Produit scalaire. Exercices

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1 Produit scalaire Eercices 4-5 Les idisesables Eercices géérau sur le roduit scalaire Soit E u esace vectoriel mui d u roduit scalaire réel a Motrer que toute famille orthoormale est libre b Est-ce ecore le cas our ue famille orthogoale? Soit E l esace vectoriel des foctios cotiues ar morceau de [,] das L alicatio : ( f, g) a f ( g(, défiit-elle u roduit scalaire sur E? 3 Soit ϕ l alicatio défiie sur M () ar : (A,B) a tr( t AB) a Motrer que ϕ défiit u roduit scalaire sur M () b Motrer que das M (), S () et A (), (matrices symétriques et atisymétriques) sot sulémetaires orthogoau) t c Motrer que : A M (), tr( A) tr( A A), et réciser les cas d égalité 4 a Motrer que l alicatio : (f,g) a + t f ( g( e, défiit u roduit scalaire das {X] b Plus gééralemet, si o ote : E = {f C ( +,),, lim t f ( t) = }, motrer que l alicatio récédete défiit u roduit scalaire sur E c Vérifier que : Vect(si, cos) E, uis détermier ue base orthoormale de ce sous-esace vectoriel 5 Das C ([a,b],), mui de so roduit scalaire caoique, soit f ue foctio strictemet ositive b b A l aide de l iégalité de Cauchy-Schwarz, motrer que : ( a b) f ( a, et étudier les cas a f ( t) d égalité 6 Soit E u esace vectoriel mui d u roduit scalaire ( ) Pour : a E, o ul, et : λ K, résoudre l équatio : (a ) = λ t + 7 Soit E u -esace vectoriel mui d u roduit scalaire ( ) Motrer que deu vecteurs et y de E sot orthogoau si et seulemet si : λ, + λ y Esaces vectoriels euclidies, et sous-esaces vectoriels 8 Soit E u esace euclidie, et (e,,e ) des vecteurs uitaires de E, tels que : E, = ( e i ) O ose : F = Vect(e,,e ) a Motrer que la famille (e,,e ) est orthoormale b Motrer que c est ue base de E 9 Soiet F et G deu sous-esaces vectoriels d u esace vectoriel euclidie E Motrer que : (F + G) = F G, et : (F G) = F + G Procédé de Gram-Schmi, distace à u sous-esace vectoriel Das 3 mui de sa structure euclidiee caoique, orthoormaliser ar le rocédé de Gram-Schmi la famille (u,v,w), avec : u = (,,), v = (,-,), w = (,,-) Motrer que : (f,g) a + f ( g( t), défiit u roduit scalaire sur [X] t Orthoormaliser la base (,X,X ) i= Chaitre : Produit scalaire Eercices - -

2 O muit [X] du roduit scalaire classique de C ([,],) a Aliquer le rocédé de Gram-Schmi à la famille (, X, X²) b Détermier ar ailleurs : if ( ² a b)² d ( a, b) R² Projecteurs orthogoau 3 O muit 3 de sa structure euclidiee caoique a Détermier ue base orthoormale de : P = {(,y,z) 3, y + z = } b E déduire l eressio de la rojectio orthogoale de 3 sur P 4 O muit 4 de sa structure euclidiee caoique, et o ote B sa base caoique Par ailleurs o ote : F = {(,y,z,t) 4, + y + z + t = y + z t = } a Détermier M, matrice de f das la base B où f est le rojecteur orthogoal de 4 sur F b Détermier d((,,3,4),f) 5 Soit E u esace vectoriel euclidie mui d ue base orthoormale : B = (i,j,) 5 Soit : L(E), tel que : mat B () = A = 6 5 Motrer que est ue rojectio orthogoale sur u la P que l o récisera Matrices symétriques réelles 6 Diagoaliser la matrice : A =, ar l itermédiaire d ue matrice orthogoale 7 Soit : A M () a Motrer que t AA est ue matrice symétrique réelle à valeurs rores ositives b Motrer que ces valeurs rores sot strictemet ositives si et seulemet si A est iversible 8 Soit : A M (), et : B = (A + t A) a Justifier que les valeurs rores de B sot réelles O otera ar ailleurs α la lus grade valeur rore de B et β la lus etite b Pour : X