités pour une vrible létoire X suivnt l loi B20; 0,5. P 0,15 0,15 0,1 0,1 0,05 0, x x P[6 X < 12] pour X B20; 0,5. b Aire pprochnt P[6 X < 12]. Figure 4.2 Approximtion : loi binomile et loi normle.

3 4.2. LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE 3 où l nottion b fxdx désigne l ire sous l courbe de l fonction f dns l intervlle [; b[ voir figure 4.3. Remrque Pour qu on dise que f est l densité de X, il fut que l églité ci-dessus soit vrie quels que soient et b tels que < b. Propriété Si l vrible X dmet une densité, lors les qutre probbilités P[ X b], P[ X < b], P[ < X b] et P[ < X < b] sont égles. Ceci est une différence fondmentle entre les vribles à densité et pr exemple les lois binomiles et hypergéometriques étudiées u chpitre précédent. fx P[ X < b] = b fxdx b x Figure 4.3 Probbilité P[ X < b] où X pour densité une fonction f. 4.2 Loi normle centrée réduite Définition Définition Si une vrible létoire Z dmet pour densité l fonction fx = exp x2 /2 2π, lors on dit que Z suit l loi normle centrée réduite. Cette ffirmtion se note Z N 0; 1. Nottion Le plus souvent, les vribles qui suivent l loi normle centrée réduite seront notées Z plutôt que X comme dns l définition ci-dessus. Remrque Pour comprendre ce que donne l expression ci-dessus de l fonction f, on peut pr exemple représenter s courbe vec une clcultrice : On observe lors les propriétés suivntes Propriétés Cette densité une forme de cloche vec un pic en x = 0. Elle est réprtie symétriquement de prt et d utre de x = 0, et devient vite très petite qund on s éloigne de x = 0 pr exemple, f3 0,0044, f4 0,00013, et f5 0, Définition Nottion Dns ce cours, les lettres X, Y, etc, désignent des vribles létoires, ou des vribles sttistiques qui dépendent du contexte. De même l lettre f désigne dns ce chpitre une

4 4 CHAPITRE 4. LA LOI NORMALE = - b P[ Z < b] = F b F. b = 1 - = 1 - z z b Pour z < 0, on F z = 1 F z. z Figure 4.4 Représenttion grphique des principles formules densité qui dépend du contexte. En revnche l lettre F désigne l fonction 2 définie pr Cette définition signifie que F z = z exp x 2 /2 2π dx. 4.1 si Z N 0,1, lors P[Z z] = F z. Propriétés Plus générlement, on voir figure 4.4 : P[ Z < b] = F b F. De plus, l symétrie pr rpport à x = 0 donne : si z < 0, lors F z = 1 F z, où z désigne l vleur bsolue de z, c est-à-dire le nombre z uquel on enlevé le signe s il étit présent Utilistion de l tble du formulire Données de l tble L tble de l fonction de réprtition permet de lire F x lorsque x est positif et u plus deux chiffres près l virgule : le deuxième chiffre près l virgule est l colonne que l on doit considérer, les chiffres précédents donnent l ligne. Exemples 1. On lit F 1,3 0,9582 à l ligne 1, ; colonne On sit que F 2 = 1 F 2, d où, en lisnt l tble, F 2 1 0,92 0, On déduit que si Z N 0,1, lors P[ 2 Z 1,3] = F 1,3 F 2 0,9582 0,0228 0,9354. Remrque Si z 4, lors F z n est ps indiqué dns l tble, mis on F z 1, Lorsque l on utilise l nottion du chpitre sur les sttistiques descriptives, à svoir F x = P r[x x], il fut donc prendre prticulièrement grde à ne ps créer de confusion vec l fonction F de ce chpitre. 3. Pr exemple l nottion 3 désigne l vleur bsolue de 3, c est-à-dire le nombre 3. De même 12, désigne l vleur bsolue de 12,, c est-à-dire le nombre 12,.

