Applications linéaires et espaces vectoriels quotients

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1 Emmauel Vieillard Baro 1 Applicatios liéaires et espaces vectoriels quotiets 1 Itroductio Les applicatios liéaires sot parmi les plus importates e mathématiques. Elles itervieet das de ombreuses situatios. E aalyse, elles servet par exemple à approximer localemet des foctios ou des équatios différetielles. E algèbre, o peut les utiliser pour représeter des équatios. E géométrie, elles modéliset les symétries d u objet... Nous étudieros das cette leço leurs pricipales propriétés. Nous verros que ces derières sot ombreuses et justifiet l itérêt qui leur est porté. Nous termieros cette partie par ue itrusio das le mode des espaces vectoriels quotiets. L importace de ces deriers est liée e particulier au fait que pour u sous espace doé das u espace vectoriel il existe pas de supplémetaire caoique. Nous verros que les espaces quotiets permettet de défiir pour u sous espace vectoriel doé u supplémetaire bie particulier. Das tout ce chapitre k désige u corps. 2 Défiitios Défiitio Soiet E et F des k-espaces vectoriels et f ue applicatio de E das F. f est ue applicatio k-liéaire si pour tout x et y das E et tout α et β das k, f (αx+βy)=α f (x)+β f (y). O otera (E,F) l esemble des applicatios liéaires de E das F. O utilisera, quad aucue cofusio est à craidre, le mot liéaire à la place de k-liéaire. Défiitio Si f est ue applicatio liéaire du k espace vectoriel E das le k espace vectoriel F alors: Si E=F f est u edomorphisme. L esemble des edomorphismes d u espace vectoriel E sera oté (E). Si f est bijective f est u isomorphisme. Si E=F et que f est bijective alors f est u automorphisme. L esemble des automorphismes d u espace vectoriel sera oté GL(E) (Groupe liéaire de E). L utilisatio du mot groupe das la défiitio précédete sera justifiée plus loi. Défiitio Deux espaces vectoriels sot isomorphes si il existe u isomorphisme etre ces deux espaces vectoriels.

2 Emmauel Vieillard Baro 2 L importace des isomorphismes etre les espaces vectoriels est la même que celle des isomorphismes e théorie des groupes ou que celle des homéomorphismes etre espaces topologiques. Des espaces vectoriels isomorphes aurot les mêmes propriétés vectorielles. Cette otio permettra de classer les espaces vectoriels. Toute propriété vectorielle vraie pour u espace vectoriel doé sera vraie pour u espace vectoriel qui lui est isomorphe. Propositio Etre isomorphe à est ue relatio d équivalece sur l esemble des espaces vectoriels sur u corps k. Démostratio C est facile. Défiitio Soit E u k-espace vectoriel. L applicatio qui à u vecteur x de E associe lui même est appelée applicatio idetique sur E ou Idetité de E. O la ote Id E ( ou Id quad aucue cofusio est à craidre ): x E, Id E (x)=x. O vérifie immédiatemet que cette applicatio est liéaire. 3 Propriétés Propositio Soiet E et F des k-espaces vectoriels. Soit E u sous espace vectoriel de E et soit f ue applicatio liéaire de E das F. Alors f (E ) est u sous espace vectoriel de F. Le sous espace vectoriel de F image de E par f est oté Im f. Démostratio Soiet y,y f (E ). Il existe doc x,x E tels que y= f (x) et y = f (x ). Soiet α,α k.il suffit de vérifier que αy+α y est élémet de f (E ). Mais αy+α y = α f (x)+α f (x ) = f (αx+α x ). Défiitio Soiet E et F deux k-espaces vectoriels. Soit f ue applicatio liéaire de E das F. Le sous esemble de E des vecteurs aulat f est appelé oyau de f et est oté Ker f. Ker f x E f x 0 Propositio Le oyau d u applicatio liéaire est u sous espace vectoriel de l espace de départ de l applicatio liéaire. Démostratio Soit f l applicatio liéaire cosidérée. Notos E l espace vectoriel sur lequel f est défiie. Soiet aussi x,y Ker f, α,β k. Il suffit là aussi de vérifier que αx+βy Ker f. Mais f (αx+βy =α f (x)+β f (y)=0. Ker f est doc bie u sous espace vectoriel de E. La propriété qui suit est extrêmemet utile pour prouver l ijectivité d ue applicatio liéaire.

