Sur la détermination des sorties plates par calcul formel

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1 Sur la étermnaton es sortes plates par calcul formel Felx Antrtter, Jean Lévne 2 Automatserungs- un Regelungstechnk, Unverstät er Buneswehr München Werner-Hesenberg-Weg 37, D Neubberg, Germany 2 Centre Automatque et Systèmes, École es Mnes e Pars, ParsTech 35, rue Sant-Honoré, Fontanebleau Ceex, France felxantrtter@unbwe, jeanlevne@ensmpfr Résumé Dans ce paper, nous étuons la possblté e étermner les sortes plates un système non lnéare par calcul formel Rappelons qu une sorte plate est une sorte généralsée partculère telle que toutes les courbes ntégrales u système peuvent s exprmer comme les mages, par une applcaton nfnment érvable, es composantes e cette sorte plate et un nombre fn e ses érvées successves par rapport au temps Nous utlsons c les caractérsatons récentes e [], [2] ans le care es varétés e jets orre nfn vor par ex [3], [4] Les étapes successves e l algorthme formel sont scutées sur l exemple classque u véhcule non holonome Mots-clés Systèmes non lnéares, plattue fférentelle, sorte plate, calcul formel I Introucton Consérons le système non lnéare ẋ = fx, u où x = x,, x n est le vecteur état, u = u,, u m le vecteur es entrées, m n, et f une foncton méromorphe en tous ses arguments On t que ce système est fférentellement plat, ou, plus brèvement, plat [5], [6], s et seulement s l exste un vecteur y = y,, y m vérfant : y et ses érvées successves par rapport au temps ẏ, ÿ, sont fonctonnellement népenents, y est une foncton e x, u et un nombre fn e érvées successves es composantes e u, x et u peuvent s exprmer en foncton es composantes e y et un nombre fn e ses érvées successves : x = ϕy, ẏ,, y α, u = ψy, ẏ,, y α+ pour un mult-enter α = α,, α m ben chos, et avec la notaton y α = α y t α,, αm y m t αm Un vecteur y joussant e ces proprétés est appelé sorte plate Ce concept a nspré une lttérature mportante et un gran nombre applcatons pratques et nustrelles vor par ex [3] pour un survey Son prncpal avantage rése ans la smplcté e la soluton es problèmes e planfcaton e trajectore et e poursute e trajectore avec stablté Pluseurs formalsmes ont été ntrouts pour l étue e cette classe remarquable e systèmes : es approches e géométre fférentelle e menson fne [7], [8], [9], [0], algèbre fférentelle [], [2], [3], e géométre fférentelle es jets et proongatons nfnes [4], [4], [5], [6], [7] Parm ces contrbutons, la caractérsaton e la plattue fférentelle pren une large part [2], [7], [8], [8], [3], [9], [20], [2], [7], [22], [9], [0], [], [2] Nous reprenons c les résultats e [], [2] ans le formalsme es varétés e jets orre nfn [4], [23], [5], [24], les systèmes étant représentés sous forme mplcte, obtenus à partr e en élmnant le vecteur entrées u On rappelle les notons équvalence e Le-Bäcklun et somorphsme e Le-Bäcklun ans ce contexte, ans que les contons nécessares et suffsantes e plattue en termes e matrces polynômales et e formes fférentelles Cette approche peut être vue comme une généralsaton aux systèmes non lnéares e [25] et permet obtenr es contons qu sont nvarantes par extenson ynamque enogène Les contons obtenues font appel à es opérateurs fférentels qu combnent es aspects géométrques comme la érvaton extéreure et le prout extéreur es formes fférentelles, à es aspects algèbre non commutatve sur les polynômes e t à coeffcents méromorphes Les applcatons récentes e calcul formel, comme Maple ou Mathematca, proposent e nombreuses fonctonnaltés ans le care e chacun e ces omanes séparément, mas un envronnement commun reste à construre Dans ce paper, nous