Amérique du Nord. Terminale S mai 2014
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- Claudine Julien
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1 Termiale S mai 2014 Amérique du Nord 1 Exercice 1 (5 poits) Das cet exercice, tous les résultats demadés serot arrodis à 10 3 près Ue grade eseige de cosmétiques lace ue ouvelle crème hydratate Partie A : Coditioemet des pots Cette eseige souhaite vedre la ouvelle crème sous u coditioemet de 50 ml et dispose pour ceci de pots de coteace maximale 55 ml O dit qu u pot de crème est o coforme s il cotiet mois de 49 ml de crème 1 Plusieurs séries de tests coduiset à modéliser la quatité de crème, exprimée e ml, coteue das chaque pot par ue variable aléatoire X qui suit la loi ormale d espérace µ = 50 et d écart-type σ = 1,2 Calculer la probabilité qu u pot de crème soit o coforme 2 La proportio de pots de crème o coformes est jugée trop importate E modifiat la viscosité de la crème, o peut chager la valeur de l écart-type de la variable aléatoire X, sas modifier so espérace µ = 50 O veut réduire à 0,06 la probabilité qu u pot choisi au hasard soit o coforme O ote σ ' le ouvel écart-type, et Z la variable aléatoire égale à a Préciser la loi que suit la variable aléatoire Z b Détermier ue valeur approchée du réel u tel que ( Z u ) = 0,06 c E déduire la valeur attedue de σ ' X 50 σ ' P 3 Ue boutique commade à so fourisseur 50 pots de cette ouvelle crème O cosidère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d atteidre l objectif fixé et doc que la proportio de pots o coformes das l échatillo est 0,06 Soit Y la variable aléatoire égale au ombre de pots o coformes parmi les 50 pots reçus a O admet que Y suit ue loi biomiale E doer les paramètres b Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots o coformes ou mois de deux pots o coformes Partie B : Campage publicitaire Ue associatio de cosommateurs décide d estimer la proportio de persoes satisfaites par l utilisatio de cette crème Elle réalise u sodage parmi les persoes utilisat ce produit Sur 140 persoes iterrogées, 99 se déclaret satisfaites Estimer, par itervalle de cofiace au seuil de 95 %, la proportio de persoes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème 2 Exercice 2 (6 poits) x 2 O cosidère la foctio f défiie sur [ 0 ; + [ par ( ) f x = 5e 3e + x 3 O ote C f la représetatio graphique de la foctio f et D la droite d équatio y = x 3 das u repère orthogoal du pla Partie A : Positios relatives de C f et D Soit g la foctio défiie sur l itervalle [ 0 ; + [ par g( x ) f ( x ) ( x 3 ) 1 Justifier que, pour tout réel x de l itervalle [ 0 ; + [, g( x ) > 0 2 La courbe C f et la droite D ot-elles u poit commu? Justifier = Termiale S 1 x
2 Partie B : Étude de la foctio g O ote M le poit d abscisse x de la courbe C f, N le poit d abscisse x de la droite D et o s itéresse à l évolutio de la distace MN 1 Justifier que, pour tout x de l itervalle [ 0 ; + [, la distace MN est égale à g( x ) 2 O ote g ' la foctio dérivée de la foctio g sur l itervalle [ 0 ; + [ Pour tout x de l itervalle [ 0 ; + [, calculer '( ) g x 3 Motrer que la foctio g possède u maximum sur l itervalle [ 0 ; + [ que l o détermiera E doer ue iterprétatio graphique Partie C : Étude d ue aire x 0 O cosidère la foctio A défiie sur l itervalle [ 0 ; + [ par ( ) = ( ) ( 3 ) A x f t t dt 1 Hachurer sur le graphique ci-dessous le domaie dot l aire est doée par A(2) 2 Justifier que la foctio A est croissate sur l itervalle [ 0 ; + [ 3 Pour tout réel x strictemet positif, calculer A( x ) 4 Existe-t-il ue valeur de x telle que A( x ) = 2? Termiale S 2
3 3 Exercice 3 (4 poits) O cosidère u cube ABCDEFCH doé ci-cotre O ote M le milieu du segmet [EH], N celui de [FC] et 1 P le poit tel que HP = HG 4 Partie A : Sectio du cube par le pla (MNP) 1 Justifier que les droites (MP) et (FG) sot sécates e u poit L Costruire le poit L 2 O admet que les droites (LN) et (CG) sot sécates et o ote T leur poit d itersectio O admet que les droites (LN) et (BF) sot sécates et o ote Q leur poit d itersectio a Costruire les poits T et Q e laissat apparets les traits de costructio b Costruire l itersectio des plas (MNP) et (ABF) 3 E déduire ue costructio de la sectio du cube par le pla (MNP) Amérique du Nord 2 30mai 2014 Partie B L espace est rapporté au repère ( A ;AB, AD, AE ) 1 