3 Emmauel Vieillard Baro 3 Propositio Soiet E et F deux k-espaces vectoriels. Soit f ue applicatio liéaire défiie de E das F. O a équivalece etre: Ker f = 0. f est ijective. Démostratio Remarquos que E et F état des espaces vectoriels, ce sot aussi des groupes pour leur loi itere respective et que f, applicatio liéaire de E das F, est aussi u homomorphisme etre ces deux groupes. Or o sait que das ce cas préçis, l ijectivité de f est équivalete au fait que so oyau est réduit à l élémet eutre du groupe de départ. Défiitio Soiet E et F deux k-espaces vectoriels et f ue applicatio liéaire de E das F. Rappelos que Im f est u sous espace vectoriel de F. Si Im f est u sous espace vectoriel de dimesio fiie das F alors o appelle rag de l aplicatio liéaire f la dimesio de Im f. O otera rg f le rag de f. Propositio Soiet E et F des k-espaces vectoriels. Soit f ue applicatio liéaire de E das F. Soit I u esemble et A= e i ;i I ue famille de vecteurs de E idexés par I. Si A est ue famille géératrice de E alors f (A)= f e i ;i I est ue famille géératrice de Im f. Démostratio Soit y Im f. Il existe x das E tel que y=f(x). Mais la famille A est géératrice das E. Doc il existe ue famille λ i ;i I de scalaires ( à support fiie) de k telle que x λ i e i i I Comme f est liéaire, y f x λ i f e i i I y état quelcoque das Im f, la propriété est démotrée. Corollaire Si E et F sot deux k espaces vectoriels, que E est de dimesio fiie et que f est ue applicatio liéaire de E das F alors f est de rag fii das F. Démostratio Comme E est de dimesio fiie, E possède ue famille A géératrice et de cardial fii. L image de cette famille par f est ue famille géératrice de Im f qui est ecore de cardial fii. Par défiitio d u espace vectoriel de dimesio fiie, Im f est alors de dimesio fiie. Et le rag de f état la dimesio de Im f, f est bie de rag fii. Propositio Formule du rag Si E et F sot des k-espaces vectoriels, que E est de dimesio fiie, et que f est ue applicatio liéaire de E das F alors f vérifie: dim Ker f+rg f =dim E.

4 Emmauel Vieillard Baro 4 Démostratio E état de dimesio fiie, o peut trouver ue base de cardial fii de Ker f. Posos =dim E et p=dim Ker f. Soit e 1 e p ue base de Ker f. Preos u sous espace E supplémetaire à Ker f. Cette base peut se complèter e ue base e 1 e p e p 1 e de E où les vecteurs e p 1 e formet ue base de ce supplémetaire. L image de cette base par f est géératrice de Im f. Doc Im f =Vect(f(e p 1),...,f(e )). Cette famille est, de plus, libre das Im f : Si λ p 1,...,λ sot -p scalaires de k tels que λ i f e i 0 alors f λ i e i 0. Mais ceci implique que λ i e i 0 est élémet de Ker f. Cette somme est ue somme de vecteurs qui sot das u sous espace supplémetaire E de Ker f. La somme est doc élémet de E. λ i e i est alors das E Ker f. La seule possibilité est λ i e i 0. Mais cette famille est libre das E doc λ i =0 pour tout i=p+1,...,. Ces scalaires ayat été choisis de faço quelcoque das k, La famille f(e p 1),...f(e ) est libre das Im f. C est doc ue base de Im f et dim Im f =-p. Mais dim Im f =rg f. L égalité =(-p)+p équivaut doc à dim E= rg f +dim Ker f. Corollaire Si E et F sot deux espaces vectoriels tels que E est de dimesio fiie et que F est isomorphe à E alors F est aussi de dimesio fiie et dim E=dim F. Démostratio Comme E et F sot isomorphes, il existe u isomorphisme f :E F. f état, par défiitio, ue