Contrôle dynamique d un bras manipulateur flexible à deux degrés de liberté par un contrôleur PID Adaptatif

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1 ème Congrès Franças de Mécanque Bordeaux, 6 au 3 août 3 Contrôle dynamque d un bras manpulateur flexble à deux degrés de lberté par un contrôleur PID Adaptatf F.Z.BAGHLI, Y.LAKHAL, L.L BAKKALI, qupe MSM, UA/8FS Faculté des scences de étouan, Unversté Abdelmalek ssaâd, M hannech II BP, étouan Maroc baghl.fatmazahra@gmal.com Résumé : Dans ce traval, nous présentons une stratége de contrôle adaptatf à la commande en poston et en poursute de trajectore d un bras manpulateur flexble à deux degrés de lberté. La technque de contrôle est basée sur un contrôleur PID (Proportonnel Intégral Dérvé) Adaptatf qu est consdérée comme une soluton très ntéressante pour les systèmes non lnéares. Notre système mécanque est smulé dans l envronnement Matlab/ Smulnk. La commande proposée montre l effcacté et la robustesse en boucle fermé Abstract: In ths work, we present an adaptve control strategy to control poston and trajectory trackng of a flexble manpulator wth two degrees of freedom. he control technque s based on Adaptve PID controller whch s consdered a very nterestng soluton for nonlnear systems. Our mechancal system s smulated n Matlab / Smulnk envronment, the proposed order s demonstrated by smulaton effcency and robustness n a closed loop. Mots clefs : Manpulateur flexble, contrôleur PID Adaptatf, robustesse, systèmes mécanques Introducton Le contrôle des systèmes mécanques, plus partculèrement des manpulateurs robotques, est un domane actf de la recherche applquée. Les robots classques utlsés dans l ndustre sont extrêmement précs mas relatvement lents et exgent des moteurs pussants. Les efforts déployés dans la modélsaton et le contrôle de manpulateurs flexbles sont alors motvés par la demande prévue d un pods léger, de la précson et d une grande vtesse des robots dans dvers applcatons. n fat, dans le cas d un robot rgde, la connassance de l angle moteur permet d obtenr drectement la poston de l extrémté, par contre pour un robot à bras flexble, la rotaton de la base entrane l oscllaton du bras tout enter. Le contrôle drect de l extrémté d un robot flexble est plus dffcle que celu d un robot rgde. D où le beson d une lo de commande qu contrôle la poston de l extrémté en tenant compte des déformatons du bras. Cec consttue l objectf de ce traval. Pour ce fare, la modélsaton cnématque et dynamque aboutt à des équatons dfférentelles obtenues sous formes d équatons d état et de foncton de transfert en utlsant la théore d uler- Lagrange. Pour une poston désrée, on utlse la technque de la commande adaptatve (PID). Notre système mécanque est smulé dans l envronnement Matlab/ Smulnk. Les résultats obtenus par

2 ème Congrès Franças de Mécanque Bordeaux, 6 au 3 août 3 l applcaton de la commande proposée donnent des performances apprécables. Modélsaton du bras manpulateur flexble Le bras manpulateur flexble retenu est un robot R (deux artculatons rotoïdes) schématsé sur la (fgure) subssant une déformaton dans le plan du mouvement. y ( x ) ŷ x y y ( x ) x ˆx Fg. : Schéma du bras manpulateur flexble à ddl Le mouvement rgde est décrt par les angles ( =,) des artculatons et ( x) représente la déflecton transversale de la lason à l abscsse x avec x l, l étant la longueur de la lason Avec ( x, y ) : Le repère nertel ( x, y ) : Le repère rgde moble assocé à la lason ( xˆ, ˆ y ) : Le repère flexble moble assocé à la lason Le tableau regroupe les valeurs numérques des dfférents paramètres du bras manpulateur flexble : ab. : Paramètres du robot R Masse : m (Kg) Longueur : l (m) Densté volumque :ρ (Kg/m 3 ) Rgdté (Nm ) : I Bras Bras Modèle cnématque Sot P( x ) ( x, ( x )) la poston d un pont le long de la lason par rapport au repère ( x, y ) et Px ( ) étant la poston absolue du même pont dans le repère ( x, y ), auss r P( l) ndque la poston de l organe du repère par rapport au repère ( x, y ) et r sa poston absolue par rapport au repère ( x, y ) On dstngue deux types de matrces de rotaton : Matrce de rotaton de la lason rgde donnée par la

3 ème Congrès Franças de Mécanque Bordeaux, 6 au 3 août 3 formule suvante : R cos sn sn cos () t la matrce de rotaton de la lason flexble est écrte sous la forme suvante : e e Avec x l () e x Les vecteurs de postons absolues peuvent être exprmés comme sut : P r P r r r (3) Où est la matrce de transformaton globale du repère équatons récursves suvantes : ( x, y ) par rapport au repère ( x, y ) qu obét aux A I (4) Les composantes cnématques de tout pont appartenant à la lason peuvent être entèrement caractérsées par rapport au repère de base on utlsant les équatons () et (4) ans que la poston de l organe termnal dans l espace opératonnel est donnée par : l l P A ( l ) ( l) (5) La vtesse angulare absolue du repère ( x, y ) est donnée par : (6) j ke j k La vtesse lnéare absolue d un pont du bras manpulateur est : P r P P (7) n supposant les lasons nextensbles alors : P( x ) (, ( x )) 3

