Voici les productions (exprimées en milliers) de deux usines de cycles appartenant à une même enseigne pour le premier semestre de l année 2010 :

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1 Douie Termiale S Activités Chapitre 4 spé Matrices Deux tableaux de ombres Voici les productios (exprimées e milliers) de deux usies de cycles apparteat à ue même eseige pour le premier semestre de l aée : VTT adultes Vélos efats VTC BMX Vélos de course Usie,99, 5,58,5,95 Usie 4,6 4,98,6,5,78 Voici les productios (exprimées e milliers) de deux usies de cycles apparteat à ue même eseige pour le deuxième semestre de l aée : VTT adultes Vélos efats VTC BMX Vélos de course Usie,79 5,84 4,8,9,59 Usie,78 4,4,4,5,66 Deux matrices a a a a a A a a a a a,,,,4,5,,,,4,5 et b b b b b B b b b b b,,,,4,5,,,,4,5 sot deux matrices Ces deux matrices ot liges et 5 coloes O dit que ce sot des matrices de format ;5 Elles cotieet chacue dix élémets, appelés coefficiets de la matrice Pour repérer u coefficiet, o idique so idice de lige, puis so idice de coloe, les liges se comptat du haut vers le bas, les coloes de la gauche vers la droite Ecrire la matrice A doat les productios des deux usies pour le premier semestre Ecrire la matrice B doat les productios des deux usies pour le deuxième semestre Ecrire la matrice C doat les productios auelles des deux usies 4 Ecrire la matrice D doat les productios moyees mesuelles des deux usies 5 Proposer la matrice lige de format ;5 présetat les productios moyees mesuelles de l usie Proposer la matrice coloe de format ; présetat les productios moyees mesuelles de VTT adultes das les deux usies Additios Multiplicatio par ue costate C A B si et seulemet si ci, j ai, j bi, j pour i et j p D k A si et seulemet si di, j k ai, j pour i et j p Activités Page

2 Douie Termiale S Activités Chapitre 4 spé Matrices Idices de prix Ue associatio de cosommateurs compare les prix de 5 produits disticts das trois magasis différets Les observatios fourisset les doées suivates : Produit P Produit P Produit P Produit P4 Produit P5 Magasi 5 4 Magasi, 4,7,8,,8 Magasi,9 5,,9, 4 Prix d u paier Prix des produits à l uité e euros Pour comparer la dépese d ue méagère selo les magasis, o cosidère u «paier» idiquat pour chaque produit la quatité achetée U «paier» est aisi décrit par la doée de 5 etiers Par exemple :,,,, sigifie que la méagère a acheté deux produits P, u produit P, trois produits P, trois produits P4 et deux produits P5 Détermier le prix de ce «paier» pour chaque magasi Comparer Coclure Détermier le prix d u autre «paier» de votre choix Comparer Coclure Prix d u paier quelcoque O ote q, q, q, q 4 et q 5 les quatités respectives des produits P, P, P, P4 et P5 achetés O ote Q la matrice coloe de format 5; costituée des ciq quatités q i pour i 5 Détermier P la matrice coloe de format ; présetat les prix p i du paier pour i Multiplicatio d ue matrice par ue matrice coloe Soit A a i, j pour i Soit Q q j pour j p et j p ue matrice de format ; ue matrice coloe de format p ; p P A Q est la matrice coloe de format ; défiie par pi ai, j q j pour i p j Exercice d applicatio directe O propose ci-cotre les valeurs utritioelles des différets alimets qui composet le meu des élèves de la catie (doées pour g pour chaque alimet) Melo Poulet Riz Yaourt Eergie Protéie,7 7 Glucides 5 78 Lipides, 7,8 5 Voici trois propositios de repas Propositio : 5g de melo, 75g de poulet, 5g de riz et 5g de yaourt Propositio : 6g de melo, 7g de poulet, 5g de riz et 5g de yaourt Propositio : 4g de melo, 8g de poulet, g de riz et 5g de yaourt Détermier la valeur éergétique (exprimée e kcal), l apport e protéies (exprimé e g), l apport e glucides (exprimé e g) et l apport e lipides (exprimé e g) pour chaque propositio de repas Activités Page