applicatio bijective, elle est e particulier surjective et Im f =F. Mais Im f état d après la propositio précédete de dimesio fiie, il e est de même de F. O peut alors parler de la dimesio de F. Cette dimesio est égale à rg f. Mais comme f est aussi ijective, Ker f = 0 et dim Ker f =0. La formule précédete appliquer au cas ici étudié doe rg f =dim E. Doc dim E= dim F. E et F ot même dimesio. Mais la réciproque de ce théorème est aussi vraie. Propositio Si E et F sot deux k-espaces vectoriels de même dimesio alors ils sot isomorphes. Démostratio Soit la dimesio de E. Soit (e i ) i 1 ue base de E et soit (f i ) i 1 ue base de F. Choisissos pour f l applicatio liéaire qui evoie e i sur f i pour tout i=1,...,. Cela sigifie qu u poit x de E s écrivat x α i e i, f (x) vau- i 1 dra: f x α i f i. f aisi défiie est bie liéaire. De plus so oyau est réduit à i 1 l élémet ul de E. So rag est doc égal à. Cela sigifie que so image est de dimesio mais aussi qu elle est surjective. f défiie bie u isomorphisme etre E et F. Termios par la propriété suivate qui a rie de très surpreat:

5 Emmauel Vieillard Baro 5 Propositio Soiet E, F, G trois k-espaces vectoriels. Soiet f et g deux applicatios liéaires défiies l ue de E das F et l autre g de F das G. Alors g f est ue applicatio liéaire défiie de E das G. Démostratio Soiet x et y deux élémets de E, α et β deux élémets de k. La liéarité de f puis celle de g implique: g f (αx+βy)=g(α f (x)+β f (y))=αg f (x)+βg f (y), ce qui démotre la propriété. 4 Structure de (E,F) Propositio Soiet E et F deux k-espaces vectoriels. Alors: ( (E,F),+,.) est u k-espace vectoriel (où. désige la loi extere de k (E,F) das E qui au couple (λ, f ) dek (E,F) associe λ f ). Démostratio O vérifie sas peie que si f et g sot des applicatios liéaires de E das F et que λ k alors f +g et λ f sot des applicatios liéaires défiies de E das F. O vérifie même, et ce tout aussi facilemet, que si β k alors λ f +βg est u élémet de (E,F). Doc (E,F) est u sous espace vectoriel de l esemble des applicatios de E das F. C est doc u k-espace vectoriel. Propositio Soit E u k-espace vectoriel. ( (E),+, ) est ue aeau uitaire ( pas forcémet commutatif ). L uité est doée par l applicatio idetique de E. Démostratio C est facile! Propositio L esemble des élémets iversibles de l aeau (E) est u groupe pour la loi de compositio de (E). Ce groupe est le groupe liéaire de E: GL(E). Démostratio Notos Iv(E) l esemble des applicatios iversibles de (E). Si f Iv(E) alors g Iv(E) tel que f g=g f =Id. f est doc bijective. Comme c est ue applicatio liéaire, c est aussi u isomorphisme, et doc u élémet de GL(E). Réciproquemet, supposos que f est u élémet de GL(E). Pour vérifier que f est u élémet de Iv(E), il suffit de vérifier que l applicatio réciproque de f est liéaire: désigos par g cette applicatio réciproque et motros que g est liéaire. Si y et y sot élémets de E, il existe des élémets x et x de E tels que y=f(x) et y =f(x ). Alors si α,β k, g(αy+βy )=g(αf(x)+βf(x ))=g f(αx+βx ). Cette derière égalité état coséquece de la liéarité de f. Mais g est l applicatio réciproque de f doc g f=id E. O obtiet alors g(αy+βy )=αx+βx =αg(y)+βg(y ), relatio qui prouve la liéarité de g. L égalité etre les deux esembles GL(E) et Iv(E) est alors assurée. Comme Iv(E) est u sous groupe de (E) pour la loi de compositio, il e est de même de GL(E).

