BASES DE LA STATISTIQUE INFERENTIELLE

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1 Polytech Paris-UPMC Probabilités-statistiques Chapitre 4 BASES DE LA STATISTIQUE INFERENTIELLE Ue equête statistique est ue étude gééralemet réalisée sur u petit groupe d objets, d uités, de persoes que le statisticie omme idividu, le groupe costituat u échatillo d idividus A partir des résultats obteus sur cet échatillo, le statisticie essaie de porter des coclusios sur les variatios das u groupe plus vaste format la populatio à laquelle o s itéresse Au cours de cette étude, o observe les fluctuatios d u idividu à l autre, d u ou plusieurs paramètres, que l o appelle des caractères ou variables statistiques Relever et aalyser les valeurs prises par le (ou les paramètres étudié(s avec les fréqueces d observatio de ces valeurs ou modalités relève des statistiques descriptives (e aexe, otios simples qui e serot pas étudiées e cours E déduire des cojectures sur ce (ou ces paramètre(s das la populatio, das d autres échatillos, sur des comparaisos d échatillos, relève de la statistique iféretielle Pour faire ces prévisios (ou iféreces, pour passer de la descriptio au probable, o utilise la modélisatio et les résultats de la théorie des probabilités, vus das les trois premiers chapitres de ce cours Chapitre 4 1

2 BASES DE LA STATISTIQUE INFERENTIELLE 1 41 THÉORIE DE L ECHANTILLONAGE Hypothèse fodametale de la théorie de l échatilloage 3 41 Statistiques d ordre : lois des valeurs extrêmes 3 41 Statistique X Statistique S Corrélatio etre X et S Cas des échatillos gaussies Echatillos artificiels, simulatio Applicatio : Méthode de Mote Carlo 8 4 L ESTIMATION 8 41 Estimateur, défiitios 8 4 Exemples élémetaires d estimateurs 9 43 Applicatio : estimatio poctuelle 9 44 Estimatio par itervalle de cofiace TESTS STATISTIQUES Tests paramétriques Tests d ajsutemet et tests d idépedace utilisat la loi du Khi-deux 5 Chapitre 4

3 41 THEORIE DE L ECHANTILLONAGE 411 Hypothèse fodametale de la théorie de l échatilloage Das le cas d ue étude statistique sur ue populatio, l échatillo est supposé être tiré selo des règles rigoureuses destiées à e assurer la représetativité de la populatio L hypothèse faite, das ce cas est que les valeurs observées sur les idividus d u échatillo sot réalisatios d ue même variable aléatoire X réelle sur la populatio, appelée variable aléatoire parete O itroduit le modèle suivat : à chaque idividu i tiré, o associe ue variable aléatoire X i dot o observe ue seule réalisatio Cette démarche peut se schématiser de la maière suivate Populatio Variable X Echatillo de idividus ( i 1,i,,i réalisatios de X X(i 1, X(i,, X(i ( modélisatio valeurs «idépedates» de X -uplet (X 1,X,, X var idépedates et de même loi que X 1 réalisatio de (X 1,X,, X (X 1 (ω,x (ω,,x (ω Défiitio O appelle échatillo le -uplet de variables aléatoires idépedates et idetiquemet distribuées (X 1,X,, X Défiitio Ue statistique T est ue variable aléatoire foctio de X 1, X,, X T = f (X 1, X,, X La théorie de l échatilloage se propose d étudier les propriétés du -uplet (X 1, X,, X et des statistiques le décrivat, à partir de la distributio supposée coue de la variable parete X O repred et complète les résultats du chapitre de ce cours 41 Statistiques d ordre : lois des valeurs extrêmes X variable aléatoire, supposée cotiue, de foctio de répartitio F et de desité f Chapitre 4 3

4 Défiitio Les valeurs extrêmes sot Y 1 = mi X 1,X,, X { } et Y = max{ X 1, X,, X } O sait : P(Y 1 y =1 P(Y 1 > y, i= et par idépedace P(Y 1 > y = P(X i > y et P(Y < y = P(X i < y E otat H 1 et h 1 les foctios de répartitio et de desité de Y 1 H et h les foctios de répartitio et de desité de Y i= O a alors H 1 (y =1 [ 1 F(y ] h 1 (y = 1 F(y [ ] 1 f (y et H (y = [ F(y ] h 1 (y = F(y [ ] 1 f (y 41 Statistique X Défiitio La statistique X ou moyee empirique de l échatillo est X = 1 i= X i Espérace et variace de X Soit m et σ l espérace et l écart-type de la variable parete ; o a E(X = m et V (X = σ Théorème limite pour X Théorème cetral limite : X m σ Applicatio : loi d u pourcetage L N(0;1 X état ue suite de variables aléatoires de Beroulli idépedates B(1, p, otos F (= X la fréquece empirique, moyee arithmétique de variables de Beroulli de paramètre p idépedates p(1 p O E(F = p et V (F = et si est grad (théorème de De Moivre-Laplace F suit approximativemet la loi N p; p(1 p Chapitre 4 4

