m 1 On remarque des égalités de coefficients, donc une «bonne» stratégie est de faire apparaître des zéros.

Transcription

1 Tpe : Conrôle coninu en aphi Filière : MIS Parie d un suje MJ.Berin MIS 4 Mars / Doaine : algèbre linéaire Mos-clefs : arices, applicaions linéaires, valeurs propres, ssèe d équaions linéaires Noaion On noe i resp. Ci la i-èe ligne resp colonne d une arice ou d un déerinan e on noe aibj la cobinaison linéaire obenue en ajouan à la i-èe ligne ulipliée par a la j- èe ligne ulipliée par b. Résoluion Soi un nobre réel e la arice. a Calculer de. On rearque des égaliés de coefficiens, donc une «bonne» sraégie es de faire apparaîre des éros. D. On développe alors par rappor à la preière colonne : D. On peu aussi sousraire à puis à ais aenion à l ordre! e il ne fau surou pas sousraire à is en e à is en, le déerinan obenu n es pas égal au preier puisqu on a ainsi deu lignes opposées. b En déduire les valeurs de pour lesquelles la arice es inversible. a arice es inversible si e seuleen si son déerinan es non nul, si e seuleen ces-à-dire {,, }. Si es inversible calculer son inverse. Plusieurs éhodes son envisageables, les principales son

2 éhode venan direceen du cours la arice inverse es la ransposée de la arice des cofaceurs, divisée par le déerinan. Inconvénien : il a 9 déerinans à calculer. On écri e la arice idenié I côe à côe e on effecue les êes opéraions sur les lignes des deu arices. Ces-à-dire qu on uliplie à gauche par des arices inversibles P i ; à la k-ièe éape on a P k P k-..p e.. P k P k-..p I. On s arrêe quand P k P k-..p I e on alors - P k P k-..p. celle qu on conseille e va déailler : on regarde l applicaion linéaire associée e on résou le ssèe linéaire associé. On peu se souvenir du calcul de déerinan précéden. vanage annee : le calcul sera direceen uilisable à la quesion suivane. On uilise l équivalence. On résou le ssèe en procédan par la éhode du pivo de Gauss. e ssèe es équivalen à On a alors. Puis en reporan ou en sousraan les deu dernières lignes soi. On obien alors Soi. On a donc e il n a plus qu à lire les coefficiens de la arice inverse

3 ou si l on préfère. Résoudre, selon les valeurs de, le ssèe. Si n apparien pas à {,, -}, le ssèe es de Craer e il a une soluion unique. On l obien en replaçan, e par leurs valeurs - Si, le ssèe es, il es ipossible. Si -, le ssèe es, il es ipossible car les équaions e son incopaibles. Si, le ssèe es, les équaions e son les êes, sousraan les deu preières on obien puis. Il a une infinié de soluions R. Soi u l applicaion linéaire de R dans R aan pour arice si l on uni R de sa base canonique. 4 Quelle es la diension de keru? En déduire le rang de la arice. Chercher le noau de u, c es chercher les els que.

4 On en dédui e keru {,,}<,,>. a diension es donc e par le héorèe du rang di u. 5 a Monrer sans calcul que es valeur propre de. On a, arice qui a deu colonnes ideniques, donc es de rang sriceen inférieur à e le noau n es pas rédui au veceur nul, il a un veceur non nul don l iage par u es le veceur nul e es valeur propre. On a vu en b que pour, la arice n es pas inversible e que donc es valeur propre, ais c es pluô un arguen de «calcul déjà fai» que «sans calcul». b Trouver les aures valeurs propres de. Pour obenir les aures valeurs propres, on calcule P le polnôe caracérisique de la arice C C P soi : Il a valeurs propres :, e -. P c a arice es-elle diagonalisable? es valeurs propres son siples donc héorèe du cours la arice es diagonalisable 6 Donner une base de veceurs propres de u e la arice de u dans cee base. Pour obenir une base de veceurs propres il suffi de déeriner un veceur propre pour chacune des valeurs propres : Valeur propre : on résou le ssèe don les soluions son les riples,, -, on peu prendre coe veceur propre f,, -. Valeur propre : on résou le ssèe don les soluions son les riples,,, on peu prendre coe veceur propre f,,. Valeur propre - : on résou le ssèe don les soluions son les riples, -, -, on peu prendre coe veceur propre f, -, -. 4

5 { f, f, f } es alors une base de veceurs propres e relaiveen à cee base la arice de u es la arice diagonale. Il es inuile sauf à des fins de vérificaion de faire le calcul de changeen de base. Si on change l ordre des veceurs, la arice change. 5