étallons la constructon es opérateurs consérés et montrons comment ls peuvent être programmés ans un langage formel stanar comme Maple Ce paper est organsé comme sut : la secton II est consacrée à la escrpton es systèmes mplctes sur les varétés e jets orre nfn Les notons équvalence e Le-Bäcklun et somorphsme e Le-Bäcklun sont rappelés ans ce contexte, afn ntroure la plattue fférentelle Dans la secton III, nous rappelons les contons nécessares et suffsantes e [], [2] et la secton IV étue en étal les opérateurs et contons ntroutes, conusant à l algorthme éveloppé ans la secton III nfn, ans la secton V, nous montrons comment fonc-

2 tonne l algorthme sur l exemple ben connu u véhcule non holonome II Systèmes mplctes commanés sur les varétés e jets orre nfn Étant onnée une varété fférentelle analytque X e menson n, on note son espace tangent au pont x X par T x X, et son fbré tangent par TX Sot F une foncton méromorphe e TX ans R n m On consère le système mplcte sous-étermné réguler au sens où rg F ẋ convenable e TX F x, ẋ = 0 2 = n m ans un ouvert ense D après le théorème es fonctons mplctes, tout système explcte avec x X, x, fx, u T x X pour tout u ans un ouvert U e R m, vérfant rg f u = m ans un ouvert convenable e X U, peut être localement transformé en 2, et nversement Un champ e vecteurs f qu épen, pour tout x X, e m varables népenentes u R m e façon méromorphe avec rg f u = m ans un ouvert e X Rm, et vérfant F x, fx, u = 0 pour tout u U, est t compatble avec 2 Notons cepenant que la représentaton mplcte 2, contrarement à, a l avantage évent être nvarante par extenson ynamque enogène vor [4] pour une éfnton précse Dans [4] vor auss [5] où une approche smlare a été éveloppée népenamment, le système nfn e cooronnées x, u = x, u, u, a été ntrout, permettant e prolonger le champ e vecteurs f sous la forme fx, u = n = f x, u x + m pour le système sous forme explcte u k+ j u k j D après [], [2], nous aoptons la escrpton externe e la varété prolongée contenant les solutons e 2 : sot la varété e menson nfne X éfne par X ef = X R n ef = X R n R n, consttuée une nfnté énombrable e copes e R n, mune e la topologe prout, et on suppose onnée la sute nfne e cooronnées globales e X : x = x,, x n, ẋ,, ẋ n, ẍ,, ẍ n,,, x k,, xk n, Rappelons que, pour cette topologe, une foncton ϕ e X ans R est contnue resp fférentable s ϕ ne épen que un nombre fn mas arbtrare e varables et est contnue resp fférentable par rapport à ces varables Les fonctons C ou analytques ou encore méromorphes e X ans R sont éfnes comme en menson fne, sachant qu elles ne épenent que un nombre fn e varables On munt X u champ e Cartan trval [23], [24] = n = j 0 x j+ x j 3 4 On note auss L τx ϕ = n = j 0 xj+ ϕ = ϕ x j t la érvée e Le e la foncton fférentable ϕ le long e et L k ϕ son térée orre k On a alors x k = k x t k = L k x pour tout =,, n et k, avec la conventon x 0 = x Comme t xj ef = ẋ j = x j+, le champ e Cartan agt sur les cooronnées comme un écalage à rote X est onc appelée varété e jets orre nfn Dorénavant, x y, représentent es sutes e jets orre nfn e x, y, Un système mplcte commané réguler est éfn par le trplet X,, F avec X = X R n, le champ e Cartan trval assocé, et F méromorphe e TX ans R n m vérfant rg F ẋ = n m ans un ouvert convenable e TX A Équvalence e Le-Bäcklun pour les systèmes mplctes commanés Rappelons e [], [2] les éfntons suvantes : Soent eux systèmes mplctes commanés regulers X,, F, avec X = X R n, m X = n et rg F ẋ = n m, et Y, τ Y, G, avec Y = Y R p, m Y = p, τ Y son champ e Cartan trval, et rg G ẏ = p q Posons X 0 = {x X L k F x = 0, k 0} et Y 0 = {y Y L k τ Y Gy = 0, k 0} Ils