5 413 Statistique S Défiitio La statistique S ou variace empirique d échatillo est : Propriété élémetaire Espérace de S S = 1 S = 1 i= ( X i X i= X i (X E(S = 1 σ Doc E(S σ O dit que S est ue statistique biaisée pour σ Variace de S O motre V (S = 1 ( 1µ 3 4 ( 3σ 4 4 de X Alors V (S µ σ 4 4 si + Théorème limite pour S [ ] avec µ 4 le momet cetré d ordre ce qui peut s écrire S σ µ 4 σ 4 S 1 V (S σ L N( 0;1 L N( 0;1 avec l approximatio précédete 413 Corrélatio etre X et S Das le chapitre 3, ous avos vu la défiitio de la covariace : ( = E ( X m S 1 σ ( = E( X S E( X E( S cov X,S et cov X,S La covariace est isesible à u chagemet pas traslatio, o peut supposer que m=0, c est à dire E(X i = 0 pour tout i D où cov( X,S = E( X S Chapitre 4 5

6 E( X S = E 1 i= X i 1 j = X j j =1 (X = 1 E i= X j = i X j j =1 E X 3 ( = 1 i= j = E X ix j j =1 E X 3 ( Les variables sot idépedates, pour i j : E(X ix j = E(X i E(X j = 0 = 1 E i= X 3 3 i E X = 1 E i= X 3 i E 1 = 1 E i= X 3 i 1 E 3 ( 3 i= 3 X i i= X i E coclusio : cov( X,S = µ 3 µ 3 = 1 µ 3 Si +, cov( X,S 0 X et S sot asymptotiquemet o corrélées Si µ 3 = 0 (o dit la distributio symétrique, X et S sot o corrélées pour tout Attetio : o corrélatio idépedace 414 Cas des échatillos gaussies ( O suppose la variable aléatoire parete ormale N m;σ X suit (exactemet la loi N m; σ O motre aussi les deux théorèmes suivats S suit la loi χ σ 1, loi du Khi-Deux de paramètre (-1 X et S sot idépedates O peut même démotrer ue sorte de réciproque : si X et S sot idépedates, alors X suit ue loi ormale Chapitre 4 6

7 Et o a aussi le résultat extrêmemet utile T 1 = X m S 1 est ue variable de Studet à (-1 degrés de liberté Cela viet du fait que T 1 = X m σ S ( 1σ Ce résultat est utile car il e déped pas deσ = X m S 1 Exemple : X suit la loi N( 10;, X 5 suit la loi N( 10;0,4 et 5S 5 4 suit la loi χ 4 Des calculs simples de probabilité doet P(9,34 < X 5 <10,66= 0,9 et P(1,49 < S 5 <,41=0,9 415 Echatillos artificiels, simulatio Das de ombreuses études, il est écessaire de pouvoir disposer d échatillos de variables de lois coues O peut recourir à la simulatio, c est à dire «fabriquer» à l aide d u programme de calcul ue suite de ombres x 1, x,,x chaque ombre état ue réalisatio d ue variable aléatoire suivat la loi voulue, les variables aléatoires état idépedates Das tous les cas, il est écessaire de disposer au départ d ue table de ombres aléatoires ou d u géérateur de ombres aléatoires U géérateur est u algorithme fourissat ue suite de ombre compris etre 0 et 1 (ullemet aléatoires, o parle de ombre pseudo-aléatoires mais ayat toutes les propriétés d u véritable échatillo aléatoire d ue loi uiforme sur [ 0;1] Voir les aides sur la foctio «alea» ou «radom» d ue calculatrice, d u logiciel de type excel Quelques idicatios : - Si X a ue foctio de répartitio F, dot la réciproque F 1 a ue forme aalytique simple, o peut utiliser la méthode «iversio de la foctio de répartitio» - Si X a ue desité borée à support boré, o peut utiliser la méthode «du rejet» - Si X suit ue loi de Beroulli, ue loi Gamma γ r, ue loi de Poisso, ue loi ormale, il existe des méthodes particulières O peut voir à ce sujet «Probabilités, Aalyse des Doées et Statistque» de G Saporta, Editios Techip, 1990, pages 76 à 83 Chapitre 4 7

8 416 Applicatio : Méthode de Mote Carlo Le terme «méthode de Mote-Carlo», ou «méthode Mote-Carlo», désige toute méthode visat à calculer ue valeur umérique e utilisat des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techiques probabilistes Les méthodes de Mote-Carlo sot particulièremet utilisées pour calculer des itégrales e dimesios plus grades que 1 (e particulier, pour calculer des surfaces et des volumes Elles sot égalemet courammet utilisées e physique des particules, où des simulatios probabilistes permettet d'estimer la forme d'u sigal ou la sesibilité d'u détecteur 4 L ESTIMATION La plupart des expérieces aléatoires coduiset à l'étude de variables aléatoires obéissat à des lois dot le type est cou, mais qui dépedet de paramètres réels liés à l'expériece Ce paragraphe a pour objectif de doer u cadre théorique et des méthodes afi d'estimer la valeur umérique de ces paramètres 41 Estimateur, défiitios Si X est ue variable aléatoire dot la loi déped d'u paramètre θ, et (X 1, X,, X u -échatillo, ue statistique T, foctio de (X 1, X,, X est : - u estimateur si elle permet d évaluer le paramètre θ - u estimateur sas biais de θ si E(T = θ - u estimateur asymptotiquemet sas biais de θ si lim E(T = θ + - u estimateur coverget de θ si lim V (T =0 + U estimateur T est meilleur (plus efficace que l'estimateur T' si pour tout etier aturel assez grad, V(T V(T' La recherche d u «bo» estimateur pour u paramètre est pas chose facile O peut être ameé à chercher u estimateur sas biais de variace miimale, ce qui est très lié à l existece de «statistiques exhaustives», otio que ous aborderos pas das ce cours Chapitre 4 8

