LES STATISTIQUES DESCRIPTIVES

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1 Chapitre 1 LES STATISTIQUES DESCRIPTIVES A. Statistiques a ue variable 1. Vocabulaire de la statistique U esemble d objets ou de persoes d ue étude statistique est appelé populatio. U élémet de cette populatio est appelé idividu. L étude statistique porte sur u caractère. Si le caractère est quatitatif, les mesures sot alors les valeurs d ue variable statistique (ex : u âge, ue taille...). Si le caractère est qualitatif, o est obligé de le quatifier (ex : sexe...). La variable est dite discrète si elle e pred que des valeurs isolées (ex : etières). Elle est cotiue si elle peut predre toutes la valeurs d u itervalle (ex : R). L effectif d ue populatio est le ombre d idividus total de cette populatio. La fréquece d u caractère est le ombre d idividus possédat ce caractère divisé par l effectif total de la populatio. 2. Les variables discrètes a) Représetatio O représete les variables aléatoires discrètes sous forme d histogramme ou de camembert grâce aux différetes fréqueces b) Caractéristiques (1) La moyee Soit valeurs distictes ou o de la variable. Si cette variable pred p valeurs distictes (p Q x 1,,x p, d effectifs respectifs 1, p alors la moyee est doée par : x = p i x i (2) Propriété si pour tout i, o peut opérer u chagemet de variable affie du type : x i = ax i + b alors x = ax + b. (3) La variace Elle est doée par la formule : : V= 1 i (x i x ) 2. (4) L écart-type p Jea-Michel BERNABOTTO 1

2 Il est doé par la formule : σ= V (5) Propriétés La formule suivate est plus pratique pour le calcul de V : V= 1 2 i x i x 2 De plus si pour tout i, x i = ax i + b alors V x = a 2 V X et σ x = aσ X. 3. Les variables cotiues a) Représetatio Pour leur représetatio, o regroupe e gééral das des classes adjacetes d amplitudes pas forcémet égales. Ceci est représeté das le tableau ci-dessous : classes [X 0 ; X 1 [ [X 1 ; X 2 [ [X p-1 ; X p ] cetre des classes x 1 x 2 x p effectifs 1 2 p fréqueces 1 / 2 / p / La représetatio s effectue alors grâce à u histogramme dot les rectagles sot de largeur l amplitude de la classe et dot l aire est proportioelle à l effectif. b) Caractéristiques Pour calculer moyee et écart-type, o pred les formules coues avec les x i cetres des classes c est à dire x i = X i 1 + X i 2 B. Statistiques a deux variables 1. Tableau de doées. Nuage de poits. O observe que das certais cas, il semble exister u lie etre 2 caractères d ue populatio (ex : etre poids et taille, etre l épaisseur d u mur et sa résistace thermique...). O défiit alors ue série statistique à 2 variables x et y, preat des valeurs x 1,,x et y 1,,y. a) Tableau de doées. Le om est explicite. O représete les différetes valeurs de x et y das u tableau à deux etrées. x e mm y e m 2. C 0,83 1,34 1,63 2,29 2,44 2,93 4,06 4,48 b) Nuage de poits Le pla P état mui d u repère orthogoal, o peut associer au couple (x i ; y i ) de la série statistique double, le poit M i de coordoées x i et y i. L esemble des poits M i obteus costitue le uage de poits représetat la série statistique. p Jea-Michel BERNABOTTO 2

3 Résistace thermique d'u mur e foctio de so épaisseur 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, Série1 c) Poit moye O appelle poit moye d u uage de poits M i de coordoées (x i ; y i ), le poit G de coordoées x G = x = 1 y G = y = 1 C. Ajustemet affie x i y i 1. Méthode graphique. a) Ajustemet à la règle O trace au jugé ue droite D passat par plus près possible des poits du uage de poits, e s efforçat d équilibrer le ombre de poits situés au dessus et au dessous de la droite D. L équatio de D est alors de la forme y = ax + b. Pour retrouver cette équatio, il suffit alors de coaître 2 poits de D. b) Ajustemet affie par la méthode de Mayer O partage le uage de poits e deux uages de poits de ombres équivalets. O calcule alors le poit moye de chaque uage qu o appelle G 1 et G 2. La droite (G 1 G 2 ) est la droite de Mayer. Elle passe de plus par le poit G. C est ue boe approximatio, si le uage de poits est allogé. Ex : 2 x i 8 et 10 x i 20 alors o obtiet y = 0,21x + 0,47. Jea-Michel BERNABOTTO 3

4 2. Ajustemet affie par la méthode des moidres carrés a) La droite de régressio Soit D ue droite d ajustemet. Soit M i (x i ; y i ) u poit du uage. P i est le poit de même abscisse x i que M i situé sur la droite D d équatio y = ax + b. Q i est le poit de même ordoée y i que M i situé sur la droite D d équatio x = a x + b. 2 O appelle droite de régressio de y e x, la droite D tell que : M i P i = [ y i (ax i + b) ] 2 soit miimale. O appelle droite de régressio de x e y, la droite D telle que : 2 M i Q i = [ x i (a'y i + b') ] 2 soit miimale. b) Covariace d ue série statistique double C est le ombre cov(x,y ) =σ xy = 1 (x i x )(y i y ). Pratiquemet o utilise plutôt la formule : σ xy = 1 x i y i x.y c) Equatios des droites de régressio O motre que la droite de régressio D de y e x a pour équatio y = ax + b avec a = σ xy σ x 2 et b vérifiat b = y ax. De même o motre que la droite de régressio D de x e y a pour équatio x = a y + b avec a'= σ xy σ y 2 et b' vérifiat b'= x a'y. Les droites D et D passet toutes les deux par le poit moye G. 3. Coefficiet de corrélatio a) Défiitio Le coefficiet de corrélatio d ue série statistique double est le ombre r défii par r = σ xy σ x σ y b) Propriétés r, a, b, σ xy, a et b sot tous de même sige. -1 U Jea-Michel BERNABOTTO 4

