Exercices de révision pour le bac

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1 TS Erccs d révso pour l bac Sot f la focto déf sur l trvall [ ; + [ par f O do c-dssous la rpréstato graphqu d f das l pla mu d u rpèr orthoormé j O O,, j ) Détrmr par l calcul la lmt d f + O pourra écrr pour, f ) Démotrr qu f admt u mamum sur [ ; + [ t précsr sa valur (valur act) a d la part du pla ) Sot a u rél postf ou ul Eprmr, uté d ar t focto d a, l ar lmté par la courb, l a ds abscsss t ls drots d équatos rspctvs t a Eprmr focto d a a Qull st la lmt d (a) quad a td vrs +? O cosdèr la focto f déf sur l trvall [ ; ] par f t o déft la sut ( ) d d t pour tout tr aturl o ul, u f ) a) Démotrr qu, pour tout rél d l trvall [ ; ], o a : f Idcato : O pourra procédr par cadrmts succssfs b) E dédur qu u (o chrchra pas à calculr u * ) ) alculr u ) a) Démotrr qu pour tout tr aturl, u b) Étudr l ss d varato d la sut u c) E dédur qu la sut u st covrgt 4 ) a) Démotrr qu, pour tout tr aturl, o a : b) E dédur la lmt d la sut u u u par : ( ) d d u f * O admttra fft qu c calcul st pas possbl car l st pas possbl d prmr u prmtv d f à l ad ds foctos usulls (résultat adms sas démostrato) O cosdèr ls foctos f t g défs sur par f t g O ot t lurs courbs rpréstatvs rspctvs das l pla mu d u rpèr orthoormé (utés graphqus : 4 cm ou 4 «gros carrau» abscss t ordoé) O,, j ) Étudr la focto f sur (dérvés, varatos, lmts t trprétato graphqu) Drssr so tablau d varato ) E obsrvat qu g f l o détrmra ) Tracr t pour tout rél, démotrr qu st l mag d par u symétr qu 4 ) a) Démotrr qu, pour tout rél, o a : f E dédur u prmtv F d f sur b) Sot u rél strctmt postf fé O cosdèr l smbl D ds pots M, y du pla tls qu f y g t o ot so ar uté d ar Démotrr qu l olorr D sur l graphqu Dor u appromato décmal d l ar d c doma cm à près 5 ) Qusto facultatv : Démotrr qu t sot symétrqus par rapport à la drot d équato y 4 Part ) Étudr ls varatos d la focto u : sur (sas ls lmts) ) E dédur qu pour tout rél, o a : Part B O cosdèr la focto f : ) Détrmr l smbl d défto d f ) Drssr l tablau d varato d f avc ls lmts ) O ot la courb rpréstatv d f das l pla mu d u rpèr orthoormé O,, j a) Démotrr qu admt u asymptot horzotal + b) Démotrr qu admt la drot ' d équato y pour asymptot oblqu Étudr la posto rlatv d t ' f Tracr, t ' O prdra u ctmètr ou u «gros carrau» pour uté graphqu

2 5 Das l pla compl mu d u rpèr orthoormé drct O, u, v, o cosdèr ls pots, B, d affs rspctvs z, zb t z ) Far u fgur O prdra u ctmètr ou u «gros» carrau pour uté graphqu O complètra ctt fgur au fur t à msur zb ) Dor l écrtur potll du ombr compl ; dédur la atur du tragl OB z ) alculr l aff du mlu I d [B] 4 ) Sot D l mag du pot O par la rotato r d ctr I t d agl alculr l aff du pot D 5 ) Qull st la atur du quadrlatèr OBD? Part L but d ctt part st d détrmr u cadrmt d l ar O ot M t N ls pots d d abscsss rspctvs t, t B lurs projtés orthogoau rspctfs sur l a ds abscsss La fgur st doé c-dssous N N' T 6 O s plac das l pla compl mu d u rpèr orthoormé O, u, v O cosdèr la trasformato poctull f qu, à tout pot M d aff z, assoc l pot M ' d aff z ' déf par z ' z ) Détrmr ls atécédts du pot O par f ) Est-t-l ds pots varats par f? S ou, précsr lurs affs rspctvs ) Démotrr qu du pots symétrqus par rapport à O ot la mêm mag Qu put-o dr ds mags d du pots symétrqus par rapport à l a ds abscsss? 4 ) Sot l pot d aff z Détrmr l aff du pot ' mag d par f, pus démotrr qu ls pots O, t ' sot algés 5 ) Sot u ombr rél O ot N l pot d aff z t N ' so mag par f a) Démotrr qu N appartt au crcl d ctr O t d rayo b) Démotrr qu l o a : z ' E dédur qu, lorsqu var, l pot N ' rst sur u crcl dot o précsra l ctr t l rayo c) Vérfr qu ON' cos ON E dédur qu ls pots O, N t N ' sot algés Eplqur la costructo du pot N ' j O E M M' B 7 O cosdèr sur l graphqu suvat la courb rpréstatv d la focto f : l das l pla mu d u rpèr orthoormé O,, j Das l rcc, o s térss à l ar du doma D délmté par l a ds abscsss, la courb t ls du drots d équatos t j D ) a) Démotrr qu f st postv sur [ ; ] b) Sot E l pot d abscss 4 Démotrr qu la tagt E à st parallèl à (MN) c) O ot T la tagt à au pot E Détrmr u équato d T Das tout la sut, o admttra qu sur l trvall [ ; ], la courb rst au-dssus d T ) Sot M' t N' ls pots d abscsss rspctvs t d la drot T O admttra qu la courb rst sous la drot (MN) sur l trvall[ ; ] t qu ls pots M ' t N ' ot ds ordoés strctmt postvs a) alculr ls ars ds trapèzs MNQP t M ' N 'QP O rappll qu l ar d u trapèz st doé par la formul b B h où b, B t h désgt rspctvmt la ptt bas, la grad bas t la hautur du trapèz b) E dédur, à l ad d la calculatrc, u cadrmt d d ampltud O