sont muns es topologes et structures fférentables nutes par celles e X et Y respectvement Défnton : On t que les systèmes mplctes commanés régulers X,, F et Y, τ Y, G sont Le-Bäcklun équvalents ou, e façon abrégée, L-B équvalents en le couple e ponts x 0, y 0 X 0 Y 0 s et seulement s l exste es vosnages X 0 et Y 0 e x 0 ans X 0 et e y 0 ans Y 0 respectvement et une applcaton bjectve méromorphe Φ = ϕ 0, ϕ, e Y 0 ans X 0 vérfant Φy 0 = x 0 et telle que les champs e Cartan trvaux soent Φ-relés, e Φ τ Y = ; l exste Ψ bjectve et méromorphe e X 0 ans Y 0, avec Ψ = ψ 0, ψ,, telle que Ψx 0 = y 0 et Ψ = τ Y Les applcatons Φ et Ψ sont tes somorphsmes e Le- Bäcklun nverses l un e l autre en x 0, y 0 Les eux systèmes X,, F et Y, τ Y, G sont ts localement L-B équvalents s ls sont L-B équvalents en toute pare e ponts x, Ψx = Φy, y un ouvert ense Z e X 0 Y 0, avec Φ et Ψ somorphsmes e Le-Bäcklun nverses l un e l autre sur Z On peut montrer que l équvalence L-B locale préserve les ponts équlbre, e les ponts ỹ resp x tels que Gỹ, 0 = 0 resp F x, 0 = 0, ans que les corangs m = q B Formes fférentelles Introusons une base e l espace tangent T x X e X au pont x X, consttuée e l ensemble es vecteurs { x j =,, n, j 0} Une base e l espace cotangent T xx en x est onc onnée par {x j =,, n, j 0} avec < x j, >= δ x l,k δ j,l, où δ,k est le symbole e Kronecker k La fférentelle e F est alors onnée, en notaton matr-

3 celle, par F = F F x + ẋ 5 x ẋ Notons que la proprété e écalage e t sur les cooronnées s éten aux fférentelles : t x = ẋ = tx, e commute avec t Pusqu une foncton lsse ne épen que un nombre fn e varables, sa fférentelle ne comporte qu un nombre fn e termes non nuls De même, on éfnt une -forme sur X comme une combnason lnéare fne es x j, à coeffcents méromorphes e X ans R ou, e façon équvalente, comme une secton localement méromorphe e T X L ensemble es -formes est noté Λ X On note auss Λ p X le moule e toutes les p-formes sur X, Λ p X m l espace e toutes les p-formes vectorelles e menson m sur X, ΛX m l espace e toutes les formes vectorelles e menson m e egré arbtrare sur X, et L q ΛX m = L Λ p X m, Λ p+q X m, p, l espace e tous les opérateurs lnéares e Λ p X m ans Λ p+q X m pour tout p, où L P, Q est l ensemble es applcatons lnéares un espace onné P ans un autre espace onné Q Remarquons que s Φ est une applcaton méromorphe e Y ans X, la éfnton e l mage récproque par Φ une -forme est la même qu en menson fne C Plattue fférentelle Rappelons [4] qu un système sous forme explcte est plat s et seulement s l est L-B équvalent à un système trval Le lecteur peut asément vérfer que cette éfnton reonne exactement celle présentée ans l ntroucton Pour les systèmes mplctes, elle event : Défnton 2: Le système mplcte X,, F est plat en x 0, y 0 X 0 R m s et seulement s l est L-B équvalent en x 0, y 0 au système mplcte trval R m, τ R m, 0 Dans ce cas, les somorphsmes e Le-Bäcklun nverses Φ et Ψ sont appelés trvalsatons nverses La preuve u résultat suvant se trouve ans [2] Théorème : Le système X,, F est plat en x 0, y 0 X 0 R m s et seulement s l exste une applcaton méromorphe localement nversble Φ e R m ans X 0, nverse localement méromorphe, vérfant Φy 0 = x 0, et telle que Φ F = 0 6 III Contons nécessares et suffsantes e plattue Analysons la conton 6 en étals : lle caractérse l applcaton lnéare tangente e Φ ont l mage est entèrement contenue ans le noyau e F L ensemble e telles applcatons peut être obtenu e façon systématque ans le formalsme es matrces polynômales par rapport à l opérateur fférentel t on utlse nfféremment t pour L τx ou L τr m, en l absence ambguïté : P F = F x + F ẋ t, P ϕ 0 = j 0 ϕ 0 j y j t j 7 avec P F resp P ϕ 0 e talle n m n resp n m Dans ce formalsme, 6 s écrt : Φ F = P F P ϕ 0 y = 0 8 Les éléments es matrces e 7 sont es polynômes e l opérateur fférentel t à coeffcents méromorphes e X ans R On note K le corps es fonctons méromorphes e X ans R et K[ t ] l anneau prncpal es polynômes e t à coeffcents ans K Notons que K[ t ] n est pas commutatf, même s n = : pour tout a K, a 0, on a t x x t a = ẋa + xȧ xȧ = ẋa 0, sot t x x t = ẋ Pour r, s N, notons M r,s [ t ] le moule es matrces e talle r s sur K[ t ] vor par ex [26] Rappelons que pour tout r N, l nverse une matrce nversble e M r,r [ t ] n est pas généralement ans M r,r [ t ] Les matrces ont l nverse appartent à M r,r [ t ] sont appelées les matrces unmoulares et leur ensemble est noté U r [ t ] Toute matrce ans M r,s [ t ] amet une écomposton e Smth ou réucton agonale Sans perte e généralté, nous en onnons la éfnton pour P F M n m,n [ t ] : V P F U =, 0 n m,m 9 avec 0 n m,m la matrce e talle n m m entèrement consttuée e zéros, V U n m [ t ], U U n[ t ] et M n m,n m [ t ] matrce agonale ont l élément agonal, vse j,j pour tout 0 j n m n outre, les egrés es, sont éfns e manère unque vor [26] Défnton 3: Une matrce M M r,s [ t ] est te hyperrégulère s et seulement s sa écomposton e Smth conut sot à I r, 0 r,s r s r < s, sot à I r s r = s, sot Is encore à s r > s 0 r s,s Une matrce carrée M M r,r [ t ] est hyper-régulère s et seulement s elle est unmoulare On peut montrer que s le système X,, F est commanable au er orre autour une courbe ntégrale arbtrare, alors P F est hyper-régulère vor [2] n outre, tout système plat est commanable au er orre vor [4] A Caractérsaton algébrque e la fférentelle une trvalsaton Dorénavant, nous supposons que P F est hyperrégulère ans un vosnage e x 0 Autrement t, l exste V et U tels que V P F U = I n m, 0 n m,m 0 Il n y a pas uncté e U et V vérfant 0 On t que U R Smth PF et V L Smth PF s elles sont telles que V P F U = I m, 0 De même, s M M n,m [ t ] est hyper-régulère avec m n, on t que V L Smth M et W R Smth M s V U n [ t ] et W U m[ t ] vérfent V MW = Im 0 À la place e 8, on commence par résoure l équaton matrcelle : P F Θ = 0 où la matrce Θ M n,m [ t ] n est pas nécessarement le graent une foncton vectorelle ϕ 0

4 Lemme : L ensemble es matrces hyper-régulères Θ M n,m [ t ] vérfant est non ve et onné par 0n m,m Θ = U W 2 I m avec U R Smth PF et W U m [ t ] arbtrare Lemme 2: Pour tout Q L Smth Û, avec Û onné par 0n m,m Û = U 3 I m l exste Z U m [ t ] tel que I QΘ = m Z 4 0 n m,m n outre, pour tout Q L Smth Û, la sous-matrce ˆQ = 0 n m,m, I n m Q est équvalente à P F L U n m [ t ] t q P F = L ˆQ B Intégrablté Notons Q,j = k 0 Qk,j k l élément, j e Q t k L Smth Û résultant u Lemme 2 On note auss ω la -forme vectorelle e menson m éfne par ωx = ω x = I m, 0 m,n m Qxx X0 = ω m x n j= k 0 Qk,j xxk j X0 n j= k 0 Qk m,j xxk j X0 5 la restrcton à X 0 voulant re que x X 0 vérfe L k F = 0 pour tout k et que les x k j sont tels que L k F = 0 ans X 0 pour tout k Pusque ˆQ est hyper-régulère, les -formes ω,, ω m sont népenentes par constructon Rappelons auss que, s τ,, τ m sont es -formes népenantes ans Λ X 0, le K[ t ]-éal T généré par τ,, τ m est l ensemble es combnasons lnéares à coeffcents ans K[ t ] es formes η τ avec η une forme quelconque e egré arbtrare sur X 0 et =,, m Défnton 4: On t que le K[ t ]-éal T généré par τ,, τ m est fortement fermé s et seulement s l exste une matrce M U m [ t ] telle que Mτ = 0 Cette éfnton est ben entenu népenente u chox es générateurs Théorème 2: Une conton nécessare et suffsante pour que le système 2 sot plat