5 c) Iterprétatio graphique si r 2 = 1 alors aa = 1. Les droites D et D sot alors cofodues ; o dit que l ajustemet affie est parfait. si 0,7 _U_DORUVOHVGHX[GURLWHV'HW' VRQWSURFKHV O XQH de l autre (e fait l agle etre les deux est iférieur à 45 ) ; o dit que l ajustemet affie est justifié. si r <0,7 alors l agle etre les deux droites est supérieur à 45. L ajustemet affie e se justifie pas. Jea-Michel BERNABOTTO 5

6 D et D cofodues r=1 r=-1 D 33.5 D D D 16.0 r proche de 1 r proche de -1 D 51.6 D 0 > r > -0,7 D r < 0, D Jea-Michel BERNABOTTO 6

7 Chapitre 2 PROBABILITES ET ANALYSE COMBINATOIRE A. Notio d expériece aléatoire 1. Défiitio Ue expériece ayat u ombre fii d issues possibles est appelé expériece aléatoire s il est impossible de savoir à l avace quelle e sera l issue. L esemble de toutes les issues possibles est appelé l uivers des possibles associé à cette expériece; Il est gééralemet oté Ω. Chaque sous esemble de Ω coteat u seul élémet, c est à dire chaque issue possible est appelé évéemet élémetaire. 2. Remarque Si o ote chaque issues possibles e 1,,e alors Ω={e 1,,e } et chaque {e i } est alors u évéemet élémetaire. Ue expériece aléatoire est détermiée par l expériece que l o effectue et doc l uivers aussi, c est à dire que si o chage d expériece aléatoire, o chage aussi d uivers! B. Vocabulaire des évéemets 1. Défiitio Soit E ue expériece aléatoire et Ω l uivers des possibles associé à cette expériece. L esemble de toutes les parties de Ω, P(Ω) est l esemble des évéemets lié à Ω. Ω est l évéemet certai. est l évéemet impossible. 2. Compositio d évéemets a) Evéemet A B La loi das P(Ω) correspod à l emploi du «ou iclusif» etre deux évéemets. β) Evéemet A Β La loi das P(Ω) correspod à l emploi du «et» etre deux évéemets. Das le cas où A Β=, o dit que les deux évéemets A et B sot disjoits ou icompatibles. c) Evéemet cotraire Soit A u évéemet lié à ue expériece aléatoire E d uivers associé Ω. A est doc ue partie de Ω. Aisi C A ={e i Ω/e i A} est associé à l évéemet qui est réalisé que si A e l est pas. O l appelle complémetaire de A ou «o A». Il est oté A. O a alors : A B = A B et A B = A B et ( > p) =( p) Jea-Michel BERNABOTTO 7

8 C. Axiomatique du calcul des probabilités 1. Axiomes du calcul des probabilités Soit E ue expériece aléatoire et Ω so uivers associé. O appelle probabilité, otée p, toute applicatio de l esemble des évéemets P(Ω) das ~ vérifiats les trois axiomes suivats : A1 : A P(Ω) 0 p(a) 1 A2 : p(ω)=1 A3 : si deux évéemets A et B sot icompatibles alors p( A B)=p(A)+ p(b) 2. Coséqueces La probabilité d u évéemet A={e 1,,e } est telle que p(a)=p(e 1 )+ +p(e ). p(a ) = 1 p(a) p( ) = 0 p(a B) = p(a)+ p(b) p(a B) 3. Cas particulier importat : l équiprobabilité L équiprobabilité correspod au cas où tous les évéemets élémetaires ot la même probabilité. S il y a évéemets élémetaires chacu possède ue probabilité de 1/ d apparaître. Das ce cas, o peut écrire la formule suivate : bre d'élémets de A bre de cas favorables p(a) = = bre d'élémets de Ω bre de cas possibles D. Probabilité coditioelle 1. Défiitio Soit p ue probabilité sur u uivers Ω et soit A u évéemet de probabilité o ulle. La probabilité que l évéemet B soit réalisé sachat que A l est déjà est défii par p(a B) p(b / A) =. O l appelle probabilité coditioelle. p(a) 2. Propriétés p(ω /A)=1 p(b C/A)=p(B/ A)+ p(c/ A) p(a B) = p(a/b)p(b)= p(b/a)p(a) Cette formule est appelée formule des probabilités composées. 3. Exemple deux machies M1 et M2 fabriquet des tiges. Elles produiset respectivemet 1/3 et 2/3 de la productio. La machie M1 sort 5% de tiges défectueuses et M2 e sort 6%. Jea-Michel BERNABOTTO 8

