Nombre d occurences Note

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1 Épreuve écrte d nformatque-mathématques Flère MP spécalté Info ENS : ULM, LYON, CACHAN, RENNES Correcteurs : Anne Boullard, Blase Genest et Xaver Goaoc Le sujet portat sur l étude de la complexté d hypergraphes au travers de la noton de dmenson VC (d après ses nventeurs, Vladmr Vapnk et Alexey Chervonenks, qu rend compte de la complexté d un hypergraphe par des consdératons locales Cette noton, ntrodute en théore de l apprentssage, ntervent dans de nombreuses questons en nformatque et en mathématque et permet notamment, en algorthmque, de quantfer la dffculté d approxmer un hypergraphe donné Le nombre de canddats s étant présentés à l épreuve état de 267 Les notes allaent de 0, 40 à 20 avec une moyenne de 8 et la répartton suvante : Nombre d occurences Note La premère parte établssat par récurrence le Lemme de Sauer, une borne supéreure sur le nombre d hyperarêtes d un hypergraphe en foncton de son nombre de sommets et de sa dmenson VC Les questons 1, 2 et 3 étaent élémentares et avaent pour but de permettre aux canddat(es de se famlarser avec les objets Le jury attendat des réponses clares et précses ; à ttre d exemple, le pourcentage de réponses ayant eu tous les ponts pour les questons 2a et 2b sont respectvement de 70% et 45% De manère générale, le barème de cette parte a pénalsé le manque de rgueur La deuxème parte donnat une preuve alternatve du Lemme de Sauer due (ndépendamment à Noga Alon et Peter Frankl Cette preuve procède en compressant l hypergraphe, e en enlevant un sommet de toutes les hyperarêtes pour lesquelles cela ne résulte pas en une arête déjà exstante Il s agssat tout d abord de montrer qu une telle compresson ne modfe pas la talle d un hypergraphe, n n augmente sa dmenson VC On établssat ensute qu après un nombre fn de telles compressons, l hypergraphe ne change plus et est clos par sous ensemble : tout sous-ensemble d une hyperarête est lu auss une hyperarête ; un tel hypergraphe est auss appelé un complexe smplcal Pour les complexes smplcaux la dmenson VC coïncde avec la dmenson maxmale d une face et le Lemme de Sauer est mmédat Presque tou(tes les canddat(es ont abordé au mons une queston dans cette parte, mas certanes questons ont été assez peu tratées Ans, l on n a trouvé d éléments de réponses valables aux questons 6a, 6b, 8a et 8b que dans, respectvement, 53%, 37%, 16% et 8% des copes La dffculté de ces questons a été prse en compte dans le barème et les canddat(es ayant fat l effort de s y attaquer ont été récompensés La trosème parte étudat la dmenson VC de quelques hypergraphes géométrques Après avor établ quelques proprétés de convexté, on prouvat le lemme de Radon et l on s en servat pour borner la dmenson 1

2 VC de tout hypergraphe ndut par les dem-espaces de R d On observat ensute que la dmenson VC des hypergraphe ndut par les convexes de R d ne peut, elle, pas être bornée unformément S les questons 9 et 10a ont été tratées par une majorté de canddat(es, de nombreuses copes n abordent pas les questons plus délcates Ans, une grande moté des copes ne dscutent, à la queston 10b, que l mplcaton évdente et les questons 12 et 13 n ont été abordées que par, respectvement, 17% et 11% des copes Le barème a pénalsé le manque de rgueur pour les questons élémentares et a récompensé les efforts pour aborder les questons délcates La quatrème parte étudat un algorthme de constructon d un ensemble ɛ-fn (en anglas : ɛ-net au moyen du Lemme de sélecton d Imre Bárány Ces ensembles ntervennent