Suites - exercices corrigés

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1 Suites - exercices corrigés 4 Je coais mo cours Défiitio d ue suite umérique : o peut défiir les suites comme des foctios de vers, u f (par exemple u la suite de Fiboacci : u0, u, u u u ) ou par des relatios ieres (récurrece) : u f u, u,, u0 comme par exemple Ue suite est croissate (décroissate) lorsque : tous ses termes vot e augmetat (dimiuat), pour tout, o a u u ; décroissate lorsque u u Algorithme de calcul des premiers termes d ue suite défiie par u f u Doées : f, u 0, Variables locales : k, X 0 k u0 X Tat que k Faire f( X) Fi tat que Afficher X X u : et la doée de 0 Algorithme de calcul de la somme des premiers termes (de u 0 à u ) d ue suite défiie par u f u doée de u 0 : et la Doées : f, u 0, Variables locales : k, X, S u0 S 0 k u0 X Tat que k Faire f( X) Fi tat que X, S X S Afficher X, afficher S

2 Remarque : il est pas écessaire de passer par X, o peut faire juste S f( X) S Comportemet à l ifii : o cosidère qu ue suite u coverge vers ue limite l si et seulemet si lorsqu o choisit importe quel etier p alors o peut trouver u rag N à partir duquel tous les termes sot à ue distace moidre qu u ombre de la forme 0 p de l, soit u l 0 p Par exemple la suite u ted vers car u N peut deveir aussi petit que l o veut Algorithme permettat de dire si ue suite u coverge probablemet vers ue limite l : Doées : f, u 0, Variables locales : p, X, k, max, N 0 k u0 X Tat que f( X) X k k Fi tat que k N Tat que Xl 0 p et k max faire Xl 0 p et k max faire Suites arithmétiques f( X) X k k Fi tat que Si k max alors afficher «limite probable = l au rag N» sio afficher k Remarque : max est le ombre de boucles maximal que l o puisse faire ; si das la première boucle k atteit max la limite est pas boe ; si c est das la deuxième boucle la limite semble boe à partir du rag N (et pour la valeur de p testée) er terme u 0 ; u u a d où u u0 a ou u up ( p) a Ses de variatio : si a 0, croissate ; si a 0, décroissate Limites : toutes les suites arithmétiques diverget vers ou Méthode de calcul de la somme des premiers ombres etiers : S = Somme des termes d ue suite arithmétique : O écrit la somme das les deux ses puis o ajoute terme à terme : S S, soit S S

3 S u u u u u a u a u a, soit u0 u0 a u0 u S, ce que l o résume avec S (bre de termes)(terme+derier terme) Suites géométriques er terme u 0 ; u qu ; p u u0 q ou u upq Ses de variatio : si u0 0 décroissate si 0q, statioaire si q Das le cas où q 0 Limites : coverge vers 0 si q ; si q, ted vers suivat les cas Méthode de calcul de la somme S q q q, soit S q qui doe, u oscille e permaece, u est croissate si q, S q q q q q : o multiplie des deux côtés par q, ce Somme des termes d ue suite géométrique ; même démarche : Si q, S u0 ( ) lim u 0 lorsque q S u0 u0 q u0 q u0 q q q u0 q u est géométrique de raiso q telle que q et lim q si q O utilise l iégalité t t : lorsque t 0 (doc t q ) et ted vers, t ted vers d où t ted vers E passat à l iverse, o a 0 0 q t t doc lim u 0 lorsque q O tiet des raisoemets semblables lorsque t 0 Lorsque q, q S u0 u0 q q Pour ue suite récurrete du u f u, doer la type valeur de 0 à partir de laquelle la distace etre deux termes cosécutifs deviet iférieure à ue précisio P doée ; Doées : f, u 0, P (la précisio cherchée), N max (le ombre maximum d itératios pour le cas où la suite e covergerait pas) 0 N, u 0 f X Y un, Tat que Y X P et N Nmax faire Y X