9 Soit les évéemets A : «la tige est fabriquée par M1» B : «la tige est fabriquée par M2» D : «la tige est défectueuse». 1) Quelle est la probabilité que la tige soit fabriquée par M1? c est p(a)=1/3. 2) O tire ue tige de la productio de M1. Quelles est la probabilité qu elle soit défectueuse? C est p(d/a)=5/100. 3) O tire ue tige de la productio. Quelle est la probabilité pour qu elle proviee de M1 et qu elle soit défectueuse? C est P(A D) = p(d/ A)p(A)= ) O tire ue tige de la productio. Quelle est la probabilité pour qu elle soit défectueuse? C est p(d) = p((a D) (B D)) = p(d / A)p(A)+ p(d / B)p(B) = ) Quelle est la probabilité qu ue pièce défectueuse ait été fabriquée par M1? C est P(A / D) = p(a D) p(d) E. Evéemets idépedats = = Défiitio Soit Ω l uivers des possibles d ue expériece aléatoire E et p ue probabilité associée. Deux évéemets sot dits idépedats relativemet à p si : p(a Β)=p(A)p(B) 2. Remarque Il e faut pas cofodre idépedat et icompatible Si deux évéemets sot idépedats alors p(a Β)=p(A)p(B) doc p(b/a)=p(b) et p(a/b)=p(a) ; cela sigifie que deux évéemets sot idépedats si et seulemet si la réalisatio de l u iflue pas sur la réalisatio de l autre. F. Elémets d aalyse combiatoire 1. Les p-listes Elles correspodet à u tirage successif et avec remise c est à dire que les répétitios sot possibles et que l ordre est importat. Le ombre de p-listes d u esemble E à élémets est p. 2. Les suites de p élémets disticts Elles correspodet à u tirage successif sas remise, c est à dire que les répétitios sot impossibles et l ordre est importat. a) Les permutatios Toute suite de élémets disticts choisis parmi les élémets d u esemble E est appelé permutatio de élémets. Le ombre total de permutatios d u esemble de élémets est :!. Jea-Michel BERNABOTTO 9

10 b) Les arragemets Toute suites de p élémets disticts choisis parmi élémets disticts ( S HVW DSSHOp arragemet de p élémets parmi. Le ombre total d arragemets de p élémets parmi est : A p = ( 1) ( p + 1) 3. Nombre de parties à p élémets d u esemble à élémets (p Q Il correspod à u tirage simultaé c est à dire que les répétitios sot o possibles et que l ordre est pas importat. Toute partie de p élémets disticts choisis parmi élémets (p Q HVW DSSHOpH FRPELQDLVRQ GH S élémets parmi. Le ombre total de combiaisos d u esemble à élémets est : C p = A p!. 4. Propriétés des arragemets et combiaisos A p!! p = et C = ( p)! formules évidetes à motrer à partir de p!( p)! la défiitio... p p C = C e effet il y a autat de parties de E à p élémets que de parties de E à -p élémets.. p 1 p p C C C + = cette formule peut se motrer à partir des formules 1 1 de défiitio mais aussi par des cosidératios esembliste : soit a E et E'=E\{a} alors lors du choix d'u sous esemble F à élémets de E deux cas peuvet se produire à savoir a F cela p 1 reviet à choisir ue partie à p-1 élémets de E' (C faço de 1 la faire) ou a F cela reviet à choisir ue partie à p élémets p 1 p p de E' (C p 1 faço de le faire) o a doc : C + C = C Valeurs particulières : 0 0 A = 1 C = A = C = A =! C = p 5. Triagle de Pascal - biôme de Newto : Triagle de pascal : la costructio est basée sur la propriété p 1 p p C + C = C 1 1. Jea-Michel BERNABOTTO 10

11 \p p= Biôme de Newto : ( a+ b) = C a b p= 0 p p p Par exemple : ( a+ b) = a + 5a b+ 10a b + 10a b + 5 ab + b Remarque : das les cas particulier où a=b=1 o obtiet = 2 p= p C p= 0 Jea-Michel BERNABOTTO 11

12 Chapitre 3 LES VARIABLES ALÉATOIRES A. Variables aléatoires discrètes sur u uivers fii 1. Covetio d écriture Soit Ω = {ω 1,...,ω N } u uivers fii probabilisé. O appelle variable aléatoire, otée X, défiie sur Ω toute applicatio de Ω das ~. O ote X(Ω) = {x 1,,x } ( 1 O HQVHPEOH LPage de Ω par X. X = x i est la partie de Ω formées de toutes les évetualités ω k ayat pour image x i. Il y e a, format ue partitio de Ω. X > x est la partie de Ω formée de toutes les évetualités dot le ombre image est supérieur strictemet à x. x X \ HVW OD SDUWLH GH Ω formée de toutes les évetualités dot le ombre image est compris etre x et y. 2. Loi de probabilité Soit Ω u uivers fii probabilisé st X ue variable aléatoire sur Ω. O appelle loi de probabilité de X, l applicatio qui à chaque valeur image x i fait correspodre la probabilité p i de la partie (X = x i ) de Ω. O la représete alors sous forme d u tableau : X = x i x 1 x 2 x i x p(x=x i ) p 1 p 2 p i p O a doc p(ω) = p i = Foctio de répartitio O appelle foctio de répartitio de la variable aléatoire X, l applicatio F de ~ das [0 ; 1] qui associe à tout réel x la probabilité p(x [ F HVW à dire F(x) = p(x [ Elle est croissate, cotiue par morceau et e escalier. De plus o a : p(x > x) = 1 - F(x) et p(x ; \ )\ - F(x). 4. Valeurs caractéristiques d ue variable aléatoire à valeurs discrètes Soit X ue variable aléatoire preat les valeurs {x 1 x } avec les probabilités respectives {p 1 p }. a) Espérace O appelle espérace mathématique de X le ombre E(X) = comme la moyee m des valeurs x i podérées par leur probabilité p i. p i x i. Ce ombre s iterprète Jea-Michel BERNABOTTO 12