3 Part B L but d ctt part st d détrmr la valur act d O cosdèr la focto F déf par F l 4 ) Démotrr qu la focto F st u prmtv d f ) E dédur la valur act d Probabltés cotus O do c-dssous ls courbs rpréstatvs ds foctos f t g défs sur + par g das l pla mu d u rpèr orthogoal O,, j : y = f () f t 8 U suprmarché orgas u campag publctar offrat, à chaqu clt qu pass à la cass, u tct d ju sur lqul l y a u grll d 8 cass haqu grll cott cass ors t 5 cass blachs réparts au hasard parm ls 8 cass ; la coulur d chaqu cas st caché t l faut grattr la cas pour la découvrr La règl du ju st la suvat : haqu jouur gratt du cass d la grll ; s l découvr du cass ors, l gag u bo d achat d ; s l découvr qu u sul cas or, l gag u bo d achat d ; so l gag r Ls probabltés dmadés srot doés sous la form d fractos rréductbls ) Far u arbr d probabltés avc ls évémts suvats c-dssous : N : «la prmèr cas gratté st or» ; N : «la duèm cas gratté st or» ; B : «la prmèr cas gratté st blach» ; B : «la duèm cas gratté st blach» ) a) U clt gratt au hasard u prmèr cas Qull st la probablté qu l découvr u cas blach? b) U clt a découvrt u cas blach grattat la prmèr cas Qull st la probablté qu l découvr u cas or grattat la scod cas? ) Sot E l évémt «l clt a gagé u bo d achat d» t F l évémt «l clt a gagé u bo d achat d» alculr la probablté d E t d F 9 U ur cott bouls : 8 blachs t 4 ors ) U jouur tr succssvmt au hasard, avc rms, du bouls d l ur t am lurs coulurs Pour chaqu boul blach tré, l jouur gag 5, mas à chaqu boul or, l prd O appll G la varabl aléator doat l ga algébrqu uros du jouur lors d u trag Part j O t G alculr, pour t +, F t f ( ) d alculr lurs lmts + Itrprétr graphqumt Part B t t g( ) d À la MIF t à la FMG, mutulls d assurac b cous, ls durés d tratmt d u dossr d sstr (prmé hurs) ot été modélsés par ls varabls aléators X t Y dot ls los cotus ot pour dstés rspctvs ls foctos f t g Justfr qu f t g sot b ds dstés d probablté sur + Laqull ds du los put-o rcoaîtr? alculr pour chaqu mutull, la probablté qu u dossr prs au hasard sot traté : mos d hur plus d hurs au mos u dm-jouré ( hurs t dm) hurs actmt hur t dm (à 5 muts près) omparr ; quls commtars put-o far? t : y = g () a) Far u arbr d probabltés t détrmr la lo d probablté d G (far u tablau) O dora tous ls résultats sous form d fractos rréductbls b) L ju st-l équtabl? ) L résultat d la qusto précédt rst-t-l valabl s l o ffctu ls trags sas rms? ) alculr t comparr ls écart-typs d G das ls du cas

4 Sot u tr aturl o ul O appll o pos I f d f la focto déf sur [ ; + [ par f l t O cosdèr la focto f déf sur l trvall I ; par f O do c-dssous la rpréstato graphqu d la focto f das l pla mu d u rpèr orthogoal d org O ) vrsos au cho : À l ad d u tégrato par parts, calculr I O pourra utlsr l résultat suvat : pour tout [ ; ],,4,, Démotrr qu la focto h : l st u prmtv d f ; calculr I, ) a) Démotrr qu pour tout tr aturl o ul, o a I l b) Étudr la mooto d la sut I c) E dédur qu la sut I st covrgt ) Sot g la focto déf sur [ ; + [ par l g a) Étudr l ss d varato d g sur [ ; + [ b) E dédur l sg d g sur [ ; + [ Démotrr alors qu pour tout tr aturl o ul, t pour tout rél postf ou ul, o a l c) E dédur la lmt d la sut I Probabltés ) Sot t B du évémts dépdats d u spac probablsé (, P) tls qu P,5 t P B, La probablté d l évémt B st égal à : ) Das u magas, u bac cott ds cahrs soldés O sat qu 5 % ds cahrs ot u rlur spral t qu 75 % ds cahrs sot à grads carrau Parm ls cahrs à grads carrau, 4 % ot u rlur spral dèl chost au hasard u cahr à rlur spral La probablté qu l sot à grads carrau st égal à : Das ls qustos ) t 4 ), o suppos qu das c magas, u autr bac cott u grad quatté d stylos-futrs promoto O sat qu 5 % d cs stylos-futrs sot vrts lbrt prélèv au hasard t d maèr dépdat stylos-futrs ) La probablté, arrod au mllèm, qu l pr au mos u stylo-futr vrt st égal à : 4 ) La probablté, arrod au mllèm, qu l pr actmt stylos-futrs vrts st égal à : O O admt qu l o put pas dor l prsso d u prmtv d f sur I ) Sot l pot d d abscss O admt qu st au-dssus d la drot (O) sur l trvall [ ; ] a) Démotrr qu f d 4 f d b) À l ad d la calculatrc, dor u valur approché d ) a) Démotrr qu pour tout I, o a : f a a f d b) E dédur qu pour tout rél a postf ou ul, o a : 4 Das u lot d pècs d moa touts d mêm apparc, ot été mélagés 6 pècs équlbrés t 4 pècs truqués La probablté d'apparto d pl lors d u jt d u pèc truqué st 4 La probablté d'apparto d pl lors d u jt d pèc équlbré st d O suppos qu ls dfférts lacrs dot l sra qusto das la sut sot dépdats ls us ds autrs Ls résultats srot doés sous form d fractos rréductbls ) O prd u pèc au hasard, o la lac a) alculr la probablté d obtr pl b) Qull st la probablté qu la pèc sot truqué sachat qu l o a obtu pl? ) O prd u pèc truqué au hasard t o la lac 4 fos Qull st la probablté d obtr 4 fos pl? Qull st la probablté d obtr au mos u fos pl?

