Proposition : la droite d équation «y= 4» est asymptote horizontale à la courbe de f en. . Calculer : a) lim f( x) h( x) xlim

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1 NOM : Termiale S- ABC S3 ludi ovembre 06 La présetatio, la rédactio et la rigueur des résultats etrerot pour ue part sigificative das l évaluatio de la copie. Le sujet est composé de 5 eercices idépedats. La calculatrice est autorisée. La durée du devoir est de h. Eercice : sur 4 poits Les trois questios suivates sot idépedates. Pour chacue, dire si la propositio est vraie ou fausse e justifiat la répose Questio A : Soiet A et B deu évèemets d u même uivers mui d ue probabilité p. 3 O sait que : A et B sot idépedats ; p( A) ; p( A B) ; Propositio : pb ( ) Questio B : U fourisseur produit deu sortes de cadeas. Les us sot premier pri et les autres sot haut de gamme. U magasi de bricolage dispose d u stock de cadeas proveat de ce fourisseur ; ce stock compred u grad ombre de cadeas de chaque type. 80% des cadeas proposés à la vete sot premier pri ; les autres sot haut de gamme ; 3% des cadeas haut de gamme sot défectueu 7% des cadeas sot défectueu O prélève au hasard u cadeas das le magasi. O ote : p la probabilité qu u cadeas premier pri soit défectueu l évéemet : «le cadeas prélevé est haut de gamme» l évéemet : «le cadeas prélevé est défectueu» Propositio : la valeur de p est 0,08 Questio C : Soit f ue foctio défiie et dérivable sur ] ; +[\{4} dot o doe ci-dessous le tableau de variatios. Propositio : la droite d équatio «y= 4» est asymptote horizotale à la courbe de f e. Eercice : sur 4 poits. Soit. Calculer : a) lim ² 4 b) lim. Soit h ue foctio défiie sur telle que pour tout réel, o a : ² h( ) ². Calculer : a) lim h( ) Eercice 3 : sur poits b) h( ) lim ² Soit f ue foctio défiie sur dot o doe la courbe représetative ci-cotre. La droite est ue asymptote à la courbe représetative Cf de f e et e +. O cosidère la foctio g telle que g ( ) et o omme Cg sa courbe représetative. Justifier les deu propositios : a) La droite d équatio «y=» est asymptote horizotale à la courbe Cg e. b) La droite d équatio «=» est asymptote verticale à la courbe Cg.

2 Eercice 4 : sur 7 poits Au cours d ue séace, u joueur de teis s etraîe à faire des services. Pour tout etier aturel, o ote l évèemet «le joueur réussit le -ième service» et R l évèemet cotraire. Soit la probabilité de R et y la probabilité de R.La probabilité qu il réussisse le premier service est égale à 0,7. O suppose de plus que les deu coditios suivates sot réalisées : Si le joueur réussit le -ième service, alors la probabilité qu il réussisse le suivat vaut 0,8 Si le joueur e réussit pas le -ième service, alors la probabilité qu il réussisse le suivat vaut 0,7 R. O s itéresse au deu premiers services de l etraîemet. Soit X la variable aléatoire égale au ombre de services réussis sur ces deu premiers services. a. Compléter l arbre podéré ci-cotre, traduisat la situatio : 3 5 R b. étermier la loi de probabilité de la variable aléatoire X. c. Calculer l espérace mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 5 R. O s itéresse maiteat au cas gééral. a. oer les probabilités coditioelles P R et R P R b. Motrer que, pour tout etier aturel o ul, o a : 0, 0,7. R 3. Soit la suite ( u ) défiie pour tout etier aturel o ul, par u 9 7. as ces deu questios, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio a. étermier la ature de la suite ( u ). b. E déduire la limite de la suite ( ). Eercice 5 : sur 3 poits U istitut effectue u sodage pour coaître, das ue populatio doée, la proportio de persoes qui sot favorables à u projet d améagemet du territoire. Pour cela, o iterroge u échatillo aléatoire de persoes de cette populatio et l o pose ue questio à chaque persoe. O admet que la probabilité qu ue persoe iterrogée accepte de répodre à la questio est égale à 0,6. L istitut de sodage iterroge 700 persoes. O ote X la variable aléatoire correspodat au ombre de persoes iterrogées qui acceptet de répodre à la questio posée. a. Quelle est la loi de la variable aléatoire X? Justifier la répose. b. Quelle est la meilleure approimatio de P(X 400) parmi les ombres suivats? 0,9 0,93 0,94 0,95 O idiquera la méthode de calcul utilisée c. étermier ( à l aide de la calculatrice ), combie de persoes l istitut doit iterroger au miimum pour garatir avec ue probabilité supérieure à 0,9, que le ombre de persoes répodat au sodage soit supérieur ou égal à 400? O idiquera la méthode utilisée