13 b) Propriétés E(k) = k Soit k ue costate alors : E(X + k) =E(X)+ k E(kX) = ke(x) c) Variace et écart-type O appelle variace de X le ombre V(X) = p i x i 2 d) Propriétés V(k ) Soit k ue costate alors : V(X + k) =V(X) V(kX) = k 2 V(X) ( E(X) ) 2. L écart-type est : σ(x) = V(X) 5. Exemple Cotre ue mise coveable, o lace u dé marqué as, roi, dame, valet, dix et euf. L as rapporte 10 F Le roi et la dame 6 F Le valet 5 F le 10 et le 9 rie Loi de probabilité X = x i p i 1/3 1/6 1/3 1/6 Foctio de répartitio F Jea-Michel BERNABOTTO 13

14 E(X)=4,5 V(X)=12,58 et σ(x)=3,55 6. Loi biomiale Ue variable aléatoire X à valeurs etières : 0,1, 2, suit ue loi biomiale de paramètres et p si et seulemet si pour tout k apparteat à {1,,} o a : p(x = k) =C k p k q k. O l utilise chaque fois qu ue même expériece a 2 évetualités. Elle est otée B(,p). So espérace est alors E(X) = p, sa variace V(X) = pq. B. Variables aléatoires déombrables sur u uivers ifii 1. Loi de Poisso Ue variable aléatoire déombrable(c est à dire établissat ue bijectio avec ¼) X suit ue loi de Poisso de paramètre m (m > 0) sis et seulemet si : p(x = k) =e m m k k!. So espérace est E(X)=m, sa variace V(X) = k. C. Variables aléatoires cotiues 1. Défiitio Ue variable aléatoire cotiue est ue variable aléatoire X dot l esemble des valeurs est ~ ou u itervalle I de ~. Ue telle variable est gééralemet défiie par sa foctio de répartitio F: x F(x) = p(x x). Jea-Michel BERNABOTTO 14

15 2. Foctio desité de probabilité O désige par foctio desité de probabilité, la foctio dérivée f de la foctio de répartitio F. b O alors : f(x)dx = F(x) et f (x)dx = F(b) F(a) = p(a X b). c est à dire que l aire a mesurée etre les droites d équatio x = a et x = b, la courbe représetative de f et l axe des abscisses correspod à p(a [ E a f(x)dx = F(a) = p(x a) + O a f(x)dx =1 F(a) = p(x a)= 1 p(x < a) a + f(x)dx =1 x=b 0.1 x=a Cf p(ašxšb) Valeurs caractéristiques Soit X ue variable aléatoire cotiue alors o a : + E(X) = xf(x)dx V(X) = + [ ] 2 dx f(x) x E(X) = E(X 2 ) [ E(X) ] 2 Jea-Michel BERNABOTTO 15

16 D. La loi ormale ou loi de Laplace-Gauss 1. Défiitio Ue variable aléatoire X suit ue loi ormale 1(m;σ) de paramètres m et σ lorsque sa desité de 2 1 x m 1 probabilité est la foctio f défiie sur ~ par : f(x) = σ 2π e 2 σ. Cette loi est souvet qualifiée de loi du hasard ; elle est très fréquete das des mesures répétées d ue même gradeur. O a alors : E(X) = m et V(X) = σ 2 m=12 et σ =3 0.1 Cf La loi ormale cetrée réduite Si ue variable aléatoire suit la loi ormale 1(m;σ) il est difficile de calculer F(x) pour importe quel x; Il existe alors ue loi qui est tabulée qui ous permet grâce aux théorème suivat de calculer facilemet F(x) pour 1(m;σ). a) Théorème : si ue variable aléatoire X suit ue loi ormale 1(m;σ) alors la variable aléatoire T = X m σ la loi ormale cetrée réduite 1(0;1). x Sa foctio de répartitio est otée π( x) = f(t)dt avec f(x) = 1 x 2π e 2 Sa lecture se fait grâce à ue table (cf aexe). 2 suit Jea-Michel BERNABOTTO 16

17 š(t) b) Exemples de calculs p(t π(1,67)=0,9525 p(t -p(t < 1,25)=1-0,8944=0,1056 p(t -1,67)=p(T -p(t p(-t 7 W π(t) Carte de cotrôle Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi ormale 1(m;σ) alors T = X m σ ormale cetrée réduite 1(0 ; 1) d où p(m σ<x<m+σ)=p( 1<T <1) = 2π (1) 1 = 0,64 = 64% p(m 2σ <X<m+2σ)=p( 2 < T <2) = 2π(2) 1= 0,96 = 96% p(m 3σ <X<m+3σ)=p( 3 < T <3) = 2π(3) 1= 0,998 = 99,8% ce que l o représete sous forme de carte de cotrôle : suit ue loi zoe de déreglemet zoe de dager 99,8% 96% 64% m zoe de déreglemet zoe de dager Jea-Michel BERNABOTTO 17