5 5 Part Sot f la focto déf sur par f l ) Résoudr das l équato f ) Étudr l ss d varato d la focto f sur l trvall [ ; ] ; f ; E dédur qu s, alors Part B Sot u la sut déf par u t u u l u pour tout tr aturl ) Démotrr par récurrc qu, pour tout tr aturl, ; ) Étudr l ss d varato d la sut u u ) Démotrr qu la sut u st covrgt Détrmr sa lmt 6 O cosdèr la sut u déf sur t u t dt pour tout tr aturl o ul * par ) alculr la valur d u ) À l ad d u tégrato par parts, prmr u focto d u t ) a) Démotrr qu pour tout rél t [ ; ], o a : t t b) E dédur u cadrmt d u c) E dédur la lmt d u 7 L pla compl st mu d u rpèr orthoormé drct O, u, v d uté graphqu cm O cosdèr ls pots, B t d affs rspctvs z, zb t z ) a) Écrr z B t z sous form potll b) E dédur l ctr t l rayo du crcl Γ passat par ls pots, B t c) Far u fgur t placr l pot, tracr l crcl Γ pus placr ls pots B t zb z ) a) Écrr l quott z z sous form algébrqu pus sous form potll b) E dédur la atur du tragl B ) O ot r la rotato d ctr t d agl a) alculr l aff (sous form algébrqu) du pot O ', mag d O par r b) Démotrr qu ls pots t O ' sot damétralmt opposés sur l crcl Γ c) Tracr l mag Γ du crcl Γ par la rotato r d) Justfr qu ls crcls Γ t Γ s coupt t B 4 ) a) Détrmr l smbl E ds pots M d aff z tls qu z z b) Démotrr qu ls pots t B appartt à E 8 Pour s rdr au lycé, Frédérc a l cho tr du térars t B La probablté qu l chosss l'térar st La probablté qu l arrv rtard sachat qu l mprut l térar st ; cll qu'l 5 arrv rtard sachat qu l mprut l térar B st O ot R l évémt : «Frédérc arrv rtard au lycé» O dora ls résultats sous form d fractos rréductbls sauf das la qusto 4 ) ) Qull st la probablté qu Frédérc arrv à l hur au lycé t qu l at chos l térar» ) Qull st la probablté qu Frédérc arrv à l hur au lycé? ) Sachat qu Frédérc st arrvé à l hur au lycé, qull st la probablté qu l at mpruté l térar B? 4 ) haqu sma, Frédérc s rd das so lycé l lud, l mard, l mrcrd, l jud t l vdrd alculr la probablté qu Frédérc arrv au mos u fos rtard durat u sma Dor la valur arrod au mllèm du résultat 9 Sot u la sut déf par u, u t u u u pour tout tr aturl ) alculr ls cq prmrs trms d ctt sut ) O pos v u u Démotrr qu la sut v st u sut géométrqu t dédur l prsso d v focto d ) Écrr ls us dssous ds autrs ls égaltés vp up u p pour p allat d à E addtoat mmbr à mmbr touts cs égaltés, détrmr l prsso d u focto d 4 ) Détrmr la lmt d u mél st vacacs das u très grad métropol Ell dot travrsr ctt vll suvat l avu prcpal, qu st jaloé d fu trcolors Pour tout tr aturl, o ot E l évémt : «mél st arrêté par l -èm fu roug ou orag» L fu orag st cosdéré comm u fu roug Sot p la probablté d E t q cll d E La probablté qu l prmr fu trcolor sot roug ou orag vaut 8 O suppos qu ls du codtos suvats sot réalsés : - la probablté qu l ( + )-èm fu trcolor sot roug ou orag, s l -èm l fu st roug ou orag, vaut ; - la probablté qu l ( + )-èm fu trcolor sot roug ou orag, s l -èm l fu st vrt, st égal à 9 ) O suppos, tout d abord, qu mél rcotr qu du fu E P a) Dor ls probabltés codtolls P t E E E b) ostrur u arbr podéré pour décrr ctt pérc aléator t calculr P E ) O s plac matat das l cas gééral E a) Dor ls probabltés codtolls P t E E P 9 b) Démotrr qu, pour tout, o a : p p q c) E dédur l prsso d p focto d p E

6 ) Sot u la sut déf pour tout tr aturl par : u 8p 9 a) Démotrr qu u st u sut géométrqu t détrmr sa raso b) Eprmr u, pus p focto d c) Détrmr la lmt, s ll st, d p quad td vrs + Dor u trprétato d c résultat 4 ) O suppos qu ls fu s allumt dépdammt ls us ds autrs avc u probablté d êtr roug ou orag égal à 8 mél rcotr 5 fu, qull st la probablté qu ll rcotr au mos u fu vrt? Pour tout ombr rél strctmt postf, o cosdèr la focto f déf sur l trvall ] ; + [ par f l Part ) Détrmr la lmt d la focto f ) Détrmr la lmt d la focto f + f Dor l résultat sous la form d u sul quott ) alculr ' 4 ) Drssr l tablau d varatos d la focto f (avc ls lmts) O rappll qu > alculr la valur d l trmum (ou ds trmums) d la focto f ( focto d ) Part B O a tracé c-dssous la courb rpréstatv d u focto f das l pla mu d u rpèr orthoormé O,, j pour u crta valur du ombr rél strctmt postf L pot ; appartt à la courb j O ) Qull st la valur du ombr rél corrspodat? Justfr la démarch ) Das ctt qusto, a la valur trouvé précédmmt alculr, uté d ar, l ar du doma délmté par la courb, l a ds abscsss t ls drots d équato t U cyclst roul sur u rout dscdat rctlg t très logu O ot vt sa vtss à l stat t, où t st prmé scods t v t mètrs par scod O suppos d plus qu la focto v as déf st dérvabl sur l trvall [ ; + [ U modèl smpl prmt d cosdérr qu la focto v st soluto d l équato dffértll : v' t v t Ef, o suppos qu, lorsqu l cyclst s élac, sa vtss tal st ull, c st-à-dr qu v ) Eprmr vt focto d t ) a) Détrmr l ss d varato d la focto v sur l trvall [ ; + [ b) Détrmr la lmt d la focto v + ) O cosdèr, das ctt stuato, qu la vtss du cyclst st stablsé lorsqu so accélérato v' férur à, ms Détrmr, à la scod près, la plus ptt valur d t à partr d laqull la vtss du cyclst st stablsé 4 ) La dstac d parcouru par c cyclst tr du stats t t t ( t t alculr la dstac parcouru par c cyclst pdat ls 5 prmèrs scods L pla compl st mu d u rpèr orthoormé drct O, u, v ) st doé par t t t st d v t dt O cosdèr du pots t B dstcts d O, d affs rspctvs a t b, tls qu l tragl OB sot rctagl drct Sot u ombr rél O ot ' t B' ls mags rspctvs d t B par la rotato r d ctr O t d agl O désg par a ' t b ' ls affs rspctvs d t B L objctf d l rcc st d démotrr qu la drot ' coup l sgmt [BB ] so mlu ) Eprmr a ' focto d a t d ; prmr b ' focto d b t ) Sot P l mlu d ' t Q l mlu d BB' O désg par p t q ls affs rspctvs d P t Q a) Eprmr p focto d a t d ; prmr q focto d b t d p a b) Démotrr qu l o a : q p b a c) E dédur qu la drot (OP) st prpdcular à la drot (PQ) d) Démotrr qu l pot Q appartt à la drot ' 4 U ur cott bouls blachs t bouls rougs U jouur ffctu plusurs trags sas rms jusqu à obtr u boul blach L ombr d bouls blachs état fabl dvat clu ds bouls rougs, o admt qu l o put modélsr l ombr d trags écssars pour obtr u boul blach par u varabl aléator X suvat la lo :, pour tout, P X, d O répodra au qustos suvats à l ad d c modèl ) alculr la probablté qu l jouur at bso d trr au plus 5 bouls pour avor u boul blach, sot P X 5 ) alculr la probablté codtoll d l évémt : «l jouur a tré au mamum 6 bouls pour trr u boul blach» sachat l évémt «l jouur a tré plus d 5 bouls pour trr u boul blach»

7 Étud d u focto, calcul d u ar f orrgé ) Lmt d f + O rcotr u form détrmé du typ SGN d + + SGN d + + SGN d + SGN d Varatos d f f ' + + Pour tout rél >, o a : f f admt u mamum global sur [ ; +[ égal à f lm X X doc par lmt d u composé : lm (lmt d référc, crossac comparé) X X lm lm Y doc par lmt d u composé : lm = lm Y Y Das l tablau d varato, o mt uqumt pour avor u tablau d varato complt ) U prmtv d la focto f sur [ ; +[ st la focto F déf par F( ) f st postv t cotu sur [ ; +[ doc par rstrcto sur l trvall [ ; a] Par coséqut l ar sous la courb sur [ ; a] st doé par : a a a a a d F F a f a Lmt d a quad a td vrs + lm lm doc par lmt d u produt : lm f ) Varatos d f f st dérvabl sur [ ; +[ (règl sur ls foctos dérvabls) [ ; + [ f ' lm a doc par lmt d u produt : a lm a lm a doc par lmt d u somm : a lm a a lm a lm a résultat s trprèt asémt comm ar sous la courb sur [ ; + [ L ar sous la courb sur [ ; + [ (doma f) st égal à uté d ar a

8 Étud d u sut déf par u tégral Thèm d l rcc : tégrals t suts f déf sur l trvall [ ; ] par f alculos f f f t f u ) d d u f * u f d d a) Démotros qu, [ ; ] : f () èr méthod : cadrmts succssfs f méthod : étud d focto O détrm l ss d varato d f sur [, ] (méthod : sot par dérvé, sot par composé d foctos ; ous allos dévloppr la méthod par calcul d dérvé) f st dérvabl sur [, ] [ ; ] f ' SGN d SGN d SGN d Varatos d f + f ' b) Dédusos- qu u d t [ ; ] f u f Doc d f d d («crossac d l tégral») Par sut, o a : f d Il y a pas d prmtv pour f (adms car o démotrabl T al ) O put pas calculr u O pourra par cotr calculr u car o coaît u prmtv d la focto c) alculos u valur approché d u À l ad d la calculatrc TI : O utls l structo fit( dspobl das l mu [MTH], cho N 9 Voc sa syta : fit(focto,varabl,bor_f,bor_sup) -Focto : sot o tap la focto, sot o tr l om d sa varabl (YY [VRS] [-->] [] sur 8, [d][vrs] [] SUR 8 ) - varabl : toujours X - bor f : bor férur "d l'ar" (" à gauch") - bor_sup : bor supérur "d l'ar" ("à drot") Grâc à la calculatrc, o trouv : u,74684 À l ad d SIO 5 + : OPTN L d : (f(), a, b)

9 ) alculos u u f d d ) a) Démotros qu u E tout rguur, l faudrat dstgur du cas : t * [ ; ] [ ; ] f (car f Doc [ ; ] f ) Par coséqut, comm ls bors sot das l «bo» ss, par postvté d l tégral, o put dr qu u b) Étudos l ss d varato d la sut u [ ; ] doc multplat ls du mmbrs d l égalté par, o obtt : [ ; ] D où par «crossac l tégral», Par sut, u u d d c) Dédusos- qu la sut u st covrgt D après ls qustos précédts, la sut u st décrossat t moré par Or tout sut décrossat t moré covrg doc la sut u covrg (vrs u lmt postv ou ull ; o sat pas cor qu c st ; c sra l objt d la qusto 4 ) d l démotrr) 4 ) a) Démotros qu, pour tout tr aturl, o a : u [ ; ] Doc d d b) Dédusos- la lmt d la sut u O fat pas d récurrc ( ) u doc d après l théorèm ds gdarms u Utlsr la calculatrc pour détrmr u valur approché d u, u, u ( u, u puvt pas s calculr d maèr act ; adms car s démotr pas) omm ctt égalté st vra pour tout tr aturl, o coclut qu la sut ( u ) st décrossat

10 f ; g ) Étudos la focto f sur (dérvés, varatos, lmts t trprétato graphqu) Drssos so tablau d varato f st dérvabl sur comm vrs d u focto dérvabl sur qu s aul pas f ' f,99,99,99,99,99,99,98,95,88,7, f,7,,5,,,,,,, SGN d + La courb admt pas d tagt horzotal O pourrat démotrr qu ll admt l pot ; pour ctr d symétr SGN d + SGN d f ' Varatos d f lm lm doc par lmt d u quott f lm O lm lm doc par lmt d u quott f lm O dédut qu admt ls drots d équatos y t y pour asymptots horzotals rspctbmt t + ) g f doc st l mag d par la symétr orthogoal par rapport à l a ds ordoés ) Traços t O trac ls du asymptots O put far u tablau d valurs (valurs arrods au ctèm pour touts ls valurs, sauf pour l mag d ) 4 ) a) Démotros qu f f Dédusos- u prmtv F d f u O pos O a doc : f ' u u Par coséqut, u prmtv d f sur st la focto F déf par l omm la quatté F st toujours strctmt postv, o put écrr F l trasform ls barrs d valur absolu parthèss) (o