au pont x 0, y 0 est qu l exste U R Smth PF et Q L Smth Û, avec Û onné par 3, tels que le K[ t ]-éal Ω généré par les -formes ω,, ω m éfnes par 5 sot fortement fermé ans X 0 Afn e évelopper l expresson Mτ lorsque M est une matrce polynômale, on éfnt l opérateur par : H κ = Hκ Hκ 6 pour toute p-forme vectorelle κ e menson m ans Λ p X m et tout p Notons que 6 éfnt H e manère unque comme un élément e L ΛX m On peut prolonger pour tout µ L q ΛX m, pour tout κ Λ p X m et tout p par la formule : µ κ = µ κ q µ κ 7 Théorème 3: Le K[ t ]-éal Ω généré par les -formes ω,, ω m éfnes par 5 est fortement fermé ans X 0 ou, e façon équvalente, le système X,, F est plat s et seulement s l exste µ L ΛX m, et une matrce M U m [ t ] tels que ω = µ ω, µ = µ 2, M = Mµ 8 avec la notaton µ 2 = µµ De plus, s 8 a leu, une sorte plate y est obtenue par l ntégraton e y = Mω Notons que les contons 8 peuvent être vues comme une généralsaton es équatons e structure u repère moble e Cartan vor par ex [27] ans le contexte es varétés e jets orre nfn C Algorthme Les contons nécessares et suffsantes 8, nous permettent obtenr l algorthme suvant : On commence par calculer une écomposton e Smth e P F, pus Û conformément aux Lemmes et 2 S P F n est pas hyper-régulère, le système n est pas plat Dans le cas contrare, on calcule la -forme vectorelle ω éfne par 5 2 On calcule l opérateur µ tel que ω = µω par entfcaton composante par composante On peut faclement montrer qu un tel µ exste toujours 3 Parm les µ possbles, seuls ceux qu vérfent µ = µ 2 sont conservés S aucun µ ne vérfe cette relaton, le système n est pas plat 4 On calcule ensute M tel que M = Mµ, toujours par entfcaton composante par composante 5 nfn, seules les matrces M unmoulares sont conservées S aucune M unmoulare n exste, le système n est pas plat Dans le cas contrare, une sorte plate est obtenue par ntégraton e y = Mω, ce qu est possble pusque Mω = 0 IV Mse en œuvre par calcul formel Commençons par précser la nature es éléments avec lesquels nous travallons A La structure es éléments e M r,s [ t ] Les éléments une matrce A M r,s [ t ] sont e la forme [A] j = k 0 k a jk, =, 2, r; j =, 2,, s 9 tk où les a jk sont es fonctons méromorphes sur X Ans, pour ω Λ p X s, Aω Λ p X r est le vecteur ont la Par exemple, on vérfe faclement que ˆQ Û, avec ˆQ et Û onnés par 3, 4, est tel que ω = ˆQ Ûω Cepenant, ce chox n est pas nécessarement utle car l ne vérfe pas en général la conton e l étape suvante : ˆQ Û ˆQ Û ˆQ Û

5 ème composante est [Aω] = s a jk L k ω j, =, 2,, r 20 La multplcaton e eux matrces A M r,r 2 [ t ] et B M r2,r 3 [ t ] onnées par [A],j = k 0 a,j,k k, et [B] t k,j = k 0 b,j,k k, est t k r 2 k k2 [AB],j = = r 2 a,l,k t k l= k,k 2 0 k l= k,k 2 0 k 3=0 k3 k b l,j,k2 t k2 a,l,k L k k 3 k2+k3 b l,j,k2 t k2+k3 2 k3 k avec =! k k 3!k k 3! n nquant explctement la épenance es cooronnées en la varable népenante t, on peut utlser la commane mult avec le symbole DDt pour t e la lbrare DTools e Maple Ans, l algorthme e multplcaton en Maple pour eux matrces A M r,r 2 [ t ] et B M r2,r 3 [ t ] revent à for from to r o for j from to r3 o for k from to r2 o C[,j]:=C[,j]+DTools[mult]A[,k],B[k,j],[DDt,t]; en o; en o; en o; Cette approche a l avantage e ne pas avor beson une constructon explcte u champ e Cartan pour le calcul es érvées e Le vor la scusson en Secton IV-D B Décomposton e Smth es éléments e M r,s [ t ] Avec le prout matrcel e K[ t ], que nous venons e écrre, la écomposton e Smth une matrce A M r,s [ t ] est obtenue en aaptant à nôtre contexte noncommutatf, l algorthme proposé ans [28] par ex, pour les matrces polynômales à coeffcents