M, (), comarer t XAX et t XBX c Motrer que : X M, (), α t XX t XAX β t XX d E déduire que : S (A) [α,β] 9 Soit : A M () a Motrer que : X M, (), (AX = ) ( t AAX = ) b E déduire que : rg(a) = rg( t AA) Soit A ue matrice symétrique réelle telle que :, A = I Motrer que : A = I Edomorhismes orthogoau Soiet E u esace vectoriel euclidie, F u sous-esace vectoriel de E et : u O(E) a Motrer que : u(f ) = (u(f)) b Motrer que : (F stable ar u) (F stable ar u) Remarque : les deu questios sot idéedates Soiet E u esace vectoriel euclidie et : f L(E), tel que : E, (f() ) = Motrer que er(f) et Im(f) sot orthogoau l u de l autre Chaitre : Produit scalaire Eercices - -

3 3 Soiet E u esace vectoriel euclidie, et : f O(E) Motrer que er(f Id E ) et Im(f Id E ) sot sulémetaires orthogoau das E 4 Soit E u esace vectoriel euclidie et a u vecteur uitaire de E Pour : α, o défiit f α sur E ar : E, f ( ) = α( a ) a α + a Vérifier que : α, f α L(E), et calculer f α of β, our : (α,β) b Motrer que : (f α bijective) (α -) c Préciser les valeurs rores et les vecteurs rores de f α sas calculer sa matrice rerésetative ou so olyôme caractéristique, et e déduire ue descritio géométrique de f α 5 Soiet E u esace vectoriel euclidie, et : f O(E) Motrer que f est diagoalisable si et seulemet si f est ue symétrie orthogoale Matrices orthogoales 6 Détermier les matrices orthogoales qui sot triagulaires suérieures 7 Détermier les matrices orthogoales dot les coefficiets sot ositifs ou uls (o ourra démotrer que our ue telle matrice, chaque coloe e comorte qu u seul coefficiet o ul) 8 Soit : A O () a Erimer a i j i, j,, à l aide de A et du vecteur coloe X e comortat que des b E déduire que : ai, j, à l aide de l iégalité de Cauchy-Schwarz das (ou M, ()) mui de i, j so roduit scalaire caoique Isométries de 3 9 Doer les élémets géométriques des trasformatios de 3 dot la matrice das la base caoique est : 8 4 A = 4 7 4, B =, C = Doer la matrice das la base caoique de 3 de la réfleio ar raort au la P, d'équatio : + 3y z = 3 Soiet : u 3, ormé, et : θ Motrer que la rotatio d'agle θ, d'ae dirigé et orieté ar u est défiie ar : 3, r() = ( cos(θ))<u,>u + cos(θ) + si(θ)u Les classiques Eercices géérau sur le roduit scalaire 3 Motrer que ϕ défiie ar : ( P, Q) a P' ( Q' ( + ( P() ) + P() )), défiit u roduit scalaire sur [X] 33 Soiet ϕ et ψ deu roduits scalaires das u esace vectoriel réel E de dimesio fiie O suose que : (,y) E², ((ϕ(,y) = ) (ψ(,y) = )) E utilisat ue base orthoormale (e i ) de E our ϕ, motrer que : α * +, tel que : (,y) E², ψ(,y) = αϕ(,y) 34 Soiet : *, et (,, ) ( + *) a Si o suose que : =, motrer que : ² = = Chaitre : Produit scalaire Eercices - 3 -

4 b Das quel cas a-t-o l égalité? 35 A l aide de l iégalité de Cauchy-Schwarz, motrer que : (A,B) M (), A et B symétriques, ( tr( A B + B A)) 4 tr( A ) tr( B ) 36 a Motrer que :,! Q [X], P [X], P( ) = P( Q ( b Motrer ar l absurde que : deg(q ) = c Motrer que le résultat deviet fau das [X], à savoir qu o e eut trouver : Q [X], tel que : P [X], P ( ) P( = Esaces vectoriels euclidies, et sous-esaces vectoriels 37 Famille obtusagle Soit E u esace vectoriel euclidie de dimesio et soiet,, + des vecteurs de E O veut motrer qu il est as ossible d avoir : i j +, ( i j ) < a Motrer que ce résultat est vrai si : = b O suose le résultat établi our tout esace de dimesio ( ), our doé tel que : E cosidérat : F = Vect( + ), motrer que le résultat est ecore vrai e dimesio c E déduire le cardial maimum