11 b) Sot u rél strctmt postf fé O cosdèr l smbl D ds pots M(, y) du pla tls qu t o ot so ar uté d ar f y g Démotros qu l La courb st au-dssus d courb sur l trvall g f d f d l l l l l l l l l l l l l l l ; doc : oloros D sur l graphqu Dor u appromato décmal d l ar d c doma cm à près 5 ) Démotros qu t sot symétrqus par rapport à la drot d équato y Il y a pas d formul das l cours pour c typ d qusto (l y a d formul qu pour ls symétrs par rapport à u drot d équato a das u rpèr orthogoal) pdat, u ptt fgur prmt d vor qu l s agt d démotrr qu pour tout rél, o a : f g c qu s fat rlatvmt smplmt par l calcul èr démarch : f g O dédut qu : f g Par coséqut, t sot symétrqus par rapport à la drot d équato démarch : y f g f g O L doma D corrspod au doma D pour,4 9 9

12 4 Part ) Étudos ls varatos d la focto u : (sas ls lmts) u st dérvabl sur (règl sur ls foctos dérvabls) u' SGN d SGN d + SGN d u' + ) Drssos l tablau d varatos d f avc ls lmts f ' f ' u Il y a tros «valurs» sur la prmèr lg + Varatos d u SGN d u + + SGN d + + ) Dédusos- qu u st moré par Or doc SGN d f ' Varato d f + + Part B f : ) Détrmos l smbl d défto d f f st s t sulmt s D * s t sulmt s s t sulmt s lm doc par lmt d u quott lm f lm lm doc par lmt d u quott lm f lm lm lm doc par lmt d u quott lm f

13 f + SGN d + + lm ( utlsat lm qu st u lmt d référc) doc par lmt d u lm quott lm f ) O ot la courb rpréstatv d f das l pla mu d u rpèr orthoormé O,, j a) Démotrr qu admt u asymptot horzotal + lm f doc admt la drot pour asymptot horzotal + SGN d SGN d + SGN + + ; ; f doc st strctmt au-dssus ' sur ; ; ; f doc st strctmt au-dssus ' sur ; b) Démotros qu admt la drot ' d équato y pour asymptot oblqu t ' sot sécats au pot d abscss D f f D f f lm lm doc par lmt d u quott lm f f 5,7 4,56,48,565,64,4696,96,9,47 Tracr, t ' O prdra u ctmètr ou u «gros carrau» pour uté graphqu O dédut qu admt la drot ' d équato y pour asymptot oblqu Étudos la posto rlatv d t ' f

14 O dédut qu l tragl OB st rctagl O ) alculos l aff du mlu I d [B] z z z B I 4 ) D : mag du pot O par la rotato r d ctr I t d agl alculos l aff du pot D O D O z z z z 5 z zb z ) Far u fgur O prdra u ctmètr ou u «gros» carrau pour uté graphqu O complètra ctt fgur au fur t à msur zb ) Doos l écrtur potll du ombr compl ; dédusos- la atur du tragl OB z z z B ++ 5 ) Détrmos la atur du quadrlatèr OBD z t z DB O O costat qu zo zdb Par sut, O DB O dédut qu ODB st u parallélogramm 6 f : applcato qu à tout pot M d aff z assoc l pot M ' d aff ) Détrmos ls atécédts du pot O par f z ' déf par Ls affs ds atécédts du pot O par f sot solutos d l équato z () z ' z zb zo Par coséqut, arg z z O () () z z ou z Ls atécédts d O par f sot ls pots d affs t

15 ) Détrmos s l st ds pots varats par f t précsos lurs affs rspctvs M st varat par f M f M M ' M z z' (du pots sot cofodus s t sulmt s lurs affs sot égals) z z z osdéros l polyôm z z z So dscrmat st égal à O a doc l polyôm admt racs compls dstcts cojugués : z t z f admt du pots varats : M d aff z t M d aff z ) Démotros qu du pots symétrqus par rapport à O ot la mêm mag Sot M t M du pots symétrqus par rapport à O d affs rspctvs z t z O a z z D u part, z z ' D autr part, z z ' z z z O a doc : z ' z ' Par sut, M' t M' sot cofodus Démotros qu ls mags d du pots symétrqus par rapport à l a ds abscsss sot symétrqus par rapport à l a ds abscsss Sot M t M du pots symétrqus par rapport à l a ds abscsss d affs rspctvs z t z O a z z D u part, z z ' D autr part, z z ' z z z O a doc : z ' z ' Par sut, M' t M' sot symétrqus par rapport à l a ds abscsss 4 ) z Détrmos l aff d ' f z z ' ( ) 4 Démotros qu ls pots O, t ' sot algés O a : z O ( ) z O' O costat qu zo zo' Doc O t O' sot coléars Par sut, ls pots O, t ' sot algés 5 ) N : pot d aff z

16 a) Démotros qu N appartt au crcl d ctr O t d rayo ON (c st u proprété du cours : Doc N appartt au crcl d ctr O t d rayo b) Démotros qu l o a : z ' = z ' O a : Doc z ' cos s ) 8 ) b) 9 ) 5 Soluto : P F 6 ) Far u arbr d probabltés avc ls évémts suvats c-dssous : N : «la prmèr cas gratté st or» ; N : «la duèm cas gratté st or» ; B : «la prmèr cas gratté st blach» ; B : «la duèm cas gratté st blach» Dédusos- qu, lorsqu var, l pot N ' rst sur u crcl O a : N' où st l pot d aff B 4 7 B Doc l pot N ' appartt au crcl d ctr d aff t d rayo c) Vérfos qu ON' cos ON N z ON z ON' z ' cos cos Doc o costat qu z cos z ON' Par sut, o a : ON' cos ON ON 8 N 5 7 B Dédusos- qu ls pots O, N t N ' sot algés 7 ON' cos ON N Doc ON t ON' sot coléars Par sut, ls pots O, N t N ' sot algés Eplquos la costructo du pot N ' ) a) U clt gratt au hasard u prmèr cas Qull st la probablté qu l découvr u cas blach? L clt gratt au hasard u cart ; o st doc stuato d équprobablté card N P N card 8 b) U clt a découvrt u cas blach grattat la prmèr cas Qull st la probablté qu l découvr u cas or grattat la scod cas?