constants, qu part e la constructon es matrces unmoulares élémentares assocées aux actons élémentares à rote et à gauche vor [26] pour plus e étals La lbrare DTools e Maple content éjà toutes les opératons nécessares C La structure es éléments e L q ΛX m L élément, j un opérateur µ L q ΛX m est e la forme [µ] j = k 0 µ jk k,, j =, 2,, m 22 tk où µ jk est une q-forme arbtrare, ou ce qu revent à re que pour tout ω Λ p X m, µω Λ p+q X m est onné par [µω] = m µ jk L k ω j, =, 2,, m 23 Pour coer les opérateurs µ L q ΛX m en Maple on éfnt l opérateur lu-même comme une matrce ont les éléments sont es polynômes e t symbolsé en Maple par DDt : [µ] j = k 0 k µ jk, =, 2, m; j =, 2,, m 24 tk et son évaluaton sur une p-forme ω, après 23, appelle à la fos et t Nous evons onc créer une nouvelle foncton, appelée Dtwege, ont l algorthme est, pour et j fxés : muw:= Tools:-DGmap,coeff,mu,DDt,0 &wege w; f egmut>0 then wk:=w; for k from to egmut o wk:=ledervatvecf,wk; muw:=muw &plus Tools:-DGmap,coeff,mu,DDt,k &wege wk; en o; en f; Remarquons que, ans ce contexte, la érvée e Le par rapport à un champ e Cartan CF ot être éfne, ans que l orre auquel les cooronnées ovent être prolongées On trouvera une scusson plus étallée sur l orre e troncature en Secton IV-D, egmut étant le egré e µ j par rapport à DDt e t Ben que l évaluaton e 23 fasse appel à une combnason stanar opératons, sa mse en œuvre en calcul formel usuel n est pas s smple Dans le contexte chos, la commane DGmap e la lbrare DfferentalGeometry e Maple peut être utlsée pour grauer les éléments e µ j par leur egré par rapport à t /DDt C Multplcaton e eux éléments µ L q ΛX m et κ L q2 ΛX m Consérons µ = k 0 µ k k où les µ t k k sont es matrces ont les éléments appartennent à Λ q X, et κ = k 0 κ k k où les κ t k k sont es matrces ont les éléments appartennent à Λ q2 X Le prout µκ est évalué en ntrousant le prout µκω pour tout ω ΛX m : µκω = µκω = k 0 µ k L k = k k,k 2 0 k 3=0 Par conséquent : µκ = k,k 2 0 k 3=0 k2 0 κ k2 L k2 ω k3 µ k k L k k3 κ k2 L k 2+k 3 ω k k3 k µ k k2+k3 Lτ k k3 X κ k2 t k2+k3 25 n partculer, posant µ = t, on éut mméatement : t κ = L τx κ k k t k + κ k k+ t k+ 26 k Il est onc clar que la multplcaton e eux tels opérateurs ne peut pas être réalsée par la foncton Dtwege éfne précéemment On la remplace par la foncton Dtwegeop, éfne par l algorthme toujours en Maple mukappa:= Tools:-DGmap,coeff,mu,DDt,0 &wege kappa; f egmut>0 then kappak:=kappa;

6 for from to egmut o kappak:=ledervatvecf,kappak &plus DDt &mult kappak; mukappa:=mukappa &plus Tools:-DGmap,coeff,mu,DDt, &wege kappak; en o; #for en f; Les premères opératons ans la boucle for nterne construt onc la règle e érvaton ntroute par 26 C2 L opérateur Nous aborons mantenant l mplémentaton e l opérateur : L q ΛX m L q+ ΛX m pour tout q 0, éfn par 7 n premer leu, remarquons que, pour m =, s µ est un polynôme e egré 0 en t, e µ = µ 0 avec µ 0 Λ q X, 7 n est autre que la règle usuelle ant-érvaton e la érvée extéreure : pour tout ω Λ p X on a µω = µ 0 ω + q µ } {{ } 0 ω 27 µ Revenons au cas général avec µ L q ΛX m et ω Λ p X m On a m [µω] = µ jk L k ω j, =,, m m = µ jk L k ω j + q m m = µ jk L k ω j + q m n combnant 7 et 28, l vent : µ jk L k ω j µ jk L k ω j 28 [ µ ω] = [µ ω q µ ω], =,, m m = µ jk L k ω 29 j Par conséquent, les éléments e µ sont onnés par [µ] j = k 0 µ jk k,, j =, 2,, m 30 tk Notons que l opérateur µ L q ΛX m est spécfé ans Maple comme un polynôme e DDt, ce erner opérateur étant conséré comme une constante pour la érvaton extéreure xterordervatve ans la varété e jets X e cooronnées x, ẋ, S ben que, ans notre mplémentaton en Maple, revent