3 Douie Termiale S Activités Chapitre 4 spé Matrices Gestio des admissios et des sorties das u hôpital O estime que les patiets admis das u certai service d u hôpital peuvet se trouver das l u des quatre états suivats : sois réguliers (), chirurgie (), sois itesifs (), sortie (4) Cette estimatio est décrite par le tableau cicotre, das lequel sot idiquées les probabilités de passage d u des états à u autre das u itervalle de 4 heures (probabilités obteues par modélisatio des fréqueces observées sur ue logue période) Sr () Ch () Si () So (4) Sr (),6,, Ch (),,8, Si (),5,,7 So (4) Tableau de circulatio etre les services Ce tableau se lit de la maière suivate : u malade se trouvat u jour e sois réguliers a la probabilité,6 de se trouver le ledemai e sois réguliers, la probabilité, de se trouver le ledemai e chirurgie, ue probabilité ulle de se trouver e sois itesifs et la probabilité, de sortir Distributio des patiets das les services Supposos qu u certai jour, la distributio des patiets (exprimée e dizaies) soit la suivate : e sois réguliers, 5 e chirurgie, 6 e sois itesifs et à sortir Détermier la ouvelle distributio das les différets services ledemai Expliquer votre raisoemet Multiplicatio d ue matrice lige par ue matrice pour i et j p Soit A a i, j Soit M m i pour i ue matrice de format ; ue matrice lige de format ; P M A est la matrice lige de format Suite de matrices lige Etat des différets services p ; p défiie par p j mi ai, j pour j p Supposos qu au jour, patiets soiet admis e sois réguliers et qu il y ait aucu patiet M la répartitio des malades ce jour e cours de traitemet O ote Les jours suivats, o suppose que bouveaux patiets soiet admis e sois réguliers et o ote M la répartitio des malades das les différets services le ème jour, IN Calculer M Iterpréter Calculer M Iterpréter i Carré d ue matrice? Exprimer M e foctio de M Sauriez-vous recalculer la répartitio des malades das les différets services le ème jour? Activités Page

4 Douie Termiale S Activités Chapitre 4 spé Matrices E voie d extictio E 99, aux Etats Uis, ue cotroverse opposa des eviroemetalistes à des représetats de l idustrie du bois à propos de la possible extictio de l espèce des chouettes tachetées pour cause de déforestatio Pour tracher la questio, u modèle mathématique de démographie de cette populatio de chouettes fut élaboré sur la base d observatios et de recesemets de cette populatio sur ue zoe doée Les scietifiques qui ot étudié cette espèce estimet que : Le ombre de ouveaux bébés à l aée est égal au tiers du ombre d adultes vivats l aée, Seuls % des bébés és l aée parvieet au stade jeue à l aée, 75% des jeues et 9% des adultes de l aée survivet pour être comptabilisés comme adultes à l aée O ote x, y et z (respectivemet x, y et z ) les effectifs de chacue des classes d âge pour l aée 99 (respectivemet 99) x x O ote U, respectivemet U, la matrice coloe y, respectivemet y z z Expliquer pourquoi le calcul des effectifs des classes d âge de chouettes e 99 peut se rameer à l écriture du système liéaire de trois équatios suivat : x z y x 5 9 z y z 4 Ecrire le système précédet sous la forme d ue égalité matricielle U A U où A est ue matrice carrée de format ; dot o précisera les coefficiets Réciproquemet o souhaite calculer la répartitio de la populatio de chouettes pour l aée 99, coaissat celle de 99 Démotrer que l o a das ce cas : x 5y 8 4 y x z 5 z x 4 Ecrire le système précédet sous la forme d ue égalité matricielle U A U où A est ue matrice carrée de format ; dot o précisera les coefficiets 5 Calculer les produits matriciels A A et A A Que remarque-t-o? Activités Page 4

5 Douie Termiale S Activités Chapitre 4 spé Matrices E voie d extictio Suite O repred les doées de l activité précédete das le but d étudier le comportemet à log terme de la populatio de chouettes O ote x, y et z les effectifs de chacue des classes d âge de cette populatio pour l aée 99 + O rappelle que l o a A 5 O suppose que U 8 O ote U 9 4 x y z Détermier U Détermier U Détermier U (arrodir à l uité) Démotrer par récurrece que U A A A U, c'est-à-dire U A U fois Détermier la répartitio de la populatio de chouettes tachetées après 5,, 5,, 5, as Que peut-o evisager pour l évolutio à log terme de la populatio des chouettes tachetées das cette régio? U poit d étape théorique Soit A a i, j Soit B b i, j pour i et j p pour i p et j q ue matrice de format ; ue matrice de format ; Le produit de la matrice A par la matrice B, oté A B p pq, est la matrice C de format ; q telle que pour tout i et tout j q, le coefficiet c i, j soit égal au produit de la i ème lige de la matrice A par la j ème coloe de la matrice B C'est-à-dire : c, a, b, p i j i k k j k Attetio! le produit de deux matrice est pas commutatif, c'est-à-dire : AB B A Remarques : le produit de matrices est associatif, c'est-à-dire : ABC A B C Le produit de matrices est distributif, c'est-à-dire : AB C A B A C pour à l additio Cas particuliers : o appelle matrice carrée, toute matrice de format p; p La puissace ème d ue matrice carrée A est défiie pour tout IN comme le produit A A A A Par covetio : o pose A Id p où Id p est la matrice de format p; p das laquelle tous les coefficiets sot uls, exceptés ceux situés sur la diagoale pricipale et appelée matrice idetité fois Activités Page 5

