Chapitre I CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE DES FLUIDES

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1 Chaptre I CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE DES FLUIDES. Rappels Quel que sot le flue, compressble ou compressble, l est coséré comme u mleu cotu élmté par ue frotère (F) (Fg. I.), sot moble aec les partcules (pot e ue e Lagrage), sot fe (pot e ue 'Euler). Be qu'u flue réel sot squeu, o fat souet l'hypothèse u flue parfat, c'est-à-re à scosté églgeable... Cématque tesses e arables 'Euler Pour écrre les caractérstques cématques u mouemet 'u flue, o utlse e gééral les arables 'Euler. Das ce cocept, o e stgue pas ue partcule e flue Pa 'ue autre. O e s'téresse qu'à la stuato u flue e u pot oé M e l'espace, pus pour ue régo e cet espace élmtée par la frotère F. La tesse e la partcule épe alors es arables 'espace et u temps t, tes arables 'Euler : sot : 3 (,, 3, t) (,, 3, t) (,,, ) 3 3 t (,, 3, t) (, t) ou (, t) De même, pour tout ecteur quelcoque éf as l'espace u flue, o a : ou et, pour tout scalare : (I.3) 3 lges e courat (F) partcule (Pa) M C FIG. I. Elémet e flue as u omae à frotère fe et repérage 'ue partcule Pa aec so ecteur tesse à l'stat t (I.) (I.)

2 CHAPITRE I. CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE DES FLUIDES As, les arables 'Euler et les foctos qu s'y rattachet permettet 'étuer la tesse, la esté, la température, la presso, les cotrates, etc., 'u flue e écoulemet, e tout pot géométrque 'u espace fe, e focto u temps. Lge e courat et tube e courat A u stat t, l'esemble es ecteurs tesses costtue le champ es tesses. O appelle lge e courat ue courbe tagete, e chacu e ses pots, au ecteurs tesses (Fg. I.). Comme, pour u éplacemet fmet pett e M, o a : (I.4) Cette équato s écrt : (I.5) Toutes les lges e courat qu s'appuet sur u cotour fermé (C) quelcoque (Fg. I.) formet u tube e courat. La surface cotue stuée à l'téreur 'u tube e courat et perpeculare e tous ses pots au lges e courat coteues as le tube est ue secto rote. S le tube est e secto fmet pette, o a u flet e courat. La tesse est alors la même e tous les pots 'ue secto rote. Lorsque l'écoulemet est permaet (tous les paramètres sot épeats u temps), les lges e courat se cofoet aec les traectores es partcules. Dérée partculare Lorsqu'ue graeur est attachée à ue partcule, comme la tesse par eemple, l'opérato e érato as le temps ot correspore à ue érée totale par rapport au temps. As, l'accélérato u flue e u pot correspo à la érée partculare (attachée à la partcule) e la tesse : (I.6) t t t Das cette relato, les sot attachés à ue partcule. As, les quattés sot les cooroées u ecteur tesse e la partcule cosérée. O peut alors écrre : et (I.7) t t t t où est l'accélérato e la partcule et ses composates. Le résultat précéet peut être gééralsé à toutes les graeurs scalares G ou ectorelles attachées au partcules. Les érées par rapport au temps e ces graeurs serot respectemet : G G G G G G G G G ; et (I.8) t t t t t t Pour ue graeur scalare ou pour les composates 'ue graeur ectorelle, o peut ecore écrre : G G grag t t et G t G t gra G (I.9)