à applquer la commane xterordervatve à µ D Dscusson sur l orre et le egré e troncature L algorthme III-C comporte un gran nombre e egrés e lberté La écomposton e Smth peut se fare e fférentes manères, conusant à es -formes vectorelles ω fférentes, ben que n mporte quel chox e l éal Ω sot, au mons algébrquement, équvalent Cepenant, l ensemble es opérateurs µ tels que ω = µω, est non seulement toujours non ve, mas généralement content une nfnté éléments Une borne nféreure e son egré par rapport à t est facle à calculer, mas l n y a pas a pror e borne supéreure La seule restrcton est que l équaton µ = µ 2 at leu S l on note µ = k 0 µ k k, après t k 30 et 25, la matrce µ k ot être soluton une sute nfne équatons fférentelles : µ k = k k 2=0 k k k 2 k k2 k µ k L k+k2 k µ k2 3 pour tout k 0 Cepenant, comme le egré e µ par rapport à t est fn, une part, et comme le nombre e composantes es cooronnées e X apparassant ans µ est fn, autre part,, le nombre équatons népenantes non trvales e 3 est fn n outre, 3 établt un len entre le nombre e cooronnées actves, va l expresson e µ k, et le egré polynômal e µ Ans, pour un orre e troncature onné 2 et un egré onné, compatbles relatvement à 3, es solutons µ et M, s elles exstent, seront obtenues grâce à l algorthme précéent Snon, l orre e troncature et/ou le egré ovent être augmentés Malheureusement, l n y a pas e réponse clare à la queston ce processus fnt-l? Une fos µ étermné, suvant l étape[ 4, on ot étermner une matrce unmoulare M U p t] vérfant M = Mµ On peut toujours proposer e trouver M sous forme trangulare supéreure avec es sur la agonale, les éléments nor-est e M étant es polynômes en t e egré suffsant et ont les coeffcents épenent es cooronnées convenablement tronquées S le nombre e egrés e lberté e M est nsuffsant pour trouver une soluton, on peut être amenés à construre es matrces unmoulares plus complquées par multplcaton à gauche et à rote par es actons élémentares à rote et/ou à gauche vor par ex [26] S à l étape 4 aucune matrce M n est trouvée, l convent e revenr à l étape 3 et augmenter l orre e troncature et/ou le egré e µ pour ntroure es egrés e lberté supplémentares La constructon es opérateurs généraux µ et es matrces M pour es orres e troncature et es egrés onnés, avec la possblté térer sur l orre e troncature et le egré par rapport à t, est en cours e constructon en Maple V Véhcule non holonome Consérons le système e menson 3 ans le plan x y, moélsant la cnématque un véhcule e longueur l, ont l orentaton est écrte par l angle θ, les cooronnées x, y représentant la poston u mleu e l esseu arrère, 2 par troncature, on ésgne l élmnaton une nfnté e cooronnées ont µ ne épen pas

7 et contrôlé par le moule e la vtesse u et la poston angulare ϕ es roues avant ẋ = u cos θ ẏ = u sn θ θ = u l tan ϕ 32 Pusque n = 3 et m = 2, onc n m =, 32 est équvalent à l équaton mplcte scalare obtenue en élmnant les entrées u et ϕ : F x, y, θ, ẋ, ẏ, θ = ẋ sn θ ẏ cos θ = 0 33 On obtent mméatement : F P F = x + F ẋ t = sn θ cos θ t t Applquons l algorthme III-C F y + F ẏ t ẋ cos θ + ẏ sn θ F θ + F θ t 34 Étape : Posons = ẋ cos θ + ẏ sn θ, et applquons la écomposton e Smth avec la multplcaton matrcelle éfne à la secton IV-A On obtent U R Smth PF avec 0 0 U = 0 0 Donc Û = U 0,2 cos θ = I 2 t cos θ sn θ t 0 0 t sn θ où I 2 est la matrce entté e R 2 De même, le calcul e Q L Smth Û onne Q = sn θ t cos θ t Multplons Q par le vecteur x, y, θ T La ernère lgne est alors sn θẋ cos θẏ + ẋ cos θ + ẏ sn θθ = ẋ sn θ ẏ cos θ et, avec 33, est entquement nulle sur X 0 Le reste u système, e 0 0 x y 0 0 t = ω ω 2 θ est trvalement fortement fermé avec