par exemple dans des algorthmes d approxmaton en géométre algorthmque Pour les hypergraphes de dmenson VC bornée, des méthodes probablstes permettent de construre faclement des ensembles ɛ-fn Cette parte étude le cas des hypergraphes nduts par les convexes de R 2, dont on a vu en parte III qu ls pouvaent avor une dmenson VC arbtrarement grande Cette parte n a été abordée que par 10% des copes et ce, le plus souvent, de manère très margnale Remarques globales Le barème a ben évdemment tenu compte de la longueur du sujet Les correcteurs tennent à soulgner les ponts suvants : Le manque de rgueur coûte généralement cher Il est peut-être utle de soulgner que les correcteurs accepteront une rédacton rapde d autant plus faclement que le/la canddat(e aura traté les questons smlares précédentes rgoureusement et dentfe clarement les ponts auxquels prêter attenton Pour obtenr une bonne note l n est pas nécessare de fare beaucoup de questons, mas l faut affronter la dffculté Le barème et la notaton ont récompensé les efforts pour aborder les questons délcates Certanes copes ayant traté très correctement la parte I et le début de la parte II ont eu plus de la moyenne ; nversement, les copes qu ne trataent aucune queston dffcle ont rarement reçu une note satsfasante Les tentatves d escroquere sont à proscrre Il semble nécessare de rappeler que l honnêteté ntellectuelle est une des qualté évaluée, étant la base de la démarche scentfque Les escamotages de dffcultés au fl de rasonnements nutlement tortueux, les affrmatons sans explcaton de reformulatons des questons posées, etc, sont donc très mal vues et rendent les correcteurs partculèrement strct(es Les bonnes dées et arguments partels sont d autant plus récompensés que la cope reconnaît les lacunes du rasonnement proposé Soulgnons que les deux premers ponts étaent déjà largement ms en avant dans le rapport de l épreuve nformatquemathématques 2013 Remarques spécfques Queston 2b Il convent d explcter l usage d une symétre des rôles lorsque l on s en sert Ans, les affrmatons telles que comme α β l exste x α \ β sans autre précson ont été (légèrement pénalsées Queston 2c Un nombre non néglgeable de copes ont proposé d utlser l applcaton H U H V α U α V Cette défnton a été sanctonnée comme absurde pusque cette applcaton n est pas défne, pluseurs α peuvent donner leu à des α U dentques mas à des α V dstncts Queston 3a et 3b Dans la preuve de la borne supéreure, l faut fare attenton à donner un argument unversel, e valable pour tout trplet ou quadruplet de sommets de l hypergraphe Queston 4e Les copes ayant proposé un exemple valable unquement dans le cas où n = d n ont reçu qu une parte des ponts 2

3 Queston 5 Un nombre non néglgeable de copes ont argumenté que la foncton Φ : Dx H H α α x} nverse l opératon de compresson C est faux pusque s α H et α x} / H alors α D x H mas α x} / H Queston 6a et 6b Ces deux questons pouvaent éventuellement être tratées d un seul trat, la dstncton ayant pour but d ader les canddats De trop nombreuses tentatves d escroquere ont été relevées (et sanctonnées Queston 9a Pluseurs copes ont proposé une preuve par récurrence sur le nombre d ensembles convexes consdérés et en ont conclu que toute ntersecton (non seulement dénombrable, mas auss arbtrare de convexes est convexe Elles ont été sanctonnées Queston 9b et 9c Ces questons, élémentares, avaent pour but de famlarser les canddat(es avec ces prncpes de convexté Une rédacton mpeccable état attendue Queston 11a Les copes ayant utlsé deux lasons, par exemple une entre x 1, x 