EXERCICES D ARITHMÉTIQUE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

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1 EXERCICE 01 : EXERCICES D ARITHMÉTIQUE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako 1) Démotrer par récurrece que : a) ε N*: = ( + 1) b) ε N*: ( 1) = c) ε N*: ( + 1) = ( + 1) d) ε N*: e) ε N* f) ε N ( + 1)( + ) p( p + 1) = p= ( + 3) = ( + 1) ( + ) 4 ( + 1) ( + ) ( + 1)( + )( + 3) p( p + 1)( p + ) = p= 1 4 g) ε N* 6 10 (4 ) = ( + 1)( + ) k 1 h) ε N*, k = ( 1) + 1 ; k= 1 i) ε N* {1} ; aεr * +, (1+a) > (1 + a) j) ε N et 4, > 1 1! k) ε N 1 ) Démotrer par récurrece que ε N*, = E déduire la somme : S = ) O pose I 0 = 0 et ε N*, I = + I 1 π Démotrer que cos ( ) I = + 1 ( + 1) EXERCICE 0 : 1 ) La divisio de 900 par u etier aturel b a pour quotiet 14 et pour reste r Quelles sot les valeurs possibles de b et r? ) Détermie les etiers aturels dot la divisio euclidiee par 16 a u reste égal au carré du quotiet 3 ) Soit q et r le quotiet et le reste de la divisio euclidiee d u etier aturel a par u etier aturel b Sachat que a + b + r = 305 et q = 50 Rétablir la divisio 4 ) Détermie le reste de la divisio euclidiee de par 7 Exercices d Arithmétique Page 1 sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

2 EXERCICE 03 : 1 ) Quels sot les restes successifs de la divisio par 8 de 7 E déduire l esemble des etiers aturels tels que : soit divisible par 8 ) a) Quel est le reste de la divisio de par 7? b) U ombre s écrit : 3 x 53 e base dix Détermier x pour que : x 53 soit divisible par 7 3 ) Les ombres sot écrits e base ciq ; effectuer les opératios suivates = = EXERCICE 04 : Démotrer que ε N : 3 4 1) est divisible par 11 1 ) est divisible par 7 3) 3 est divisible par 3 4) 7 est divisible par 7 EXERCICE 03 : Das le système de umératio de base trois, u ombre s écrit : 1 ) Das quel système de umératio ce ombre s écrit : 4? ) Existe-t-il u système de umératio das lequel il s écrit : ) Soit a u etier aturel strictemet supérieur à O cosidère les ombres N = (a 1) et N = (a 1) Ecrire N et N das le système de base a 4 ) Démotrer que das tout système de umératio de base b (avec b 4) le ombre 1331 est le cube d u etier x Exercices d Arithmétique Page sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

3 EXERCICE 04 : ) Existe-t-il u etier N qui s écrive abcca e base ciq et bbab e base huit 7 9 ) Détermier x, y, z sachat que : xyz = zyx 3 ) Détermier le ombre etier A du système décimal qui s écrit : 9 8 a b 7 et a 7 b 4 ) E utilisat la factorisatio de (x + 3x + 1) 1 motrer que das tout système de umératio de base b supérieur à 3 o a : = (131) EXERCICE 05: a 1 ) Le ombre etier aturel N, qui s écrit 341 das le système décimal, s écrit 331 e base a a) Trouver u ecadremet de a 3 b) Détermier a et vérifiez ) Développer (k + 1) 5 Ecrire le ombre 13 5 das le système de base 1 EXERCICE 06: 1 ) Soiet x, y, et z trois etiers aturels avec x O suppose qu e base x ; y s écrit : 304 et z s écrit :100 a) Quelle est l écriture e base x du produit yz? b) Sachat que l écriture décimale de y + z est 104, détermier les écritures décimales de x et du produit yz ) Les ombres x, y et z état trois etiers aturels, o suppose que l écriture e base x de y est 131 et que l écriture de e base x de z est 101 Motrer que l o peut sas coaître x, exprimer das le système de base x le produit xy EXERCICE 07 : Les etiers cb, bc, ac sot écrits das le système à base dix Détermier les chiffres a, b, et c sachat que : a + b + 5c + 3= cb bc ac = 10c EXERCICE 08 : ) Trouver le ombre de chiffres de l écriture e base dix de : ) Trouver 3 etiers aturels a, b, c premier etre eux deux à deux tel que : abc = ) x, y, z état des chiffres de la base dix ; o cosidère le ombre A = x13 y 8 z e base 10 Détermier tout les triplets (x ; y ; z) pour lesquels A est divisible par 495 Exercices d Arithmétique Page 3 sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

