Détermination de la primitive d une fonction trigonométrique à l aide de la V200

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1 Déerminaion de la primiive d une foncion rigonomérique à l aide de la V00. Formules élémenaires Dans les formules suivanes, u u ( ) es une foncion de. sin cos k u'sinu cosu cos sin k u'cosu sinu k k sin an ln cos k, sur un inervalle ne conenan cos aucune racine de cos, c.-à-d. aucun réel de la forme k, k Z. u' anu ln cosu racine de cos u. k, sur un inervalle ne conenan aucune cos co ln sin k, sur un inervalle ne conenan sin aucune racine de sin, c.-à-d. aucun réel de la forme k, k Z. u'cou ln sinu de sin u. k, sur un inervalle ne conenan aucune racine. Formules de linéarisaion : primiives de polynômes rigonomériques Les formules de linéarisaion permeen de ransformer un produi de foncions rigonomériques (sin ou cos) en une somme de ermes simples. Elles son difficiles à mémoriser, mais peuven êre rerouvées à l aide de la V00 via la commande collec : Donc : sinasinb ( cos( a b) cos( a b) ) cosacosb ( cos( a b) cos( a b) ) sinacosb ( sin( a b) sin( a b) ) Le programme acuel prévoi que oue linéarisaion de foncions rigonomériques peu êre effecué à l aide de la V00!

2 Eemples : () sin cos 4 ( sin 7 sin ) d V 00 cos 7 cos k 4 V 00 ( ) ( 4) ( ( ) ( )) () cos cos 5 d 5 sin 6 sin 4 5 ( ) ( ) cos 6 cos 4 k 8 4 () cos ( cos 4 4 cos ) d V 00 8 sin 4 sin k 4 8 m n. Cas pariculier : sin cos, où mn, N Lorsque m e n son ous les pairs, on doi encore linéariser l epression à l aide de la commande collec (voir eemple ci-dessus : m 0, n 4 ). Lorsque l un au moins des deu eposans es impair, on peu aussi calculer la primiive par subsiuion. Plus précisémen : Si m es impair, on fai le changemen de variables : y cos. Si n es impair, on fai le changemen de variables : y sin. Eemples : () sin cos sin sin cos ( ) 4 sin cos cos y y dy y y dy 5 y y k 5 5 cos cos k 5 Bien sûr, on peu aussi linéariser d abord : sin cos ( sin 5 sin sin ) d V 00 6 cos 5 cos cos k Changemen de variables : y cos dy sin

3 Pour comparer les résulas obenus par les deu méhodes, on linéarise le premier avec la V00 : Remarque : Avec l inroducion de la V00, la méhode de subsiuion eposée ci-dessus perd en fai son inérê 5 4 () cos cos cos sin cos ( y ) dy 4 y y dy 5 y y y k 5 5 sin sin sin k 5 4. Primiives de fracions raionnelles en sin e co s Changemen de variables : y sin dy cos Soi R( sin, cos ) une fracion raionnelle en sin e co s. On obien une primiive de cee foncion via le changemen de variables : e les deu formules : En effe : cos an Arcan d sin an sin sin cos an cos cos cos Ainsi on se ramène au calcul d une primiive d une fracion raionnelle : R( sin, cos ) d R, d

4 sin Eemples : Soi f ( ). cos Le domaine de coninuié de f éan R \{ k / k R}, on peu rechercher une primiive de f sur ou inervalle de la forme ] k,( k ) [, k Z : F V 00 sin d cos d ( ) d d ln ln( ) k ln k co ln sin k Noons que la C.E. pour cee epression es sin 0 e donc que la primiive es bien définie sur un inervalle de la forme ] k,( k ) [, k Z. Il fau oujours comparer les domaines de l inégrand e de la primiive comme le monre l eemple suivan : Soi g( ) cos. Cee foncion éan coninue sur R, il eise une primiive G sur R. La subsiuion an donne : cos d d En choisissan k 0, on obien : G0 Arcan an d ( ) k ( ) Arcan Arcan an k 4

5 Or, cee foncion es seulemen définie e coninue sur R \{ n / n Z}. Ceci n es pas surprenan, éan donné que la subsiuion an n es coninue e sricemen monoone que si l on prend dans un inervalle de dépar de la forme I ] n, n [, n Z. Voici le graphe de G 0 : n G 0 présene des saus d ampliude en chaque réel de la forme n. En effe, elle es périodique de période e : lim 0 G e lim 0 G. Pour obenir une primiive de g, coninue e dérivable sur R, il fau : a) déerminer des consanes d inégraion qui diffèren d un inervalle à l aure e qui son elles que les différens morceau du graphe s enchaînen coninûmen: G ( ) n G kn sur I n. Le choi le plus naurel es bien sûr : n kn, n Z ; b) «recoller» les différens morceau : G G0 si ] 5, [ G G0 si ], [ G( ) G 0 si ], [ G G0 si ], [ 4 G G0 si ],5 [ c) prolonger G par coninuié en ou réel de la forme n. 0 I n 5

6 La V00 procède de cee façon lorsqu on lui demande de calculer une primiive de g. Elle donne le résula suivan : G mo Arcan an d Pour le comprendre, il fau commencer par éendre la division euclidienne à des dividendes e diviseurs réels : ( a R)( b R )(! q Z)(! r R) / a bq r e 0 r < b. En effe, il suffi de choisir q En( a b ) e r a bq. Dans cee division euclidienne, on noe encore r amodb. Donc : amodb a ben( a b ). La foncion mod es uilisée par la V00 pour eprimer la «consane d inégraion variable» : mod ( ) En ( ) En ( ) Il es mainenan facile de voir que la «consane d inégraion variable» choisie par la V00 diffère de la nôre de. En d aures ermes, si, I n alors : ( ) mod kn. Voici finalemen le graphe de G, obenue avec la V00 : 6

7 Lorsque R( u, v) R( u, v), c.-à-d. R es impaire en u, on peu aussi faire la subsiuion cos. De même, lorsque R( u, v) R( u, v), c.-à-d. R es impaire en v, on peu faire la subsiuion sin. Eemple : sin d cos ( cos ) ( ) 00 d V ln( ) ln k ln k cos ln k cos cos u R( u, v) ; v ( v) R( u, v) R( u, v) cos d sin Cee epression es valable sur un inervalle ne conenan aucune racine de cos, ni de c os (mêmes C.E. pour l inégrand e la primiive rouvée). Lorsque R( u, v) R( u, v), c.-à-d. R es paire en u e en v, on peu aussi uiliser la subsiuion : an Arcan d e les deu formules : ; sin cos. Eemple : Soi a e b deu réels > 0. a cos b sin d a / b / d a b b a d a b a b ( a ) b k a b ( ) Arcan ab Arcan an k ab a On renconre ici le même problème que pour la subsiuion an : l inégrand e la primiive on des domaines différens. Pour déerminer l epression d une primiive coninue sur R, il fau donc à nouveau choisir une consane d inégraion varian d un inervalle ] n, n[ à l aure. Les déails son laissés au leceur ou à la V00! 7

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