18 4. Approximatio des lois Das certaies coditios o peut par commodité approximer certaies lois par ue loi ormale: B(,p ) P(p) si p < 0,1 pq 10 et > 30 o a B(,p ) ℵ(p, pq ) si pq >10 et 50 P(m) ℵ(m, m ) si m >20 E. D autres exemples de lois cotiues La loi uiforme ; so graphe de desité de probabilité est doé par le graphe : 0.5 1/(b-a) a b La loi triagulaire : elle est doée par so graphe foctio desité de probabilité : Jea-Michel BERNABOTTO 18

19 2/(b-a) a 1 2 b3 Jea-Michel BERNABOTTO 19

20 Chapitre 4 ECHANTILLONNAGE A. Le problème de l échatilloage La théorie de l échatilloage cosiste à détermier des propriétés sur des échatillos prélevés das ue populatio dot o coaît déjà des propriétés. O e cosidère ici que des échatillos aléatoires, c est à dire costitués d élémets pris au hasard das ue populatio. Le tirage des élémets d u échatillo peut être fait sas remise; O dit qu il est exhaustif. Sio si le tirage est fait avec remise, o dit qu il est o exhaustif ; das ce cas les tirages sot idépedats. Das la plupart des cas, la populatio ayat u grad effectif, das laquelle o tire ue faible proportio d élémets, o assimile u tirage sas remise à u tirage avec remise. B. Distributio d échatilloage des moyees Cosidéros ue populatio ayat ue certaie propriété avec ue moyee m et u écart-type σ. Soit X la variable aléatoire qui à tout échatillo aléatoire prélevé avec remise et d effectif fixé, associe la moyee de cet échatillo. Pour suffisammet grad, X suit approximativemet la σ loi ormale 1(m; ). Rem : suffisammet grad quad si la populatio est-elle même ormale, o peut utiliser ce résultat même si est petit. lorsque les échatillos de taille sot prélevés sas remise das ue populatio d effectif N, σ N o peut utiliser le résultat précédet e preat N 1 au lieu de σ. σ il e faut pas cofodre l écart-type de la variable aléatoire qui pred pour valeurs les moyees d échatillos de taille, et l écart-type d u échatillo. C. Distributio d échatilloage des pourcetages Cosidéros ue populatio dot u pourcetage p d élémets possède ue certaie propriété. Soit F la variable aléatoire, qui à tout échatillo aléatoire prélevé avec remise d effectif fixé, associe le pourcetage d élémets de cet échatillo possédat cette propriété. Pour suffisammet grad, F suit approximativemet la loi ormale 1 p, pq avec q = 1 - p. Jea-Michel BERNABOTTO 20

21 Chapitre 5 ESTIMATION A. Itroductio C est le problème iverse de l échatilloage ; c est à dire coaissat des reseigemets sur u o plusieurs échatillos, o cherche à e déduire des iformatios sur la populatio totale. B. Estimatio poctuelle 1. Moyee De maière géérale, o choisit la moyee x e d u échatillo prélevé au hasard das ue populatio comme meilleure estimatio poctuelle de la moyee icoue m de cette populatio. 2. Proportio De même, o choisit la proportio f e des élémets possédat ue certaie propriété das u échatillo prélevé aléatoiremet das ue populatio comme meilleure estimatio poctuelle de la proportio icoue p des élémets de cette populatio ayat cette propriété. 3. Variace. Ecart-type O choisit le ombre 1 σ 2 e où est l effectif et σ 2 e la variace d u échatillo prélevé au hasard das ue populatio, comme meilleure estimatio poctuelle de la variace icoue σ 2 de cette populatio et o pred 1 σ e comme meilleure estimatio poctuelle de l écart-type σ icoue de cette populatio. C. Estimatio par itervalle de cofiace Les estimatios poctuelles sot hélas liées au choix de l échatillo ; il faut doc rechercher u ouveau type d estimatio de la moyee d ue populatio ou d u pourcetage. O cherche des itervalles qui, gééralemet, à 95% ou 99% des cas, cotieet la moyee m icoue ou le pourcetage p d ue certaie propriété que possède la populatio. 1. De la moyee a) 1er cas Soit P la populatio : m la moyee est icoue σ l écart-type est cou Soit u échatillo : x e la moyee est coue l effectif est cou O se place das le cas ou l o peut cosidérer que la variable aléatoire X, qui à tout échatillo σ de taille fixée, associe la moyee de cet échatillo, suit ue loi ormale 1(m; ). Jea-Michel BERNABOTTO 21

