Exercice n 3. Soit A et B deux points distincts. Construire, s ils existent, les barycentres des systèmes de points pondérés suivants.

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1 BARYCENTRES EXERCICES CORRIES Exercice. Soit A et B deux poits disticts. Das chacu des cas suivats, justifier que le poit défii par l égalité vectorielle doée est le barycetre d u système de poits podérés que l o précisera ) A + B ) A = B ) A + AB = B Exercice. Si K est le barycetre d u système de poits podérés (C,),(B,-), exprimer B comme le barycetre des poits K et C avec des coefficiets à détermier Exercice. Soit A et B deux poits disticts. Costruire, s ils existet, les barycetres des systèmes de poits podérés suivats. ) {( A, );( B,) ) {( A, );( B,) ) A, ; B, Exercice. A partir de chaque figure, détermier a et b pour que soit le barycetre du système ( Aa, );( Bb, ) ) ) ) Exercice. Le triagle ABC état doé ci-dessous, costruire le plus précisémet possible les deux barycetres doés. = Bar{ ( A, );( B, );( C, ) et J = Bar A, ; B, ; C, 6 Exercice 6. Soit ABC est u triagle. O défiit les poits H,K,L et par :, ;, H est le barycetre du système ( A ) ( B ) K est le barycetre du système ( B, );( C, ) L est le barycetre du système ( A, );( C, ) est le barycetre du système ( H, );( C, ) ) Démotrer que : A + B C ) E déduire que : a) est le milieu du segmet [BL] b) est le barycetre des poits A et K affectés de coefficiets que l o détermiera Exercice 7. O cosidère u triagle ABC, I le barycetre des poits podérés (A,),(C,), J le barycetre des poits podérés (A,),(B,), K le barycetre des poits podérés (C,),(B,-). ) Exprimer B comme le barycetre des poits K et C avec des coefficiets à détermier. ) Détermiez le barycetre de (A,),(K,),(C,). ) Démotrer que le poit J est le milieu de [IK]. ) Soit L le milieu de [CI] et M celui de [KC]. Détermiez a,b,c,d réels pour que L soit le barycetre de (A,a),(C,b) et M celui de (B,c),(C,d). Page /

2 Exercice 8. Soit ABCD u quadrilatère. O ote I,J,K,L,M et N les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD], [DA], [AC] et [BD] Soit l isobarycetre de ABCD. Démotrer que est le milieu de [IK], [MN] et [LJ]. Coclure Exercice 9. ABCD est u rectagle tel que AB = 6 ) Détermier et costruire l esemble Γ des poits M du pla tels que MA+ MB = MC MD Démotrer que le milieu de [BC] appartiet à Γ ) Détermier et costruire l esemble Γ des poits M du pla tels que MA+ MB = AB Démotrer que le poit B appartiet à Γ Exercice. Das u repère orthoormé, o cosidère les poits A(-;), B(;) et C(;). Calculer les coordoées du barycetre du système (A;), (B;-) et (C;) Exercice. Détermier et placer le cetre d iertie de la plaque ci-dessous, supposée homogèe et d épaisseur égligeable O fera apparaître les traits de costructio aisi que les étapes itermédiaires Page /