4 l algorithme doera alors les valeurs de 0 et de la limite l f X Y N N Fi tat que Sortie : N, Y Représetatio graphique d ue suite de la forme u f u iterprétatio Exemple : f x ; u 0=0,5 x dot o coaît le premier terme u0 et Istructios f(x)=+/x =0 u_0=05 y=x 4

5 GeoGebra (lige de saisie) Les sot là pour séparer les istructios (e pas saisir) U=ItératioListe[f(x),u_0,] P=Séquece[Segmet[(Elémet[U,k],Elémet[U,k+]), (Elémet[U,k],Elémet[U,k])],k,,] Q=Séquece[Segmet[(Elémet[U,k],Elémet[U,k+]), (Elémet[U,k+],Elémet[U,k+])],k,,] P_0=(u_0,0) Q_0=Segmet[P_0,(u_0,u_0)] 4 Exercices de base 4 Calculs simples u désige ue suite arithmétique de premier terme u 0 = 0 et de raiso 4 a Calculer u, u, u u 0 4 6, u 6 4, u 4 b Doer l expressio de u e foctio de et calculer u 9 u u0 r 0 4 ; u c Calculer la somme des termes de la suite u depuis u 0 jusqu à u 50 u0 u Il y a 4 termes : u0 u d Préciser le ses de variatio de u aisi que sa limite Comme o ajoute 4 à chaque fois que l o passe d u terme au suivat, la suite est croissate (support = droite de pete 4, soit croissate) v désige ue suite géométrique de premier terme v 0 = 8 et de raiso / a Calculer v, v, v v v0q 8 7 ; v vq 9 ; v vq b Doer l expressio de v e foctio de et calculer v 0 v v0 q 8 ; v c Calculer la somme des 0 premiers termes de la suite v 5

6 q / / 4 v0 v9 v0 8 8 q / 4 / 4 d Préciser le ses de variatio de v aisi que sa limite La suite est pas mootoe à cause de la raiso égative (u coup positif, u coup égatif) Pour la limite, comme, la suite ted vers 0 4 Calculs mois simples a Si u est arithmétique, o aura u 0r u r u0 5r u0 0r u0 5r u0 75 5, 57 u0 4, u0 4r r r, 57 b Si u est géométrique, o aura E faisat le quotiet des deux expressios, o a q 0 q u u0 q 5000 q q 6 6 q 5 q u5 000 u0q 000 q q 5 q q q q 5 5q q 5q q q Si o peut trouver des solutios à l équatio et e déduire u 0, ceci ous doerait bie les caractéristiques d ue suite géométrique malheureusemet l équatio e semble pas avoir de solutios (à part mais ce est pas vraimet ue solutio itéressate)! O a Il y a deux racies dot aucue est etière, ce est doc pas possible! 6

7 Ue suite géométrique dot la raiso q est telle que q a ue somme qui coverge vers vaudrait ici 8 : si o pred par exemple u0, o aurait coviet pas Preos plutôt 4 Fastoche q par exemple, alors u0 qui q q q q ce qui e 8 u0 8 u0 4 / u est la suite géométrique de premier terme u 0 = 8 et de raiso q = Calculer les termes u, u, u 0 Motrer que la somme S u0 u u0 est égale à 7 44 Suite arithmétique u5 5 u0 5r r r 7 u6 48 u0 6r u u 60 7 u u , 59 u789 u007 5 Il y a =9 termes das la somme qui vaut doc S 9 45 Somme de termes u ; 5 k 5 5 S u k u u u u u u k 5 5 u u5 5 formules : S Locatio de machies, soit e utilisat les O peut dépeser S ? de sorte que le total fasse 570 Comme o a ue suite arithmétique de premier terme u0 60 et de raiso 5, o a e otat le ombre de termes de la somme : u0 u S , soit ecore d où 7 : o peut doc louer la machie 8 jours 47 Etretie de machies 7