2,, x et une autre entre x 2, x 3,, x d+2, sans justfer que ces formes lnéares peuvent être choses ndépendantes et non trvales ont été pénalsées Éléments de corrgé Ce qu sut sont des éléments de corrgé proposés à ttre ndcatf Ils ne donnent qu une soluton admssble pour chaque queston, d autres étant parfos possbles Parte I Queston 1 Sot S = 0, 1,, n 1} l ensemble des enters comprs entre 0 et n 1 a Quel est, en foncton de n, le nombre maxmum d hyperarêtes que peut avor un hypergraphe de sommets S? On justfera la réponse b Comben d hypergraphes de sommets S dfférents exste-t-l? On justfera la réponse c Démontrer : Soluton à la queston 1 p q 1, ( p q = ( p 1 + q ( p 1 q 1 a Le nombre maxmum d hyperarêtes de S est P (S On montre par récurrence que pour tout n 1 on a P (S = 2 n Pour n = 1 on a S = 1} et P (S =, 1}} donc la proprété est vrae Pour tout n 1 on a : P (1, 2,, n + 1} = P (1, 2,, n} α n + 1} α P (1, 2,, n} et comme l unon est dsjonte, P (1, 2,, n + 1} = 2 P (1, 2,, n} Il s ensut que s P (1, 2,, n} = 2 n alors P (1, 2,, n + 1} = 2 n+1 b Les hypergraphes de sommets S sont précsément les éléments de P (P (S En utlsant le (a on trouve qu l y en a 2 2n c Sot S un ensemble à p éléments et fxons x S Sot C x l ensemble des sous-ensembles de S de cardnal q qu contennent x et E x l ensemble des sous-ensembles de S de cardnal q qu ne contennent pas x Les ensembles C x et E x parttonnent les sous-ensembles de S de cardnal q donc ( p = C x + E x q Par alleurs, l applcaton Les éléments de E x sont précsément les sous-ensembles de S \ x} de cardnal q, donc E x = ( p 1 q f : U S U \ x} met en bjecton C x avec l ensemble des sous-ensembles de S \ x} de cardnal q 1 Donc C x = ( p 1 q 1 L dentté s ensut Queston 2 Soent S un ensemble fn, H un hypergraphe de sommets S et U V S a Donner un exemple de S, H, U et V pour lesquels H U H V b Démontrer que pour toutes hyperarêtes α, β H, on a : α U β U α V β V 3

4 c En dédure que H U H V Soluton à la queston 2 a S = 0, 1}, H = 0, 1}}, U = 0}, V = 0, 1} b Sot α, β H S α U β U alors l exste x S tel que l une des deux condtons est vrae : ( x (α U \ (β U ou ( x (β U \ (α U Supposons ( par symétre des rôles entre α et β On a alors que x α U et x / β (snon comme x U on aurat x β U Comme U V l s ensut que x α V et x / β V Donc α V β V c On note k = H U et on chost α 1, α 2,, α k H telles que H U = U α 1 k} Remarquons que D après (a on a donc 1, j k, j U α U α j 1, j k, j V α V α j et H V content au mons k éléments dstncts : V α 1, V α 2,, V α k Queston 3 Dans cette queston on suppose n 3 a Soent S un ensemble de n réels deux à deux dstncts et H l hypergraphe de sommets S défn par H = S [a, b] a, b R} Calculer dm VC (H b On note S = (x, y R 2 x 2 + y 2 = 1} Sot S S un sous-ensemble de S de cardnal n On défnt : R S f : et H θ (cos θ, sn θ = S f([a, b] a, b R} H est donc un hypergraphe de sommets S Calculer dm VC (H Soluton à la queston 3 a Prenons deux éléments x, y S avec x < y et posons X = x, y} On remarque que H X = P (X en posant t = y x 3 et en consdérant les quatre ntervalles : [x + t, y t], [x, y t], [x + t, y], et [x, y] Donc dm VC (H 3 Mantenant, sot X S avec X 3 et soent x, y, z X avec x < y < z Les ntervalles de R sont connexes donc tout ntervalle contenant x et z content auss y Par conséquent, x, z} / H X et donc X / R(H Il s ensut que dm VC (H = 3 b Sot X S de cardnal 3 On écrt X = (cos θ 1, sn θ 1, (cos θ 2, sn θ 2, (cos θ 3, sn θ 3 } avec 0 θ 1 < θ 2 < θ 3 < 2π On pose t,j = θ j θ et on remarque que H 3 X = P (X en consdérant les mages par f des hut ntervalles : [θ 1 + t 1,2, θ 2 t 1,2 ], [θ 1, θ 1 + t 1,2 ], [θ 2, θ 2 + t 2,3 ], [θ 2 + t 2,3, θ 3 ], [θ 1, θ 2 ], [θ 2, θ 3 ], [θ 3 2π, θ 1 ], [θ 1, θ 3 ] Donc dm VC (H 4 Sot X S avec X 4 et soent x 1, x 2, x 3, x 4 X On écrt x = (cos θ, sn θ avec 0 θ 1 < θ 2 < θ 3 < θ 4 < 2π Sot [a, b] un ntervalle de R tel que b a < 2π et x 1, x 3 f([a, b] Alors l exste k 1 Z et k 3 Z tels que θ 1 + 2k 1 π [a, b] et θ 3 + 2k 3 π [a, b] Comme θ 3 θ 1 + (k 3 k 1 2π b a < 2π alors k 3 k 1 1 et de plus, s k 3 k 1 0 alors θ 3 > θ 1 mplque k 3 = k 1 Ans, sot k 1 = k 3 ou k 1 = k Dans le premer cas, θ 2 + 2k 1 π [θ 1 + 2k 1 π, θ 3 + 2k 3 π] [a, b] Dans le second cas, θ 4 + 2k 3 π [θ 3 + 2k 3 π, θ 1 + 2k 1 π] [a, b] Il s ensut que x 1, x 3 } / H X et donc pour tout X S avec X 4 on a H X P (X Par conséquent, dm VC(H = 4 Queston 4 Soent S un ensemble fn de cardnal n et H un hypergraphe de sommets S a Montrer que s dm VC (H = 1 alors H 1 b Sot x S On défnt deux hypergraphes de sommets S \ x} : Montrer que H = H + H H = H S\x} et H = α H α H et α x} H} c On consdère à nouveau les hypergraphes H et H défns à la queston 4(b Montrer que dm VC (H dm VC (H et que dm VC (H dm VC (H 1 d Montrer que s dm VC (H = d, alors : d 1 ( n H e Donner, pour tout n d, un exemple d hypergraphe à n sommets pour lequel l négalté de la queston 4(d devent une égalté On justfera la réponse Soluton à la queston 4 =0 4

5 a Supposons qu l exste deux hyperarêtes dstnctes α, β H Comme α β l exste un sommet qu appartent à l une et pas à l autre ; par symétre des rôles entre α et β on suppose qu l exste v S tel que v α et v / β Alors, s X = v} on a α X, β X} H X Comme α X, β X} = v}, } = P (X, l s ensut que H X = P (X et dm VC (H 2 Par contraposton, s dm VC (H = 1 l n exste pas deux hyperarêtes dstnctes dans H et donc H 1 b On consdère l applcaton H H f : α α \ x} et pour tout β H on note f 1 (β = α H f(α = β} Cette foncton f est surjectve par défnton de H et défne sur tout H Par conséquent, H = β H f 1 (β On note que pour tout β H, f 1 (β est non vde et contenu dans β, β x}} Par conséquent, 1 f 1 (β 2 et plus précsément : f 1 2 s β H (β = 1 snon Il s en sut que H = 2 H + H \ H et comme H H, on obtent fnalement que H = H + H c Notons k = dm VC (H Soent Y S \ x} tel que Y = k 1 et H Y = P (Y Pour tout T P (Y l exste donc une hyperarête α H tel que T = α Y Pusque α H, l exste β H tel que α = β (S \ x} Comme x / Y l s ensut que β Y = T Comme cela est vra pour tout T P (Y, on a H Y = P (Y Il s ensut que dm VC (H Y + 1 = k = dm VC (H Notons mantenant l = dm VC (H Sot Z S \ x} tel que Z = l 1 et H Z = P (Z Pour tout T P (Z l exste donc une hyperarête α H tel que T = α Z Notons β = α x} Par défnton de H, α H et β H et T = (Z x} α et T x} = (Z x} β Il s ensut que H T x} = P (T x} et dm VC (H Z + 2 = l + 1 = dm VC (H + 1 d On a montré au (a que cette proprété est vrae pour d = 1 et pour tout n 1 Remarquons que pour n = 1 et d 2 cette proprété énonce qu un hypergraphe sur 1 sommet a au plus 2 hyperarêtes, ce qu est trvalement vra Fxons mantenant N 1 et D 1, supposons que H est un hypergraphe de sommets S avec S = N et tel que dm VC (H = D Supposons la proprété vérfée pour tout couple (d, n nféreur à (D, N pour l ordre lexcographque et défnssons H et H comme au (b D après (b on a H = H + H et d après (c on a dm VC (H dm VC (H et que dm VC (H dm VC (H 1 L hypothèse de récurrence donne donc ce qu se réécrt : d 1 ( N 1 d 2 ( N 1 H = H + H + =0 =0 d 1 ( N 1 ( N 1 d 1 ( N H = 1 + = 1 e On fxe d et on consdère l hypergraphe de sommets 1, 2,,, n} dont les hyperarêtes