6 Emmauel Vieillard Baro 6 Remarquos que cette derière propositio justifie le om doé à GL(E): groupe liéaire. 5 Des applicatios liéaires particulières: les projecteurs Propositio Soit E u k-espace vectoriel. Soiet F et F deux sous espaces qui sot supplémetaires das E. Soiet p et p les edomorphismes de E défiies par, x E x=p(x)+p (x), p(x) F et p (x) F. p et p sot liéaires et vérifiet p 2 =p, p 2 =p, p p =p p=0, Ker p=im p, Ker p =Im p. Démostratio Motros que p et p sot bie défiies. Soiet x E,soiet x 1,x 2 F et x 1,x 2 F tels que x=x 1 +x 1 =x 2 +x 2. Alors x 1 -x 2 =x 1 -x 2. Le premier membre de cette égalité est élémet de F et le secod est élémet de F. Doc, ces deux membres sot à la fois élémets de F et de F. Ceci est possible que si chacu des deux membres est ul. Doc x 1 =x 2 et x 1 =x 2. p et p sot doc bie défiies. O vérifie facilemet que ces deux applicatios sot liéaires. Si x est élémet de F alors p(x)=x, ce qui prouve que p 2 =p. Idem pour p. Les autres égalités sot évidetes. Défiitio Soit E u k-espace vectoriel. Soit Π u edomorphisme de E tel que Π 2 =Π.( Π est idempotet). Π est u projecteur sur E. Propositio Soit p u projecteur défiie sur le k-espace vectoriel E. Soit p =Id E -p. Soiet F=Im p et F =Im p. Alors F et F sot supplémetaires das E. p est le projecteur sur F parallèlemet à F. Démostratio Soit x E. x vérifie: x=p(x)+p (x). Doc F et F vérifiet F+F =E. O vérifie facilemet que p est u projecteur (p 2 =p ). Supposos que x est élémet de F F. Alors il existe y F et y F tels que x=p(y)=y -p(y). Appliquos p à ces égalités: p(x)=p 2 (y)=p(y)=x=p(y )-p 2 (y )=p(y )-p(y )=0. Doc x=0. Ce qui prouve que le somme F+F est directe et doc que F et F sot supplémetaires das E. 6 Espaces vectoriels quotiets Défiitio -Propositio Soit E u k-espace vectoriel. Soit V u sous espace de E. Sur E, o cosidère la relatio d équivalece suivate: si x,y E x y x-y V. est ue relatio d équivalece sur E. O ote E/V l esemble E/ des classes d équivaleces de cette relatio. E/V a ue structure de k-espace vectoriel. Démostratio Rappelos que (E,+) a ue structure de groupe et que das u groupe la relatio précédemmet défiie est ue relatio d équivalece. De plus, comme (E,+) est u groupe abélie, (V,+) est u sous groupe distigué de E. E/V a doc ue structure de groupe abélie pour la loi + héritée de celle de E. Défiissos ue loi

7 Emmauel Vieillard Baro 7 extere sur E/V par: si x E/V et λ k alors λx=λx. Motros que cette loi est bie défiie. Il faut pour cela vérifier que si x=y alors λx=λy. La première égalité implique que x-y V. Comme λv=v, λ(x-y) V et doc λx-λy V. Ce qui prouve que otre loi extere est bie défiie. Il faudrait ecore vérifier les quelques axiomes restat pour termier de motrer que E/V est u espace vectoriel mais c est élémetaire. Propositio Soit E et F deux k-espaces vectoriels et V u sous espace vectoriel de E. Soit Π l applicatio de E das E/V qui à x associe sa classe d équivalece x das E/V ( Π est la projectio de E das E/V). Soit aussi f ue applicatio liéaire défiie de E das