d ue famille obtusagle (telle que l agle etre deu vecteurs quelcoques de la famille est obtus) 38 Détermiat de Gram Soit E u esace vectoriel euclidie de dimesio, et soit B ue base orthoormale de E Soit ar ailleurs (,, ) ue famille d élémets de E, et efi G la matrice de coefficiet géérique : i,j, g i,j = ( i j ) a Motrer que si la famille (,, ) est liée, l ue des coloes de G est combiaiso liéaire des autres et e déduire que : det(g) = b Si (,, ) est libre, o ote P la matrice de assage de B à cette ouvelle base de E Erimer G e foctio de P et e déduire que : det(g), aisi que : det(g) > c E déduire ue équivalece d Motrer que ce résultat reste vrai si o cosidère ue famille de vecteurs (,, ), avec : Remarque : o ote arfois : det( G ) = Gram(,, ) 39 Soiet : *, A M (), X M, () {}, et : H = {Y M, (), t XY = } Motrer que X est vecteur rore de t A si et seulemet si H est stable ar A Procédé de Gram-Schmi, distace à u sous-esace vectoriel 4 Motrer e utilisat le rocédé de Gram-Schmi, qu ue matrice iversible réelle A s écrit de maière uique : A = QR, où Q est orthogoale, et R ue matrice triagulaire suérieure à élémets diagoau strictemet ositifs Projecteurs orthogoau 4 Soit E u esace vectoriel euclidie et et y deu vecteurs o uls de E Détermier ue coditio écessaire et suffisate sur et y our que le rojeté orthogoal de sur Vect(y) soit égal au rojeté orthogoal de y sur Vect() 4 Soiet E u esace vectoriel euclidie de dimesio et et y deu vecteurs disticts de E tels que : ( y) = y Motrer qu il eiste u uique hyerla H de E tel que : y = H (), où H est la rojectio orthogoale de E sur H 43 O muit M () du roduit scalaire caoique : (X Y) = tr( t XY) O défiit ar ailleurs : Chaitre : Produit scalaire Eercices - 4 -

5 L L L O O O M L L A = M M, et : U = M O O O, uis : F = Vect{U, ( )} O O L L L a E remarquat que la matrice U est orthogoale, motrer que (U ) - est ue base orthogoale de F b E déduire la rojectio orthogoale de A sur F Matrices symétriques réelles, matrices symétriques réelles ositives a b L c O O O M 44 Soit : A = O O O M (), avec :, c b > M O O O b L c a a Motrer qu il eiste ue matrice diagoale D dot le remier coefficiet diagoal vaut telle que : D - AD soit symétrique réelle b E déduire que A est diagoalisable 45 Soit : A M (), et µ,, µ les valeurs rores de A t A a Motrer que : i, µ i (o ourra utiliser u vecteur rore associé à chaque valeur rore) b Motrer que : µ i = ai, j i= i, j 46 Soit : A M (), telle que : S( t AA A t A) + Motrer que A et t A commutet 47 Soit A ue matrice atisymétrique réelle, et B ue matrice symétrique réelle, telles que : AB = BA a Motrer que : X M, (), t (AX)(BX) = b Motrer que : X M, (), ( A + B) X = ( A B) X ( désige la orme caoique de M, ()) c O suose de lus B iversible Motrer que (A + B) et (A B) sot iversibles et que (A + B)(A B) - est orthogoale 48 Soit : A M () a Etudier t X t AAX our u vecteur rore de t AA b Que dire de la valeur rore corresodate si A est iversible? c Retrouver que l alicatio : (A,B) a tr( t AB), défiit u roduit scalaire sur M () 49 Matrices symétriques ositives et strictemet ositives Soit : A M (), symétrique O dit que A est ositive (soit : A ), si et seulemet si : X M, (), t XAX O dit que A est strictemet ositive (soit : A > ) si et seulemet si : X M, (), X, t XAX > O ote S + (), les matrices réelles ositives et S ++ () les matrices strictemet ositives de M () a Motrer que : (A,B) (S + ()), (A + B) S + () b Motrer que : (A,B) S + () S ++ (), (A + B) S ++ () c Motrer que : A M (), t AA S + () d Motrer que A Gl (), t AA S ++ () e Motrer que : A Gl (), S S ++ (), t ASA S ++ () Edomorhismes orthogoau Matrices orthogoales 5 Soit E u esace vectoriel euclidie et f ue alicatio de E das E telle que : f() =, (,y) E, f ( ) f ( y) = y Chaitre : Produit scalaire Eercices - 5 -