3 Exercices de sythèse : Exercice. Soiet ABCD u parallélogramme et I le milieu de [AB]. Les droites (DB) et (CI) se coupet e u poit oté (La figure, à compléter, est doée ci-dessous). ) Motrer que A + B + C ) a) Costruire le barycetre K du système de poits podérés (A ; ), (B ; ) et (C ; -) b) Motrer que K est aussi le barycetre du système de poits podérés ( ; ) et (C ; -) ) a) Déduire de la relatio () que A est le barycetre des poits podérés (D ; ), ( ; ) et (C ; -) b) Motrer que A est le milieu du segmet [DK] ) Détermier et costruire l esemble (E) des poits M du pla tels que : MD+ M MC = MA+ MB ) a) Pour quelle(s) valeur(s) du réel m le barycetre I m du système (D, m), ( ; ) et (C ; -) existe-t-il? b) Lorsque I existe, motrer que : m DIm = DK + m c) Étudier les variatios de la foctio x et dresser so tableau de variatios (o précisera ses limites aux bores + x de so domaie de défiitio sas justificatio). d) E déduire le lieu géométrique du poit I m lorsque le réel décrit l esemble \ { Exercice. Das le pla (P), o cosidère u triagle ABC isocèle e A, de hauteur [AH], telle que AH=BC=, l uité choisie état le cetimètre. ) Costruire, e justifiat, le poit barycetre du système de poits podérés {( A, );( B, );( C,) ) M est u poit quelcoque de (P). Motrer que le vecteur V = MA MB MC est u vecteur de orme 8 ) Détermier et costruire l esemble des poits M du pla tels que MA+ MB+ MC = V ) O cosidère le système de poits podérés (,);(, );(, ) A B C où est u etier aturel fixé. a) Motrer que le barycetre de ce système, existe quelle que soit la valeur de b) Motrer que pour tout etier aturel, appartiet à [AH] c) Soit Γ l esemble des poits M du pla tels que MA+ MB+ MC = V. Motrer que Γ est u cercle coteat le poit A, dot o précisera le cetre et le rayo d) Détermier la distace A e foctio de ) Quel est le comportemet de lorsque ted vers +? Exercice. Sur ue droite D muie d u repère ( ; ) aturel, o ote : ) Placer les poits A, B, A, B ) Les poits A et Oi, A et B sot les poits d abscisses respectives et. Pour tout etier A + le barycetre de ( A ) et ( ), B, ; Page / B + le barycetre de ( A ) et ( ) B ot pour abscisses respectives a et b. Aisi a = et b = a a b b a b Démotrer que pour tout de, = ( + + ) et = ( + ) + ) a) Démotrer, par récurrece, que pour tout etier aturel : a + b, B, ;

4 b) E déduire que : a = + a et b = + b ) a) Exprimer a et b e foctio de. b) Détermier les limites de a et b quad ted vers + c) Iterpréter ce résultat à l aide des poits A et B. Page /

5 Exercice ) L égalité vectorielle A + B BARYCENTRES - CORRECTION traduit exactemet le fait que est le barycetre du système ( A, ) ; ( B, ) (c est la défiitio!) ) L égalité vectorielle A = B est équivalete à A + B qui traduit exactemet le fait que est le barycetre du système ( A, );( B,) ) L égalité vectorielle A + AB = B se trasforme successivemet e : A + AB = B Relatio de Chasles A + ( A + B) B A + A + B B 6 6 A B A B = 6A B ( 6A B) A B A B qui traduit exactemet le fait que est le barycetre du système ( A, );( B, ) Exercice Si K est le barycetre d u système de poits podérés (C,),(B,-), alors o peut écrire : KC KB KB + BC KB KB + BC BK + BC, qui traduit le fait que B est le barycetre du système ( K, );( C,) Exercice ) barycetre de ( A, );( B,) A + B Relatio sigifie que : de Chasles A + ( A + AB) A + A + AB A + AB A = AB A = AB A = AB D où ue costructio du poit : ème méthode : β Si o sait que lorsque est le barycetre d u système {( A, α );( B, β ) (avec α + β ), alors A = AB, o peut α + β écrire directemet que barycetre de {( A, );( B,) sigifie A = AB = AB (o retrouve le même résultat!) + A, ; B, existe pas. ) Das le deuxième cas, la somme des coefficiets état ulle, le barycetre du système ( ) ( ) Iutile dessayer de le costruire! ) Pour costruire le barycetre du système de poits podérés A, ; B,, o commece par multiplier les deux coefficiets par car l égalité A B est équivalete à A B = 8A B (De maière géérale o peut multiplier tous les coefficiets du système par u même réel o ul). β Ceci supprime les fractios, et red le calcul vectoriel ou l applicatio de la formule A = AB plus aisée. α + β O trouve fialemet A = AB, ce qui ous permet de costruire le poit : Page /