17 card N PB N (calcul par rstrcto d l uvrs : 7 card ) Ls épruvs sot dépdats O fat u arbr d probabltés ) E : «l clt a gagé u bo d achat d» F : «l clt a gagé u bo d achat d» alculos la probablté d E t d F B B N P E P N N P N P N N B N F N B B N P N P B P B P N P P P 9 N B ) Trag avc rms P G P B B P B P B 4 9 B N a) N : «la prmèr boul tré st or» ; N : «la duèm boul tré st or» ; B : «la prmèr boul tré st blach» ; B : «la duèm boul tré st blach» G : ga algébrqu Détrmos la lo d probablté d G Ls valurs possbls du ga G sot : g s l jouur tr du bouls ors ; g 5 s l jouur tr du bouls d coulurs dfférts ; g s l jouur tr du bouls blachs G 5 B N N B P B P N P N P B P P P P B N 4 9 G P N N P N P N 9 N

18 La lo d probablté d G st doc : 4 P G ; G P 9 P ; G 7 B g 5 Total P G g B 4 N b) alculos l spérac d G 4 4 E G L spérac d G st ull : l ju st équtabl E fft, l spérac d G st l ga moy s o jou u très grad ombr d parts N 8 B ) Trag sas rms N B 7 4 B N B P B P(G ) P B B P 7 4 B N 8 B B N N B P(G 5) P B N P N B P P P P B N N N P N P(G ) P N N P N 7 4 P B B P B PB B

19 g 5 Total Part P G g 6 4 E G 5 O dédut qu l ju st équtabl 6 4 t t t t t t t après u tégrato par parts t t f F d t g t t G ( ) d d t lm F t lm G t t t ) vc rms : V G t G Sas rms : V G t vc rms : G 9, F t st l ar du doma sous la courb lmté par l'a ds ordoés t la drot d équato t t Ft tlm D mêm, st l'ar du doma "llmté" stué sous la courb lm G t t st l ar sous la courb ' 4 4 G G V g P G g E V G V G G Sas rms : Part B ) f t g sot ds dstés d probabltés car : - f t g sot ds foctos cotus sur + - f t g sot postvs sur + t lm f d t t - ls ars sous lurs courbs sot égals à ( La dsté d la scod lo état d la form f t lm g( ) d ) t avc, o rcoaît la lo d u duré d v sas vllssmt (lo potll) qu modéls par mpl la déstégrato ds oyau d'u substac radoactv 4 6 G G V g P G g E 5 G V G L écart-typ d G st plus fabl lorsqu l y a rms qu lorsqu l y a pas rms

20 ) Probablté qu'u dossr sot traté mos d'u hur plus d h au mos u dm-jouré à la MIF P( X<) = P ([ ; [) = P([ ; ]) = F() = sot vro,6 P X P X = P([ ; ]) = F() = sot vro,4 P X,5 P X,5 = P([ ;,5]) = F(,5) = 5 sot vro, hurs P X h à 5m près O put alors dr, par mpl, P( 7 X 9 ) = P([7 ; 9 ]) = F( 9 ) F(7 ) = sot vro,4 7 9 à la FMG P( Y<) = P([ ; [) = P([ ; ]) = G() = = sot vro,6 P(Y>) = P(Y ) = P([ ; ]) = G() P = sot vro 4 Y,5 P Y,5 = P([ ;,5]) = G(,5) = 45 5 sot vro,4 P Y P( 7 9 Y ) = P([7 ; 9 ]) = G( 9 ) G(7 ) sot vro,6 = qu u dossr st traté mos d'u hur, das 6 % ds cas à la MIF t sulmt das 6 % ds cas à la FMG - qu l y a vro 4 fos plus d chacs qu'u dossr sot traté au mos u dm-jouré, à la FMG qu'à la MIF - qu ls chacs d vor u dossr traté à la MIF mos d u dm-jouré sot d vro 97 % ) a) P (X m P X m s t sulmt s Fm Fm sot F m sot m l ; sot vro,69 h c st-à-dr 4 m vro E fasat u aalog tr probablté t statstqu, m put êtr cosdéré comm la méda d la varabl aléator X (l y a autat d chacs qu l dossr sot traté par la MIF mos d 4 m qu plus d 4 m) Sot u tr aturl o ul O appll pos I f d ) vrsos au cho : À l ad d u tégrato par parts, calculr I O pourra utlsr l résultat suvat : pour tout [ ; ], Démotrr qu la focto h : f la focto déf sur [ ; + [ par f l l st u prmtv d f ; calculr I ) a) Démotrr qu pour tout tr aturl o ul, o a I l b) Étudr la mooto d la sut ( I ) c) E dédur qu la sut ( I ) st covrgt g l ) Sot g la focto déf sur [ ; + [ par t o a) Étudr l ss d varato d g sur [ ; + [ b) E dédur l sg d g sur [ ; + [ Démotrr alors qu pour tout tr aturl o ul, t pour tout l rél postf ou ul, o a c) E dédur la lmt d la sut I Soluto : f : focto déf sur [ ; + [ par f l I f ( ) d ) alculos I Méthod par tégrato par parts I f ( ) d l d l d

21 l u ' u v' v I l d l l d (o utls l égalté suvat : pour tout [ ; ], l d l l l l l l l l l ) O a succssvmt : l l l Doc [ ; ] l l Par «crossac d l tégral» (cosrvato d l ordr), o put écrr : d l d l d l d l l d l (car l tégral d u focto costat st égal à la costat qu Doc multpl la dfférc ds bors) Démotros qu la focto h : ( + ) l ( +) st u prmtv d f Pour cla, o dérv la focto h (c st la sul méthod possbl) ; [ ; + [ h' l( ) f O dédut qu h st u prmtv d f alculos I À far ) a) Démotros qu I l Nous allos commcr par cadrr la focto qu trvt das l tégral, c st-à-dr f Procédos par cadrmts succssfs O part d l d l Doc b) Étudos la mooto d la sut I Sot u rél tl qu O a doc : (mpl : O a succssvmt : l l [ ; ] f f Doc f d f d O a doc I I La sut ( I ) st doc décrossat,5, 5 t c) Dédusos- qu la sut I st covrgt,5,5 ) La sut ( I ) st décrossat t moré par

