Second degré Équations et inéquations

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1 Secod degré Équatios et iéquatios I - Triôme ère leço Triôme et sige du triôme Propriété Soit P() = a² + b + c, u triôme du secod degré, où a, b, c sot des ombres réels avec a 0. Le discrimiat de ce triôme est le réel b² - 4ac. = b² - 4ac. Discrimiat Equatio P() = 0 Sige du triôme P() Forme factorisée évetuelle de P() Si < 0 Aucue solutio das P() est du sige de a Pas de factorisatio avec ρ pour tout réel. des facteurs du er degré Si = 0 Ue seule solutio : 0 = -b a Si > 0 Deu solutios réelles distictes : = -b - a et = -b + a P() est du sige de a pour tout réel. De plus, P(0) = 0 P() est du sige de a sauf das l itervalle etre les racies et. De plus, P() = P() = 0 P()= a ( 0)² P() = a ( )( ) Remarque : La représetatio graphique d ue foctio du secod degré est ue parabole. Le sommet de cette parabole a pour coordoées ( b a ; 4a ) La foctio triôme admet u etremum atteit e b. Si a> 0, cet etremum est u miimum. Si a< 0, cet etremum est u maimum a II Sige du triôme Tableau de siges. Si u triôme vous est doé sous forme factorisée, il est pas utile de le développer pour e détermier le sige. Eemple : P() = ( )( 3) est u triôme de secod degré dot les racies sot et 3. - Page -

2 Le sige de P() est doc doé par le tableau suivat : (Le coefficiet de ² est doc < 0) P() Vous pourrez égalemet utiliser ce résultat pour détermier le sige d ue fractio ratioelle. Eemple : f () = +3 est défiie sur ρ - {-3} f () a le même sige que ( ) ( + 3) sur cet esemble. Doc le sige de f () est doé par le tableau suivat : - -3 f () Eercices o à soumettre Eercice 6 Doez suivat les valeurs de le sige de P() das chacu des cas suivats, après avoir factorisé, lorsque c est possible..p() = ² P() = ² + +.P() = ² P() = ² P() = -² P() = -² + 7 Eercice 7 Après avoir calculé le discrimiat des trois triômes suivats, attribuez à chacu le graphe de la foctio qu il défiit. f () = ² g() = ² h() = -² y y y O O O (Les uités ot été volotairemet omises) Eercice 8 - Page -

3 Résolvez le système d icoue. 3² > 0 ² + < 0 ème leço Résolutio d équatios et d iéquatios I - Équatios Eemple traité P() = 3 ² Calculez P(). Déduisez-e ue factorisatio de P() 3. Résolvez das R l équatio P() = 0 Réposes. P() = 3 ² = = 0. Puisque P() = 0, o peut mettre ( ) e facteur das P(). P() = ( ) (² + a + b) = 3 + a² + b - ² - a - b = 3 + ²(a - ) + (b - a) - b Détermios a et b : Pour tout réel, o a : soit 3 ² = 3 + ²(a ) + (b a) b Doc, par idetificatio des coefficiets (voir série, leço, II), o a : a = - b a = -5 doc b = -6 et a = - -b = 6 Soit P() = ( ) (² - 6) 3. P() = 0 ( ) (² - 6) = 0 = 0 ou ² - 6 = 0 = (-)² - 4 (-6) = 5 > 0. L équatio ² - 6 = 0 admet deu solutios - et 3. Doc S = {- ; ; 3} - Page 3 -

4 II - Iéquatios Propriété Le sige du biôme a + b(avec a 0) est doé par le tableau suivat : Eemple : -b a a + b sige de -a 0 sige de a Applicatio Cette propriété, cojuguée avec la règle des siges, permet de résoudre des iéquatios produit ou quotiet das lesquelles itervieet plusieurs facteurs. Eemple : Étudiez le sige de f () = ( )(3 ) (+)( ) ( - ) f ( ) Attetio : O e peut pas supprimer des déomiateurs algébriques sas savoir si leur sige est costat. Eemple : Résoudre das R l iéquatio < < - < 0 < 0 - Page 4 -

5 Doc : S = ]- ; 0[ ] ; + [ Résoudre das R l iéquatio : ( )² - (3 + )² (3 + ) ( ) (- 3) (4 + ) (3 + ) ( ) f ( ) Doc :S =]- ; -3 ] ]- 3 ; - ] ] ; + [ 4 III - Systèmes Pour résoudre u système d iéquatios à ue icoue, o résout chaque iéquatio, puis o pred l itersectio des esembles solutios. < + 3 < 5 Eemple : Résoudre { ² + < 0 < < 5 est e réalité déjà u système : - < et + 3 < 5 < 5 et > - < 5 et > - ² + < 0 (- + ) < 0(les racies sot 0 et ) ]- ; 0[ ] ; + [ - Page 5 -

6 Fialemet les solutios vérifiet : < 5 et > - doc S = ]- ; 5 [ et < 0 ou > doc S = ]- ; 0[ ] ; + [ - et 5 Doc S = S S = ]- ; 0 [ ] ; 5 [ 0 IV - Eemple de résolutio de problèmes Ue etreprise fabrique ue certaie quatité d u article, est u ombre etier. Le coût de fabricatio de chaque article est de 350 euros. L ivestissemet écessaire à la mise e place de la productio est de euros. Eprimez le pri de reviet r() e euros d u article e foctio du ombre d articles fabriqués. Quelle quatité miimale d objets doit être produite pour que le pri de reviet uitaire soit iférieur à 00 euros? à 400 euros? Résolutio Le coût se décompose e frais fies : et e frais par article : 350 Doc articles revieet à : Doc u article a u pri de reviet : r() = Si l o veut r() < 00, il faut < 00, soit < -50, ce qui est pas réalisable car est positif et 50 est égatif : cet objectif est hors de portée das les coditios proposées. O e pourra pas obteir u pri de reviet uitaire iférieur à 00 euros. Si l o veut r() < 400, il faut > 50 ; > < 400, soit Il faut doc produire plus de articles pour obteir u pri de reviet uitaire iférieur à 400 euros. < 50 Eercices o à soumettre Eercice 9 Repreez l eemple de résolutio du problème précédet e teat compte de la modificatio suivate : E réalité l usure des machies impose après la productio de articles le remplacemet d ue partie de l ifrastructure pour u coût total de euros. Le coût de fabricatio de chaque article passe égalemet à 0 euros. - Page 6 -

7 Calculez le ombre miimal d articles que l etreprise doit produire pour obteir u pri de reviet uitaire iférieur à 400, 600 et 50. Eercice 0 Résolvez das R.. 3 < < - 4 Eercice Résolvez les systèmes d iéquatios suivats das R... 3 > 0 5 < 0 ² + + > 0 3 > > 0 ² > 0 - Page 7 -

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