6 Exercice Figure : ère 6 méthode : Sur la figure ) o «lit» que A = AB, égalité vectorielle que l o trasforme successivemet e : 9 6 A = AB A = AB A AB A ( A + B) 9 A A B A B A B A + B A, ; B, qui traduit le fait que est le barycetre du système ( ) ( ) ème méthode : Si o sait que lorsque est le barycetre d u système ( A, );( B, ) α β (avec α + β ), alors β A = AB, o idetifie sas difficulté, à partir de l égalité A α + β = AB AB = les coefficiets α = et β =. + Figure : Sur la figure ) o «lit» que A = AB Ou o procède par idetificatio, e remarquat que A = AB + ( ), d où α = et β =, ou o «se lace» das les égalités vectorielles : A = AB A = AB A + AB A + A + B A + B A + B {(, );( B, ( ) ) doc est le barycetre du système ( A, );( B,) ou ecore du système A ( ) ( ) système (,);(, ), c est-à-dire du A B (car o peut multiplier tous les coefficiets du système par u même réel o ul). O retrouve bie le même résultat Figure : L observatio de la figure ) coduit à remarquer que o «lit» que Par idetificatio, A = AB, doc α = et β =. + Par égalités vectorielles, A = AB 6A AB 6A A B 6 A B A B, ;, A = doc est le barycetre du système ( A ) ( B ) ou ecore du système ( A, );( B,) 6 AB, Exercice Pour costruire le barycetre d u système de trois poits podérés, il faut regrouper deux d etre eux au sei d u «système partiel», e costruire le «barycetre partiel», puis remplacer ce système par so barycetre affecté de la somme des coefficiets. Autremet dit, ) Soit = Bar{ ( A, );( B, );( C, ) le poit à costruire. Si o ote H = Bar{ ( A, );( C, ), qui est défii par AH = AC (costructio ci-dessous), alors : = Bar A, ; B, ; C, {( ) ( ) ( ) (, );(,) (,);(,) (,);(,) = Bar H B = Bar H B = Bar H B c est-à-dire milieu de [HB]. O a aisi costruit le poit grâce au barycetre partiel H Page 6/

7 ) Pour costruire le barycetre J = Bar A, ; B, ; C, 6, o commece par multiplier tousles coefficiets par : J = Bar{ ( A, );( B, );( C,). O regroupe les deux deriers poits e posat I = Bar{ ( B, );( C,), c est-à-dire BI = BC (costructio ci-cotre), Esuite, il viet J = Bar A, ; B, ; C, {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) {, ;, {(,);(,) = Bar A I = Bar A I doc J est le milieu de [AI] Exercice 6 {, ;, Si H est le barycetre du système (,);(,) Si K est le barycetre du système (,);(, ) Si L est le barycetre du système (,);(, ) A B, alors AH = AB = AL = AC H = HC B C, alors BK BC A C, alors H C, alors ) Pour motrer que A + B C, deux méthodes (au mois!) sot possibles : Si est le barycetre du système ( ) ( ) ère méthode : «calculs vectoriels» : A + B C = H + HA + H + HB H + HC = H + H H + HA + HB HC ( ) ( ) ( ) H car H= Bar A, ; B, {( ) ( ) = H HC car H = HC H = HC ème méthode : E utilisat la techique dite des «barycetres partiels», o écrit : ( ) ( ) = Bar H, ; C, car H= Bar( ( A, );( B,) ) = Bar ( A, );( B, );( C, ) ce qui permet de coclure directemet que A + B C (c est la défiitio!) ) Puisque L est le barycetre du système (,);(, ) = Bar{ ( A, );( B, );( C, ) = Bar{ ( L, );( B,) = Bar ( L, );( B, ) = Bar L, ; B, {( ) ( ) doc est le milieu du segmet [BL] A C, o écrit {( ) ( ) b) Puisque K est le barycetre du système ( B, );( C, ), o écrit : = Bar ( A, );( B, );( C, ) = Bar A, ; K,, c est-à-dire = Bar ( A, );( K,) Page 7/

