Tableaux de Karnaugh en L A TEX (avec l aide de Scilab... )

Transcription

1 Tleux e Krnugh en L A TEX (ve l ie e Sil... ) Ph. ROUX 29 mrs 2009 Tle es mtières L A TEX et les tleux e Krnugh 2. le pkge kvmros.tex trer les groupements Utilistion e Sil 5 2. Trnsriptions es fontions ooléennes Évlution es fontions ooléennes Dessiner les groupements Reherhe es monômes mximux Pour ller plus loin... 5

2 L A TEX et les tleux e Krnugh. le pkge kvmros.tex Dessiner le tleu e krnugh une fontion ooléenne à 4 ou 5 vriles à l ie un tritement e texte n est ps hose isée. Cepennt, pour les utilisteurs e L A TEX, il existe un pkge qui permet e simplifier l ériture e tels tleu, le pkge kvmros e A.W. Wieln. En fit il s git un simple fihier kvmros.tex ontennt un ensemle e ommnes pour prouire es tleux e Krnugh respetnt les onventions les plus usitées. Il suffit e mettre ns le prémule u oument \input kvmros pour pouvoir utiliser es ommnes. Ensuite pour insérer un tleu e Krnugh il fur ppeler l ommne krnughmp ve l syntxe suivnte : \krnughmp{nre vr}{nom fon}{vr}{vl}{ommnes grphiques} nre vr = nomre e vriles e l fontion ooléenne, nom fon = nom que l on onne à l fontion ont on v trer le tleu e Krnugh (f pr exemple), vr = nom e hque vrile (les unes à l suite es utres sns espes) vl=ensemle es vleurs e f ns l orre es monômes noniques, ommnes grphiques= ensemle e ommnes pour essiner les groupements. Quelques remrques à propos es ifférents prmètres : nre vr est un entier, nom fon est une hîne e rtères ou éventuellement une éqution entre $... $, si les noms es vriles sont,, on érir ns le hmp vr l hîne (ou plutôt {$$}{$$}{$$} si on veut érire en moe mthémtique), pr ontre si on veut es vriles plus élorées omme x,x 2,x 3 on érir {${x }$}{${x 2}$}{${x 3}$} Pour l rgument vl si on fit pprître les 0 on noter l suite pour her les 0 on les rempler pr es : ~~~~..., Pour insérer es ojets grphiques sur le tleu (erles, ovles,... ), ns le ut e essiner les groupements, on peut utiliser les ommnes e L A TEX en joutnt éventuellement es pkges omme olor, epi et eepi... Pour finir on ne peut noter qu on ps à spéifier l position es flèhes... normlement est L A TEX qui s oupe e tout! 2

3 Prenons un exemple, pour otenir le tleu e Krnugh suivnt : f(,,) on utilisé l ommne : \krnughmp{3}{f(,,)}{}{00}{} On peut personnliser l ffihge u tleu à prtir es ommnes : \kvnoinex qui loque l ffihge es numéros es ses u tleu (orresponnts u monôme nonique ssoié à l se). \kvunitlength (qui est en fit une vrile) permet e fixer l tille une se (en mm, pts, poues... ) et on juster l tille ffihge u tleu. En reprennt l exemple prééent : \kvnoinex \kvunitlength=2mm \krnughmp{3}{f(,,)}{}{~~}{} on otient : f(,,) 3

4 .2 trer les groupements Il ne reste on plus qu à pler les groupements sur le tleu e Krnugh en utilisnt les pités grphiques e L A TEX. Voii quelques exemples e ommnes très simples à lire : \put(x_pos,y_pos){ojet(x_im,y_im)} x_pos et y_pos ésignent les ooronnées u entre e l ojet, l ojet que j utilise est en générl un ovl mis on peut en fire utres, x_im et y_im ésignent les imensions e l ojet (on peut ussi mettre juste u texte), le oin en s à guhe u tleu pour ooronnées (0,0) et hque se est un rré e oté unité (longueur ). Pr exemple pour entourer le groupement ā ns e tleu f(,) f(,) ā il suffit e pler un ovl rouge entré sur les ooronnées x_pos= et y_pos=.5, e lrgeur un peu inférieure à 2 (.8 ii) et e longueur un peu inférieure à (0.8 ii), et e pler le texte ā à oté (en position (2.2,.5) ) : \kvnoinex \kvunitlength=2mm \krnughmp{2}{$f(,)$}{{$$}{$$}}{~~} { \put(,.5){\olor{re}\ovl(.8,0.8)} \put(2.2,.5){\olor{re}$\r $} } Si on trouve que l orre es vriles n est ps «nturel»on peut le moifier mis el influe sur l position es groupements : \krnughmp{3}{}{}{~~} { \put(2,0.5){\olor{re}\ovl(3.8,0.8)} \put(4.2,0.5){\olor{re}$$} \put(3,){\olor{lue}\ovl(.8,.8)} \put(4.2,.5){\olor{lue}$$} } 4