6 a Motrer que : E, f ( ) = b A l aide de l idetité du arallélogramme, e déduire que : E, f(-) = - f() c Motrer que : (,y) E, (f() f(y)) = ( y) d Si (e,, e ) est ue base orthoormale de E, motrer que : E, f() = ( e ) f ( e ) e E déduire que f est u automorhisme orthogoal de E 5 Calculer card(o() M ()) t 5 Soiet : C M, (), o ulle, et : S = I C C t C C Motrer que S est la matrice das la base caoique de de la réfleio ar raort à l hyerla orthogoal à C Eercice gééral 53 Polyômes de Legedre Soit : E = [X], et le roduit scalaire classique : (P Q) = P ( d O ose, ar ailleurs, our tout etier : Q = [( t² ) ]! a Motrer que : deg(q ) =, que Q a racies simles das ]-,+[, et que : Q - [X] b Calculer (Q Q ), Q (), et Q (-) c Motrer que la suite (Q ) vérifie la ratio de récurrece :, Q = ( )XQ - ( )Q - d Motrer qu'il eiste ue uique famille (P ) orthoormale telle que :, d P =, (P X ) >, e Motrer que :, λ, P = λ Q, et calculer λ d f Motrer que : t, [( t²) P '( t)] + ( + ) P ( t) =, uis calculer : a = P ( Isométries de 3 54 Doer les élémets géométriques des trasformatios de 3 dot la matrice das la base caoique est : A = 3 6, B = O muit : E = 3, de so roduit scalaire et de so orietatio caoiques a Motrer que si f et g sot deu rotatios de même ae ou deu retouremets d ae orthogoau, alors f et g commutet O suose das la suite que f et g sot deu rotatios de E distictes de id E, telles que : fog = gof b Soit u u vecteur uitaire aarteat à l ae de f Motrer que : g(u) = u, ou : g(u) = -u c Si : g(u) = u, e déduire que f et g sot deu rotatios de même ae d Si : g(u) = -u, motrer que f et g ot des aes orthogoau et que ce sot des retouremets Les lus Eercices géérau sur le roduit scalaire 56 Soit E u esace réhilbertie réel et soit : (,, ) E, tel que : M, {ε,, ε } {-,+}, O veut motrer que : = M = ε M a Motrer que ce résultat est vrai si : =, ou : = b E raisoat ar récurrece, motrer que ce résultat est vrai our tout etier : = Chaitre : Produit scalaire Eercices - 6 -

7 57 O muit : E = C ([-,+],), de so roduit scalaire caoique O ose : F = {f E, t [,], f(t) = }, G = {g E, t [-,], g(t) = } a Motrer que : F = G b F et G sot-ils sulémetaires das E? 58 O muit : E = [X], du roduit scalaire : (P,Q) E, ( P Q) + P( + Chaitre : Produit scalaire Eercices = a Motrer que : H = {P E, t P( = }, est u hyerla de E b Motrer que : Q H + + +, = P ( t P( c E déduire que : H = {} 59 Soit E u esace vectoriel euclidie et : u L(E), tel que : tr(u) = a Motrer que si : B = (e,, e ), est ue base orthoormale de E, alors : tr( u) = ( ei u( e i )) b Motrer que : E,, ( u()) = Pour :, o ourra cosidérer l alicatio de [,] das défiie ar : t [,], ϕ(t) = u( t e + ( e ) t e + ( e ), ( i j i j our des vecteurs e i et e j bie choisis et utiliser le théorème des valeurs itermédiaires c E déduire ar récurrece qu il eiste ue base das laquelle la matrice de u est à diagoale ulle Esaces vectoriels euclidies, et sous-esaces vectoriels 6 Soit E u esace vectoriel euclidie mui d ue base orthoormale : B = (e,, e ) Si F est u sous-esace vectoriel mui d ue base orthoormale (,, ), o ote X la matrice coloe des coordoées de das B Motrer que la rojectio orthogoale F