8 Exercice 7 ) Si K est le barycetre d u système de poits podérés (C,),(B,-), alors o peut écrire : KC KB KB + BC KB KB + BC BK + BC, qui traduit le fait que B est le barycetre du K, ; C, { K C, o écrit : {, ;, ;, = {(,);(,+ ) = {(,);(,) = {(,);(,) système ( ) ( ) ) E utilisat le barycetre partiel B du système (,);(,) ( ) ( ) ( ) Bar A K C Bar A B Bar A B Bar A B Le barycetre cherché est doc le poit J J = Bar A, ; K, ; C,, e utilisat le fait que I le barycetre des poits podérés (A,),(C,), o écrit {, ;, {(,);(,) {(,);(,) ) Puisque ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J = Bar I + K = Bar I K = Bar I K doc J est le milieu de [IK]. ) E utilisat la techique des «barycetres partiels», o écrit : Si L est le milieu de [CI], alors {( ) ( ) ( ) ( ) L= Bar I, ; C, = Bar I, ; C, d'après l'éocé I= Bar{ ( A, );( C,) = Bar ( A, );( C, ); ( C, ) = Bar{ ( A, );( C, ) = Bar{ ( A, );( C,) doc a = et b =. De la même maière, L= Bar{ ( K, );( C, ) = Bar ( K, ) ; ( C, ) d'après l'éocé K= Bar{ ( C, );( B, ) = Bar ( C, );( B, ); ( C, ) = Bar ( B, );( C, ) = Bar B, ; C, c = et d = Exercice 8 Puisque I est le milieu de [AB], alors I = Bar ( A, );( B,) Puisque J est le milieu de [BC], alors J = Bar{ ( B, );( C,) Puisque K est le milieu de [CD], alors K = Bar{ ( C, );( D,) Puisque L est le milieu de [DA], alors L= Bar{ ( A, );( D,) Puisque M est le milieu de [AC], alors M = Bar ( A, );( C,) Puisque N est le milieu de [BD], alors N = Bar{ ( B, );( D,) Notos = Bar ( A, );( B, );( C, );( D,) E effectuat deux regroupemets de barycetres partiels, o écrit : = Bar ( A, );( B, ); ( C, );( D,) I Bar{ ( A, );( B, ) K Bar{ ( C, );( D,) = = = Bar I, ; K, = Bar I, ; K, {( ) ( ) ( ) ( ) doc est le milieu de [IK]. {( ) ( ) E effectuat u deuxième regroupemet, à l aide de M = Bar ( A, );( C,) et N Bar ( A, );( C,) Bar{ ( A, );( B, );( C, );( D, ) Bar{ ( M,);( N, ) Bar{ ( M,);( N,) Efi, à l aide du regroupemet J = Bar{ ( B, );( C,) et L Bar{ ( A, );( D,) = Bar ( A, );( B, );( C, );( D, ) = Bar J, ; L, = Bar J, ; L,, doc est le milieu de [JL]. Page 8/ =, o écrit que = = =, doc que est le milieu de [MN]. {( ) ( ) {( ) ( ) Les trois segmets [IK], [MN] et [LJ] sot doc cocourrats e leur milieu commu. =, o écrit

9 Exercice 9 ) Si o ote le barycetre = Bar{ ( A, );( B,) (doc A = AB ) et H le barycetre H = Bar ( ) ( ) { C, ; D, (doc CH = CD ), alors pour tout poit M du pla, o a MA + MB = ( M + A) + M + B = M+ A+ B = M car = Bar{ ( A, );( B,) et de même, pour tout poit M du pla, MC MD= ( MH + HC) ( MH + HD) = MH + HC HD = MH + L égalité MA+ MB = MC MD deviet alors équivalete à M = MH, doc à M = MH M = HM Le poit M est doc équidistat des poits et H, doc appartiet à la médiatrice du segmet [H]. Γ est doc la médiatrice de [H] (e bleu sur le dessi) Notos I le milieu de [H]. Alors I = IB + B = IB + BA + A = IC AB + AB = IC AB = IC + CD car AB = CD puisque ABCD est u rectagle. D autre part IH = IC + CH = IC CD. O e déduit doc que IH = I, doc que I est le milieu de [H], doc que I appartiet bie à la médiatrice Γ de [H] = pour écrire l équivalece : MA + MB = AB M = M = M = M appartiet doc au cercle de cetre et de rayo. Γ est doc le cercle de cetre et de rayo (e rouge sur le dessi) Puisque A = AB, o e déduit que B = AB doc B = AB B = AB = 6 =, doc M appartiet doc au cercle Γ de cetre et de rayo. ) O utilise de ouveau le poit Bar ( A, );( B,) Exercice - Deux méthodes équivaletes sot evisageables : ère méthode : α xa + βxb + γxc L applicatio des formules du cours : x = y α + β + γ Qui se traduiset ici par x ( ) + = = et + y α y + βy + γ y α + β + γ A B C et = + = = +, Page 9/