4 EXERCICE 09 : 1 ) O ote u etier aturel o ul, p l etier aturel (3 + 1) et q l etier aturel (5 1) c'est-à-dire p = 3+1 et q = 5 1 a) Démotrer que le PGCD de p et q est u diviseur de 8 b) Pour quelles valeurs de ce pgcd est-il est égal à 8? Calculer alors le PPCM de p et q ) Détermier, selo les valeurs de l etier aturel, le reste de la divisio euclidiee par 9 de 4 E déduire que pour tout etier aturel 1 le ombre N = est divisible par 9 EXERCICE10: 1 ) Détermier u ombre N de trois chiffres tels que leur somme est égale à 17 Si o permute le chiffre des dizaies et celui des cetaies le ombre augmete de 360 Si o permute le chiffre des uités et celui des cetaies le ombre dimiue de 198 ) Trouver tous les couples ( &; b ) d élémets de Z/1Z tels que : a & Résoudre das Z/1Z l équatio : + 3 x 4 0 a& b & = 0 & et a & b & = 5 & x & & = & 3 ) Calculer x 4 pour x apparteat à Z/5Z E déduire la valeur de x 5 x Résoudre das Z/5Z l équatio : x 5 + y 5 = 3 & puis l équatio : x 3& x + & = 0 & Détermier les etiers relatifs tels que le reste de la divisio euclidiee de 3 par 5 soit égal à 3 EXERCICE 11 : 1 ) Motrer que xε Z : (x + 1) 4 x 4 + x 3 + x + 1 [3] E déduire l esemble (E) des élémets x de Z tels que : x 4 + x 3 + x [3] Discuter suivat les valeurs de m le ombre de solutios das Z/7Z de l équatio : x + x & = 0 & m ( m Z/7Z) ) Ecrire les expressios des élémets de Z cogrues à a modulo a) a = m 1 ; = m + 1 avec m [ ; + [ b) a = m + ; = m 4 avec m [ ; + [ 1 ; 1 ; 3 ) Résoudre das Z les cogrueces : a) ) Trouver les restes des divisios euclidiees de 3 par 7 etier aturel 3 6 a) Résoudre das Z les cogrueces : 1 [ 7] ; x 1[ 7] [ ] b) [ 1] x b) Quels sot les restes des divisios euclidiees de 100 ; 10 ; 103 par 7? c) Résoudre das N l équatio : [ 7] Exercices d Arithmétique Page 4 sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

5 EXERCICE 1 : 1 ) Soit A = ; ε N a) Pour quelles valeurs de, A est-il u etier aturel? b) Pour quelles valeurs de, A est-il irréductible? b ) O cosidère l etier aturel représeté e base b par : N = 34 x Détermier le chiffre x pour que ce ombre soit : a) divisible par 5 quad b = 6 ; b) O doe x =1Trouver la plus petite valeur de b sachat que N est divisible par 3 EXERCICE 13 1 ) Pour quelle valeurs de l etier aturel le ombre A = est-il divisible par ( 3) ) Résoudre das Z Z a) 3x 5y = 6 ; b) 3x 5y = 6 y x [ 5] 3 ) Résoudre das N N a) ( x y) + ( x y) = y + 9 ; b) ( x y) + 3( x y) = 78 ; c) ( x y) 18( x y) = 791 d) 8 ( x y) = 105( x y) + 30 ; e) ( x y) = y + 9 x + y = 651 x y = 10 f) x y ; g) = 108 ; h) x y x + y = 801 j) x y = 168 ; k) x y = 354 x y = 1008 x + y = 5664 x + y = 56 x y = 105 ; i) ; L) x + y = 31 x y = 1980 x y = 7 x y = 84 EXERCICE 14: 1 ) Soit b u etier aturel strictemet positif supérieur à 1 O rappelle que : b 1 = (b 1) (b +1) a) Quel est le PGCD de b et (b 1)? b) Résoudre das Z l équatio : b x + (b 1)y = 1 3 x x ) Résoudre das N : [ 11] 3 ) Résoudre das Z : 34x [ 5] x 4 ) Résoudre das Z l équatio : 1590x + 955y = 170 Exercices d Arithmétique Page 5 sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