8 U chef d etreprise paie par a pour l etretie de ses machies Lors du reouvellemet du cotrat pour les dix prochaies aées, ue société lui propose deux formules : Partie A Cotrat A : le cotrat augmete de 5 % par a : suite géométrique de raiso 5 u u u,05u 00 ) O a doc u u,05, Attetio, la dixième aée correspod à u 9 9, ,69 Il faut trouver pour que =5 0 5,05 (o a 00 u, ,05 O fait ça à la machie et o trouve 0 9,558,05 0,688946,05,7096,5765, ,55065, , , , , , , q 4 O calcule u0 u u9 u ,55 q Partie B 0 Cotrat B : le cotrat augmete de 500 par a, la suite est arithmétique, v v v0 v9 v0 v v Le cotrat A est le plus avatageux sur 0 as mais B est le plus itéressat par la suite (faire u graphique) 48 Water Lily Au pays des plates géates, les éuphars pousset e doublat chaque jour leur surface U mati u éuphar éclôt au cetre d u étag circulaire d u rayo de 00 m ; le éuphar mesure alors cm de rayo e cm S et S S S 0 8

9 Résoudre S 0000, soit ici =5 Raiso puisque S r 4 S S 000 cm 49 The Pie Tree h6 0, 4, 4 et h 7 0, 4,8 (attetio aux uités) Comme les termes augmetet de maière costate, la suite est arithmétique : h h 5 5 0, 4 h h , h h h , ,,8 5 La représetatio est u segmet de droite qui passe par 5 ; 0 de pete 0,4 4 The Mathematical Times correctio ici : 4 Exercices itermédiaires 4 The Boss Ue etreprise propose, pour recruter u ouvel employé, deux types de rémuératio : Type : Salaire iitial de 00 par mois avec augmetatio auelle du salaire mesuel de 00 Type : Salaire iitial de 00 par mois avec augmetatio auelle du salaire mesuel de 8 % u0 u u 00, , ; 8 00, 00 00, 08 00,, 08, 08 00, v v u 0 u est arithmétique de premier terme 00, de raiso 00 : u ; v est géométrique de premier terme 00, de raiso,08 : 00,08 4 Il faut faire les sommes sur 5 as, de 0 à 4 : U u0 u q, V v0 00, 08 q,08 0,08 v 9

10 46 Suite homographique u Soit la suite u défiie par u 0 = et u u u u u0 u0, u u 5 0, u u 5 0 u 4 / 5 4 u 6 / doc u u 5, doc pas géométrique o plus u 5 u 8 u est pas arithmétique Istructio GeoGebra : L=Séquece[(k,Itératio[*x/(+*x),,k]),k,0,0] Cojectures : la suite est décroissate et ted vers 0 4 v u a v0, v 5 6 u / 5, v La suite v semble arithmétique de raiso b v u u v u u u u u 8 9 u 0

11 c v v0 et u ce que vous pouvez vérifier u u d O calcule u u 0 et losrque ted 5 5 vers, ted égalemet vers l ifii et 47 Ouaip, c est ue suite mo gars! u u 4 5, u u 4 9, u 4 u 4 4 deviet très petit et ted vers 0 u 4 Calculos v v u u u u 4 u 4 La différece est costate, la suite est arithmétique de raiso 4 v v 4 u 4 4 4, soit u O a doc 4 Calculos u tous les termes le sot v u qui est positif puisuqe Par ailleurs o voit sur la calculatrice que u 4 : , c est doc vrai 4 Quad ted vers, 4 u 4 qui ted vers 0 doc u ted vers 4 40 Y fait chô a T T , T 5 et T 7,5 T 0 b T T 0 T 0 u T 0 a doc u est ue suite géométrique de raiso et de premier terme u T 0 T 0 u0 T b, c u 60 et doc T u d A 5 o a T5,88 et à t 6, T6 0,98 doc à partir du rag 6, o a T Si représete des heures par exemple la température du récipiet sera pratiquemet égale à la température de la pièce au bout de 6 heures (à tester )