M = I 2, ce qu onne fnalement la sorte plate c notée y p pour évter la confuson avec la cooronnée y y p = y, x T On retrouve onc ans la sorte plate e [29], [30], à une permutaton près Étape b : D autres écompostons e P F, onné par 34, peuvent ben sûr être obtenues lles sont toutes équvalentes à une transformaton unmoulare près Cepenant, la -forme ω, contrarement à ce qu se passe à l étape précéente, peut ne pas être ntégrable On va montrer comment utlser les équatons e structure u repère moble généralsé 8 pour obtenr une matrce M telle que Mω sot ntégrable Il sufft pour cela e reprenre la écomposton e Smth e P F en multplant à rote par cos θ 0 0 sn θ 0 et en utlsant la formule 0 0 sn θ t cos θ cos θ t sn θ = θ La écomposton e Smth à rote onne alors cos θ θ cos 2 θ t θ cos θ U = sn θ θ sn θ cos θ t θ sn θ, 0 0 e θ cos 2 θ t θ cos θ Û = θ sn θ cos θ t θ sn θ 0 La écomposton e Smth à gauche e Û conut alors à Q L Smth Û avec tan θ 0 Q = 0 0 θ sn θ cos θ t θ cos2 θ t θ cos θ Étape 2 : La -forme ω est alors ω = ω, ω 2 T = ˆQ x, y, θ T = tan θx + y, θ T Sa érvée extéreure n est pas nulle : ω = ω, ω 2 T = cos 2 θ x, 0T θ ce qu montre que ω n est pas fermée Étape 3 : On ntrout la matrce µ la plus smple telle que ω = µω : 0 µ20 µ = 0 0 Par un calcul rect utlsant Dtwegeop : µ 2 0 µ20 0 µ20 = = D autre part, on a 0 µ = cos 2 θ x + µ 230x, y, θθ 0 0 L équaton µ 2 = µ se traut alors par le système DP : x µ 230x, y, θ = 2 snθ cos 3 θ y µ 230x, y, θ = 0 qu a pour soluton Donc µ = µ 230 x, y, θ = 2 snθx cos 3 θ + C θ 35 0 cos 2 θ x + 2 snθx cos 3 θ + C θ θ 0 0

8 Étapes 4/5 : La matrce unmoulare la plus smple est orre 0 et e egré 0 : m20 x, y, θ M = 0 Calculons M = M µ On obtent µ, e x m 20x, y, θ = cos 2 θ y m 20x, y, θ = 0 θ m 20x, y, θ ont la soluton est = 2 snθx cos 3 θ 0 m C θ m 20 = x cos 2 θ + C 2θ 36 avec C θ ans 35 onné par C θ = θ C 2θ Il en résulte que M = x cos 2 θ + C 2θ 0 On en éut alors que la sorte plate, notée comme précéemment y p, ot vérfer : y p = Mω = tanθx + y + x cos 2 θ + C 2θθ θ Cette -forme est ben fermée et l vent y p = y x tanθ + C 3 θ, θ T VI Conclusons Dans ce paper, nous scutons la mse en œuvre par calcul formel es contons nécessares et suffsantes e plattue fférentelle Cette mse en œuvre nécesste la réalsaton e pluseurs fonctons nterméares permettant le coage et le calcul opérateurs lnéares représentés par es matrces polynômales en t ont les coeffcents sont es formes fférentelles e egré quelconque à coeffcents ans le corps es fonctons méromorphes sur la varété e jets nfns ans laquelle nous travallons Toutes ces fonctons ont été construtes ans Maple Insstons sur le fat que comme leur constructon fat appel à la fos à es opératons e géométre fférentelle et algèbre, es fonctons nterméares spécfquement aaptées à ce cas ont û être créées Mentonnons auss que la strucure es solutons e la famlle équatons 3 sera étuée plus en étals ans un prochan traval Références [] J Lévne On flatness necessary an suffcent contons Proc of IFAC NOLCOS 2004 Conference, Stuttgart, 2004 [2] J Lévne On necessary an suffent contons for fferental flatness arxv :mathoc/ v2, pages 28, 2006 [3] Ph Martn, RM Murray, et P Rouchon Flat systems G Bastn et M Gevers, etors, Plenary Lectures an Mncourses, Proc CC 97, Brussels, pages 2 264, 997 [4] M Fless, J Lévne, Ph Martn, et P Rouchon A Le-Bäcklun approach to equvalence an flatness of nonlnear systems I Trans Automat Control, 445 : , 999 = [5] Ph Martn Contrbuton à l étue es systèmes ffèrentellement plats PhD thess, École es Mnes e Pars, 992 [6] M Fless, J Lévne, Ph Martn, et P 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