6 EXERCICE 15: Soit l équatio (E) : 34x 45y = 7 où (x ; y) ε Z 1 ) Motrer que pour toute solutio (x ;y) de (E ), x est multiple de 7 ) Résoudre l équatio (E ) 3 ) Soit (x ; y) u couple solutio de (E ) O pose x y = d a)quelles sot les valeurs possibles de d? b) Détermier les solutios (x ; y) de (E ) telles que x et y soiet étragers 4 ) Résoudre les systèmes d icoues (a ;b) : a) EXERCICE 16 : P G C D ( a; b ) = 4 P P C M ( a; b ) = 1680 b) a + b = 96 a b = ) Pour tout ombre etier aturel, calculer le reste de la divisio euclidiee par 7 de 5 et de 4 Commet faut-il choisir pour que le ombre 5 4 soit divisible par 7? ) Résoudre das (Z/7Z) puis das (Z/15Z) le système : 3& x + 3& y = 3& & x + y = 5& 3 ) E utilisat l algorithme d Euclide détermier : et trouver deux etiers relatifs k et l tels que : 354k + 5 l = 1 ; x et y tels que 45x 8y = 1 4 ) a) Trouver l esemble des etiers aturels qui diviset 76 b) Trouver les paires d etiers aturels dot le plus grad commu diviseur d et le plus petit commu multiple m vérifiet : m + 3d = d 30 5 ) a) Détermier l esemble des diviseurs de 14 b) Détermier l esemble des couples (x ; y) d etiers aturels tels que : m 4d = 14 d = x y et m = x y vérifiet la relatio 3 d 50 6 ) a) Détermier l esemble des diviseurs de 108 b) Détermier l esemble des couples (a ; b) d etiers aturels tels que : d EXERCICE 17: Soit m u ombre etier m 3d = 108 = x y et m = x y vérifiet la relatio 10 d 15 1 ) Motrer que l équatio : (x ; y) Z ; 6y 3x = m admet des solutios si et seulemet si m est multiple de 3 ) Résoudre das Z les équatios : a) 6y 3x = 5 b) 6y 3x = 3 3 ) Déduire de ce qui précède les solutios das Z de l équatio : (6y 3x 4)(6y 3x + 4) = 1 Exercices d Arithmétique Page 6 sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

7 EXERCICE 18 : U ombre de quatre chiffres est u carré parfait Le chiffre des uités est égal au chiffre des dizaies et le chiffre des cetaies est égal au chiffre des uités de mille 1 ) Motrer que ce ombre est divisible par 11 Trouver ce ombre ) Ecrire ce ombre das le système à base 8 EXERCICE 19 : 1 ) Détermier les chiffres x et y du ombre dot l écriture décimale est = 8x75y pour que ce ombre soit divisible par 3 et 11 ) U ombre s écrit x43y das la base dix Détermier x et y pour qu il soit divisible par et par 9 3 ) Soit le ombre qui s écrit das la base dix, = y17x35 ; trouver x et y pour que soit divisible par 9 et 11 4 ) Détermier les chiffres x, y, et z pour que le ombre dot l écriture décimale est = 13xy45z soit divisible par 8 ; 9 et 11 5 ) Détermier les etiers x tels que : 5 / (4x +1) et 13 / (4x +1) 6 ) Trouve u etier aturel de deux chiffres sachat qu il est égal à 3 fois la somme de ses chiffres ; qu e le multipliat par 3, o trouve pour résultat le carré de la somme de ses chiffres EXERCICE 0 : O veut plater des arbres sur le périmètre d u terrai triagulaire de côtés respectifs 13m ; 156m et 04m de telle sorte que qu il y ait u arbre à chaque sommet du triagle et que les arbres soiet égalemet espacés Quel est le ombre miimum d arbres que l o pourra plater si l o veut que la distace etre deux arbres soit exprimée e u ombre etier de mètres? Exercices d Arithmétique Page 7 sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

8 EXERCICE 1 : 1 ) Soiet p et q deux etiers relatifs étragers, u etier aturel o ul Démotrer que p et q sot étragers 1 ) Soit P( x) = a x + a 1 x + + a1x + a0 u polyôme à coefficiets etiers p relatifs admettat ue racie ratioelle q ( p et q etiers relatifs étragers) ; Démotrer que p divise a0 et q divise a 3 ) Factoriser le polyôme 3x + 7x + 7x EXERCICE : «Nombres amiables Nombres parfaits» 1 ) «O appelle diviseurs stricts d u etier aturel tout diviseur de positif autre que lui-même» Détermier les diviseurs stricts de 0 ) «O appelle ombres amiables deux etiers aturels tels que, chacu d eux est égal à la somme des diviseurs stricts de l autre» Vérifier que 0 et 84 sot amiables et sot amiables 3 ) «O appelle ombre parfait tout etier aturel égal à la somme de ses diviseurs stricts (c'est-à-dire amiable avec lui-même)» a) Le ombre 8 est-il parfait? b) Détermier u ombre premier p tel que ( 4 p) soit u ombre parfait c) Soit et p deux etiers aturels, tels que p soit premier Quelle doit être p soit parfait l expressio de p e foctio de pour que ( ) d) Dresser la liste des ombres parfaits de cette forme, pour <10 Exercices d Arithmétique Page 8 sur 8 Adama Traoré Professeur Lycée Techique