5 2 Utilistion e Sil Ces pkges permettent on e réer filement es tleux e Krnugh... suf qu il est vite ssez pénile e fire l liste es vleurs e l fontion ns l orre es monômes noniques ou e rentrer mnuellement toutes les informtions sur les groupements (sns ompter les erreurs e sisie). C est pour ette rison que j i érit quelques fontions Sil pour utomtiser e trvil! Je vis érire i-essous les priniples fontions ontenues ns le fihier Krnugh.se qui permettent e résoure es prolèmes. Le oe est loin être optiml, mis il mrhe et il est suffismment ommenté pour onner es iées u leteur intéressé. 2. Trnsriptions es fontions ooléennes Il fut or fixer quelques onventions ériture pour représenter les expressions ooléennes. L iée est e représenter une fontion : f(,,,) = + + ( + )( + ) + pr l hîne e rtère : _++(+)_(+)+* on onsièrer on que : hque vrile est omposée une et une seule lettre (,,... je oute que quelqu un it réellement esoin e fire es tleux e Krnugh à plus e 26 vriles!) + représente l ition, * l multiplition et plé evnt une expression représente le omplémentire, on peut utiliser les prenthèses ( ) et omettre l multiplition * ns les monômes ou entre es prenthèses (+)(+). Sil permet e fire u lul ooléen ve l syntxe suivnte : les eux ooléens sont vri : %T (le ) et fux : %F (le 0) 5

6 les trois opérteurs e se sont : & qui orrespon à l onjontion ( ), qui orrespon à l isjontion (+) et qui orrespon à l négtion (l rre ), Mintennt pour pouvoir mnipuler les fontions ooléennes ve sil, il fut onstruire une fontion qui permette e truire l hîne e rtères : _++(+)_(+)+* en une expression ooléenne sil : (~) (&) ((() ())&~(() ())) (&) C est e qui est rélisé pr l fontion oolen_2_sil qui pren en entrée une hîne e rtère représentnt une expression ooléenne et renvoie en sortie une utre hîne e rtères représentnt l trution e ette expression ooléenne en lngge sil. Cette fontion ne se ontente ps e rempler les + pr ou * pr &, elle oit surtout gérer les prolèmes e prenthésge liés ux onventions e priorités entre les opérteurs + et * énonées plus hut. 2.2 Évlution es fontions ooléennes Une fois l fontion ooléenne truite en expression sil, il fut pouvoir évluer ette fontion fin e remplir son tleu e Krnugh. Si on l liste es vriles,,... et l expression ooléenne e l fontion sous forme e hînes e rtères vr et expr_sil il est file e réer l fontion sil ssoiée vi l ommne : eff( ool=f( +vr ), ool= +expr_sil) il fut ensuite évluer f pour tous les hoix e vleurs possiles pour les vriles,,... Pour n vriles il y 2 n possiilités, qui orresponent à l ériture inire es nomres e 0 à 2 n. J i on érit une fontions [E]=inire(e,w) qui érit ns un tleu E l entier e sous forme inire ve w its, mis ve %t à l ple e et %f à l ple e 0. Ensuite l fontion lule_t_krnugh rée l fontion ooléenne et ppelle utnt e fois que néessire l fontion inire pour remplir le tleu e Krnugh : -->vrs=[ ]//orre pr éfut es vriles vrs =!! -->expr_sil= ~(&&(~)) expr_sil = ~(&&(~)) -->lule_t_krnugh(vrs,expr_sil) ns = ~~ -->vrs=[ ]//on hnge l orre es vriles vrs =!! -->lule_t_krnugh(vrs,expr_sil) ns = 6

7 ~~ les résultts prééents permettent e onstruire les tleux e Krnugh : \krnughmp{4}{}{}{~~}{} \krnughmp{4}{}{}{~~}{} On peut enfin érire une fontion qui génére l ensemle u oe L A TEX reltif u tleu e Krnugh : -->[ltex]=t_krnugh( f, +_(+_),vrs) ltex =!$f(,,,)=+\r {(+\r )}$ \\!!\kvnoinex!!\kvunitlength=2mm!!%généré pr l ommne sil :!!%t_krnugh( f, +_(+_),vrs)!!\krnughmp{4}{$f$}{{$$}{$$}{$$}{$$}}!!{~~~~~~~}!!{%ps e groupements essinés!!}! qui prouir le tleu suivnt : 7