F. Alors: Π est ue applicatio liéaire de E das E/V. Il existe ue uique applicatio liéaire f :E/V F telle que x E f x f Π x. Démostratio Cosidérat E et F comme des groupes additifs et f comme u homomorphisme etre groupe additif, o sait que Π:E E/V est u homomorphisme de groupe et qu il existe u morphisme f vérifiat f f Π. Nous avos même prouvé das la propositio précédete que Π est ue applicatio liéaire etre les espaces vectoriels E et E/V. Il suffit maiteat de motrer que f est elle aussi liéaire. Pour ce faire, choisissos deux élémets x et y de E et deux élémets λ et β de k. Alors x Π(x) et y Π(y). Doc f λx βy =f Π αx βy =αf Π(x)+βf Π(y). Ce qui prouve la liéarité de f. Propositio Soit E et F deux k-espace vectoriel. Soit f ue applicatio liéaire défiie de E das F. Ker f état u sous espace vectoriel de E, o peut cosidérer l espace vectoriel quotiet: E/Ker f. Soit Π la projectio de E das E/Ker f qui à x associe sa classe d équivalece x das E/Ker f. L applicatio f =f Π est u isomorphisme de E/ker f sur Im f. Démostratio Rapellos que si f est u morphisme etre espaces vectoriels, Im f est u sous espace vectoriel de l espace d arrivée de f. O a démotré das la propositio précédete que f est ue aplicatio liéaire de E/Ker f das F. Il suffit de démotrer qu elle est ijective. ( Elle est écessairemet surjective sur so image). Soit x Ker f. Alors f x =0. Mais par défiitio de f, si x E est tel que Π(x)=x cela implique que f Π(x)=0 soit ecore f (x)=0 et doc x Ker f. Soit x=0. La propositio est aisi démotrée. Propositio Soit F u sous espace vectoriel du k-espace vectoriel E. Tout supplémetaire de F das E est isomorphe à E/F. Démostratio Soit F u supplémetaire de F das E. Soit Π l applicatio caoique défiie de E das E/F qui à u vecteur v de E associe sa classe d équivalece v das E/F. Soit Π! F" la restrictio de cette applicatio liéaire au sous espace vectoriel F de E. Le oyau Ker Π! F" vérifie Ker Π! F" = Ker Π F =F D = 0. De plus Π! F" est

8 Emmauel Vieillard Baro 8 surjective car si v est élémet de E/F alors, v état élémet de E, o peut le décomposer e la somme v=u+u où u F et u F et comme v-u =u F, v=π(v)=π(u)=π! F" (u)=u. Doc Π! F" est u isomorphisme etre F et E/F. Propositio Soit E u k-espace vectoriel et V u sous espace vectoriel de E. Si E est de dimesio fiie alors dim E=dim V+dim E/V. Démostratio La projectio Π:E E/V est ue applicatio liéaire surjective. Doc rg Π=dim E/V. De plus Ker Π=V. Comme dim E=dim Ker Π+rg Π, la formule dim E=dim V+dim E/V est vérifiée. Le travail précédet ous permet la défiitio: Défiitio Soit E u k-espace vectoriel et soit F u sous espace vectoriel de E. Soit F u supplémetaire de F das E. Si F est de dimesio ifiie, o dit que F est de codimesio ifiie. Sio o appelle codimesio du sous espace vectoriel F la dimesio de ce supplémetaire. Cette otio a u ses car les supplémetaires d u sous espace vectoriel sot isomorphes et doc s ils sot de dimesio fiie, ot même dimesio. Termios par: Défiitio U sous espace vectoriel de codimesio 1 est u hyperpla vectoriel.