22 Alors l itervalle de cofiace de la moyee m de la populatio, avec le coefficiet de cofiace 2π(t) - 1, lu das la table de la loi ormale cetrée réduite 1(0 ; 1) est : σ x e t ; x σ e + t Cette méthode coduit das 100(2π(t) - 1) cas sur 100, pourcetage choisi à l avace, à u itervalle de cofiace coteat m. Les cas usuels les plus fréquet sot : coefficiet de cofiace 95% alors t = 1,96 coefficiet de cofiace 99% alors t=2,58. b) 2ème cas Soit P la populatio : m la moyee est icoue σ l écart-type est icou Soit u échatillo : x e la moyee est coue σ e l écart-type est cou l effectif est cou et il est iférieur strictemet à 30. O se place das le cas ou l o peut cosidérer que la variable aléatoire X, qui à tout échatillo de taille fixée, < 30, associe la moyee de cet échatillo, suit ue loi de Studet à - 1 degrés de liberté. Alors l itervalle de cofiace de la moyee m de la populatio, avec le coefficiet de cofiace 2δ(t) - 1, lu das la table de la loi de Studet à - 1 degrés de liberté est : σ x e t e 1 ; x σ e + t e 1 c) 3ème cas Soit P la populatio : m la moyee est icoue σ l écart-type est icou Soit u échatillo : x e la moyee est coue σ e l écart-type est cou l effectif est cou et il est supérieur à 30. O se place das le cas ou l o peut cosidérer que la variable aléatoire X, qui à tout échatillo σ de taille fixée,, associe la moyee de cet échatillo, suit ue loi ormale 1(m; ). Alors l itervalle de cofiace de la moyee m de la populatio, avec le coefficiet de cofiace 2π(t) - 1, lu das la table de la loi de la loi ormale cetrée réduite 1(0 ; 1) : σ x e e t 1 ; x σ e + e t 1 Jea-Michel BERNABOTTO 22

23 2. De la proportio A l aide d u échatillo, o défiit de même u itervalle de cofiace de la proportio p icoue d ue caractéristique de la populatio. a) 1er cas Soit P la populatio : p la proportio est icoue Soit u échatillo : f e la proportio est coue l effectif est cou et iférieur strictemet à 30. Alors l itervalle de cofiace de la proportio p de la populatio avec le coefficiet de cofiace 2δ(t) - 1, lu das la table de la loi de Studet à - 1 degrés de liberté est : f e ( 1 f e ) f e t 1 ;f + t f e ( 1 f e ) e 1. b) 2ème cas Soit P la populatio : p la proportio est icoue Soit u échatillo : f e la proportio est coue l effectif est cou et supérieur à 30. Alors l itervalle de cofiace de la proportio p de la populatio avec le coefficiet de cofiace 2π(t) - 1, lu das la table de la loi ormale cetrée réduite 1(0 ; 1) est : f e ( 1 f e ) f e t 1 ;f + t f e ( 1 f e ) e Exemples a) 1er exemple Das ue populatio P de grad effectif, o prélève de maière o exhaustive, u échatillo de 100 persoes dot o ote la masse e kg: masse effectif Calculer la moyee et l écart-type de cet échatillo: x e = 68 kg σ e = 3 kg 2. Doer u itervalle de cofiace de la moyee m des masses des persoes de P au coefficiet de cofiace 95% : ous sommes das le 3ème cas 3 m 68 1, ;68+1, 96 3 = [ 67,4;68,6] b) 2ème exemple Lors d u cotrôle de qualité sur ue populatio d appareils méagers, au cours d u mois de fabricatio, o prélève de maière o exhaustive u échatillo de 1000 appareils. Après u test de coformité, o costate que 60 appareils ot u défaut. Doer u itervalle de cofiace du pourcetage p d appareils défectueux au risque de 5%. Jea-Michel BERNABOTTO 23

24 p 60 1, ; + 1, = [ 0,045; 0,075]= [ 4,5%; 7,5% ] D. Aalyse de sesibilité des coefficiets d'ue droite d'ajustemet Il est itéressat das les applicatios d'obteir u itervalle de cofiace à ε près des coefficiets réels, icous évidemmet a et b, à partir des doées mesurées pour cela o admet que : Si o appelle Z = aléatoires : ( ) T = a a et U = b b ˆ Z Z VXVY ( ) ( ) CovXY (, ) VX ( ) 2 2 x i Studet à -2 degrés de liberté. 2 alors les variables obéisset toutes les deux à ue loi de Exemple : Détermier des itervalles de cofiace à 95% (0.05) des coefficiets a et b Etape 1 : Détermiatio de t P( T >t)= ε avec ε=0.05 doe das la table de Studet à 12-2=10 degrés de liberté t=2.228 c'est à dire P( T <t)=95% ou ecore P(-2.28<T<2.28)=95% Etape 2 : Calcul de Z Z 2 = 2206x (12 2) = et Z=0.243 Etape 3 : Ecadremet de a T = a a Z et a=1.68 par coséquet : a-tz< a <a+tz fialemet : Etape 4 : Ecadremet de b x0.243< a < x < a <2.23 Jea-Michel BERNABOTTO 24

25 ( U = b b ˆ ) Z b tz x 2 i i =1 x 2 i < ˆ b < b + tz et b=-1.3 par coséquet : x 2 i et doc : x024. x < b < x024. x < b< Jea-Michel BERNABOTTO 25