8 f(,,,) = + ( + ā) f Quelques efforts supplémentires permettent e trer es fontion «phiooléennes». J i lors esoin e eux expressions ooléennes : une pour éfinir l fontion (sur son omine) une utre pour éfinir les ses où l fontion n est ps éfinie. Il suffit ensuite utiliser lule_t_krnugh pour svoir où positionner les ns le tleu e Krnugh et où pler les rtères signlnt que l fontion n est ps éfinie ( - pour moi, prfois ussi φ est utilisé). Voii un exemple ve une fontion à 5 vriles : -->ltex=t_krnugh_phi( f, +_+e_+e, _,vrs) ltex =!\kvnoinex!!\kvunitlength=2mm!!%généré pr l ommne sil :!!%t_krnugh_phi( f, +_+e_+e, _,[ e!! ])!!\krnughmp{5}{$f$}{{$e$}{$$}{$$}{$$}{$$}}!!{~-~~-~~-~~-~-~~-~~-~-}!. les informtiiens ont l très muvise hitue ppeler fontion ooléennes les pplitions à vleur ooléennes, il sont on oligés utiliser une utre énomintion pour les vries fontions ooléennes(i.e. ve un ensemle e éfinition plus petit que l ensemle e éprt) qui ppellent on fontions phi-ooléennes (ou φ-ooléennes). 8

9 !{%ps e groupements essinés!!}! e qui onne le tleu : e f Dessiner les groupements Le ut e ette prtie est e générer utomtiquement les ommnes grphiques pour entourer es groupements ns le tleu e Krnugh. Comme est ssez iffiile je me suis restreint u s es fontions à n vriles pour n = 2,3,4,5. l fontion init_vriles permet initiliser, en fontion e n, un ertins nomres e onnées néessires à l gestions es groupements : -->[num_krnugh, x_krnugh, y_krnugh, vrs]=init_vriles(3) vrs =!! y_krnugh = x_krnugh = num_krnugh = num_krnugh remplit une mtrie sil ve les numéros e se (pr éfut) u tleu e Krnugh, 9

10 x_krnugh et y_krnugh renvoient es mtries sil ve les numéros e olonne et e ligne ssoiés à hque se u tleu e Krnugh (l numérottion émrre en s à guhe), vrs ontient l orre «nturel»es vriles Si on veut étenre les possiilités es sripts suivnts à plus e 5 vriles il suffir e moifier init_vriles pour qu elle initilise orretement les vriles prééentes. Le prolème été éoupé en plusieurs sous-prolèmes, ssoiés ux fontions suivntes : =onvert_se_2(,n) et x=onvert_se_0() permettent e psser une représenttion éimle un entier (en fit un réel pour sil) à une représenttion inire (tleu e 0 et e ) et inversement, -->=onvert_se_2(2,5) = >x=onvert_se_0() x = 2. L=se_jente(une_se,n) permet e onnître les ses jentes à une utre (suivnt le nomre e vriles n), -->L=se_jente(0,4) L = txt=nom_groupe(g,vrs) lule le nom (en L A TEX) u monôme qui orrespon u groupement -->txt=nom_groupe([ ],vrs) txt = \r ool= ses_se_touhent(se,se2,x_krnugh,y_krnugh) permet e svoir si eux ses se touhent ns un tleu e Krnugh (importnt pour essiner les groupements en plusieurs moreux), L=prties_onnexe(G,x_krnugh,y_krnugh) permet isoler les prties onnexes un groupement, exemple un groupement en 2 prties : -->L=prties_onnexe([ ],x_krnugh,y_krnugh) L = L() L(2) 0

11 Au finl on une fontion entoure_groupement qui permet entourer un groupement onné pr l liste es numéros e ses qui le omposent. Pr exemple ve le groupement (en 2 moreux) : -->txt=nom_groupe([ ],[ ]) txt = \r -->ltex=entoure_groupement([ ],x_krnugh,y_krnugh, re, \r ) ltex =!\olor{re}\put(4.,){$\r $}!!\put(2,3.5){\ovl(3.8,0.95)}!!\put(2,0.5){\ovl(3.8,0.95)}! qui onne ien : 2.4 Reherhe es monômes mximux Cette prtie est l plus omplexe, le ut est e réupérer l liste es groupements mximux utomtiquement pour pouvoir ensuite trer es ivers groupements sur le tleu e Krnugh. Reonnître un groupement ns le tleu e Krnugh une fontion ooléenne est file si on onnît l reltion

