DM de Mathématiques, Suites récurrentes linéaires - Correction

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Marcel Bédard
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1 DM de Mathématiques, Suites récurretes liéaires - Correctio IR aée A redre pour le 8 décembre 008 Exercice : Echauemet O s'itéresse à la suite récurrete liéaire déie par : u 0 = u = u + = u + u - O motre par récurrece que chaque terme de la suite (u N est u etier Notre hypothèse de récurrece est : H : le ième terme u de la suite est u etier relatif O vérie que H 0 et H sot vraies : u 0 = et u = sot bie des etiers relatifs Supposos à préset que H et H + sot vraies Alors par déitio u + = u + u et par hypothèse de récurrece, u et u + sot des etiers relatifs Comme o peut multiplier, ajouter et soustraire des etiers relatifs et obteir u résultat qui soit ecore u etier relatif ((Z, +, est u aeau u + est bie u etier relatif Ceci achève la récurrece - La formule de récurrece peut se réécrire u + u + + u = 0 O appelle doc P (t = t t + le polyôme associé à la suite (u N Les racies de ce polyôme sot : x = +i = + i x = i = i O remarque que ces racies sot des racies complexes cojuguées : x = x 3- La suite (u N peut s'écrire comme combiaiso liéaire des suites (x N et (x N Il existe doc deux ombres λ et µ tels que pour tout N : u = λ( + i + µ( i Pour trouver λ et µ o utilise les premiers termes de la suite : = 0 u0 = = λ + µ = u = = λ( + i + µ( i = λ + µ = λ + µ + i(λ µ D'où e combiat les deux équatios : = λ + µ 0 = λ µ Fialemet λ = µ = ; l'expressio du terme gééral de la suite (u N est doc : u = ( + i + ( i Das la première questio o a motré que chaque terme de la suite est u etier relatif, pourtat o doe ici ue expressio du terme gééral de (u N qui utilise des ombres complexes O doit doc pouvoir simplier cette écriture et élimier les complexes

2 - Pour simplier l'écriture précédete, deux méthodes (au mois sot possibles : développer à l'aide de la formule du biôme de Newto ( + i et ( i, écrire ( + i et ( i sous forme polaire (à l'aide de l'expoetielle Méthode O utilise la formule du biôme de Newto : ( ( (a + b = a k b k!, avec = i k k!( k! N Appliquée à l'expressio de u o obtiet : ( u = ( ( i k k + ( ( i k k k k e regroupat les deux sommes o a : u = ( i k ( + ( k k o remarque que si k est impair, ( + ( k = 0 doc il e reste das cette somme que les termes pour k pair : u = ( i k k d'où alemet comme i = : ( u = ( k k O a fait disparaître ( les ombres complexes de l'expressio de u De plus comme les coeciets biomiaux k sot des etiers et qu'o e fait la somme alterée, o voit directemet que le résultat est u etier : u Z Méthode O écrit ( + i et ( i sous forme polaire : + i = ρe iθ et + i = ρ e iθ Ce sot des ombres complexes de module, o commece doc par écrire : + i = ( + i i = ( i puis das l'expressio factorisée o multiplie umérateurs et déomiateurs par pour élimier la racie aux déomiateurs : + i = ( + i i = ( i e o remarque que cos( π = si( π = et que cos( π = et si( π =, d'où : + i = ( cos( π + i si( π i = ( cos( π i si( π doc + i = e iπ i = e iπ O ijecte ces deux relatios das l'expressio de u :

3 u = ( e iπ + ( e iπ, e mettat les puissaces de e facteur o voit apparaître e iθ + e iθ avec θ = π : u = ( ( e iπ + e iπ, que l'o simplie grace à la formule : e iθ + e iθ = cos θ u = ( cos( π Avec cette expressio sas ombre complexe o voit que chaque terme de la suite est u réel 5- Avec la première méthode o voit directemet sur l'expressio de u que c'est u etier Il reste à vérier que ça marche aussi avec la secode méthode, c'est-à-dire que pour tout N: ( cos( π Z Quelles valeurs l'expressio ( cos( π peut-elle predre? si = k est pair, alors π est cogru à 0, π, π ou 3π π modulo π, doc cos( 0,, } Das ce cas, u = 0,, } doc u est bie u etier si = k + est impair, alors π est cogru à π, 3π, π ou 3π modulo π Doc cos( π, } Das ce cas, comme = k +, ( = k et doc u k, k } c'est-à-dire que u k, k } doc u est bie u etier Fialemet quelle que soit la parité de, u est u etier relatif Exercice : Calcul de détermiat - D = α = α D = α α = α - Si l'o developpe le determiat D suivat la première coloe, o obtiet: α α α 0 D = α α = α α α α α }}}}}} E, il est possible de developper la première lige du secod terme de l'équatio précédete pour obteir, α α D = α α α α }}}} 3