26 Chapitre 6 TESTS STATISTIQUES A. Pricipe des tests Partos d u exemple...ue machie fabrique des tiges d acier. Si la machie est réglée correctemet, l utilisateur obtiet ue populatio de tiges de logueurs moyee m et d écart-type σ. O désire savoir si cette machie se dérègle. Aisi, o prélèvera, à itervalles réguliers, des échatillos pour mesurer la logueur effective des tiges. Nous faisos alors l hypothèse H 0 dite hypothèse ulle que la machie est bie réglée. O teste alors cette hypothèse: 2 cas se présetet : la machie est bie réglée, o accepte H 0. la machie est mal réglée, o rejette H 0 et doc o accepte H 1 dite hypothèse alterative. Défiitio : u test statistique est ue méthode permettat de predre ue décisio à partir d iformatios fouries par u échatillo. Cette décisio déped doc de l échatillo. Aisi qu elle que soit la décisio prise, o court deux sortes de risques : le risque dit de 1ère espèce oté α, est la probabilité de rejeter l hypothèse H 0 alors qu elle est vraie e réalité : α =p(rejeter H 0 /H 0 vraie) le risque dit de 2de espèce oté β, est la probabilité d accepter l hypothèse H 0 alors qu elle est fausse e réalité : β=p(accepter H 0 /H 0 fausse). U test est bo si o arrive à miimiser α et β. B. Test de comparaiso à ue valeur stadard 1. Positio de problème O cosidère ue populatio P sur laquelle o veut étudier u paramètre γ icoue associé à u paramètre c. Sur u échatillo de taille, o obtiet γ e cou. Sur la base de cette valeur observée γ e, o se propose de comparer la vraie valeur γ à ue valeur γ 0 fixée à priori, costituat la valeur stadard. 2. Tests relatifs à ue moyee Soit ue populatio P de grad effectif sur laquelle o étudie u caractère c. La moyee m de c est icoue. Sur u échatillo, o a trouvé ue moyee x e. O doit tester la moyee m par rapport à ue valeur otée m 0 qui est la valeur stadard. a) Test bilatéral Soit H 0 : " m=m 0 " l'hypothèse ulle et H 1 : " m P 0 " l'hypothèse alterative Soit X la variable aléatoire preat pour valeurs les moyees des différets échatillos de taille DORUV RQ VDLW TXH ; VXLW XQH 1(m 0 ; σ ), σ état l'écart-type de la populatio P. Jea-Michel BERNABOTTO 26

27 zoe de refus de H0 zoe d'acceptatio de H0 0.2 zoe de refus de H0 α/2 1- α α / Il faut doc que X soit telle que p( m 0 t α σ < X < m + t 0 α σ ) = 1 α d'où e faisat le chagemet de variable : T = X m 0 σ alors T suit ue loi ormale cetrée réduite 1(0,1) d'où p( t α < T < t α ) = 1 α c'est à dire π(t α ) =1 α 2 O choisit u risque α d'où la règle du test bilatéral : o cherche das la table de la loi ormale cetrée réduite 1(0,1), t α tel que π(t α ) =1 α 2 soit x e la moyee de l'échatillo de taille alors σ si x e m 0 t α ;m + t σ 0 α, o accepte H 0 avec le risque α sio o rejette H 0 et doc o accepte H 1 avec u risque α. Remarque : das le cas usuel où α = 5% alors t α = 1,96 et si α = 1% alors t α = 2,58. Si σ est icou (ce qui est souvet le cas ) alors o pred so estimateur poctuel 1 σ e où σ e est l'écart-type de l'échatillo. b) Tests uilatéraux Règle du test uilatéral à gauche Jea-Michel BERNABOTTO 27

28 régio de refus de H0 régio d'acceptatio de H α α m=m L'hypothèse ulle est H 0 : "m = m 0 " et l'hypothèse alterative est H 1 : "m > m 0 " O peut la retrouver par exemple das le cas d'u test de dépassemet d'ue orme. O choisit u risque α O cherche das la table de la loi ormale cetrée réduite 1(0;1) t α tel que π(t α ) = 1 -α Si x e m 0 + t α σ alors o accepte H 0 sio o refuse H 0 et doc o accepte H 1 Rem : das les cas usuels : si α = 5% alors t α = 1,645 ; si α = 1% alors t α = 2,33 Règle du test uilatéral à droite Jea-Michel BERNABOTTO 28

29 0.4 régio de refus de H0 0.2 régio d'acceptatio de H L'hypothèse ulle est : H 0 : "m = m 0 " et l'hypothèse alterative est : H 1 : "m < m 0 " O la retrouve das les cas de tests de o égalité d'ue orme. O choisit u risque α O cherche das la table de la loi ormale cetrée réduite 1(0;1) t α tel que π(t α ) = 1 -α Si x e > m 0 t α σ o accepte H 0, sio o rejette H 0 et doc o accepte H 1 Das ces deux cas, il est très fréquet qu'o e coaisse pas σ ; o a alors σ = σ e 1 3. Tests relatifs à u fréquece ou u pourcetage Tous les tests que l'o viet de voir restet valables ; il suffit de remplacer m par p (proportio icoue das la populatio P), x e par f e (proportio effective sur l'échatillo) et ( ) σ par f e 1 f e 1 C. Test de comparaiso de 2 populatios 1. Test de comparaiso de 2 moyees Populatio P1 Populatio P2 Jea-Michel BERNABOTTO 29