12 4 Cetre de gravité? u a b a b a b a b a b u u est costate et vaut u0 a0 b0 5 v a b a b a b a b v v est ue suite géométrique de raiso 5 et de premier terme v0 a0 b0 O a doc v v0 q 5 u v a 5 a u a b u v a 5 O a v a b u v b u v b b 5 5 Comme 5 ted vers 0 à l ifii, 5 lim a lim b O vérifie avec le tableur par exemple : a b a b 0 7,499996, ,4,6 8, ,500008,48,5 9, , ,496,504 0, , ,499,5008, , ,49984,5006,5,5 6,499968,5000,5,5 4 The Show Must Go O La perte de % correspod à I I 0 I0 0,77I0 00 a A chaque passage l itesité est multipliée par 0,77 : I 0,77I b I est ue suite géométrique de raiso 0,77 O a I I0q I0 0,77 c Comme I 0,77I I, I est décroissate

13 O cherche I 0 sachat que I4 5 I0 0,77 I0 4,67 4 0,77 I : 4 4 O cherche pour que I I0 I0 0,77 0, 5I0 0,77 0, 5 A la machie o a les résultats 4 suivats : Pour =6 o est e dessous de /4 I I 0 9 0, ,77 0 0, ,599 0, ,4565 0, ,5504 0, , , , , , , , , Jumpi Mokey Le ombre 4 est atteigable car = 4 Le sige a pas le choix : et il est bloqué! Le ombre 9 est atteigable car o a = 9, sas jamais sortir de l itervalle [0 ; 9] 4 Les exemples précédets traitet les carrés 4 et 9 Le cas échéat la recherche pour 6 peut doer , e remarquat que l o e sort jamais de l itervalle [0 ; 6] L observatio des sommes produites peut ameer la solutio géérale : ( ) ( ) ( ) ( 4) ( ) ( ) ( ), d où est atteigable Les seules difficultés sot le comptage des termes valat et la vérificatio du fait que l o reste bie das [0 ; ]

14 5 Si le ombre est atteigable, il existe des a i valat ou tels que a a ( ) a 0 Das cette somme o sépare les termes positifs dot o ote la somme S + des termes égatifs dot o ote la somme S O a alors : S +=S O calcule esuite ( ) S S S, o e déduit que ( ) S soit ( ) 4 et doc 4 divise le produit est doc de la forme 4k ou 4k+ : par exemple 8 est pas atteigable La réciproque est fausse puisque 5 est pas atteigable 6 L idée est de trasformer ue cofiguratio de siges + e +, cela va ajouter au ombre N Esuite o complète par la suite (N+) + (N+) (N+) + (N+4) et o trouve N+4 O ote S(i) la somme partielle des i premiers termes Remarquos que la séquece doat N se termie par (N )+N La séquece commece par ++ et le premier sige apparaît e positio i+ Alors S i i car S 4 O chage alors la sous-séquece i i e i i possible S, ce qui est O ajoute alors la séquece (N+) + (N+) (N+) + (N+4), ce qui assure que N+4 est atteigable 4 5 Vrai - Faux 45 Fesic 000, Exercice a 0 =, b 0 = 4, a ( a b ) 4 et b ( a b ) 4 a Vrai : O a U a b 4 a 4 b a b U Doc la suite est statioaire et vaut 4 U 0 = a 0+b 0 = 6 V a b a b a b V 4 b Vrai : O a Doc V est ue suite géométrique de raiso De plus V et de premier terme V0 4 qui coverge car c Vrai : Le milieu des segmets [A B ] a pour abscisse a b U U0 4 Doc pour tout, les segmets [A B ] ot le même milieu I, qui est le poit de (Ox) d'abscisse 4

