TP N o 2 : Calcul approché d intégrale

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1 Igéierie umérique MPSI 2 semies TP N o 2 : Clcul pproché d itégrle But : Soit f ue foctio cotiue sur u segmet [, b]. O cherche à obteir ue pproximtio de f(x dx. Pour cel, fixos N et posos i = + i b 1 f(x dx = Nous llos pproximer chque itégrle i+1 1 i+1 i i pour i {0,..., } de fço à ce que i+1 i f(x dx. f(x dx, l objectif est de se covicre umériquemet que vec évlutio de l vitesse de covergece. lim A = f(x dx. E ott A, l qutité qui pproxime f(x dx, Exercice N o 1 : Ds u sous-dossier dpté, créer u sous-dossier coscré à ce TP. 1 Méthode des rectgles O utilise l pproximtio suivte : y Présettio de l méthode des rectgles C f i 1 i i+1 i+2 x A = 1

2 Ds ce cs, i+1 i f(x dx f( i ( i+1 i et o pose 1 A = f ( + i b ( b. Exercice N o 2 : Écrire ue foctio, ititulée methode_rectgle(f,,b,, pret e etrée ue foctio f (supposée cotiue, deux réels et b tels que < b, isi que u etier o ul et retoure e sortie l vleur A, pproximtio de f(x dx pr l méthode des rectgles. Exercice N o 3 : Tester l foctio methode_rectgle(f,,b, vec différetes vleurs de f,, b et. Exercice N o 4 : L pssé vous vez dmis l vleur de e x 2 2 dx. À l ide de l foctio methode_rectgle(f,,b,, retrouver umériquemet cette vleur. Combie vut-elle? 2 Méthode du poit milieu O utilise l pproximtio suivte : y Présettio de l méthode du poit milieu C f i 1 i i+1 i+2 x A = Exercice N o 5 : Ds cette situtio, que vut A? Exercice N o 6 : Écrire ue foctio, ititulée methode_milieu(f,,b,, pret e etrée ue foctio f (supposée cotiue, deux réels et b tels que < b, isi que u etier o ul et retoure e sortie l vleur A, pproximtio de f(x dx pr l méthode du poit milieu. 2

3 3 Méthode des trpèzes O utilise l pproximtio suivte : y Présettio de l méthode des trpèzes C f i 1 i i+1 i+2 x A = Exercice N o 7 : Ds cette situtio, que vut A? Exercice N o 8 : Écrire ue foctio, ititulée methode_trpeze(f,,b,, pret e etrée ue foctio f (supposée cotiue, deux réels et b tels que < b, isi que u etier o ul et retoure e sortie l vleur A, pproximtio de f(x dx pr l méthode des trpèzes. 4 Évlutio de l vitesse de covergece Ds chcu des cs précédets, ous vos vérifier umériquemet que lim A = f(x dx. Nous llos évluer ici, l vitesse de covergece, c est-à-dire, détermier umériquemet l vleur de α > 0 vérifit N b, f(x dx A C α. (1 Exercice N o 9 : Si (1 est stisfit, que peut-o dire de l courbe représetée pr l l(. f(x dx A e foctio de Exercice N o 10 : 3

4 1. Écrire ue foctio, ititulé erreur_methode_rectgle(f,,b,n, qui pred e etrée, b, f et N et retoure le grphe de l f(x dx A e foctio de l( pour {1,, N}. O utiliser l sytxe from scipy.itegrte import qud qud(f,,b[0] pour obteir l vleur 1 de f(x dx. 2. Tester cette foctio vec f : x x 2, = 0, b = 1 et N = Que peut-o e déduire qut à l vitesse de covergece de l méthode des rectgles? Exercice N o 11 : 1. Écrire de même les foctios erreur_methode_milieu(f,,b,n et erreur_methode_trpeze(f,,b,n. 2. Tester ces foctios vec f : x x 2, = 0, b = 1 et N = Que peut-o e déduire qut à l vitesse de covergece de l méthode du poit milieu et de l méthode des trpèzes? 1. Ue vleur extrêmemet bie pprochée e rélité. 4

5 Correctio Exercice N o 2 def methode_rectgle(,b,f,: A=0 for i i rge(: A=A+f(+i*(b-/ retur (b-/*a Correctio des exercices Correctio Exercice N o 4 Cette itégrle vut 2π puisque l foctio itégrée est l desité de l loi ormle cetrée-réduite. Correctio Exercice N o 5 Correctio Exercice N o 6 def methode_milieu(,b,f,: A=0 for i i rge(: A=A+f((2*+i*(b-/+(b-*(i+1//2 retur (b-/*a 1 ( i + i+1 A = f 2 ( b. Correctio Exercice N o 7 Correctio Exercice N o 8 ( 1 A = f + i b def methode_trpeze(,b,f,: A=0 for i i rge(: A=A+f(+i*(b-/+f(+(i+1*(b-/ retur (b-/(2**a ( + f 2 + (i + 1 b ( b. Correctio Exercice N o 9 Il s git, à peu près, d ue droite de pete égle à α. Correctio Exercice N o import pylb from scipy.itegrte import qud import mth =evl(iput("\fbore de deprt\" b=evl(iput("bore d rrivée\" =evl(iput("nombre de subdivisio?\" f=evl(iput("foctio dot vous voulez clculer l itégrle\" l,x,y=qud(f,, b[0],[],[] for i i rge(1,: Y.pped(mth.log(bs(l-methode_rectgle(,b,f,i X.pped(mth.log(i pylb.grid( pylb.show( pylb.plot(x,y pylb.title("evlutio de l erreur de l méthode des rectgles" 2. O obtiet le grphique qui suit. 5

6 L pete de cette droite vut 1. O e déduit, comme o le svit déjà d près le cours, que l méthode des rectgles est d ordre 1. Correctio Exercice N o import pylb from scipy.itegrte import qud import mth =evl(iput("\fbore de deprt\" b=evl(iput("bore d rrivée\" =evl(iput("nombre de subdivisio?\" f=evl(iput("foctio dot vous voulez clculer l itégrle\" l,x,y=qud(f,, b[0],[],[] for i i rge(1,: Y.pped(mth.log(bs(l-methode_trpeze(,b,f,i X.pped(mth.log(i pylb.grid( pylb.show( pylb.plot(x,y pylb.title("evlutio de l erreur de l méthode des trpèzes" import pylb from scipy.itegrte import qud import mth =evl(iput("\fbore de deprt\" b=evl(iput("bore d rrivée\" =evl(iput("nombre de subdivisio?\" f=evl(iput("foctio dot vous voulez clculer l itégrle\" l,x,y=qud(f,, b[0],[],[] for i i rge(1,: Y.pped(mth.log(bs(l-methode_milieu(,b,f,i X.pped(mth.log(i pylb.grid( pylb.show( pylb.plot(x,y pylb.title("evlutio de l erreur de l méthode du poit milieu" 2. O obtiet le grphique qui suit. 6

7 Les petes de ces deux droites vlet 2. O e déduit, comme o le svit déjà d près le cours, que les méthodes des trpèzes et de poit milieu sot d ordre 2. 7

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