de E sur F a our matrice das la base B : i= M = = t X X Projecteurs orthogoau 6 Soit E u esace réhilbertie réel et soit : (,, ) E, tel que : i j, ( i j ) < E raisoat ar récurrece et à l aide d ue rojectio orthogoale, motrer que toute sous-famille de ( ) vecteurs est libre 6 Soit Ω u esemble fii ou déombrable et l esace robabilisé (Ω,P(Ω),P) O ote F l esemble des foctios de Ω das (F cotiet doc des variables aléatoires réelles sur Ω) O ote efi F l esemble des élémets X de F tels que X admette ue esérace a Motrer que si X et Y sot das F, alors XY admet ue esérace b Motrer que F est u sous-esace vectoriel de F c Motrer que l alicatio de F F das doée ar : (X,Y) F, ψ ( X, Y ) = E( X Y ), défiit u roduit scalaire si et seulemet si : X(Ω), P ( X = ) > (o suose das la suite ce oit acquis) Pour tout sous-esace G de F de dimesio fiie, o ote G la rojectio orthogoale sur G, et our : A Ω, o ote A la foctio idicatrice de A d Pour : A Ω, A, A Ω, o ote G A le sous-esace vectoriel de F egedré ar A et Ω Motrer que A admet ue esérace, la calculer, uis motrer que : A F, et e déduire que G A est u sous-esace vectoriel de F Motrer que ( A, ) est ue base orthogoale de G, et que : B Ω, A G ( B ) = PA ( B)A + P ( B) A A e Pour : X F, o costate, o ote G le sous-esace vectoriel egedré ar X et Ω et soit : Y F Doer l eressio de G (Y) f Si X et Y admettet ue esérace, motre que G (Y) aussi et comarer E( P G ( Y )), et E (Y ) Procédé de Gram-Schmi, distace à u sous-esace vectoriel

8 63 Pour : A M (), calculer if ( ai, j mi, j ) M S R, ( ) i, j où S () désige l esemble des matrices symétriques réelles de taille 64 O rered le détermiat de Gram vu das l eercice 38 Soit (,, ) ue famille libre de vecteurs de E, et : F = Vect(,, ) Gram(, E utilisat F,, ), motrer que : E, d (, F) = Gram(,, ) Matrices symétriques réelles, matrices symétriques réelles ositives 65 Soiet u etier suérieur à, H M () ue matrice o symétrique de rag, et : A = H + t H a Eliquer ourquoi A est diagoalisable b Motrer qu il eiste : (U,V) M, ()², o ulles et o roortioelles telles que : H = U t V c Soit X u vecteur rore de H associé à la valeur rore α Motrer que si X est orthogoal à U et V, alors : α = Retrouver que A est diagoalisable e récisat ses esaces rores et ses valeurs rores 66 Soit A ue matrice symétrique réelle telle que : A = A Motrer à l aide de l iégalité de Cauchy-Schwarz das u esace de dimesio que : a tr( ) i, j i, j A 67 O rered les otatios de l eercice 49 Pour : *, o ote, our : (S,, S ) (S ()), S = a Motrer que : S S + () b Motrer que : (S = ) (, S = ) S = 68 O rered les otatios de l eercice 49 Soiet et des etiers o uls a Motrer que si est imair : S S (), R S (), R = S b Motrer que si est air : S S + (), R S + (), R = S c E déduire que : S S + (), R S + (), R = S Que dire de R si : S S ++ ()? 69 O a motré das l eercice 68 que : S S + (), R S + (), R = S Motrer e eamiat les sous-esaces rores de R et de S que la matrice R est uique Cette matrice est aelée arfois la racie carrée de S Matrices orthogoales 7 Soit : A O(), telle que : S(A) a Etudier la covergece de la suite défiie ar :, U = ( I + + A + + A ) b La suite (A ) est-elle covergete? 7 Pour : (a,b,c) 3, o ose : σ = a b + b c + c a, S = a + b + c, et : a Motrer que : (A O(3)) (σ =, et : S {-,+}) b Motrer que : (A SO(3)) (σ =, et : S = ) a b c A = c a b b c a 4 c Motrer que : (A SO(3)) ( [, ], tel que a, b et c sot les racies de : P = X 3 X + ) 7 Chaitre : Produit scalaire Eercices - 8 -