9 4 Exemples élémetaires d estimateurs E repreat les résultats du paragraphe 41, o a les résultats : - X est u estimateur sas biais et coverget de m - S est u estimateur, avec u biais, et coverget de σ U estimateur sas biais de σ * est S = 1 S - F est u estimateur sas biais et coverget de p 43 Applicatio : estimatio poctuelle Il s agit de doer ue estimatio poctuelle, par ue valeur umérique, d u paramètre d ue loi à partir d u échatillo Ce type de situatio se recotre fréquemmet das le mode idustriel car, le plus souvet, il est pas possible d étudier la populatio etière : cela predrait trop de temps, reviedrait trop cher ou serait aberrat comme, par exemple, das le cas d u cotrôle de qualité etraiat la destructio des pièces De maière géérale, o doe ue estimatio poctuelle d u paramètre, par la valeur d u estimateur de ce paramètre calculée à partir d u échatillo prélévé «au hasard» x 1,x,, x Il est d usage de oter l estimatio poctuelle par la lettre surmotée d u «^» Estimatios poctuelles usuelles : Si X est ue variable aléatoire de moyee m et d écart type σ et u échatillo prélévé «au hasard» x 1,x,, x - x e, la moyee de l échatillo est ue estimatio poctuelle de la moyee icoue m Soit m ˆ = x e - 1 σ (où σ e eest l écart-type de l échatillo est ue estimatio poctuelle de l écart type σ Soit ˆ σ = 1 σ e Chapitre 4 9

10 Remarques : - certaies calculatrices doet, pour u échatillo, les deux résultats σ e et 1 σ e il faut doc bie lire la otice L estimatio de l écart-type est la plus grade des deux valeurs - si est assez grad, est proche de 1, les deux valeurs sot proches et 1 parfois σ e est acceptée comme estimatio poctuelle de l écart-type Si X est ue variable aléatoire Beroulli B(1, p, f e la fréquece sur l échatillo est ue estimatio poctuelle de p Soit ˆ p = f e 44 Estimatio par itervalle de cofiace Les estimatios poctuelles dépedet doc de l échatillo Pour u paramètre θ, il est souvet plus réaliste et plus itéressat de fourir u reseigemet du type a < θ < b plutôt que d écrire θ ˆ = c 441 Pricipe La méthode des itervalles de cofiace est la suivate : Soit T u estimateur de θ, o predra le meilleur estimateur possible, dot o coaît la loi de probabilité pour chaque valeur de θ Etat doé ue valeur θ 0 de θ, o peut détermier u itervalle de fluctuatio de iveau 1-α (ou de risque α pour T, c est à dire deux bores t 1 et t telles que : P(t 1 < T < t θ = θ 0 =1 α E gééral α est petit, doc 1- α proche de 1 Ces bores dépedet évidemmet de θ 0 O choisira das la plupart des cas u itervalle de fluctuatio à risques symétriques α / et α /, c est à dire : P(T < t 1 θ = θ 0 = α / et P(t < T θ = θ 0 = α / O adopte alors la règle de décisio suivate : soit t e la valeur observée sur u échatillo de T : - si t e t 1,t - si t e t 1,t [ ] o coserve θ 0 comme valeur possible de θ [ ] o élimie θ 0 Chapitre 4 10

11 O lit doc selo ue verticale les itervalles de fluctuatio pour ue valeur θ 0 et, selo l horizotale issue de t, l itervalle de cofiace pour le paramètre θ O dit que [ a,b] est u itervalle de cofiace de iveau 1- α (qu o appelle coefficiet de cofiace, o dit aussi qu o pred le risque α, c est «le risque» d avoir tort [ ] est u itervalle aléatoire qui déped de t e - a,b a = t 1 - a et b s obtieet par : (t e b = t 1 1 (t e Remarques : - si l o augmete 1- α, o augmete la logueur de l itervalle de fluctuatio, les courbes s écartet - si augmete, comme T est supposé coverget, V(T dimiue, doc [ t 1,t ] dimiue et les courbes se rapprochet de la première bissectrice 44 Itervalle de cofiace pour la moyee d ue loi ormale N(m,σ m est doc le paramètre à estimer par u itervalle de cofiace A σ est cou X est le meilleur estimateur de m et X suit ue loi N(m, σ Chapitre 4 11

12 L itervalle de fluctuatio symétrique de X à 1 α est : m u α / σ < X < m + u σ α / d où l itervalle de cofiace : x e u α / σ < m < x e + u α / σ La valeur de u α / est lue sur la table des quatiles de la loi ormale cetrée réduite, c est le quatile d ordre α / Par exemple pour u itervalle de cofiace de iveau 95%, α = 5%, u 0,05 =1,96 Exemple : Das u cotrôle qualité, o prélève au hasard 36 pièces sur la productio jouralière de 500 O s itéresse à la masse des pièces O suppose (modélise que la masse suit ue loi ormale N(m,σ, et o suppose que l écart-type de la productio est cou et égal à 1,5g O mesure la masse de ces 36 pièces, o trouve comme masse moyee : x e = 774,7g O e déduit les estimatios de m : - estimatio poctuelle : m ˆ =774,7g - estimatio par itervalle de cofiace de iveau 95% : 770,6 ; 778,8 obteu par 774,7 1,96 1,5 1,5 < m < 774,7 +1, B σ est icou [ ] O utilise le fait que T 1 = X m de liberté S 1 suit ue loi de Studet à (-1 degrés L itervalle symétrique de fluctuatio pour T 1 est : t α / < X m S 1 < t α / D où l itervalle de cofiace : σ e x e t α / 1 < m < x e + t α / ou bie ˆ σ x e t α / < m < x + t e α / σ e 1 ˆ σ La valeur de t α / est lue sur la table de distributio de T (Loi de Studet, c est le quatile d ordre α / Chapitre 4 1