10 ème méthode : Le retour à la défiitio géérale : Le poit barycetre du système (A;), (B;-) et (C;) vérifie doc A B + C. Si o ote ( x; y ), o exprime e foctio de x et y les coordoées des vecteurs : xa x = x ( x) = x A doc A ; y A y = y ( y) = y B xb x = x ( x) = x doc B y y B = y ( y) = y C xc x = x ( x) = 6 x doc C y y C = y ( y) = y O arrive aisi aux coordoées de A B + C : x + x + 6 x = x + A B + C y + y + y = y + Puisque A B + C, et que le vecteur ul possède deux coordoées ulles!, o obtiet les deux équatios x + et y + grâce auxquelles o retrouve bie x = et y = Exercice Deux «zoes» ot évidé le «grad carré» d aire uités d aire, de cetre de gravité O (itersectio des diagoales e vert ) : - U triagle d aire 6 = uités d aires, de cetre de gravité J (itersectio des médiaes e bleu) - U «petit carré» d aire 6 uités d aires, de cetre de gravité I (itersectio des diagoales e bleu) Le cetre de gravité «global» sera le poit barycetre : = Bar{ ( O, );( J, );( I, 6 ) = Bar{ ( O, );( J, );( I, ) E itroduisat le barycetre partiel K = Bar{ ( O, );( I, ) = Bar{ ( O, );( I, ) OK = OI (costructio : figure 9 ci-dessous), o se retrouve avec = Bar{ ( J, );( K,9) J = JK 8 Page /

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12 Exercices de sythèse : Exercice ) Si o ote O l itersectio des diagoales du parralélogramme, O est le milieu de [AC]. Le segmet [BD] (ou [BO]) est doc, das le triagle ABC, la médiae issue de B. De même, le segmet [BI]est la médiae issue de C, puisque I est le milieu de [AB]. Le poit itersectio de (DB) et (CI) est doc le cetre de gravité (ou ecore isobarycetre) du triagle ABC. Il vérifie doc A + B + C ) a) E regroupat les poits A et B par l itermédiaire de leur milieu I, o écrit : K = Bar{ ( A, );( B, );( C, ) = Bar{ ( I, );( C, ) IK = IC, o e déduit que I est le milieu de [KC], d où la costructio du poit K (e rouge) : {,;, {(,; ) (,; ) (,; ) (, ) {(,; ) (,; ) (, ) {(,; ) (,; ) (, ) b) E utilisat la décompositio Bar ( A, );( B, );( C,) ( ) ( ) =, puis e regroupat les coefficiets du poit C, o obtiet : Bar C = Bar A B C C = Bar A B C = Bar A B C = K ) O écrit A + B + C A + A + AB + A + AC A + AC + CB + AC A + AC + DA CB= DA car ABCD est u parallélogramme O e déduit A + AC AD, ou ecore, e multipliat par : A AC + AD doc A est le barycetre des poits podérés (D ; ), ( ; ) et (C ; -) A Bar D, ;, ; C, K = Bar, ; C, (questio b), o e déduit que b) Puisque = ( ) ( ) ( ), et puisque ( ) ( ) A= Bar{ ( D, );( K, ) = Bar{ ( D, );( K,) doc A est le milieu du segmet [DK] ) E utilisat les barycetres A= Bar ( D, );(, );( C, ) et I Bar ( A, );( B,) = milieu de [AB], o écrit l équivalece MD+ M MC = MA+ MB MA = MI AM = IM. M appartiet doc à la médiatrice du segmet [AI] ) a) Le barycetre du système (D, m), ( ; ) et (C ; -) existe si et seulemet si la somme des coefficiets du système est o ulle, c est-à-dire si et seulemet si + m m. Le barycetre du système (D, m), ( ; ) et (C ; -) existe doc pour tout m ] ; [ ] ; + [ b) Pour tout m ] ; [ ] ; +, [ si o ote Im = Bar{ ( D, m) ;(, );( C, ), o a doc mimd+ Im ImC mimd+ ( ImD+ D) ( ImD+ DC) ( m + ) ImD + D DC ( m + ) ImD + ( DK + K) ( DK + KC) ( m+ ) ImD+ DK + K KC Aisi ( ) m+ ImD= DK DIm = DK m + f x \ x c) Si o ote ( ) =, défii sur, o calcule f ( x) + ( + x) ] ; [ et sur ] ; + [. De plus lim f ( x), lim f ( x) = et lim f ( x) D où le tableau de variatios : x ± x x< = < doc f est strictemet décroissate sur x x> = +. d) D après le tableau de variatios, l image de l esemble ] ; [ ] ; + [ est l esemble ] ;[ ] ; + [. Aisi le coefficiet de coliéarité existat etre DIm et DK parcourat tout l esemble m + ] ;[ ] ; + [, le poit I m parcourt toute la droite (DK), sauf le poit D Page /

