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1 Devoir surveillé 2 L usage de la calculatrice est autorisé La qualité de la présetatio et de la rédactio de la copie sera prise e compte das so évaluatio Sauf metio du cotraire, toute répose doit être justifiée Durée : 2h Exercice 1 (10 poits) Tolizara possède u lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux L esemble des morceaux musicaux qu il possède se divise e trois geres disticts selo la répartitio suivate : 30 % de musique classique ; 45 % de variété ; le reste état du jazz Tolizara a utilisé deux qualités d ecodage pour stocker ses morceaux musicaux : u ecodage de haute qualité et u ecodage stadard O sait que : les 5/6 des morceaux de musique classique sot ecodés e haute qualité ; les 5/9 des morceaux de variété sot ecodés e qualité stadard ; 65 % des morceaux sot ecodés e haute qualité O cosidère les évèemets suivats : C : «Le morceau écouté est u morceau de musique classique» V : «Le morceau écouté est u morceau de variété» J : «Le morceau écouté est u morceau de jazz» H : «Le morceau écouté est ecodé e haute qualité» S : «Le morceau écouté est ecodé e qualité stadard» Partie A Das cette partie, o pourra s aider d u arbre de probabilités Tolizara décide d écouter u morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur so MP3 e utilisat la foctio «lecture aléatoire» 1 Quelle est la probabilité qu il s agisse d u morceau de musique classique ecodé e haute qualité? O réalise u arbre de la situatio (les probabilités des deux derières braches serot justifiées à la questio 2b) :

2 O a P( C H ) P( C) P C ( H ) 0, ,25 La probabilité qu il s agisse d u morceau de musique classique ecodé e haute qualité est égale à 25% 2 a) Les évèemets C et H sot-ils idépedats? D ue part, P( C H ) 0,25 D autre part, P( C) P( H ) 0,3 0,65 0,195 Comme P( C H ) P( C) P( H ), o e déduit que les évéemets C et H e sot pas idépedats b) Calculer P(J H) et PJ(H) Iterpréter les probabilités calculées Les évéemets C, V et J formet ue partitio de l uivers La formule des probabilités totales permet d affirmer que : P( H ) P( C H ) + P( V H ) + P( J H ) Par coséquet, o a : P( H ) P( C H ) P( V H ) P( H ) P( C) P C ( H ) + P( V ) P V ( H ) P J H P J H P( J H ) 0,65 0, , ,2 La probabilité qu il s agisse d u morceau de Jazz ecodé e haute qualité est égale à 15% Efi, P J ( H ) P J H P J sachat que c est u morceau de jazz est égale à 80% 0,2 0,8 : la probabilité que le morceau soit ecodé e haute qualité 0,25 3 Tolizara écoute u morceau ecodé e qualité stadard, quelle est la probabilité que cela soit u morceau de jazz (arrodir le résultat au millième)? La probabilité cherchée est P S ( J ) P S J P S P J ( S) P J 1 P H 0,25 0,2 1 0,65! 0,143

3 Partie B Pedat u log trajet e trai, Tolizara écoute, e utilisat la foctio «lecture aléatoire» de so lecteur MP3, 60 morceaux de musique O cosidère la variable aléatoire X qui compte le ombre de morceaux de musique classique écoutés par Tolizara au cours de so voyage 1 Quelle est la loi suivie par X? Justifier la répose et préciser les paramètres de cette loi O cosidère l expériece de Beroulli «écouter u morceau de musique avec le mode aléatoire du lecteur MP3» dot le succès «le morceau de musique est u morceau de musique classique» a ue probabilité égale à p 0,3 O répète 60 fois de maière idépedate (le ombre de musiques das le lecteur de Tolizara permet d assimiler cette répétitio à des tirages avec remise) cette expériece de Beroulli : X compte le ombre de succès de ce schéma de Beroulli Aisi, X suit la loi biomiale de paramètres 60 et p 0,3 2 Quelle est la probabilité que Tolizara écoute 20 morceaux de musique classique (arrodir le résultat au millième)? O a P( X 20) ,320 0,7 40! 0,909 La probabilité que Tolizara écoute 20 morceaux de musique classique est eviro égale à 90,9% 3 Durat les quatre premières heures de so périple, Tolizara a écouté 5 morceaux de Jazz et 3 morceaux de variété Quelle est la probabilité qu il etede au mois 20 morceaux de musique classique au cours de l esemble de so voyage (arrodir le résultat au millième)? P X 52 ( X 20) P X 52 P X 52 X 20 P X 52 X 20 P( X 19) P X 52 X 20 1 P ( X 19 )! 1 0,669 1 P 20 X 52 1 P X 19! 0,331 4 Calculer l espérace de la variable aléatoire X Iterpréter le résultat E( X ) p 60 0,3 18 Cela sigifie que si Tolizara fait u grad ombre de trajet e écoutat 60 morceaux sur so lecteur MP3 e mode aléatoire, le ombre moye de morceaux de musique classique s approchera de 18