sont exactement les sous-ensembles de cardnal au plus d 1 Il est clar que d 1 ( n H = =0 Par alleurs, H a dmenson VC exactement d : cette dmenson VC est au mons d car tout sous-ensemble de cardnal d 1 de 1, 2,,, n} est pulvérsé par H, et cette dmenson est au plus d car s X 1, 2,,, n} est de cardnal au mons d alors X / H X et donc X n est pas pulvérsé d 1 =0 ( N Parte II Queston 5 Montrer que pour tout x S on a D x(h = H Indcaton : on pourra chercher à explcter une bjecton entre H et D x(h Soluton à la queston 5 Pour tout x S et α S \ x}, on note S(α, x = α, α x}} On a quatre cas de fgure : sot H S(α, x = S(α, x, et alors D x(h S(α, x = S(α, x, sot H S(α, x = α}, et alors D x(h S(α, x = α}, sot H S(α, x = α x}}, et alors D x(h S(α, x = α}, sot H S(α, x =, et alors D x(h S(α, x = Cela mplque mmédatement que pour tout α S \ x} on a H S α = D x(h S α Comme les S(α, x, pour α S \ x}, parttonnent P (S, on a H = H P (S = H S α = D x(h S α = D x(h P (S = D x(h α S\x} α S\x} Queston 6 Soent U S et x S 5

6 a Montrer que s x / U alors (D x(h U D x(h U b Montrer que s x U alors (D x(h U D x(h U Soluton à la queston 6 a Sot α (D x(h U Par défnton de la trace, l exste β D x(h tel que α = β U Par défnton du décalage l exste γ H β \ x}, β x}} et γ U H U Comme x / U on a γ U = β U = α et donc α H U Par conséquent, α = α \ x} D x(h U ce qu prouve l ncluson demandée b Sot α (D x(h U et sot β D x(h tel que α = β U (l exstence de β découle de la défnton de la trace Supposons d abord que x / α Alors x / β Il exste γ β, β x}} tel que γ H et donc (γ U \ x} D x(h U Comme (γ U \ x} = β U = α on en dédut que α D x(h U Supposons mantenant que x α Alors x β et par défnton du décalage, on a β H et β \ x} H Par conséquent, β U et (β \ x} U = (β U \ x} appartennent tous deux à H U Il s ensut que β U et (β U \ x} appartennent tous deux à D x(h U et donc α D x(h U Cela conclut la preuve Queston 7 Montrer que pour tout x S on a dm VC (D x(h dm VC (H Soluton à la queston 7 Sot U S pulvérsé par D x(h D après la queston précédente on a P (U = (D x(h U D x(h U P (U Remarquons que cela mplque que U est pulvérsé par H En effet, s x / U alors D x(h U = H U = P (U S x U et H U P (U alors l exsterat α U \ x} tel que la pare α, α x}} n est pas contenue dans H U, ce qu mplquerat que α x} / D x(h U, contredsant D x(h U = P (U Ans, U est pulvérsé par H et donc U dm VC (H 1 Cela est vra pour tout U S pulvérsé par D x(h, donc dm VC (D x(h dm VC (H = dm VC (H Queston 8 Pour tout N on note mod n le reste de la dvson entère de par n, c est-à-dre que mod n est l unque enter r 0, 1,, n 1} tel qu l exste q N satsfasant = qn + r On consdère la sute (H N d hypergraphes défne par : H0 = H H = D mod n (H 1 pour tout 1 a Démontrer qu l exste un enter 0 N et un hypergraphe H de sommets S tel que : b Démontrer que max α H α dm VC (H 1 0, H = H c En dédure une nouvelle preuve de l dentté étable à la queston 4(d : Soluton à la queston 8 d 1 ( n H, où d = dm VC (H =0 a Pour tout hypergraphe H de sommets S on note w(h = α H α et on remarque que pour tout x S on a w(h = w(h S(α, x α S\x} Sot N tel que H H 1 et notons x = mod n D après la queston 5(a, pour tout α S \ x} on a sot H 1 S(α, x = H S(α, x et donc w(h S(α, x = w(h 1 S(α, x, sot w(h S(α, x < w(h 1 S(α, x De plus, comme H H 1 le second cas se produt pour au mons un α S \ x} Il s ensut que w(h < w(h 1 Comme w est à valeurs dans N, la sute des (w(h N est ultmement statonnare et l en va donc de même pour la sute des (H N b On commence par montrer que pour tout α H et tout β α on a β H Sot α H et