13 Exercice Das le pla (P), o cosidère u triagle ABC isocèle e A, de hauteur [AH], telle que AH=BC=, l uité choisie état le cetimètre. ) O itroduit le milieu H de [BC] (puisque das u triagle isocèle e A, la hauteur issue de A est aussi médiae issue de A), pour coclure que = Bar{ ( A, );( B, );( C, ) = Bar{ ( A, );( H, ) = Bar{ ( A, );( H,) est le milieu de [AH]. ) Pour tout poit M, V = MA MB MC = MA ( MA+ AB) ( MA+ AC) = MA MA MA AB AC = ( AB+ AC) = AH doc V = MA MB MC = AH = AH = 8 ) E utilisat le barycetre Bar ( A, );( B, );( C,) =, o écrit l équivalece : MA + MB + MC = V M = 8 M =. M parcourt doc le cercle de cetre et de rayo ) a) Le barycetre A, ; B, ; C, existe quel que soit l etier aturel car la somme des coefficiets vaut + qui e s aule pas si est u etier aturel b) E itroduisat le milieu H de [BC], o écrit = Bar{ ( A, );( B, ) ;( C, ) = Bar{ ( A, );( H,) doc A = AH = AH. Comme pour tout, <, le coefficiet de coliéarité etre A et AH état u réel compris etre et, o peut affirmer que appartiet au segmet [AH]. c) E itroduisat le barycetre = Bar{ ( A, );( B, ) ;( C, ), o écrit l équivalece : 8 MA + MB + MC = V ( + ) M = 8 M = =. + + Le poit M parcourt doc le cercle Γ de cetre et de rayo +. Le poit A appartiet à Γ car l égalité MA+ MB+ MC = V est vérifiée si o remplace M par A. AA + AB + AC = AB + AC = AB + AC = AH = 8, et d autre part V = 8. du système de poits podérés ( ) ( ) ( ) E effet d ue part ( ) D où l égalité, qui prouve que le poit A appartiet à Γ. d) L égalité A = AH implique que A = + + ) lim A = lim = et apparteat au segmet [AH] ous permettet de coclure que lorsque ted vers , le poit se rapproche idéfiimet (ted vers) du poit H. Exercice ) A le barycetre de ( A ) et ( ), B le barycetre de ( A ) et ( ) O obtiet doc :, B,, doc a + b 8 a = = B,, doc a + b 6 b = = ),, a + b B + est le barycetre de ( A, ) et (, a + b ) b + = = a + b ) a) Iitialisatio : O vérifie que : a + b = ( ) + = Hérédité : O cosidère que pour u etier aturel, a + b A + est le barycetre de ( A ) et ( B ) doc a = = ( a + b ) + B doc ( ) Page /

14 O calcule alors : a + b + a + 8b a + b a+ + b+ = ( a + b) + ( a + b) = = = a + b Or a + b d après l hypothèse de récurrece. Coclusio : Pour, a + b b) Puisque pour tout, a + b, alors b = a et a = b. Aisi, l égalité a = + ( a b) + deviet ( ) a+ = a a a a a + = = L égalité b = + ( a b) + deviet ( ) b+ = b b b b b + = + = ) a) La suite a est doc géométrique de raiso et de premier terme a =. Aisi, pour tout etier, a = a =. De même, pour tout, b =. b) La raiso des suites géométriques a et b appartiet à l itervalle ]- ;[, doc lim a et lim b c) Lorsque ted vers +, les poits A et B se rapprochet aussi près que l o veut de l origie O de la droite graduée. + + Page /