22 Ell st doc covrgt g l déf sur [ ; + [ ) a) Étudos l ss d varato d g sur [ ; + [ g st dérvabl sur [ ; + [ comm somm d du foctos dérvabls sur [ ; + [ [ ; + [ g' (formul : l u u ' ' ) u Doc par «crossac» d l tégral, Par sut, I Doc sot I I l d d O a lm t lm Doc d après l théorèm ds gdarms, lm I b) + SGN d SGN d + + SGN d Varatos d g Dédusos- l sg d g sur [ ; + [ l g l g g' Or g st décrossat sur [ ; + [ doc [ ; + [ g Démotros alors qu [ ; + [ g l l l Doc : [ ; + [ l c) Dédusos- la lmt d la sut ( I ) ( : tr aturl) O a démotré qu : [ ; + [ l ) B B B P P P P Or t B sot dépdats, o a : P B P P B D où P B P P B P P B,5,,5, ),6 O déft ls évémts : R : «l cahr a u rlur à sprals» G : «l cahr a ds grads carrau» P 5 PG 4 P R O a : R/G O a : P G/R P R P R G Or P R G P R/G P G Doc P G/R P R/G P G P R

23 Rmarqus : Il st pas possbl d far d arbr au départ O pourrat calculr d abord séparémt P R G (qu vaut,) avat d calculr G/R ) P L épruv qu cosst à chosr u stylo au hasard st u épruv d Broull qu codut - sot à u succès S : «l stylo st vrt» ( P S,5 ) - sot à u échc S : «l stylo st pas vrt» ( PS,75 ) O répèt ctt épruv tros fos das ds codtos dtqus dépdats Il s agt d u schéma d Broull O ot X la varabl aléator qu compt l ombr d succès à lssu ds tros prélèvmts X sut la lo bomal B( ;,5) P X P X,5,75 P X, 578 (valur arrod au mllèm) Soluto rapd : ) a) O a f doc ; D maèr évdt, H ; OH H L tragl OH st rctagl H doc OH ua 4 b) vc la calculatrc, o trouv f d,9946 O vérf qu l résultat obtu avc la calculatrc qu l résultat obtu st b cohért avc la morato du ) a) Soluto rédgé t détallé : ) a) Démotros qu f f d 4 st sur la courb ( ) doc H( ; ) ; Graphqumt par comparaso d ar, o a : O H Or OH 4 utr faço : f d OH 4 ) P X,5,75 (O) : y O sat qu I f P X,4 (valur arrod au mllèm) Doc par crossac d l tégral, o a : f d d Or : d 4 4

24 Doc o a : f d 4 b) Doos u valur approché d f d avc u calculatrc O put utlsr l moy suvat sur calculatrc TI : trac scod calc 7 lowr : uppr : ON f d,9 Doc par crossac d l tégral, Doc a a a f d sot a a O coclut : f d a a f d d f a d ) a) Démotros qu pour tout I, o a : f 4 O pos g f g I Doc I f g D où I f b) Dédusos- qu pour tout rél a postf ou ul, o a : f d O a : I f a a ) O prd u pèc au hasard, o la lac a) alculos la probablté d obtr pl E : «la pèc st équlbré» : «obtr pl» E E PE P E PE P E P P P =,5 b) alculos la probablté qu la pèc sot truqué sachat qu l o a obtu pl P E P E P 4 4 5

25 ) O prd u pèc truqué au hasard t o la lac 4 fos X : ombr d pls obtus à l ssu ds 4 lacrs X sut la lo bomal B (4 ;,75) Qull st la probablté d obtr 4 fos pl? Qull st la probablté d obtr au mos u fos pl? SGN d + SGN d + SGN d Varatos d f f ' + l f l P («obtr 4 fos pl») = P (X = 4) 4,75, 5 4 =, Part f : l déf sur 4 ) Résolvos das l équato f () () l ) l l l Étudos l ss d varato d la focto f sur l trvall [ ; ] f st dérvabl sur comm somm d du foctos dérvabls sur f Démotros qu s [ ; ], alors f () [ ; ] O a pas à l démotrr par l calcul O l démotr par l ss d varato f st crossat sur [ ; ] doc [ ; ] f () f () f () Or f () l l (car l =, ) Doc f O dédut qu [ ; ] f () Part B u u u u u l ) Démotros par récurrc qu, pour tout tr aturl, u [ ; ] Pour, o déft la phras P : «u [ ; ]» f ' (formul : l u u ' ' ) u Italsato : Vérfos qu P() st vra Par hypothès, u (défto d la sut) doc u D où P() st vra

26 Hérédté : osdéros u tr aturl tl qu la phras P() sot vra c st-à-dr u Démotros qu alors la phras P( + ) st vra c st-à-dr u O a : u D après la part, f u D où u (car u u l u Doc P( + ) st vra ocluso : d où u f u ) O a démotré qu P() st vra t qu s P() st vra pour u tr aturl, alors P( + ) st vra Doc, d après l théorèm d récurrc, la phras P() st vra pour tout tr aturl ) Étudos l ss d varato d la sut ( u ) 7 Nombrs compls t géométr z zb z O put far u graphqu pour s adr ) a) Écrvos z, z B t z sous form potll zb z zb 5 5 zb cos s 6 6 B 5 6 z z z z cos s z u u u lu u l u Or u doc u d où l u doc lu Détal d la démarch : z zb z O dédut qu u u Notos u argumt d z Notos u argumt d z O dédut qu la sut ( u ) st décrossat à partr d l dc ) Démotros qu la sut u st covrgt t détrmos sa lmt La sut ( u ) st décrossat t moré Par coséqut, ll covrg Sot l sa lmt u f u f st cotu sur Doc l vérf f l l D après la part, o put dr qu l Doc o dédut qu la sut ( u ) covrg vrs z (calcul maladrot ; o dot êtr capabl d écrr tout d sut z ) cos s cos s D où z z B cos s cos s 5 D où 6 z B 5 6

27 b) Dédusos- l ctr t l rayo du crcl Γ passat par ls pots, B t D après ls forms potlls détrmés à la qusto précédt, O OB O Doc ls pots, B t appartt au crcl G d ctr O t d rayo c) Far u fgur t placr l pot, tracr l crcl Γ pus placr ls pots B t b) Démotros qu ls pots t O' sot damétralmt opposés sur l crcl Γ z zo' O a : zo O dédut qu O st l mlu du sgmt O ' t o put doc affrmr qu ls pots t O ' sot damétralmt opposés sur l crcl Γ zb z ) a) Écrvos l quott z zb z z z 6 6 z sous form algébrqu pus sous form potll c) Traços l mag Γ du crcl Γ par la rotato r ' st l crcl d ctr O ' t d rayo d) Justfos qu ls crcls Γ t Γ s coupt t B O' z z Doc ' O' D plus, O dédut qu Γ t Γ s coupt O 'B z z B O' Doc B t B ' O dédut qu Γ t Γ s coupt t B B z z cos s z z 4 ) b) Dédusos- la atur du tragl B zb z D après la qusto précédt, z z Par sut, B t, B () O dédut qu l tragl B st équlatéral ) r R, a) alculos l aff d O' r O O ' O z z z z z z arg z z t B () a) Détrmos l smbl E ds pots M d aff z tls qu z z O dot trprétr d maèr géoémtrqu ls moduls Pour cla, o utls ls pots troduts précédmmt das l éocé O évt à tout pr d rpassr à la form algébrqu d l aff (c st-à-dr qu l o pos pas z y ) S o l fasat, cla codut à baucoup d calculs Sot M u pot qulcoqu du pla compl d aff z M E z z M E z z M E z zo z zo ' M E OM O 'M E st doc la médatrc du sgmt OO '