5 4.2. LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE 5 Clcultrice TI nglophone. b Clcultrice Csio. Figure 4.5 Clcul de P[ 2 Z 1,3] sur clcultrice. Interpoltion linéire Lorsque x plus de deux chiffres près l virgule, on peut estimer F x pr interpoltion linéire. Pr exemple, clculons F 1,516 : On lit dns l tble les vleurs juste vnt et juste près 1,516 : on F 1,51 0,9345 et F 1,52 0,935. On pose donc x 1 = 1,51, y 1 = 0,9345, x 2 = 1,52 et y 2 = 0,935. L formule d interpoltion linéire donne lors y = F x = y 1 + y2 y1 x 2 x 1 x x 1 0, ,935 0,9345 1,52 1,51 1,516 1,51 0,9352. Exemples de lecture inverse de l tble 1. Trouvez z tel que F z = 0,854. On cherche dns l tble les vleurs les plus proches de 0,854 : on lit que F 1,05 0,8531 et que F 1,06 0,8554. On pose donc x 1 = 1,05, y 1 = 0,8531, x 2 = 1,06 et y 2 = 0,8554. On cherche x tel que y = 0,854. L formule d interpoltion linéire donne lors x = x 1 + x2 x1 y 2 y 1 y y 1 1,05 + 1,06 1,05 0,8554 0,8531 0,854 0,8531 1, Trouvez z tel que F z = 0,146. Dns l tble, les vleurs de z ne commencent qu à 0,5000, donc on n ps de vleurs proches de 0,146. Cel vient du fit que si F z < 0,5, lors z < 0. Schnt que z < 0, on peut déduire que F z = 1 F z = 0,146, donc F z = 1 0,146 = 0,854. En utilisnt le clcul précédent on déduit que z 1,054, d où comme z est négtif z = 1, Trouvez z tel que P[Z z] = 5%. On veut voir P[Z z] = 5%, c est à dire P[Z < z] = 95%. On procède comme précédemment pr interpoltion linéire et on obtient z = 1,64 + 0,95 0,9495 1,645. 1,65 1,64 0,9505 0,9495 Dns cet exemple on peut ussi se psser de l interpoltion linéire et lire directement dns l tble inverse de l loi normle centrée réduite que lorsque F z = 0,95, on z 1, Utilistion de clcultrices De nombreux modèles de clcultrices disposent d une fonction clculnt P[ Z b] pour et b rbitrires. Les cptures d écrn figure 4.5 montrent le clcul de P[ 2 Z 1,3] trité précédemment à titre d exemple. Se reporter ussi u formulire et u mnuel de votre clcultrice. Remrques Le nom des fonctions peut dépendre du modèle précis de l clculette. Pr exemple sur de nombreuses clcultrices TI frncophones, l fonction normlcdf s ppelle normlefrep.

6 6 CHAPITRE 4. LA LOI NORMALE 0,4 0,3 0,2 0,1 fx 0,04 0,03 0,02 0,01 fx Densité de l loi N 0; µ 2 σ 40 µ σ 50 µ 60 µ + σ 0 80 µ + 2 σ µ + 3 σ b Densité de l loi N σ; µ l figure est rélisée pour µ = 50, σ = 10. Figure 4.6 Comprison entre les densités de N 0; 1 et N µ; σ. Les clcultrices ne svent générlement ps clculer de probbilités comme P[Z 1,3], mis nécessitent un intervlle vec un minimum et un mximum. En prtique, on peut remplcer P[Z 1,3] pr P[ 1000 Z 1,3] pr exemple. 4.3 Loi normle générle Définition Étnt donnés deux nombres σ et µ, si une vrible létoire X dmet pour densité l fonction fx = 2 x µ exp 2σ 2, 2πσ 2 lors on dit que X suit l loi normle de moyenne µ et d écrt-type σ. Cette ffirmtion se note X N µ; σ. Remrque En comprison de l courbe utilisée pour l loi normle centrée réduite, l différence est que le sommet de l cloche est déclé en x = µ u lieu de x = 0 et que l lrgeur de l cloche est modifiée en fonction de σ. Voir figure 4.6. Propriété Étnt donnée une vrible létoire X et deux nombres σ et µ, on peut définir Z = X µ σ. Alors les deux ffirmtions ci-dessous sont équivlentes : X N µ; σ Z = X µ σ N 0; 1. Nottion Lorsque l loi n est ps centrée réduite c est à dire que µ 0 ou σ 1, on évite d ppeler Z l vrible correspondnte on préfère X ou Y. Pr défut, Z désigner l quntité X µ σ. Moyenne et écrt-type Si X N µ,σ, lors l moyenne et l écrt-type de X sont donnés pr mx = µ sx = σ.