13 Par exemple pour u itervalle de cofiace de iveau 95%, α = 5%, Pour = 0 t 0,05 =,086, pour =30 t 0,05 =,04, pour =10 t 0,05 =1,98 Exemple : O repred l exemple précédet du cotrôle qualité O prélève das ue productio jouralière de 500 pièces u échatillo au hasard de 36 pièces O s itéresse à la masse des pièces O suppose (modélise que la masse suit ue loi ormale N(m,σ Sur l échatillo o obtiet : x e = 774,7g et σ e = 1,5g O e déduit les estimatios de m : - estimatio poctuelle : m ˆ =774,7g - estimatio par itervalle de cofiace de iveau 95% : [ 770,4 ; 779,0] itervalle obteu par : 774,7,03 1,5 < m < 774,7 +,031, E pratique, ces résultats sot très souvet utilisés Le théorème cetral-limite a pour coséquece que les itervalles précédets sot valables pour estimer m d ue loi quelcoque si est assez grad O a aussi, pour assez grad, u α / t α / Chapitre 4 13

14 443 Itervalle de cofiace pour la variace σ d ue loi ormale σ est doc le paramètre à estimer par u itervalle de cofiace A m est cou i= O utilise l estimateur V = 1 ( X i m qui est le meilleur estimateur de σ et V suit ue loi χ σ comme somme de carrés de N(0;1 idépedates Soit k 1 et k les bores d u itervalle de fluctuatio d u χ au iveau 1 α C est à dire P(k 1 < V σ < k =1 α Ce graphique repred la forme géérale de la desité d ue loi du Khi-deux Remarque : le couple ( k 1, k est pas uique Fréquemmet o choisit ces valeurs e répartissat le risque α de faço symétrique P( V σ < k 1 = P(k < V σ = α E otat v e la variace de l échatillo : L itervalle de cofiace est : v e k < σ < v e k 1 Chapitre 4 14

15 B m est icou O utilise S = 1 i= ( X i X et o sait que S suit ue loi χ σ 1 Soit l 1 et l les bores d u itervalle de fluctuatio d u χ 1 au iveau 1 α C est à dire P(l 1 < S σ < l =1 α L itervalle de cofiace est : v e l < σ < v e l 1 Exemple : =30 ; S e =1 ; 1 α =0,90 ; o choisit l itervalle de probabilité 90% avec les bores l 1 =17,708 ; l = 4,557, cela doe 8,46 < σ < 0,33 d où :,91 < σ < 4,51 Remarques : ces résultats e sot valables QUE pour des lois ormales 444 Itervalle de cofiace pour le paramètre d ue loi biomiale quad est grad C est le problème cou sous le om d u itervalle de cofiace pour ue proportio p icoue Etat doée ue populatio ifiie (ou fiie si tirage avec remise où ue proportio p des idividus possède u certai caractère, il s agit de trouver u itervalle de cofiace à partir de f e, proportio trouvée das u échatillo de taille O sait que f suit ue loi biomiale B(,p ; si est «petit» o utilisera des tables de loi biomiale ou l abaque Et si est «grad», F suit approximativemet la loi N p; L itervalle de fluctuatio symétrique est : p(1 p p u α / p(1 p < F < p + u α / p(1 p Les boes de l itervalle de fluctuatio sot doés par y = p ± u α / p(1 p ( = (u α / p(1 p Soit y p, ce qui est l équatio d ue ellipse passat par l origie, et le poit (1,1 pour lesquels les tagetes sot verticales Chapitre 4 15

16 Remarque : les parties de l ellipse extérieure au carré uité sot sas sigificatio; elles correspodet aux zoes où l approximatio ormale est pas pertiete Etat doée ue valeur f e observée, l itervalle de cofiace s obtiet e résolvat l équatio e p : ( f e p p(1 p = (u α / Après calculs et approximatio par u développemet limité e 1/, o obtiet p 1 et p et, doc, l itervalle de cofiace : f e u α / f e (1 f e < p < f e + u α / f e (1 f e Exemple : =400 ; f e =0,36 ; 1 α =0,95 : o a 0,31<p<0, Méthode pratique de costitutio d échatillos Pour u sodage, la maière de prélever ou de costituer l échatillo d idividus à observer est d importace, il existe plusieurs méthodes classiques pour cela : la méthode des quotas (ou sodage raisoé, la méthode des uités types, le sodage stratifié, sodage à probabilités iégales, etc Chapitre 4 16