12 orre usuelle sur l lgère e ool es fontions ooléennes éfinie pr : f,m : B n B, m f m = f m en effet si une fontion ooléenne peut s érire omme somme e monômes lors : f(,,,... ) = i I m i (,,,... ) = i I,m i f = m i On peut on vérifier qu un groupe pprtient u tleu e Krnugh en utilisnt e test, que l on peut mettre en œuvre en fisnt le prouit (terme à terme) es tles e vleurs e m et f. Ensuite pour onstruire un monôme mximl à prtir un monôme onné (nonique pr exemple) on v ppliquer réursivement l règle e simplifition suivnte : si pour une vrile x {,,,... } on x m f et x m f lors m f on en prtnt un monôme (nonique) qui pprît ns le tleu e Krnugh, on peut onstruire es monômes e plus en plus «gros»en regrnt pour hque vrile si en l moifint en son omplémentire on otient un nouveu groupement u tleu. Pour représenter un monôme j utilise un tleu à n ses in tel que : in(i)= si l ième vrile pprît ns le monôme in(i)=0 si l ième vrile n pprît ps ns le monôme in(i)=- si l négtion e l ième vrile pprît ns le monôme Pr exemple le monôme (à 4 vriles) ser représenté pr [ - 0 ] si l orre es vriles est. En onséquene j i éoupé le prolème en sous-prolèmes ssoiés ux fontions suivntes : t=tle_vleurs(expr_sil,vrs) lule l tle es vleurs (0 ou ) une fontion ooléennes éfinie pr expr_sil ve l orre es vriles onné pr vrs, expr_oolen=monome(in,vrs) lule l expression ooléenne ( _ pr exemple) ssoiée à un monôme nonique in est le numéro (tleu inire) e l se orresponnte u tleu e Krnugh et vrs onne l orre es vriles, -->vrs vrs =!! -->expr_oolen=monome([ 0 0], vrs) expr_oolen = in=monome_mx(une_se,expr_sil,vrs) reherhe u groupement mximl uquel pprtient l se numéroté une_se, exemple : -->in=monome_mx(5,,vrs) 2

13 in = >monome(in, vrs) ns = l fontion G=groupes_mx(expr_sil,vrs,num_krnugh) permet e luler une liste e groupements mximux : -->G=groupes_mx(vrs, (~),num_krnugh) G =!_! Attention ertins groupement mximux peuvent être sent e ette liste prenre le s e l fontion f(,,,) = + + ā on trouve : f(,,,) = ā + + ): -->G=groupes_mx(vrs,expr_sil,num_krnugh) G =!! lors que le monôme est ussi mximl (mis ps oligtoire) : f ā Enfin l fontion R=forme_reuite(vrs,G,expr_sil,num_krnugh) permet extrire une forme réuite e l fontion (éfinie pr expr_sil) à prtir une liste e monômes mximux (G) pr exemple ns f(,,,) = + ā + ā + tous les monômes sont mximux mis ā et ne sont ps oligtoire. Un seul entre eux est néessire à l ériture une forme réuite e f : -->forme_reuite(vrs,[ _ ],expr_sil,num_krnugh) ns = 3

14 !! e qu on vérifie filement sur le tleu e Krnugh : f ā ā il ne reste plus qu à intégrer l reherhe es monômes mximux et leur tré à l fontion qui lule le tleu e Krnugh pour otenir une implémenttion omplète e l méthoe Krnugh. C est e que fit l fontion methoe_krnugh : -->ltex=methoe_krnugh( f, _(+)+,4) ltex =!$f(,,,)=\r {(+)}+\r \r $ \\!!\kvnoinex!!\kvunitlength=2mm!!%généré pr l ommne sil :!!%methoe_krnugh( f, _(+)+,[ ])!!\krnughmp{4}{$f$}{}!!{~~~~~~~~~~}!!{%les groupements!!\olor{re}\put(4.,2.){$\r $}!!\put(0.5,){\ovl(0.95,.9)}! 4

15 !\put(3.5,){\ovl(0.94,.88)}!!\olor{lue}\put(4,4.2){$\r $}!!\put(3.5,2){\ovl(0.92,3.68)}!!}%fin es groupements!!\\!!l forme simplifiée est on :\\!!$f(,,,)=\r +\r $ \\! e qui onne une fois ompilé : f(,,,) = ā( + ) + ā f ā l forme simplifiée est on : f(,,,) = ā + ā ā L rgument vrs permet e spéifier l orre es vriles, si on veut un orre ifférent e l orre pr éfut (elui renvoyé pr init_vriles), sinon on onne juste le nomre e vriles. 3 Pour ller plus loin... Les fontion sont isponiles ns le Fihier Krnugh.se où ont été rjoutés quelques ommnes joutnt un menu à sil pour tester e mnière in- 5

16 tertive les fontions t_krnugh, t_krnugh_phi et methoe_krnugh. Le oe est loin être optiml et peut être filement mélioré pr le leteur intéressé. Il permet epennt e voir omment utiliser sil pour prouire es orrigés exeries types en L A TEX en lissnt sil s ouper es luls mthémtiques. On peut ensuite érire le résultt ns un fihier ve l ommne : mputl(ltex, essi.tex ) et l insérer ns un fihier L A TEXompilnt : \oumentlss{rtile} \usepkge{msmth,olor} \input kvmros \egin{oument} \pgestyle{empty} \input essi.tex \en{oument} 6