7 4.4. EFFECTIFS THÉORIQUES Exemple Soit X N 3,4. Clculez P[1 X 10]. On pose Z = X 3 4 N 0; 1. Alors, P[1 X 10] = P[ Z ] = P[ 0,5 Z 1,5] = F 1,5 F 0,5 = F 1,5 1 + F 0,5 0, ,6915 0,6514 Qurtiles De même que pour l loi normle centrée réduite, on peut être mené à résoudre des équtions comme P[x ] b ou b est fixé. Un cs prticulier de cette éqution est le clcul des qurtiles : Q 1 est défini pr l éqution P[X Q 1 ] = 0,25, Q 3 est défini pr l éqution P[X Q 3 ] = 0,5. Exemple : Si X N 3;, lors pour clculer Q 1, on note tout d bord que P[X Q 1 ] = 0,25 = P[Z Q1 3 ]. On note que si Q1 3 étit positif, lors P[Z Q1 3 ] serit plus grnd que 0,5 ce qui n est ps le cs. Donc Q1 3 < 0. D où 0,25 = P[Z Q1 3 ] = F Q1 3 = 1 F 3 Q1. Donc F = 1 0,25 = 0,5. 3 Q1 Pour résoudre l éqution F z = 0,5, on peut fire une interpoltion linéire à prtir des données de l tble, et obtenir z = 0,6 + 0,68 0,6 3 Q1 0,51 0,486 0,5 0,486 0,65. On déduit que 0,65, d où Q 1 3 0,65 1,25. Q 3 se clcule pr un risonnement nlogue. On noter ussi que ces qurtiles peuvent se clculer directement vec les fonctions de l clculette. Remrque : On pourrit définir de même l médine, mis dns le cs très prticulier des lois normles, l médine est égle à l moyenne. 4.4 Effectifs théoriques Lorsque l loi d une vrible létoire est connue, et que l on considère n observtions de cette vrible létoire c est à dire qu on un échntillon de tille n, on peut lors clculer des effectifs théoriques, obtenus en multiplint les probbilités pr n, vec une petite subtilité voir exemple ci-dessous pour l première et l dernière clsse. Exemple Pr exemple, si X N 50; 15, lors on P[10 X < 30] 0,084, P[30 X < 50] 0,4088, P[50 X < 0] 0,4088 et P[0 X < 90] 0,084. Donc si on un échntillon de tille n = 200 on obtiendrit priori en multiplint ces probbilités pr 200 les effectifs théoriques suivnts : clsse [10 ;30[ [30 ;50[ [50 ;0[ [0 ;90[ effectif théorique 1,5 81,8 81,8 1,5 En fit, les effectifs théoriques ci-dessus ont un problème : l somme des effectifs théoriques vut 198,6 u lieu de 200. En conséquence, on décide de clculer différemment pour l première et l dernière clsse : pour l première clsse on considère P[X < 30] u lieu de P[10 X < 30] et pour l dernière clsse P[X 0] u lieu de P[0 X < 90]. On obtient lors les effectifs théoriques clsse [10 ;30[ [30 ;50[ [50 ;0[ [0 ;90[ effectif théorique 18,2 81,8 81,8 18,2 de sorte que cette fois-ci, l somme des effectifs théoriques vut bien 200. Fréquences théoriques Les probbilités des différentes clsses sont prfois ppelées fréquences théoriques suf pour l première est l dernière clsse dont les fréquences théoriques sont, pour l exemple ci-dessus, P[X 30] et P[X > 0].

8 8 CHAPITRE 4. LA LOI NORMALE 4.5 Approximtion de lois binomiles et hypergéometriques Loi binomile Comme indiqué en introduction, l loi normle fournit une pproximtion fort prtique de l loi binomile. Plus précisément on considère que : Si n 30, np > 5 et n1 p > 5, lors Bn; p N np; np1 p. On prendr toutefois grde que les deux lois Bn; p et N np; np1 p ont des ntures très différentes. En effet, si S Bn; p lors S prend uniquement des vleurs entières, tndis que si X N np; np1 p lors X ne prend presque jmis de vleurs entières. En conséquence l vrible binomile S est pprochée pr l rrondi de X. Exemple Clculer P[8 S 12] lorsque S B50; 0,2. On remrque tout d bord que n = 50 30, que n p = 10 > 5, et que n 1 p = 40 > 5, donc on peut pprocher S pr une loi X N 10; 2,83 cr 2, ,2 1 0,2. On souhite clculer P[8 S 12], où S est l rrondi de X. Pour que l rrondi de X soit entre 8 et 12, il fut que X soit entre,5 et 12,5. Ainsi, on P[8 S 12] P[,5 X < 12,5] P[,5 10 2,83 Z < 12,5 10 2,83 ] P[ 0,88 Z < 0,88] F 0,88 F 0,88 F 0, F 0,88 0, ,8106 0,62 Remrque Le fit d jouter ou soustrire 0,5 pour psser de [8 S 12] à [,5 X < 12,5] s ppelle correction de continuité. Nottion En prtique, une fois le principe de l correction de continuité bien compris, on ne distingue plus les vribles X et S. On écririt donc pour reprendre l clcul ci dessus, que Si X B50; 0,2, lors on pproche X pr l loi N 10; 2,83. On lors P[8 X 12] P[,5 X < 12,5] P[,5 10 2,83 Z < 12,5 10 2,83 ] P[ 0,88 Z 0,88] F 0,88 F 0,88 F 0, F 0,88 0, ,8106 0,62 Remrque Lorsqu on fit l pproximtion entre une loi binomile et une loi normle, le résultt n est ps très précis si on grde trop de chiffres près l virgule, ils ont de fortes chnces d être erronés. En conséquence il est inutile de fire une interpoltion linéire lors de l lecture de l tble de l loi normle Loi hypergéometrique Si n 30, np > 5 et n1 p > 5 où p = N 1 N, lors HN; N 1; p N np; np1 p N n N 1 Remrque Comme pour l loi binomile, une correction de continuité méliore sensiblement l précision des clculs effectués à prtir de cette pproximtion suf lorsque n est très grnd, u moins de l ordre d une centine environ..