15 d Faux : Pour tout, U a b a b V a b alors a 6 b 6 doc a b 45 Fesic 000, Exercice (u ) suite géométrique de raiso et de premier terme u =, v u a Faux : O a u Attetio au décalage de rag dû au fait que u commece à u b Vrai : O a premier terme v v Doc la suite v est ue suite arithmétique de raiso c Faux : Pour tout, o a k uk u k d Faux : La somme des racies est pas égale à la racie de la somme et de 45 Fesic 00, Exercice 0 k k S a Vrai : Pour tout etier >0, raiso d où k et S k k S k or k k k k est la somme d ue suite arithmétique de b Faux : Pour tout etier >0, S 0 De plus S S 0 doc la ( ) 4 ( ) suite est décroissate Elle est majorée par S par coséquet pour tout etier >0, o a : 0 S c Faux : lim S lim 5

16 d Faux : D après b) la suite est décroissate 454 Fesic 00, Exercice 9 Pour tout etier aturel, o cosidère la foctio f défiie sur par f x x x a Pour tout, la foctio f est strictemet décroissate sur l itervalle [0, ] Vrai Faux b Pour tout O ote, l équatio 0 f x admet ue uique solutio das Vrai Faux f x u l uique solutio das l itervalle [0, ] de l équatio 0 c Pour tout, o a : u Vrai Faux 0 d O a : lim u 0 Vrai Faux f ( x ) x x a Vrai : Calculos f '( x) x 0 x], / ] [ /, [, or pour supérieur à doc la foctio est décroissate sur [0, ] Attetio au «piège» et à e pas faire b Faux : Calculos les ordoées des extremum : 4 f x 0 x / qui est égatif si vaut au mois et 4 f qui est positif ; o a doc le tableau de variatio : x / 0 / + + f(x) et f( x) 0 a deux solutios das les réels positifs 6

17 c Vrai : Si u, comme f est décroissate sur [0, ], f(0) f( u ) f( ), soit 0 0, ce qui est vrai Il faut toujours avoir préset à l esprit les propriétés des foctios croissates ou décroissates d Vrai : C est plus simple comme ted vers 0, o a bie lim u Fesic 00, Exercice 0 u0 0, u, u u u, v u u, w u u Il y a assez peu de choses à savoir sur les suites, c est plutôt des questios de méthode ; les deux sot écessaires voire idispesables (coaître très bie le cours et coaître les méthodes) a Faux : Si la suite v est arithmétique, v vest costate : v v ( u u ) ( u u ) u u u u u u v ; 8 c est doc faux, mais ous gagos ue iformatio itéressate : v v et v est géométrique de raiso 8 et de premier terme v0 0 d où b Vrai : Recommeços : v 8 w w u u u u u u u u u 0 doc c est vrai E plus o a w w0 u u0 5 w v u u u u u u Ok! c Vrai : d Vrai : Remplaços pour calculer u : 458 Fesic 005, Exercice 0 u 8 5 u = ombre de diagoales d u polygoe covexe ayat côtés dot la limite est 7

18 C C D B D B A A E E F a Faux : u5 5 et u6 9 ; lorsqu o rajoute le poit F o rajoute diagoales et u côté deviet ue diagoale b Vrai : Lorsqu o rajoute u poit au polygoe à sommets, o rajoute côtés et diagoales, par ailleurs u côté deviet ue diagoale doc : u u u c Faux : Ue suite arithmétique a ue raiso costate! d Vrai : Par récurrece : u 0, ok ; u4, u5 5, u6 9, ok ; ( ) u doc ( )( ) u ; a-t-o u u? ( )( ) ( ) 459 Fesic 005, Exercice u v u v u v u v 0, 0,, a Vrai : le calcul est pas très marrat u v u v u v ( ) u ( ) v w v u ( ) b ( ) u ( ) v ( )( ) v u w w w ( ) ( ) ( )( ) ( ) terme, doc w 0 u v Vrai : O a w w0 q ; la raiso est positive (, 44 ) de même que le premier 8