4 Partie C Pour s occuper, Tolizara s amuse à calculer diverses limites das le trai sur des airs de Louis Moreau Gottschalk S il choisit au hasard l ue des suites défiies ci-dessous, quelle est la probabilité que cette suite diverge? u v 7si() w O calcule les différetes limites : 1) D ue part, lim 2 + car 2 > 0 doc par somme de limites lim D autre part, lim car -1 < 2/3 < 1 doc par somme de limites lim 3 Aisi, par quotiet de limites, lim u + et la suite est divergete 2) Pour tout etier aturel o a : si() 1 7si() 7 car 7 > 0 v Or lim 7, doc par le théorème de majoratio, o e déduit que lim v et la suite est divergete 3) Pour tout etier aturel o ul o a w D ue part, lim par somme et produit de limites D autre part, lim par somme et produit de limites Aisi, par quotiet de limites, lim w 0 et la suite est covergete Coclusio : ous sommes das ue situatio d équiprobabilité car Tolizara choisit au hasard ue suite La probabilité qu elle soit divergete est doc égale à 2/3

5 Exercice 2 (10 poits) O cosidère la suite umérique (u) défiie sur! par : Partie A : quelques cojectures u 0 2 et pour tout etier aturel, u u 2 + 3u Calculer les valeurs exactes, doées e fractios irréductibles, de u 1 et u 2 u u u 2 + 3u u u 2 + 3u Doer ue valeur approchée à 10 5 près des termes u 3 et u 4 La calculatrice doe : u 3! 2,99219 u 4! 2, Cojecturer le ses de variatio et la covergece de la suite (u) O peut cojecturer que la suite est croissate et qu elle coverge vers 3 Partie B : validatio des cojectures O cosidère la suite umérique (v) défiie pour tout etier aturel par v u 3 1 Motrer que pour tout etier aturel, v v 2 Pour tout etier aturel o a : - d ue part : v +1 u u 2 + 3u u 2 + 3u d autre part 1 2 v u u Aisi, v v 2 pour tout etier aturel ( 2 6u + 9) 1 2 u 2 + 3u 9 2

6 2 Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, 1 v O ote P() la propriété «1 v 0» qui déped d u etier aturel Iitialisatio Pour 0, o a v 0 u et doc 1 v 0 La propriété P(0) est doc vraie Hérédité Soit k u etier aturel tel que P(k) soit vraie : 1 v k Prouvos alors que P(k+1) est vraie : 1 v k+1 Par hypothèse de récurrece, o sait que 1 v k La foctio carrée est strictemet décroissate sur l esemble des réels égatifs, doc ( 1) 2 v 2 k 0 2 et par suite 1 v 2 k 0 Efi, comme -1/2 < 0, o e déduit que v 2 0 et doc fialemet 1 1 k 2 v k+1 Coclusio O a prouvé par récurrece sur que la propriété P() est vraie pour tout etier aturel Aisi, 1 v 1 3 a) Démotrer que, pour tout etier aturel, v +1 v v Pour tout etier aturel, v +1 v 1 2 v 1 2 v v b) E déduire le ses de variatio de la suite (v) 1 O étudie le sige de la différece v +1 v, c est -à-dire le sige du produit v D ue part, 1 v 0 1 v 0 doc le premier facteur est positif D autre part, 1 v ( 1 ) v v +1 1 doc le secod facteur est positif 1 Aisi, v est positif et doc pour tout etier aturel, v v 0 Par coséquet, +1 v +1 v et la suite (v) est croissate

7 4 Pourquoi peut-o affirmer que la suite (v) est covergete? La suite est croissate et majorée par 0, doc elle est covergete 5 O ote l la limite de la suite (v) O admet que l appartiet à l itervalle [-1 ; 0] et vérifie l égalité l 1 2 l 2 Détermier la valeur de l Sur l esemble des réels, o a les équivaleces : x 1 2 x2 1 2 x2 x x( 1 2x) 0 x 0 ou x 1 2 Comme l appartiet à l itervalle [-1 ; 0], o e déduit que l 0 6 Les cojectures de la partie A sot-elles validées? O sait que pour tout etier aturel, u v + 3 Comme lim v 0, par somme de limites lim v et doc lim u 3 De plus, comme pour tout etier aturel, v +1 v, o e déduit que v v + 3 et doc que u +1 u La suite u vérifiées est doc ue suite croissate et covergete vers 3 Les cojectures sot bie

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