28 b) Démotros qu ls pots t B appartt à E D après la qusto ) c), o sat qu O OB D après la qusto ) d), o sat qu t B appartt à ' doc O' O'B O a doc : O O' t OB O'B doc t B sot équdstats d O t O' Or s pot st équdsat d du pots dstcts, alors l st stué sur la médatrc du sgmt jogat cs du pots Par coséqut, ls pots t B appartt à la médatrc d OO ' c st-à-dr à E O utls ls qustos précédts d maèr à répodr das ffctur d ouvau calcul 8 Probabltés codtolls P E P R/E 5 P R/F ) R E E R/E P P P ) 5 5 R E t F costtut u systèm complt d évémts doc d après la formul ds probabltés totals E F R R R R R E R F PE PR/E P F P R/F P P P ) P R F P F/ R P R 5 5 E : «Frédérc mprut l chm» F : «Frédérc mprut l chm B» R : «Frédérc arrv rtard au lycé»

29 9 Étud d u sut récurrt d ordr ( u ) u u u u u Doc ) v Écrvos ls us dssous ds autrs ls égaltés v p up up pour p allat d à t détrmos l prsso d u focto d ) alculos ls cq prmrs trms d la sut u u u u u u u u 4 u4 u u u5 u u v u u v u u v u u v u u v v v v u u (addto mmbr à mmbr) ) v u u Démotros qu la sut v st u sut géométrqu v u u u u u u u u u u u u v O dédut qu la sut v st u sut géométrqu d raso Eprmos v focto d v v Or v u u La somm d gauch put s calculr grâc à la formul sommator d la somm ds trms cosécutfs d u sut géométrqu v u D où u 4 ) Détrmr la lmt d u O rprd l prsso d u détrmé à l prsso précédt lm car doc par lmt d u somm Par lmt d u produt, lm u lm

30 ) O suppos, tout d abord, qu mél rcotr qu du fu E P a) Détrmr P t E E E b) ostrur u arbr podéré pour décrr ctt pérc aléator t calculr P E ) O s plac matat das l cas gééral a) Doos ls probabltés codtolls P E t E PE E 9 P E E E * 9 b) Démotros qu p p q p P E P E E P E E E E E E E P P P P E 9 p q c) Dédusos- l prsso d p focto d p O a : q p Doc 9 p p p 9 p p 8 9 p 9 p 5 P E * ) u 8p 9 a) Démotros qu u st u sut géométrqu t détrmr sa raso u 8 p p p p p 9 5 u 5 Doc u st u sut géométrqu d raso b) Eprmos u, pus u focto d : u u 5 u 8p p focto d : 8p u 9 u 9 p p focto d q

31 c) Détrmos la lmt, s ll st, d p quad td vrs + Étud d u famll d foctos dépdat d u paramètr lm car 5 5 Doc lm 9 p 8 Itrprétato d c résultat : 4 ) O suppos qu ls fu s allumt dépdammt ls us ds autrs avc u probablté d êtr roug ou orag égal à 8 mél rcotr 5 fu, qull st la probablté qu ll rcotr au mos u fu vrt? O ot X l ombr d fu vrts rcotrés X sut la lo bomal B (5 ; 7 8 ) f : Part l déf sur ] ; + [ ) Détrmr la lmt d la focto f lm l doc par lmt d u somm lm f lm ) Détrmos la lmt d la focto f + O st présc d u form détrmé ; o ffctu doc u réécrtur * l f O sat qu l lm (lmt d référc) P (X ) = P (X = ) P (X ),99 l lm doc par lmt d u produt lm Par sut, lm f ) alculos f ' ; f ' l lm

32 4 ) Drssos l tablau d varatos d la focto f Part B ) Détrmos la valur du ombr rél corrspodat à la courb tracé sur l graphqu + èr méthod : SGN d + SGN d + + SGN d + + SGN d ' Varatos d f alculos la valur du mamum d f + l f f l méthod : mos bo, car r ous prmt d affrmr avc acttud c qu va suvr D après la courb doé, la focto f admt u mamum global pour D après la part, o a doc d où sot ) l l d O utls u tégrato par parts ou u prmtv d la focto l s o coaît u l ) alculos, uté d ar, l ar du doma délmté par la courb, l a ds abscsss t ls drots d équato t = Qusto supplémtar possbl : Démotrr qu pour tout rél, la courb admt u brach parabolqu d drcto (Oy) f l l l l l

33 v' t v t (E) ) Eprmos v(t) focto d t (E) v' t v t v t v' t O rcoaît u équato dffértll d la form O dédut qu vt t ( ) Or v d après l éocé doc y ' ay b avc a t b = sot d où = La plus ptt valur d t à la scod près à partr d laqull la vtss du cyclst st stablsé st 5 4 ) alculos la dstac parcouru par c cyclst pdat ls 5 prmèrs scods 5 5 t t d v t dt dt t 4,,, X, d P ) P(X 5) =,5,5 vc la calculatrc, o trouv P(X 5),9 5 O dédut qu vt t ) a) Détrmos l ss d varato d la focto v sur l trvall [ ; + [ ) P(X 6 / X > 5) = P 5 X 6 P X 5 t [ ; + [ t [ ; + [ v' t v' t t Doc la focto v st strctmt crossat sur l trvall [ ; + [ b) Détrmos la lmt d la focto v + t lm t doc vt lm t ) O cosdèr, das ctt stuato, qu la vtss du cyclst st stablsé lorsqu so accélérato v ' férur à, ms t st v' t, t, t, t t l l t l l t t l