4 ème Congrès Franças de Mécanque Bordeaux, 6 au 3 août 3. Modèle dynamque L équaton dynamque du mouvement du bras manpulateur flexble est obtenue en utlsant l approche standard de Lagrange. L énerge cnétque du robot manpulateur flexble est donnée par la somme des contrbutons suvantes : (8) c ch cl cp c h : L énerge cnétque du corps rgde au nveau du moyeu de masse mh et de moment d nerte J h est : c m rr h h Jh (9) c l l énerge cnétque du bras de densté est : l c ( ) P( ) P( l ) x x x dx () () t c p l énerge cnétque assocée à la charge de masse m p et de moment d nerte J p stuée à l extrémté du bras est : c m r r ( ( )) p p n n J p n ne x () L énerge potentelle du système bras manpulateur flexble s exprme auss par la somme des contrbutons suvantes : n n n n () p pe pgh pgl pgp p e : L énerge élastque du bras : l d ( x) ( ) ( )( pe ) dx I x dx (3) m g r et p g ( x ) P ( x ) dx sont les énerges gravtatonnelles respectves du moyeu pgh h gp l et du bras : p mpg est l énerge gravtatonnelle de la charge. Avec g est l accélératon gp gravtatonnelle. mployant le prncpe des modes assumés la déflecton du bras peut être exprmée comme sut : n e ( x, t) ( t) (4) j j j 4

5 ème Congrès Franças de Mécanque Bordeaux, 6 au 3 août 3 Où j () t sont des varables temporelles assocées à des modes de formes assumés j du bras Alors le modèle dynamque obtenu à partr des équatons d uler-lagrange est : d L L ( ) dt d L L ( ) dt j j (5) Alors l équaton générale du mouvement du bras manpulateur flexble à ddl peut être écrte sous une forme approchée M ( q ) q C ( q, q ) G ( q ) ; (, ) Dq Kq q (6) Où est le vecteur ( n) des efforts applqués par les actonneurs, Mq ( ) est la matrce ( n n) d nerte, C( q, q) est le vecteur ( n) des forces de Corols, Gq ( ) est le vecteur ( n) des forces gravtatonnelles, K est la matrce d élastcté, q (, ) Les frottements vsqueux des jonts et l amortssement des artculatons peuvent être ajoutés comme un terme égal à Dq ou D est une matrce dagonale. 3 Commande du bras manpulateur par PID adaptatf Un régulateur PID est obtenu pas l assocaton des tros actons (proportonnelle, ntégrale, dérvée) et l remplt essentellement les tros fonctons suvante : Il fournt un sgnal de commande en tenant compte de l évoluton du sgnal de sorte par rapport à la consgne. Il élmne l erreur statque grâce au terme ntégrateur. Il antcpe les varatons de la sorte grâce au terme dérvateur. La descrpton mathématque du contrôleur PID applqué à l entré de commande du bras manpulateur est décrte par : t K pe K e( ) d Kde (7) Où e qd q(, ) représente le sgnal d erreur, qd est le sgnal d entré de référence et K p, K, Kd sont respectvement le Gan proportonnel, ntégral et dérvé. Le réglage adaptatf des processus cherche à résoudre des problèmes sur des systèmes très dvers par l extenson des résultats théorques. L objectf est donc l applcaton de la théore et de technques connues et leurs multples combnasons permettant de résoudre de nombreuses ncerttudes paramétrques. Parm les dfférentes possbltés d adaptaton que l on peut trouver dans la lttérature, on se propose de retenr la suvante : Calculer en permanence et de manère automatque, les paramètres optmaux de régulaton et les applquer sur le processus en temps réel et de manère contnue. Pour être effcace, le 5

6 ème Congrès Franças de Mécanque Bordeaux, 6 au 3 août 3 processus dot être modélsé et dentfé en permanence. Le régulateur observe alors l état du processus, le compare au modèle précédant, et en dédut les nouveaux paramètres du modèle pus du régulateur. Le système de commande adaptatf est donné par: () t [ ] d (8) Où () t est le paramètre adaptatf qu ajuste constamment les gans du régulateur PID, et est le gan de pods adaptatf La fgure montre la structure de contrôle PID adaptatve Structure de commande adaptatve k p k k d PID Adaptatf Bras manpulateur flexble Fg. : Structure de commande adaptatve 4 Résultats et dscussons : Les résultats obtenus par l applcaton de la commande proposée montrent que les performances sont apprécables. Comme la montre les fgures (4), on vot que l écart entre la poston désrée pour l extrémté du bras et la poston réelle s annule. Fg. 3: Poursute de trajectore sans PID Fg. 4: Poursute de trajectore avec PID 5 Concluson Une technque de commande a été proposée pour contrôler le système «bras manpulateur flexble à ddl». La smulaton a démontré que la commande adaptatve par PID est robuste. References [] Mark W., Sprong, Seth Hutchnson, M.Vdyasar, Robot dynamcs and Control, Second dton, 4 [] R. Kelly, V. Santbáñez, A. Loría, Control of Robot Manpulators n Jont Space, nd dton, Sprnger, 5. [3] Mchael A.Johnson, Mohammad H. Morad, PID Control New Identfcaton and Desgn Methods, Sprnger, 5. 6

7 ème Congrès Franças de Mécanque Bordeaux, 6 au 3 août 3 [4] F.Baghl, Y.Lakhal, L.l bakkal, Contrôle dynamque d un bras manpulateur à deux dégrées de lberté par un contrôleur PID, ème Congrès nternatonal de Mécanque, Agadr 3 6 avrl 3 7