Doer les coordoées des poits M, N et P das ce repère 2 Détermier les coordoées du poit L 5 3 O admet que le poit T a pour coordoées 1;1; Le triagle TPN est-il rectagle e T? 8 4 Exercice 4 (5 poits, o spécialistes) U volume costat de m 3 d eau est réparti etre deux bassis A et B Le bassi A refroidit ue machie Pour des raisos d équilibre thermique o crée u courat d eau etre les deux bassis à l aide de pompes O modélise les échages etre les deux bassis de la faço suivate : au départ, le bassi A cotiet 800 m 3 d eau et le bassi B cotiet m 3 d eau ; tous les jours, 15 % du volume d eau préset das le bassi B au début de la jourée est trasféré vers le bassi A ; tous les jours, 10 % du volume d eau préset das le bassi A au début de la jourée est trasféré vers le bassi B Pour tout etier aturel, o ote : a le volume d eau, exprimé e m 3, coteu das le bassi A à la fi du -ième jour de foctioemet ; b le volume d eau, exprimé e m 3, coteu das le bassi B à la fi du -ième jour de foctioemet O a doc a 0 = 800 et b 0 = Par quelle relatio etre a et b traduit-o la coservatio du volume total d eau du circuit? 3 2 Justifier que, pour tout etier aturel, a+ 1 = a L algorithme ci-dessous permet de détermier la plus petite valeur de à partir de laquelle a est supérieur ou égal à Recopier cet algorithme e complétat les parties maquates ( ) Variables est u etier aturel Termiale S 3
4 a est u réel Iitialisatio Affecter à la valeur 0 Affecter à a la valeur 800 Traitemet Tat que a < 1100, faire : Sortie Affecter à a la valeur Affecter à la valeur +1 Fi Tat que Afficher 4 Pour tout etier aturel, o ote u = a 1320 a Motrer que la suite ( u ) est ue suite géométrique dot o précisera le premier terme et la raiso b Exprimer u e foctio de E déduire que, pour tout etier aturel, a 3 = O cherche à savoir si, u jour doé, les deux bassis peuvet avoir, au mètre cube près, le même volume d eau Proposer ue méthode pour répodre à ce questioemet 5 Exercice 4 (5 poits, spécialistes) U volume costat de m 3 d eau est réparti etre deux bassis A et B Le bassi A refroidit ue machie Pour des raisos d équilibre thermique o crée u courat d eau etre les deux bassis à l aide de deux pompes O modélise les échages etre les deux bassis de la faço suivate : au départ, le bassi A cotiet m 3 d eau et le bassi B cotiet m 3 d eau ; tous les jours, 15% du volume d eau préset e début de jourée das le bassi B est trasféré vers le bassi A ; tous les jours, 10% du volume d eau préset e début de jourée das le bassi A est trasféré vers le bassi B et, pour des raisos de maiteace, o trasfère égalemet 5 m 3 du bassi A vers le bassi B Pour tout etier aturel, o ote : a le volume d eau, exprimé e m 3, coteu das le bassi A à la fi du -ième jour de foctioemet ; b le volume d eau, exprimé e m 3, coteu das le bassi B à la fi du -ième jour de foctioemet O a doc a 0 = 1100 et b 0 = 1100 Les parties A et B peuvet être traitées de maière idépedate Partie A 1 Traduire la coservatio du volume total d eau du circuit par ue relatio liat a et b 2 O utilise u tableur pour visualiser l évolutio du volume d eau das les bassis Doer les formules à écrire et à recopier vers le bas das les cellules B3 et C3 permettat d obteir la feuille de calcul ci-dessous : A B C 1 Jour Volume bassi A Volume bassi B , , , , ,63 984, ,72 963, ,54 947,46 Termiale S 4
5 ,40 935, ,30 926, ,98 920, ,98 915, ,74 911, ,55 908, ,66 906, ,25 904, ,44 903, ,33 902, ,00 902, ,50 901, ,87 901,13 3 Quelles cojectures peut-o faire sur l évolutio du volume d eau das chacu des bassis? Partie B 0,9 0,15 O cosidère la matrice carrée M 5 = et les matrices coloes R = et X 0,1 0,85 5 O admet que, pour tout etier aturel, X+ 1 = MX + R O ote S = Vérifier que S = MS +R 900 E déduire que, pour tout etier aturel, X S M( X S ) + 1 = Das la suite, o admettra que, pour tout etier aturel, X S M ( X S ) 2 Motrer que, pour tout etier aturel, = et que 0,6 0,4 0,75 0,6 0,6 0,75 M + = 0,4 0,4 0,75 0,4 + 0,6 0, ,75 = ,75 X 3 Valider ou ivalider les cojectures effectuées à la questio 3 de la partie A 0 a = b 4 O cosidère que le processus est stabilisé lorsque l etier aturel vérifie 1300 a < 1,5 et b 900 < 1,5 Détermier le premier jour pour lequel le processus est stabilisé Termiale S 5
x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
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