supposons qu l exste β α tel que β / H On chost un tel β maxmum pour l ncluson Sot x α \ β (un tel x exste car α H garantt que β α Remarquons que x / β / H et β x} H (le contrare contredrat la maxmalté de β Par conséquent, β D x(h et β x} / D x(h Par conséquent, s l exste β α tel que β / H alors D x(h H Comme, par défnton de H, pour tout x S on a D x(h = H, on obtent par contraposton que tout β α appartent à H Ans, tout α H est pulvérsé par H Ans, max α H α dm VC (H 1 D après la queston 7, on a et on a donc max α H α d 1 d = dm VC (H = dm VC (H 0 dm VC (H 1 dm VC (H 0 = dm VC (H, c On ( a d abord, par une récurrence mmédate, que H = H Comme tout élément de H a cardnal au plus d 1 et qu l exste au plus n k sous-ensembles de S de cardnal k, on a : H = H dm VC (H 1 =0 ( n 6

7 Parte III Queston 9 a Montrer que toute ntersecton de sous-ensembles convexes de R d est convexe b Démontrer que pour tout sous-ensemble A R d les tros propostons suvantes sont équvalentes : (1 A est convexe, (2 A = conv(a, (3 n 2, x 1, x 2,, x n A, λ 1, λ 2,, λ n R + tels que n λ = 1, n λ x A c Démontrer que pour tout sous-ensemble A R d on a : n conv(a = λ x n N, x 1, x 2,, x n A, λ 1, λ 2,, λ n R + tels que Soluton à la queston 9 } λ = 1 a Sot (A I une famlle (pas nécessarement dénombrable d ensembles convexes et posons A = I A Les nclusons I, A A et la convexté de chacun des A garantt que Par conséquent, et A est convexe x, y A, λ [0, 1], I, λx + (1 λy A x, y A, λ [0, 1], λx + (1 λy I A = A b D après la queston 9(a, l ensemble conv(a est convexe Donc conv(a = A mplque que A est convexe et donc (2 (1 Récproquement, A conv(a par défnton et s A est convexe alors comme A content A, on obtent conv(a A On a par conséquent que (1 (2 et donc (1 (2 Le cas partculer n = 2 de l hypothèse (3 mplque mmédatement que A est convexe, donc (3 (1 Supposons A convexe Soent n 2, x 1, x 2,, x n A et λ 1, λ 2,, λ n R + tels que n λ = 1 On montre par récurrence sur n que n λ x A Pour n = 2 c est mmédat car λ 2 = 1 λ 1 Supposons la proprété vrae pour n 1 Comme Par hypothèse de récurrence, x A et on a donc (1 (3 n 1 n 1 λ x = λ j x + λ nx n avec x = j=1 λ n 1 j=1 λ x j Queston 10 a Montrer que tout dem-espace fermé de R d est convexe b Montrer que pour tout sous-ensemble X de R d et tout dem-espace fermé D de R d : Soluton à la queston 10 D conv(x D X a Sot D un dem-espace fermé et soent c R d et t R tels que D = x R d x c t} Pour tous x, y D et tout λ [0, 1] on a (λx + (1 λy c = λx c + (1 λy c λt + (1 λt = t et donc λx + (1 λy D D après la queston 9(a, D est convexe b L mplcaton découle de l ncluson X conv(x Récproquement, supposons que D X = où D = x R d x c t} Alors pour tout x X l on a x c > t Sot y = n λ x une combnason convexe de x 1, x 2,, x n X Comme λ 1, λ 2,, λ n R + et n λ = 1, on a ( n λ x c = λ x c > λ t = t et donc y / D Il s ensut que s D X = alors D conv(x = et donc est vrae par contraposton Queston 11 Soent x 1, x 2,, x n R d des vecteurs deux à deux dstncts a Montrer que s n d + 2 alors l exste n réels λ 1, λ 2,, λ n R non tous nuls tels que n λ x = 0 et n λ = 0 b En dédure que s n d + 2 alors l ensemble x 1, x 2,, x n} admet une partton en deux sous-ensembles non-vdes V 1 et V 2 tels que conv(v 1 conv(v 2 est non vde Soluton à la queston 11 a Pour = 1, 2,, n on défnt y = (x, 1, c est-à-dre que y est un vecteur de R dont les d premères coordonnées concïdent avec celles de x et dont la (d + 1 ème coordonnée est 1 La famlle y 1, y 2,, y n} compte au mons d + 2 vecteurs dans R et est donc lée Il exste donc λ 1, λ 2,, λ n R non tous nuls tels que n λ y = 0 En partculer, s l on consdère séparément les d premères coordonnées et la (d + 1ème coordonnée, on obtent : λ x = 0 et λ = 0 7