19 c Vrai : Au pif, o peut peser que les deux suites sot adjacetes puisque w ted évidemmet vers 0 ; il faut doc que la suite v soit décroissate u v u v v v u v w Plus sérieusemet v v v 0 d Vrai : Suites adjacetes et tutti-quati ; les deux suites u et v coverget vers ue même limite (que vous vous ferez ue joie de trouver e partat par exemple sur l expressio de u u puis ) 450 Fesic 006, Exercice O cosidère la suite u défiie pour a Vrai : si c est vrai o a b Faux : u c Vrai : u u u ; or u!, doc décroissate termes * par : u et u! d Vrai : la factorielle du déomiateur grossit très vite u u!!! car 45 Fesic 007, Exercice 0 u0 0 v u v, u 5 0 v 5 u v 5 a Vrai : et w v u u v u v w v u v u w Premier terme : w0 v0 u u v u v b Vrai : u u u w qui est positif doc la suite u est croissate c Vrai : Les suites u et v sot adjacetes et coverget vers ue limite commue d Vrai : La première iégalité est vraie (u croissate), la deuxième égalemet : 45 Fesic 007, Exercice u v u v v u v a Vrai : si o a u u C est vrai tout le temps u u 9

20 b Vrai : u elle coverge c Vrai : v d Vrai : O a u u u u u 0 doc u est décroissate ; comme elle est borée, u u u u u 6 u 4 v ; v u u u u v et le résultat demadé : u 0 u0 u u v v vu v u u v v u u v, soit 0 45 Fesic 008, Exercice f x 4 x ; u0 4 u f u a Vrai : f x x 4 ' 0 doc f est croissate sur 4 7 b Faux : u 4 Comme f est croissate, par récurrece cette iégalité est coservée : 4 u u f u f u u u doc u est décroissate c Vrai : Si u, alors u : d Vrai : u est décroissate et miorée doc covergete 4 4 u 4 u u u 454 Fesic 008, Exercice f x 4 x ; u0 4 u f u et v u u 4 4u 8 4 u u u a Vrai : v 4 4v 4 u 4 u u u doc v est géométrique de raiso v v5 q q q q v5 v5 4 k5 9 0 b Faux : k 0

21 u v c Vrai : v u v v u u v u v u u v d Faux : u v v v v ; comme v ted vers, la suite u coverge vers 46 Algorithmes & Programmes 46 Les lettres de Gasto v u 800 v u 800 u v v O a v0 u et v 00 puis u 4 u u v

22 A = 7 o a u , , ,686 06,5 88, , , , , , , , , , ,006 Le pauvre Gasto L arrivera jamais à élimier so courrier e retard : il e restera toujours au mois 800 Et m oiselle Jeae sera bie déçue x x y x x y 0 4 a Remarquos que : 0 y Si y est croissate o a y y d où Comme ( ) y x ; cherchos y : y x x0 x x x y y x y x y x est croissate, o a x x0 x x y x E fait o avait 0 x x x x x x x doc x x0 x x x x x x y x Voici u exemple sur ue suite décroissate : x 0,9x x xk xk k0 k ,5 8, 7, 9,0

23 7,9 4,9 8, ,56 40,95 8,90 5 5, ,8559 7, ,44 5,70 7, , ,9579 7, ,0467 6,5795 6, , ,56 6,556 0, , ,808549, , , , ,5847 5,77069, ,075 5, , , , ,0589 8, , , ,88 4,9045 7, , , , , ,558 9, ,8445 4,967 0, ,0580 4,408696, ,59 4, , ,7069, La suite y semble égalemet décroissate O peut remarquer simplemet que arithmétique des termes de x b u0 u u v0 800 v 800 v 800 v0 v v 800 M or v est géométrique doc M 0, q ( / 4) v0 v v v q / 4 4 y est la moyee ; d où

24 Comme u est décroissate, 0,75 ted vers, 0,75 M doit être égalemet décroissate La suite coverge égalemet : le terme ted vers 0 doc M ted vers