3 . RAPPELS 3 Régme permaet Das u écoulemet e régme permaet, s les caractérstques u flue sot gééralemet fféretes 'u pot à u autre, elles restet etques e tout pot au cours u temps. Pour toute graeur G ou G et pour toute epresso, cela se traut par : G G 0 ou 0 (I.0) t t Mouemet 'u élémet e olume e flue Sot à l'stat t u élémet e olume quelcoque etourat le pot M( ) et le pot M'(' ) os e M (Fg. I.). Das le cas 'u système éformable, la tesse e M' est oée e focto e la tesse e M et u ecteur rotato stataée, par la relato : Pour u élémet lque éformable, l coet 'aouter à cette relato, ue tesse e éformato. Par alleurs, e mécaque es flues, est remplacé par appelé tourbllo. Alors : (I.) S o ote par les composates u ecteur o peut égalemet écrre : ' l ou ' l t t (I.) Le éeloppemet e cette équato permet e trouer les epressos u ecteur tourbllo : T rot e t e et celle u ecteur tesse e éformato, ot les composates sot : t (I.3) l l l (I.4) Das ces équatos, est le ecteur utare e la recto, et : t rot FIG. I. Éoluto e la tesse etre eu pots 'u élémet e flue (I.5) (I.6) 3 M ' M'

4 4 CHAPITRE I. CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE DES FLUIDES Écoulemet rrotatoel Das u écoulemet rrotatoel, les partcules flues se éplacet e se éformat, mas sas rotato sur elles-mêmes. Le ecteur tourbllo ou le ecteur rotatoel sot uls : ou (I.7) Das ce cas, les composates u ecteur tesse éret 'ue focto e pots appelée potetel es tesses : ou (I.8) E effet, pour ue focto e pots, l'orre e érato e chage pas la aleur e la érée secoe, ce qu permet e érfer l'équato (I.7) : Surfaces équpotetelles et lges e courat Compte teu u le estat etre et la focto, la fféretelle e s'écrt : (I.9) M (I.0) S le éplacemet e M a leu sur ue surface équpotetelle,. La relato (I.0) motre que le ecteur est perpeculare à. Ce rasoemet pouat être fat pour tout pot e l'espace, o e coclut que toute lge e courat est e tout pot e l'espace perpeculare à la surface équpotetelle qu passe par ce pot. Focto e courat Sot ue focto e pots costate le log 'ue lge e courat. La fféretelle e cette focto, qu est ue fféretelle totale eacte, s'écrt : (I.) S est u élémet e la lge e courat, o peut écrre : M 0 (I.) S l'écoulemet est pla, les équatos précéetes eeet respectemet : 0 (I.3) 0 (I.4) Ue etfcato etre ces eu équatos mplque que : et (I.5)

5 . RAPPELS 5 E utlsat la proprété e la érato secoe es foctos e pots, o obtet : 0 (I.6) La focto est appelée focto e courat. Cette coto est respectée pour u flue compressble (Cf. Eq. (I.34)). De plus, s l'écoulemet est rrotatoel, o a : (I.7) Le laplace e état ul, la focto est ue focto harmoque. De même, e écrat que la focto potetelle respecte les cotos e Cauchy, l'équato (I.9), e teat compte e l équato (I.5), eet : sot 0 La focto est oc égalemet ue focto harmoque. Proprété e la focto e courat La fférece etre eu aleurs e la focto e courat représete le ébt olumque u flue etre ces eu lges e courat (Fg. I.3). Le ébt olumque s'écrt : l (I.9) Aec : l e e o a : sot : (I.30) (I.8) Coserato e la masse Pour u olume quelcoque e flue élmté par la frotère (F) e ormale etéreure, le prcpe e coserato e la masse s'écrt : t ou, e utlsat le théorème 'Ostrogras : F 0 FIG. I.3 Débt as u tube e courat (I.3) 0 (I.3) t Das ces epressos, est la masse olumque u flue et u élémet e surface e la frotère. Pour u écoulemet permaet ( ), o a : 0 (I.33) l lge e courat