3 correctio : Eercice : Questio A O sait que A et B sot idépedats doc p( AB) p( A) p( B) e plus p( AB) p( A) p( B) p( A B) après les doées et les relatios précédetes o peut écrire : 3 p( B) p( B) d où o tire : 4 ( ) 3 4 pb Coclusio : pb ( ) :. La propositio est vraie Questio B : Le tete doe P ( ) 0.8, P ( ) 0.03 et P()= Et o ote p le ombre P ( ) O peut représeter la situatio par u arbre podéré : Selo la formule des probabilités totales P( ) P( ) P( ) 0,07 0, 0,03 0,8 p 0,07 0, 0.03 O e tire p = p 0,08 0,8 La propositio est vraie Questio C : lim 4 doc la propositio est fausse Eercice :.a) 0, 0,03 0,97 0,8 p -p Et lim ( ) 3 lim ( ² 4) 0 d après le tableau de siges + sige de Par quotiet, o e déduit que : lim b) f est ue foctio ratioelle doc lim lim lim 0 ² 4 ² doc lim 0.a)O sait que pour tout réel, ² h( ) ². oc o a : h( ) ². e plus, lim ² Par théorème de comparaiso, o e déduit que lim h ( ) b).e l ecadremet précédet, o déduit que pour tout réel de * ² h( ) ² h( ) soit ecore ² ² ² ² ² ² Or lim lim. après le théorème des gedarmes, o déduit que lim h ( ) ² ²

4 Eercice 3 lim 0,5 a) après le tete et la lecture graphique doc par compositio lim lim g( ) lim X 0.5 X O peut doc e déduire que la droite d équatio «y=» est asymptote à la courbe Cg e - b) après le graphique f () 0. Et o a + Sige de f 0 + oc lim g ( ) lim. O e déduit que la droite d équatio «=» est asymptote à Cg. f ( ) Remarque : o a aussi Eercice 4 lim g ( ) lim f ( ). O s'itéresse au deu premiers services de l'etraîemet. Soit la variable aléatoire égale au ombre de services réussis sur ces deu premiers services. a. Loi de probabilité de? La variable aléatoire X pred les valeurs 0, et. E utilisat le pricipe multiplicatif sur l'arbre o obtiet la loi : b. Calculos l'espérace mathématique E(X) de la variable aléatoire X.. a. 'après l'éocé o déduit directemet : (o peut aussi refaire u arbre) et b. Motros que, pour tout etier aturel o ul, o a :. O se place à l'étape : d'après la formule des probabilités totales : or (car et sot complémetaires), doc. E remplaçat il viet : 3. Soit la suite défiie pour tout etier aturel o ul par. a. Pour tout etier aturel o ul o a :

5 oc est ue suite géométrique de raiso car Limite de la suite ( )? 0 et de premier terme -0.7 'après la questio précédete o a : e, o tire soit Comme < 0 < o a : lim 0, Et doc par opératios sur les limites, lim 7 9 Eercice : Bac 0 jui 06 Cetres étragers -corrigé proposé sur le site APMEP 694 est le plus petit etier coveat Remarque : o sait que N 400 ( puisqu o veut avoir au mois 400 persoes qui acceptet de répodre) O peut faire u programme pour trouver la première valeur de telle que P(X 400 ) >0,9 O e déduit alors la plus petite valeur de répodat à la questio : = 694.