17 43 TESTS STATISTIQUES 431 Tests paramétriques 4311 Pricipe La variable aléatoire X déped d u paramètre θ Costruire u test reviet à détermier u mécaisme décisioel, qui au vu d u échatillo, permet de predre ue décisio sur les valeurs possibles de θ E pratique, cela reviet à choisir etre deux hypothèses sur θ : la première hypothèse H 0, appelée hypothèse ulle, et ue autre hypothèse, H 1, appelée hypothèse alterative Souvet l hypothèse ulle correspod à ue égalité du paramètre θ à ue valeur doée, o dit que H 0 est «simple» Das ce cas, la plupart des tests paramétriques peuvet se rameer à u test du type, où θ 0 θ 1 : H 0 θ = θ 0 H 1 θ = θ 1 ou H 0 θ = θ 0 H 1 θ θ 0 ou H 0 θ = θ 0 H 1 θ > θ 0 H 0 θ = θ 0 ou H 1 θ < θ 0 Ce polycopié restera das ce cadre Les hypothèses H et H 0 1 e sot pas symétriques, le choix de l hypothèse ulle est celui qui costruit le test, l hypothèse alterative permet de costruire la règle de décisio 431 Procédure de décisio Accepter H 0, l hypothèse ulle, reviet automatiquemet à refuser H l hypothèse 1 alterative, et réciproquemet, refuser H 0 etraîe automatiquemet l acceptatio de H 1 Il y a doc u risque de se tromper de décisio O sythétise le problème par u tableau de probabilités vérité décisio H 0 H 1 H 0 1- α β H 1 α 1- β C est à dire P(choisir H 0 /H 0 vraie =1 α P(rejeter H 0 /H 0 vraie = α Das la pratique, o choisit α, les valeurs courates sot 10%, 5%, 1% Chapitre 4 17

18 α état fixé, β sera détermié comme résultat d u calcul (mais ceci est possible que si o coaît les lois de probabilités sous H 1 α et β variet e ses cotraire Si o dimiue α, o augmete 1- α (probabilité d accepter H si H 0 0 est vraie mais aisi o a ue règle de décisio plus stricte qui aboutit à abadoer H 0 que das des cas rarissimes, doc peut-être à coserver H 0 à tort Vocabulaire : - α s appelle le iveau du test c est aussi le risque de première espèce : probabilité de choisir H alors que H 1 0est vraie - β s appelle le risque de deuxième espèce : probabilité de choisir H 0 alors que H 1 est vraie - 1- β s appelle la puissace du test, c est la probabilité de choisir H alors 1 que H 1 est vraie - La régio critique W est l esemble des valeurs de la variable de décisio qui coduiset à écarter H 0 au profit de H 1 La forme de la régio critique est détermiée par la ature de H 1, sa détermiatio exacte se fait e écrivat : P(W /H 0 = α La régio d acceptatio est so complémetaire W, et l o a doc : P(W /H 0 =1 α et P(W /H 1 =1 β La costructio d u test est rie d autre que la détermiatio de la régio critique, sas coaître le résultat de l expériece, doc a priori E résumé, la costructio d u test reviet à : 1 Choix de H 0 et de H 1 Détermiatio de la variable de décisio 3 Allure de la régio critique e foctio de H 1 4 Calcul de la régio critique e foctio de α 5 Calcul évetuel de la puissace 1- β 6 Calcul de la valeur expérimetale de la variable de décisio 7 Coclusio : si la valeur expérimetale est das la régio critique, o rejette H 0 Das le cas cotraire, o accepte H 0, «faute de mieux» 431 Test de la moyee m d ue loi N(m,σ - cas où σ est cou, Le test repose sur la variable de décisio X qui suit ue loi N(m, σ H 0 m = m 0 Pour avec m H 1 m = m 1 > m 0, la régio critique est défiie par X >k 1 Chapitre 4 18

19 où U = X m 0 σ P(X > k /H 0 = P U > k m 0 = α σ suit ue loi ormale cetrée réduite H 0 m = 600 Exemple : O veut tester, et o sait que σ =100 H 1 m = 650 O a u échatillo de 9 mesures, o choisit le risque de 5% O calcule k = ,64 = La règle de décisio est doc la suivate : - Si la valeur moyee trouvée sur l échatillo est supérieure à 655, o refuse H 0, et doc o accepte H 1 - Si la valeur moyee trouvée sur l échatillo est iférieure à 655, o accepte H 0 Ue fois établie la règle de décisio, o calcule la moyee sur l échatillo Elle est de 610, : doc o accepte H 0 Remarque : ici β = 0,56, ce qui est cosidérable Le test est pas puissat - cas où σ est icou Le test repose sur la variable de décisio T = X m 1 Studet à (-1 degrés de liberté S 1 qui suit ue loi de Pour H 0 m = m 0, la régio critique est défiie par H 1 m m 0 T 1 > k avec P (" T 1 > k"/"m = m 0 " = α exemple : H 0 : m = 30 cotre H 1 : m 30 U échatillo de 15 observatios a doé x e = 37, et σ e = 6, C est u test bilatéral car o s occupe de la valeur absolue, et la variable cosidérée suit ue loi de Studet La valeur critique à α =5% pour u test bilatéral d u T 14 est,145 37, 30 O calcule la valeur t = 14 = 4,35 6, Coclusio : o rejette H 0, doc o accepte H 1 Pour les tests de moyee, si la variable parete e suit pas ue loi ormale, les tests précédets s appliquet ecore dès que est assez grad (>30 e gééral e raiso du théorème cetral-limite Chapitre 4 19