6 Douie Termiale S Activités Chapitre 4 spé Matrices Raymod Queeau Célèbe romacier (9/976) il est cou pour so livre «Zazie das le métro» paru e 959 Il était égalemet mathématicie à ses heures Il a fodé avec Fraçois Le Lioais, émiet mathématicie fraçais du XXème siècle u groupe littéraire resté célèbre et toujours actif : l OuLiPo (Ouvroir de Littérature Potetielle) L u des buts de ce groupe est de costruire des textes littéraires sous cotraites, ces cotraites état souvet de ature mathématique Matrice iversible Soit A a i, j le a le chat rat lio u a u magé dévoré dégusté le avait u poisso fromage touriste pour i p et j p S il existe ue matrice A de format p; p telle que ue matrice carrée de format ; p p A A A A Id alors o dit que la matrice A est iversible et la matrice A est appelée matrice iverse de A Elle est otée Remarque : à part das des cas simples (voir situatio développée à l activité 4), l étude de «l iversibilité» et le calcul «à la mai» de l iverse d ue matrice carré, e résolvat u système liéaire, est difficile et log à mettre e œuvre O aura souvet recours à la calculatrice Cas particulier : si a b A c d est ue matrice carrée de format la matrice A est iversible et la matrice iverse est la matrice : p A ; et si ad bc, alors d b A ad bc c a Vocabulaire : soit S u système dot ue écriture matricielle est AX B où A est ue matrice carré de format p; p iversible Ce système est appelé système de Cramer U tel système admet ue uique solutio doée par X A B où A est la matrice iverse de A Démostratio Proposer ue démostratio de la propriété éocée das le «cas particulier» Exercice d applicatio directe O cosidère le système liéaire suivat : x y S 5 x 5y Ecrire ce système sous la forme d ue égalité matricielle AX B La matrice A est-elle iversible? Si oui calculer A Résoudre le système e utilisat le calcul matriciel Activités Page 6

7 Douie Termiale S Activités Chapitre 4 spé Matrices Système de Cramer O cosidère les systèmes liéaires suivat : x y z S x z x y z x y z 7 S x z x y z 4 xz S x y z 5 x y z 7 5x z 4 S4 x 4y z x y z Ecrire chaque système sous la forme d ue égalité matricielle du type AX B A l aide de votre calculatrice détermier l iverse de la matrice A (si elle existe) Résoudre le système Iversio à la mai Il est possible de calculer «à la mai» l iverse d ue matrice carrée de format ; Soit par exemple la matrice A Cosidéros le système : y z a x z b x y z c Ecrire le système () sous la forme d ue égalité matricielle du type AX B Par méthode de substitutio démotrer que l o a x a b c y a b c z a b c Ecrire le système () sous la forme d ue égalité matricielle du type X A B 4 Calculer A A Calculer A A Coclure 5 Vérifier ce résultat à l aide de votre calculatrice Exercice d applicatio directe Calculer «à la mai» l iverse de la matrice A k où k IR Calculer «à la mai» l iverse de la matrice a A b c où a, b, c IR Activités Page 7