6 6 CHAPITRE I. CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE DES FLUIDES et, pour u flue compressble : 0 Pour u tube e courat (Fg. I.4), l'équato (.3) eet : t Pour u écoulemet permaet ou u flue compressble, o a : 0 (I.34) (I.35) M (I.36) sot M où est le ébt massque as le tube e courat, les état les proectos es ecteurs tesses sur la ormale prse as le ses e l'écoulemet... Dyamque 3 Forces applquées au flue Deu types e forces sot applquées à u olume flue : a) es forces téreures. Ce sot les forces e cohéso moléculare, e scosté et e presso qu formet u torseur ul pusque localemet le prcpe e l'acto et e la réacto ot être respecté ; b) es forces etéreures qu sot elles-mêmes classées e eu types : - es actos à stace ou olumques : ce sot les forces e gratato, électromagétques, etc. Elles sot eercées par le mleu etéreur sur chacue es partcules. Elles formet u torseur o ul ot la résultate par uté e olume est otée ; - es actos e cotact ou surfacques : ce sot es forces qu trauset l'acto es partcules etéreures oses e la frotère (F) sur les partcules téreures apparteat à la surface (F). E u pot e la surface, où la ormale etéreure est, la force résultate par uté e surface (ou cotrate) e ce type e force est otée. Teseur es cotrates Pour u élémet e flue les cotrates surfacques (Fg. I.5) sot ues à la presso 'ue part, à la scosté 'autre part. La presso s'eerce touours perpecularemet à la lge e courat FIG. I.4 Écoulemet as u tube e courat T T 3 T 3 T 3 T 33 T 3 T T 3 T FIG. I.5 Cotrates s'eerçat sur les faces 'u élémet e olume flue

7 . RAPPELS 7 surface et e l'etéreur ers l'téreur. La scosté traut la cotrate qu s'eerce etre eu partcules e flue oses s'écoulat à es tesses fféretes. Pour u flue ewtoe, la cotrate correspoate est proportoelle au graet e tesse. Elle a ue composate ormale et es composates tagetelles. Pour ue face oretée as la recto, la proecto as la recto e la cotrate s'eprme par : T P (I.37) Das cette relato, est le symbole e Kroecer, le coeffcet e scosté yamque et le coeffcet e scosté e latato. Pour les flues compressbles, 'teret pas ( ). Pour les gaz, o pre (hypothèse e Stoes). Pour u pla 'oretato quelcoque (ormale etéreure), la cotrate, otée, a comme composates : (I.38) Bla e la quatté e mouemet L'applcato u théorème e la arato e la quatté e mouemet oe : F T R t (I.39) où est la résultate es forces. Le éeloppemet e cette équato, après utlsato u théorème 'Ostrogras et e supposat que la scosté est costate, cout à l'équato e Naer-Stoes : (I.40) Das beaucoup 'applcatos, les forces e olume se réuset à l'acto e la pesateur. O t que le flue est pesat. Das ce cas, (g est l'attracto e la pesateur et z l'alttue) et l'équato eet : E eprmat le laplace e la tesse e focto u rotatoel : (I.4) (I.4) o costate que pour u écoulemet rrotatoel 'u lque, le laplace est ul et l'équato (I.40) eet : (I.43) Le flue se comporte comme u flue parfat. Pour u écoulemet permaet, e globalsat les forces, l'équato (I.39) eet : (I.44) R Or : (I.45)

8 8 CHAPITRE I. CINEMATIQUE ET DYNAMIQUE DES FLUIDES As : R M (I.46) L'applcato e cette epresso à u tube e courat est partculèremet mportate. O a, e preat le ébt massque e moule : R M M (I.47) ou ecore : R (I.48).3. Éergétque Bla e l'éerge cétque O sat que la arato e l'éerge cétque peat l'uté e temps 'u système matérel est égale à la pussace eercée par les forces téreures et etéreures applquées à ce système. Pour u élémet e flue e olume élmté par ue frotère (F) e surface, ce théorème se traut par : W t T F t (I.49) Das cette équato, est la pussace es forces téreures au système flue. Elle est ue au forces e presso et e scosté qu s'eercet à l'téreur même u olume : T W t (I.50) sot, aec l'epresso (I.37) e : P W - t (I.5) où, la focto sspato, est égale à : (I.5) S as l'epresso (I.37) es cotrates, o sépare les effets e la presso P e ceu e la scosté, o obtet : P T F P t ' (I.53) Pour u flue pesat, e eplctat la premère tégrale u membre e gauche, o a :