20 Das les deux exemples ci dessus, o a mis e place : - u test bilatéral pour H 1 :θ θ 0, la régio critique correspod à θ θ 0 sigificativemet o ul, - u test uilatéral pour H 1 :θ > θ 0 (respectivemet H 1 :θ < θ 0, si la régio critique correspod à (θ θ 0 sigificativemet positif (respectivemet égatif Le cas H 1 :θ = θ 1 se traite avec u test uilatéral suivat la positio de θ 0 et θ 1 O peut das ce cas faire le calcul de la puissace du test 4313 Test de la variace d ue loi N(m,σ - cas où m est cou (cas peu fréquet i= La variable de décisio est V = 1 ( X i m H 0 σ = σ 0 Aisi pour, avec σ H 1 σ = σ 1 > σ 0 la régio critique est défiie par 1 V = 1 i= ( X i m > k et k est détermié e cosidérat que V suit ue loi χ σ P(V > k = P χ > k = α σ 0 - cas où m est icou (cas usuel i= La variable de décisio est S = 1 ( X i X et o sait que S suit ue loi σ χ 1 - H 0 σ = σ 0 Aisi pour, avec σ H 1 σ = σ 1 > σ 0 la régio critique est défiie par 1 S > k et k est détermié e cosidérat que S suit ue loi χ σ 1 - P(S > k = P χ 1 > k = α σ 0 Exemple : O teste σ 0 = 3, avec 0 observatios, o a trouvé s e = 3,5, o choisit de faire u test au risque 5% La valeur critique est d u χ 19 pour 5% est 30,144 d où k = 30, O a s e = 3,5 =1,5 O accepte doc H 0 Importat : ces résultats e sot valables QUE pour des lois ormales Ces tests utiliset la loi du χ =13,56 Chapitre 4 0

21 4314 Test de la valeur théorique d u pourcetage p pour u grad échatillo p(1 p La variable de décisio est F et, pour est grad, F suit la loi N p; H 0 p = p 0 Pour, la régio critique au risque α est défiie par : H 1 p p 0 p F p 0 > u 0 (1 p 0 α / p Soit le complémetaire de p 0 u 0 (1 p 0 p α / ; p 0 + u 0 (1 p 0 α / Exemple : Pour =00, o observe ue proportio de 45% ayat le caractère observé O teste p 0 = 0,5 au risque de 5% La régio critique correspod à F 0,5 >1,96 (0,5 = 0,07 00 Or l écart etre la valeur observée et la valeur théorique est de 0,05 O accepte doc H 0 Si est trop petit pour ue approximatio par ue loi ormale, o utilisera ue abaque elliptique (voir e aexe 4315 Tests de comparaiso de deux échatillos gaussies O a deux échatillos de taille 1 et, o veut tester si o peut admettre qu ils vieet d ue même populatio relativemet au caractère étudié, ces deux échatillos ayat été prélevés idépedammet l u de l autre Das ce polycopié, o e cosidère que le cas où le caractère étudié peut être modélisé par ue loi ormale Par exemple : taux de cholestérol de deux groupes de persoes ayat pris deux médicamets différets, taux e dioxie des résidus urbais après deux types de traitemet, etc O formalise le problème de la maière suivate : X 1 suit la loi N(m 1,σ 1 et X suit la loi N(m,σ O veut tester H 0 : m 1 = m et σ 1 = σ cotre H 1 : m 1 m ou σ 1 σ Le test va cosidérer d abord l égalité des variaces et, si elles e sot pas sigificativemet différetes, à tester esuite les espéraces e admettat σ 1 = σ A- Test des variaces par le test de Fisher-Sedecor E utilisat les résultats de la théorie de l échatilloage : Chapitre 4 1

22 1 S 1,1 suit ue loi χ σ 1 1et S, suit ue loi χ 1 σ 1 Das l hypothèse H 0 :σ 1 = σ, o a (o l admet : 1 S 1,1 F = 1 1 S, 1 suit ue loi de Fisher-Sedecor de paramètres ( 1 1, 1, usuellemet otée F( 1 1, 1 O peut iterpréter F comme le rapport de deux estimateurs de σ 1 et σ respectivemet Si σ 1 = σ, ce rapport e doit pas différer sigificativemet de 1 F sera la variable de décisio E pratique, o met toujours au umérateur la plus grade des deux quatités : S 1 1, et S, 1 F>k avec k>1 et la régio critique est de la forme Si les deux échatillos ot même taille = 1 =, le calcul se simplifie F = S 1, S, Si le test de Fisher-Sedecor aboutit à la coclusio σ 1 = σ, o passe au test des moyees Exemple : 1 = 5; =13; s 1 = 0,05; s = 0,07; α = 0, ,07 5 0,05 Il faut permuter les idices 1 et car > 1 4 La régio critique pour ue loi de Fisher-Sedecor F(1;4au risque 5% est F>,18 Ici, la valeur est de 0,68, o accepte l hypothèse σ 1 = σ B- Test des moyees par le test de Studet Supposos désormais σ 1 = σ = σ O sait : X 1,1 suit ue loi N(m 1, et X, suit ue loi N(m, σ 1 σ 1 S 1,1 suit ue loi χ σ 1 1 S, suit ue loi χ σ 1 Comme les lois sot idépedates, S 1 1, 1 + S, suit ue loi χ σ 1 + X 1,1 X, suit ue loi N m 1 m,σ et Chapitre 4

23 σ état icou, o utilise la loi de Studet O sait que : (X 1,1 X, (m 1 m T = σ S 1,1 + S, σ ( 1 + suit ue loi T 1 + Ce qui, e élimiat σ, se ramèe à : T = (X 1, 1 X, (m 1 m ( 1 S 1,1 + S, suit ue loi T Das l hypothèse H 0 : m 1 = m et la régio critique est de la forme T > k Exemple : o repred l exemple précédet 1 = 5; =13; x 1 =,7; x =,8; s 1 = 0,05; s = 0,07; α = 0,05, L hypothèse d égalité des variaces a déjà été acceptée La valeur calculée de la variable de décisio T vaut eviro -3,5 La valeur critique pour T 36 au risque 5 % est de,03 O rejette doc l hypotèse ulle : les échatillos sot sigificativemet différets, das leur moyee e l occurrece Remarque : l ordre des tests (test des variaces, et, si égalité acceptée, test des moyees est idispesable, l égalité des variaces est écessaire à l utilisatio d ue loi de Studet Si les échatillos sot o gaussies, le test de variace est plus valable, mais o a u résultat capital, qui peut tester l égalité des moyees Pour 1 et assez grads, o peut quad même tester les moyees e appliquat la formule de Studet que s 1 soit différet ou o de s O dit que le test de Studet est «robuste» car il résiste bie à u chagemet de la loi de X 1 et X 4316 Test de comparaiso de deux pourcetages (grads échatillos Das deux échatillos de grade taille 1 et, o relève les pourcetages f 1 et f d idividus présetat u certai caractère Soit p 1 et p les probabilités correspodates : il s agit de savoir si p 1 et p sot sigificativemet différets ou o H 0 p 1 = p = p O teste doc H 1 p 1 p Chapitre 4 3