4 Ce qui ous permet d'armer la formule de récurece suivate: >= 3 D = α D D 3- Il sut d'appliquer les formules du pour obteir : ( D = + + ( + - Nous souhaitos trouver, das le cas gééral, ue formule pour D Pour cela, il sut de détermier tous les termes de la suite suivate: D = α, D = α, D = αd D Cette suite peut se prologer articiellemet e D 0 e utilisat la formule de récurece précédete appliquée e = Aisi, D = αd D 0 doe D 0 = Notre problème est doc equivalet à trouver ue formule pour D vériat les coditios suivates: Méthode classique D 0 =, D = α, D = αd D Le polyôme caractéristique de cette suite est P (t = t αt+ et a pour discrimiat = α Deux cas doivet être étudiés Cas : si 0, alors P possède deux racies distictes r ± D est alors ue combiaiso liéaire des suites (r + N et (r N : D = θr + + γr Pour détermier θ et γ, il sut de specialiser la formule pour = 0 et = : D0 = = θ + γ O e déduit doc que θ = D = a = r + + r = θr + + γr r + r et γ = D'où, r + r r r + D = (r+ + r + avec r ± = α ± c( r + r et c( = si 0 i si < 0 Cas : si = 0, alors P possède ue seule racie r D est alors ue combiaiso liéaire des suites (r N et ( r N : D = θr + γr Pour détermier θ et γ, il sut de specialiser la formule pour = 0 et = : D0 = = θ D = a = r = θr + γr O e déduit doc que θ = et γ = D'où, D = ( + r avec r = α

5 Méthode utilisat les séries géératrices Soit k 0 D kt k Etat doé que D = αd D, o a: + αt + D t + α t t + D t + + t D 0 t + s(t αts(t + t D'où, αt + t Si = 0, alors k αk t k et D = α Das la suite du documet o supposera doc que 0 Soit Q(t = αt + t Le discrimiat de Q est égal à = α Deux cas se présetet alors: Cas : si 0, alors Q possède deux racies distictes s + et s S(t s'ecrit alors comme: (t s + (t s Comme (t s + (t s = t (s + + s t + s + s = t α t +, o a : O e déduit doc que: s + s = s + s (t s + (t s Etat doé que le degré du umérateur de S(t est iférieur strictemet au degré de so déomiateur, o a: A s + s ( + B avec A = lim et B = lim t s + t s t s + t s t s t s + O e deduit doc que s +s s + s t s + + s +s s s + t s = s ( +s + s + s t s + t s Or, O obtiet alors Ce qui aboutit à t a = a ( t a k k 0 s +s (( t k+ ( t k+ s + s s + s k D = s +s s + s ( s + + s + 5

6 Cas : si = 0, alors Q possède ue seule racie double s S(t s'ecrit alors comme: (t s Comme (t s(t s = t st + s = t α t +, o a : s = O obtiet alors, s (t s = ( t/s = (k + (t/s k k 0 O e deduit doc que Lies etre les deux méthodes D = ( + ( s Das u premier temps ous allos traiter le cas où 0 Das la méthode classique, le polyôme caractéristique est p(t = t αt + Das la méthode utilisat les séries géératirces, Q(t = t αt+ Le lies etre le polyôme P et le polyôme Q est le suivat : P (t = t Q( t Aisi, si r est ue racie de P, r est ue racie de Q et vice versa (r 0 car 0 Si l'o calcul eectivemet les racies de P (respectivemet Q otées r ± ( respectivemet s ±, o obtiet : r ± = α ± c( s ± = α ± c( où c( = si 0 i si < 0 O e déduit les relatios suivates etre r ± et s ± : Si = 0, alors la suite r + = s + r = s et par coséquece (voir remarque précédete D 0 =, D = α, D = αd D s + = r s = r + 'est pas ue suite d'ordre Elle dégéère e ue suite d'ordre et deviet: D0 =, D = αd Das ce cas, si α 0, P (t = t α et Q(t = αt P et Q possède alors ue seule racie otée respectivemet r et s O obtiet alors: r = s Si α = 0 la suite se réduit à D 0 = et, D = 0

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