8 b Soent λ 1, λ 2,, λ n R non tous nuls tels que n λ x = 0 et n λ = 0 On défnt P = 1, 2,, n} λ > 0} et N = 1, 2,, n} λ < 0} Le fat que n λ = 0 et que les λ ne sont pas tous nuls garantt que P et N sont tous deux non vdes On a : λ x = ( λ j x j et λ = ( λ j P j N P j N On peut donc dvser la premère dentté par P λ à drote et par j N ( λ j à gauche, la seconde dentté garantssant que ces deux grandeurs sont égales, pour obtenr : λ P P λ x = λ j j N j N λ x j j S l on pose V = x P } et V 2 = x N}, l dentté c-dessus donne deux combnasons convexes, une de V 1 et l autre de V 2, qu sont égales Par conséquent les enveloppes convexes de V 1 et V 2 ont une ntersecton non vde En dstrbuant les x pour lesquels λ = 0 arbtrarement entre V 1 et V 2, on obtent la partton voulue Queston 12 Sot S un sous-ensemble fn de R d et sot H l hypergraphe de sommets S défn par H = S D D D d } Montrer que dm VC (H d + 2 Soluton à la queston 12 Sot X un sous-ensemble de S de cardnal n d + 2 D après la queston 11(b l exste une partton de X en V 1 et V 2 tels que conv V 1 conv V 2 On remarque que tout dem-espace fermé qu content V 1 content auss au mons un vecteur de V 2 En effet, pour tout D D d, s V 1 D alors (d après la queston 10(b conv(v 1 D et donc conv(v 2 D et donc (d après la queston 10(b V 2 D Il s ensut que V 1 / H X et donc H X P (X Donc, tout sous-ensemble Y S tel que H Y = P (Y a cardnal au plus d + 1 et dm VC (H d + 2 Queston 13 Sot n 2 Sot S = x 1, x 2,, x n} où x 1, x 2,, x n R 2 sont des vecteurs de norme 1 deux à deux dstncts Calculer la dmenson VC de l hypergraphe H de sommets S défn par H = S C C C 2 } On justfera la réponse Soluton à la queston 13 On remarque tout d abord que l négalté trangulare est une égalté s et seulement s les vecteurs sont postvement colnéares, sot (en utlsant que x 1 est de norme 1 et donc non nul : λ x = λ x 2 n, µ R +, x = µ x 1 Comme x 1, x 2,, x n R 2 sont des vecteurs de norme 1 deux à deux dstncts, aucun sous-ensemble n est postvement colnéare et pour tout I 1, 2,, n}, les seuls vecteurs de conv(x I} de norme 1 sont précsément les x avec I Par conséquent, I 1, 2,, n}, S conv(x I} = x I} et donc x I} H Il s ensut que H = P (S et dm VC (H = n + 1 Parte IV Queston 14 Soent C 1, C 2,, C n C d a On suppose que n d + 2 et que pour tout sous-ensemble I 1, 2, n} de cardnal n 1, l ensemble I C est non vde En dédure que l ensemble n C est non-vde Indcaton : on pourra fxer, de manère arbtrare, pour tout 1 k n, un vecteur x k 1,2,,n}\k} C et utlser la queston 11 (b b Montrer que s n d + 2 et que pour tout sous-ensemble I 1, 2, n} de cardnal d + 1, l ensemble I C est non vde, alors l ensemble n C est non-vde Soluton à la queston 14 a Pour k 1, 2,, n} on défnt x k 1,2,,n}\k} C (un tel vecteur exste par hypothèse D après la queston 11 (b, l exste une partton de x 1, x 2,, x n} en deux partes V 1 et V 2 non vdes et un vecteur y conv(v 1 conv(v 2 Sot 1, 2,, n} Comme pour tout j 1, 2,, n}\} l on a x j C, s x V 1 alors conv(v 2 C De même, s x V 2 alors conv(v 1 C Dans les deux cas on obtent que y C, ce qu mplque que y appartent à l ntersecton n C b Pour k d + 1, d + 2,, n} notons φ(k la proprété pour tout, pour tout sous-ensemble I 1, 2, n} de cardnal k, l ensemble I C est non vde Par hypothèse φ(d + 1 est vra De plus, pour tout k d + 1, d + 2,, n 1}, s φ(k est vrae alors, d après la queston (a, φ(k + 1 est vrae Il s ensut donc, par le prncpe de récurrence, que φ(k est vrae pour tout k d + 1, d + 2,, n} et en partculer, φ(n donne que l ensemble n C est non-vde Queston 15 Sot S R d un ensemble de cardnal n Un pont central de S est un élément c R d (pas nécessarement dans S tel que tout n dem-espace fermé contenant c content au mons éléments de S a Montrer qu un vecteur c R d est un pont central de S s et seulement s c appartent à tout dem-espace ouvert D contenant strctement plus de dn vecteurs de S 8