24 Si H 0 est vraie, f 1 et f sot deux réalisatios idépedates de deux variables F 1 et F qui suivet des lois ormales F 1 suit la loi N p; p(1 p 1 F suit la loi N p; p(1 p Doc F 1 F suit la loi N p; p(1 p O rejettera H 0, si, f 1 f > u α / p(1 p Si p est pas cou, o le remplace par so estimatio : Exemple : échatillo A : A = 96 ; f A = 0,18 échatillo B : B = 60 ; f B = 0,5 test au iveau 10 % ˆ p = 0,1 et p ˆ (1 p ˆ f 1 f O e peut doc rejeter H 0 p ˆ = 1p 1 + p 1 + = 0,89 <1, Test de comparaiso de moyees de deux échatillos appariés U même échatillo d idividus est soumis à deux mesures successives d u même caractère Exemples : copies soumises à ue double correctio, passage du même test d aptitude à deux istats différets d u cursus de formatio (problème de l appretissage O veut tester l hypothèse H 0 que les deux séries de valeurs sot semblables Soit X 1 (respectivemet X la variable correspodat à la première (respectivemet deuxième série O va tester E(X 1 = E(X e formalisat le problème de la maière suivate : X 1 X suit la loi N(m 1 m,σ Cela sous-eted que (X 1,X est u vecteur gaussie (toute combiaiso liéaire de composates suit ue loi ormale, voir chapitre 3 Le test de H 0 : m 1 = m cotre H 1 : m 1 m cosiste à former les différeces d i = x i,1 x i, et à faire u test de Studet sur la moyee des d i car σ est e gééral icou : Chapitre 4 4

25 D = d 1 = X 1, X, S d S d O rejettera H 0 si d > k 1 suit ue loi T 1 La différece avec le test de Studet d égalité de deux moyees étudié au paragraphe 4315 proviet du fait que les variables X 1 etx e peuvet être supposées idépedates 43 Tests d ajsutemet et tests d idépedace utilisat la loi du Khi-deux 431 Tests d ajustemet Ces tests ot pour but de vérifier qu u échatillo proviet ou o d ue variable aléatoire de distributio coue O ote F la foctio de répartitio de la variable échatilloée et F 0 la foctio de répartitio à laquelle o veut la comparer Il s agit de tester H 0 : F = F 0 cotre H 1 : F F 0 Avat de faire u test, il est obligatoire de faire quelques vérificatios simples : - allure de l histogramme (symétrie, etc - relatio coue etre les paramètres (par exemple : moyee=variace pour ue loi de Poisso - ajustemet graphique : la foctio de répartitio empirique pour u échatillo de grade taille doit peu différer de la foctio de répartio théorique Avec u papier adapté au modèle testé, cela peut se faire graphiquemet Par exemple : loi expoetielle et papier semi-logarithmique, droite de Hery pour ue loi ormale, etc Test du Khi-deux Soit X ue variable aléatoire discrète ou discrétisée, c est à dire divisée e k classes de probabilités théoriques p 1, p,, p k Soit u N-échatillo empirique de cette variable X, et 1,,, k les effectifs observés das ces k classes Cela correspod à u tableau du type : - cas discret X Effectif observé Probabilité théorique Effectif théorique x 1 1 P(X = x 1 = p 1 Np 1 x i i P(X = x i = p i Np i x k k P(X = x k = p k Np k total N 1 N Chapitre 4 5

26 - cas cotiu discrétisé X Effectif observé Probabilité théorique Effectif théorique ] x 1, x ] 1 P(x 1 < X < x = p 1 Np 1 ] x i,x i+1 ] i P(x i < X < x i+1 = p i Np i ] x k,x k +1 ] k P(x k < X < x k +1 = p k Np k total N 1 N O cosidère D N défiie par : i=k ( D N = i Np i Np i (effectifs observés effectifs théoriques D N = effectifs théoriques D N i ue «distace» etre les effectifs théoriques et les effectifs observés Si H 0 est vraie, o s atted, ituitivemet, à ce que cette distace soit faible D N déped de la somme de k termes, mais ils e sot pas idépedats il suffit i=k d e coaître k-1 car i = N O a u résultat théorique très importat, o motré das ce polycopié : Théorème Si N +, D N est asymptotiquemet distribué comme ue variable du χ k 1 et ceci quelle que soit la loi de X i=k ( D où le test du Khi-deux : o rejettera H 0 si d = i Np i est trop grad, Np i c est à dire supérieur à q, avec P(χ k 1 > q = α, pour u risque α Coditios d utilisatio du test : - Pour que la distace D N coverge vers ue loi du Khi-deux, lorsque l hypothèse H 0 est vérifiée, il est écessaire que le ombre d observatios i das chaque classe soit supérieur à 5 Si ce est pas le cas pour ue classe, il est écessaire de réuir cette classe avec ue classe adjacete - Si lors de la détermiatio de la loi théorique, il a été écessaire d estimer l paramètres, alors le ombre de degrés de liberté du Khi-deux doit être dimiué de l O a doc P(χ k l 1 > q = α Chapitre 4 6