8 Douie Termiale S Activités Chapitre 4 spé Matrices Puissaces successives d ue matrice carrée O cosidère la matrice de format ; suivate : A Calculer A Calculer Nous allos détermier ue forme explicite de la matrice A pour tout etier IN A Soit P et D Démotrer que l o a A P P D Démotrer que P est iversible et calculer P Motrer que 4 Motrer que A P D P A P D P pour tout IN 5 Déduire de la questio précédete l expressio de A pour tout IN Exercice d applicatio directe O cosidère la matrice de format ; suivate : A Posos P Calculer A Calculer A Démotrer que P est iversible et calculer P Démotrer que la matrice D P A P est ue matrice diagoale Démotrer que l o a A P D P Démotrer que l o a A P D P pour tout IN Vérifier la cohérece de ce résultat Exercice d applicatio directe O cosidère la matrice de format ; : A,7, Posos,,,5 P Das cet exercice vous utiliserez votre calculatrice 5 Calculer A, A puis A Démotrer que P est iversible et calculer P Démotrer que la matrice D P A P est ue matrice diagoale Démotrer que l o a A P D P Démotrer que l o a A P D P pour tout IN Vérifier la cohérece de ce résultat Méthode Pour calculer les puissaces successives d ue matrice carrée, il est itéressat (lorsque cela est possible) de diagoaliser la matrice : le calcul des puissaces se ramèe alors à celui des puissaces d ue matrice diagoale qui sot très simples à calculer Activités Page 8

9 Douie Termiale S Activités Chapitre 4 spé Matrices Savoir exploiter ue relatio O cosidère la matrice A et Id la matrice idetité d ordre Calculer A Motrer que A A Id E déduire que la matrice est iversible Détermier so iverse Savoir exploiter ue relatio suite O cosidère le système suivat : y z S x 4y z 6 x y Ecrire ce système sous forme matricielle du type AX B Motrer que A A Id E décuire que la matrice est iversible Détermier so iverse E déduire la solutio du système L offre et la demade Les écoomistes costruiset des modèles teat compte de milliers d idustries Nous allos étudier u modèle e teat compte que de trois secteurs : la costructio, le trasport et l éergie, sas échages extérieurs Chacu doit répodre aux demades variables des autres mais aussi à ue demade fixe des cosommateurs Ces demades sot idépedates des coûts variables O otera x la quatité de productio du secteur de la costructio, e milliards de dollars O otera x la quatité de productio du secteur du trasport, e milliards de dollars O otera x la quatité de productio du secteur de l éergie, e milliards de dollars Les demades pour le secteur de la costructio sot : demade du secteur de la costructio pour sa propre productio :, x ; demade du secteur du trasport evers le secteur de la costructio :,4 x ; demade du secteur de l éergie evers le secteur de la costructio :, x ; demade des cosommateurs pour le secteur de la costructio : 75 Le modèle de Léotiev (96-999, prix Nobel d écoomie e 97), e système fermé, d égalité etre l offre et la demade se traduit par : Offre = somme des demades par les idustries + demade des cosommateurs Motrer que pour le secteur de la costructio cela se traduit par : x,x,4x,x 75 De même o obtiedrait x,x,x,x 5 et x,5x,x,x 8 Détermier les matrices A et B telles que X AX B Ecrire cette équatio sous la forme matricielle LX B E déduire les valeurs x, x et x des productios das les trois secteurs Activités Page 9

10 Douie Termiale S Activités Chapitre 4 spé Matrices Itersectio de plas O cosidère das l espace mui d u repère orthoormé trois plas d équatios respectives P : x y z 7, P : x y z 7 et P : x y 6 Quelle est l itersectio de ces trois plas? Itersectio de plas suite O cosidère das l espace mui d u repère orthoormé trois plas d équatios respectives P : x y z, P : x y z 6 et P : 4x y 4z Quelle est l itersectio de ces trois plas? Décompositio d u vecteur das ue base O cosidère das l espace mui d u repère orthoormé trois vecteurs de coordoées ;;4 ; ; ;; das cette respectives : ;; u, v et w Décomposer le vecteur ouvelle base, c'est-à-dire trouver trois réels, et tels que u v w Cercle circoscrit à u triagle O cosidère das le pla mui d u repère orthoormé les poits de coordoées respectives : 5; 4; C ; Détermier les coefficiets a, b et c pour que le cercle d équatio A, B et x y ax by c soit le cercle circoscrit du triagle ABC Parabole passat par trois poits O cosidère das le pla mui d u repère orthoormé les poits de coordoées respectives : ; ; C 6; Détermier les coefficiets a, b et c pour que la parabole A, B et d équatio y ax bx c passe par les poits A, B et C Equatio différetielle O cherche ue foctio polyôme f telle que pour tout réel x o ait l égalité suivate : x f x x f x f x x x x 6 4 De quel degré doit être le polyôme? Détermier la foctio polyôme f cherchée Savoir discuter Pour chacu des systèmes proposés ci-dessous, détermier, selo les valeurs du paramètre m, les solutios du système S Iterpréter graphiquemet les résultats obteus m x my S 4 m mx y 5 mx y S m xy 5 mx my S m m y 5 Activités Page