9 b On défnt C(S = conv(d S D dem-espace ouvert tel que D S > dn } d + 1 c est-à-dre que les éléments de C(S sont les enveloppes convexes de sous-ensembles de S contenus dans un dem-espace ouvert D contenant strctement plus que dn vecteurs de S Montrer que pour tous C 1, C 2,, C C(S l ntersecton C est nonvde c Montrer que tout ensemble fn S R d de cardnal n d + 1 admet un pont central Soluton à la queston 15 1 Supposons que c est un pont central de S et sot D un dem-espace ouvert contenant strctement plus de nd vecteurs de S S l on note D = x R d x c < t}, alors le complémentare de D est D c = x R d x ( c t} On reconnaît que D c est un dem-espace fermé Comme D c n content strctement mons de vecteurs de S, l ne peut donc contenr c Il s ensut que c dot appartenr à D, ce qu prouve l mplcaton Récproquement, supposons que c appartent à tout dem-espace ouvert contenant strctement plus de nd vecteurs de S S D est un dem-espace fermé contenant c alors le complémentare de D est un dem-espace ouvert ne contenant pas c Par conséquent, le complémentare de D dot contenr au plus nd vecteurs de S et D dot contenr au mons n vecteurs de S Ans, tout dem-espace n fermé contenant c content au mons vecteurs de S, et c est donc un pont central 2 Sot D un dem-espace ouvert tel que C = conv(d S Remarquons que pour tout x S, s pour tout 1, 2,, d + 1} on a x D alors x n C n Or, pour tout 1, 2,, d + 1} l exste strctement mons de vecteurs de S n appartenant pas à D Ans, l exste strctement mons de (d + 1 n = n vecteurs de S n appartenant pas à tous les D 1, D 2,, D et donc l exste forcément au mons un vecteur de S dans n C, qu est donc non-vde 3 L ensemble C(S est un ensemble fn (de cardnal au plus P (S de sous-ensembles convexes de R d D après (b, tout sous-ensemble de d + 1 éléments de C(S a une ntersecton non-vde Donc, d après la queston 14 (b l ntersecton C cc(s C est non vde ; sot y un vecteur de cette ntersecton Par défnton de C(S, y appartent à tout dem-espace ouvert tel que contenant strctement plus de dn vecteurs de S Ans, d après le (a, y est un pont central de S Queston 16 Montrer que la méthode (M termne et majorer le cardnal de l ensemble T retourné Soluton à la queston 16 Consdérons le déroulement de la méthode et notons T 1, T 2,, T k, la séquence des ensembles T obtenus Notons N k le nombre de trangles de S qu entourent au mons un vecteur de T k Intalement T 1 = et N k = 0 Notons que s C C 2 est tel que C S ε S et C T k = alors aucun des trangles de C S n entoure aucun des vecteurs de T k Ans, s N k > ( n ( 3 εn 3 l n exste aucun C C2 satsfasant les condtons c-dessus et la méthode termne Il reste à mnorer l ncrément de N k produt par l ajout d un pont central c de C S D après le lemme de sélecton, le nombre de trangles de C S qu entourent c est au mons 2 ( C S ( 9 3, donc au mons 2 εn 9 3 Comme chaque trangle de C S est un trangle de S, l s ensut que N k+1 N k + 2 ( εn 9 3 Ans, la méthode s arrête après au plus auss majorée par 18 ε 3 ( ( n 3 εn ( εn 3 18 ε 3 étapes d ajout d un pont central Le cardnal de l ensemble T retourné est elle 9