27 Exemple : Das u atelier de réparatio automobile, o relève sur ue période de 100 jours le ombre jouralier d accidets du travail k= ombre d accidets das la jourée k = ombre de jours cocerés Les doées de l échatillo doet : x e = et σ e O propose de tester l ajustemet à ue loi de Poisso de paramètre k= ombre d accidets f k = fréquece observée p k = fréquece théorique ,14 0,6 0,7 0,19 0,08 0,05 0,01 0,1535 0,707 0,707 0,1804 0,090 0,0361 0,0165 Il faut regrouper les deux derières valeurs pour que tous les effectifs soiet supérieurs à 5 k= ombre d accidets k 5 f k = fréquece observée 0,14 0,6 0,7 0,19 0,08 0,06 p k = fréquece théorique 0,1535 0,707 0,707 0,1804 0,090 0,056 O a estimé la moyee, o va tester la distace avec la loi du χ 4 La lecture de la table doe q=9, 5 au risque 5% Doc o rejettera H 0 si la valeur calculée de d est supérieure à 9,5 i=5 ( d = i Np i 0,39 Np i Doc o accepte H 0 : la distributio observée correspod à ue loi de Poisso de paramètre au risque de 5% Remarque : il existe d autres tests (Kolmogorov-Smirov, Cramer-Vo Mises qui peuvet être plus appropriés suivat les cas 431 Tests d idépedace Pour u couple de variables aléatoires réelles (X,Y, o possède u tableau du ombre de réalisatios, au cours de N expérieces idetiques idépedates, pour chaque couple de valeurs (x i, y j (ou bie ] x i, x i+1 ], y j,y j +1 ( ] ] Chapitre 4 7

28 X Y y 1 y j y k Total x 1 x i ij i x r Total j N O repred les otatios de statistique descriptive : - ij est le ombre d observatios pour lesquelles X = x i et Y = y j - i = ij est le ombre d observatios pour les quelles X = x i j - j= ij est le ombre d observatios pour les quelles Y = y j i La questio qui est posée est la suivate : Au vu de l échatillo, peut-o cosidérer que les deux variables X et Y sot idépedates? O va tester H 0 : X et Y sot idépedates cotre H 1 : X et Y e sot pas idépedates Si les deux variables sot idépedates, alors la loi du couple est p ij = P(X = x i et Y = y j = P(X = x i P(Y = y j Les probabilités p ij sot icoues, o les estime de la maière suivate : O repred les otatios de statistique descriptive : - f ij = ij N est la fréquece cojoite de la modalité (x i,y j - f i = f ij est la fréquece de la valeur x i j - f j= f ij est la fréquece de la valeur y j i O fait les estimatios poctuelles : ˆ p i = f i, ˆ p j = f j et ˆ p ij = ˆ p i ˆ p j Le ombre théorique, si il y a idépedace, d observatios de la modalité (x i,y j pour le couple (X,Y est alors : N ˆ p ij Comme das u test d ajustemet, o costruit la «distace du Khi-deux» etre la loi théorique et la loi empirique observée par la quatité suivate : Chapitre 4 8

29 D N = i (effectifs observés effectifs théoriques D N = effectifs théoriques r k ( ij Nˆ p ij Nˆ p ij Sous H 0, D N suit a priori ue loi du Khi-deux χ rk 1 rk modalités j =1 car le couple est observé selo Mais o a estimé des paramètres, doc il faut dimiuer le ombre de degrés de liberté O a fait : - (r-1 estimatios de p ˆ i car la r-ième est doée par la cotraite p ˆ i =1 - (k-1 de ˆ p j car la k-ième est doée par la cotraite p ˆ j =1 Lors de la mise e place du test d adéquatio, il faut doc dimiuer le ombre de degrés de liberté du χ de (r 1 + (k 1 Le ombre de degrés de liberté est doc rk 1 (r 1 (k 1 = (r 1(k 1 La table du χ (r 1(k 1 permet de détermier la costate q tel que > q = α et doc de spécifier la régio critique du test P(χ (r 1(k 1 Exemple : Tester au seul de 5%, l efficacité d u ouveau vacci cotre la grippe, pour lequel u relevé statistique doe le tableau vacciés o vacciés total ot cotracté la grippe ot pas cotracté la grippe total Quelques élémets de costructio du test : - 40 observatios, - probabilité théorique d être vaccié= 10/40=0,5 - probabilité théorique de cotracter la grippe = 39/40=0,165 Tableau «théorique» si idépedace vacciés o vacciés total ot cotracté la grippe 19,5 19,5 39 ot pas cotracté la 100,5 100,5 01 grippe total La régio critique est détermiée par la loi du Khi-deux χ 1 Au seuil de 5% P(χ 1 > q = 0,05 avec q=3,841 Chapitre 4 9 j i

30 O calcule la «distace du Khi-deux» etre les valeurs observées et les valeurs théoriques (13 19,5 (6 19,5 ( ,5 (94 100, = 5,17 19,5 19,5 100,5 100,5 5,17>3,841 O rejette H 0 : le vacci est efficace Chapitre 4 30