30 Caractères Etudiés C C Moyee Ecart-type m 1 σ 1 icous m 2 σ 2 icous Taille Moyee Ecart-type Echatillo e 1 Echatillo e 2 1 x e 1 σ e1 cous 2 x e 2 σ e 2 cous Règle du test de comparaiso de 2 moyees L'hypothèse ulle est : H 0 : "m 1 = m 2 " et l'hypothèse alterative est H 1 : "m 1 P 2 " O choisit u risque α O cherche das la table de la loi ormale cetrée réduite 1(0;1) t α tel que π(t α ) = 1- α/2 x e1 x e 2 Si 2 σ e σ e [ ] o accepte H 0 sio o rejette H 0 et doc o accepte H 1 t α ;t α Si H 0 est acceptée, o dit que la différece m 1 -m 2 'est pas sigificative au risque α 2. Règle de comparaiso de deux pourcetages Caractère étudié Pourcetage Taille Pourcetage Populatio P 1 Populatio P 2 C p 1 icou C p 2 icou Echatillo e 1 Echatillo e 2 1 f 1 cou 2 f 2 cou L'hypothèse ulle est H 0 : "p 1 =p 2 " et l'hypothèse alterative H 1 : "p 1 S 2 " O choisit u risque α O cherche das la table de la loi ormale cetrée réduite 1(0;1) t α tel que π(t α ) = 1- α/2 Soit f = 1f f 2 f alors si 1 f f1 f ( ) t α ;t α 1 2 et o accepte doc H 1. Si H 0 est acceptée, o dit que p 1 - p 2 'est pas sigificative au risque α. [ ] o accepte H 0 sio o rejette H 0 Jea-Michel BERNABOTTO 30

31 Chapitre 1 LES STATISTIQUES DESCRIPTIVES 1 A. Statistiques a ue variable 1 1. Vocabulaire de la statistique 1 2. Les variables discrètes 1 a) Représetatio 1 b) Caractéristiques 1 3. Les variables cotiues 2 a) Représetatio 2 b) Caractéristiques 2 B. Statistiques a deux variables 2 1. Tableau de doées. Nuage de poits. 2 a) Tableau de doées. 2 b) Nuage de poits 2 c) Poit moye 3 C. Ajustemet affie 3 1. Méthode graphique 3 a) Ajustemet à la règle 3 b) Ajustemet affie par la méthode de Mayer 3 2. Ajustemet affie par la méthode des moidres carrés 4 a) La droite de régressio 4 b) Covariace d ue série statistique double 4 c) Equatios des droites de régressio 4 3. Coefficiet de corrélatio 4 a) Défiitio 4 b) Propriétés 4 c) Iterprétatio graphique 5 Chapitre 2 PROBABILITES ET ANALYSE COMBINATOIRE 7 A. Notio d expériece aléatoire 7 1. Défiitio 7 2. Remarque 7 B. Vocabulaire des évéemets 7 1. Défiitio 7 2. Compositio d évéemets 7 a) Evéemet A B 7 b) Evéemet A Β 7 c) Evéemet cotraire 7 C. Axiomatique du calcul des probabilités 8 1. Axiomes du calcul des probabilités 8 2. Coséqueces 8 3. Cas particulier importat : l équiprobabilité 8 D. Probabilité coditioelle 8 1. Défiitio 8 2. Propriétés 8 3. Exemple 8 E. Evéemets idépedats 9 1. Défiitio 9 2. Remarque 9 Jea-Michel BERNABOTTO 31

32 F. Elémets d aalyse combiatoire 9 1. Les p-listes 9 2. Les suites de p élémets disticts 9 a) Les permutatios 9 b) Les arragemets Nombre de parties à p élémets d u esemble à élémets (p ) Propriétés des arragemets et combiaisos Triagle de Pascal - biôme de Newto : 10 Chapitre 3 LES VARIABLES ALÉATOIRES 12 A. Variables aléatoires discrètes sur u uivers fii Covetio d écriture Loi de probabilité Foctio de répartitio Valeurs caractéristiques d ue variable aléatoire à valeurs discrètes 12 a) Espérace 12 b) Propriétés 13 c) Variace et écart-type 13 d) Propriétés Exemple Loi biomiale 14 B. Variables aléatoires déombrables sur u uivers ifii Loi de Poisso 14 C. Variables aléatoires cotiues Défiitio Foctio desité de probabilité Valeurs caractéristiques 15 D. La loi ormale ou loi de Laplace-Gauss Défiitio La loi ormale cetrée réduite 16 a) Théorème : 16 b) Exemples de calculs Carte de cotrôle Approximatio des lois 18 E. D autres exemples de lois cotiues 18 Chapitre 4 ECHANTILLONNAGE 20 A. Le problème de l échatilloage 20 B. Distributio d échatilloage des moyees 20 C. Distributio d échatilloage des pourcetages 20 Chapitre 5 ESTIMATION 21 A. Itroductio 21 B. Estimatio poctuelle Moyee Proportio Variace. Ecart-type 21 C. Estimatio par itervalle de cofiace 21 Jea-Michel BERNABOTTO 32

33 1. De la moyee 21 a) 1er cas 21 b) 2ème cas 22 c) 3ème cas De la proportio 23 a) 1er cas 23 b) 2ème cas Exemples 23 a) 1er exemple 23 b) 2ème exemple 23 D. Aalyse de sesibilité des coefficiets d'ue droite d'ajustemet 24 Chapitre 6 TESTS STATISTIQUES 26 A. Pricipe des tests 26 B. Test de comparaiso à ue valeur stadard Positio de problème Tests relatifs à ue moyee 26 a) Test bilatéral 26 b) Tests uilatéraux Tests relatifs à u fréquece ou u pourcetage 29 C. Test de comparaiso de 2 populatios Test de comparaiso de 2 moyees Règle de comparaiso de deux pourcetages 30 Jea-Michel BERNABOTTO 33