Tests Statistiques. Tony Bourdier ESSTIN
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- Franck Sauvé
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1 Tests Statistiques Toy Bourdier ESSTIN Formulatio 1.1 Notio de test Soit X ue variable aléatoire réelle de desité f θ x dépedat d u paramètre θ de valeur icoue. O formule deux hypothèses sur la valeur de θ : H : l hypothèse ulle H 1 : l hypothèse alterative Chacue de ces hypothèses peut être simple : θ = θ θ a la valeur θ ou multiple : θ Θ L ue de ces hypothèses est vraie. U test est ue règle de choix etre les deux hypothèses qui est obteue à partir de l observatio d u échatillo i.i.d. de X. 1. Règles de décisios 1..1 Décisios possibles La règle coduit à l ue des deux décisios suivates : 1. rejeter l hypothèse H = accepter H 1. e pas rejeter l hypothèse H = accepter H 1.. Erreurs de décisio et risque d erreurs Décisio Hypothèse vraie Ne pas rejeter H Rejeter H H Pas d erreur 1 α Erreur de 1 ere espèce α H 1 Erreur de e espèce β Pas d erreur Π = 1 β H : θ Θ H 1 : θ Θ 1 Défiitio 1.1 : O défiit : 1. La foctio risque de 1 ère espèce : Pour x Θ : αx = Prejeter H lorsque θ = x. sup x Θ αx = α : seuil ou risque du test. La foctio risque de de espèce : Pour x Θ 1 : βx = Pe pas rejeter H lorsque θ = x 3. La foctio puissace : Pour x Θ 1 : Πx = 1 βx = Prejeter H lorsque θ = x 1..3 Méthode de test de Neyma et Pearso O cherche à détermier la règle de décisio de telle maière que les risques d erreur soiet miimaux. Or, e gééral, les risques de première et deuxième espèce sot atagoistes : si o dimiue l u, o augmete l autre.
2 La méthode de Neyma et Pearso cosiste à : fixer le seuil risque α = sup x Θ αx miimiser βx = maximiser Πx : c est le critère de la puissace maximale La valeur de α état fixée petite, l hypothèse H est privilégiée : c est celle que l o e veut pas rejeter à tort. Théorème de Neyma H : θ Θ Défiitio. : Le test H 1 : θ Θ 1 est dit sas biais lorsque x Θ, αx α x Θ 1, Πx α H : θ θ Théorème.1 : de Neyma O cosidère le test. H 1 : θ θ 1 Si X admet ue desité de probabilité f θ x > pour tout x, alors, pour tout α [, 1], il existe u test de puissace maximale de H cotre H 1 défii par la régio d acceptatio de l hypothèse H : A α = x R ; L θ1 x cα.l θ x} avec cα > et tel que P θ A α = 1 α. E outre, ce test est sas biais. 3 Test sur la moyee d ue loi ormale d écart-type cou X N m,, cou. 3.1 Tests etre hypothèses simples H : m = m H 1 : m = m 1 X 1,..., X u -échatillo i.i.d.de X. O applique le théorème de Neyma : Régio d acceptatio de H : A α = x R ; L m1 x cα.l m x} Règle de décisio : Si x 1,..., x / A α, o rejette H, sio, o accepte H. L m1 x L m x 1 1 L m x = f m x i = π / e i=1 x i m i=1 exp 1 xi m 1 i=1 = exp 1 xi m i=1 = exp 1 i=1 xi m 1 x i m = exp 1 i=1 m m 1 x i m m 1 = exp 1 m m 1 x 1 m + m 1 cα pour défiir la régio d acceptatio
3 1 m m 1 x 1 m + m 1 l cα 1 1 er cas : m 1 > m 1 x 1 m + m 1 l cα m 1 m x m 1 m l cα + 1 m + m 1 = dα La régio d acceptatio de H est de la forme : Détermios dα. Le seuil α est fixé : A α = x R ; x dα} rejeter H lorsque H est vraie = Prejeter H lorsque m = m = P m A α P X > dα lorsque m = m = α Or, m = m X N m, O se ramèe doc à la loi ormale cetrée réduite : X m > dα m dα m = uα d où dα = m + uα Coclusio : H : m = m H 1 : m = m 1 m 1 > m Règle de décisio : Si x > m + uα, o rejette H, sio, o e rejette pas H. Remarque : Cette règle de décisio e fait pas iterveir 1 la valeur de m 1. d cas : m 1 < m 1 m m 1 O a doc 1 Sauf das l iégalité m 1 > m 1 x 1 m + m 1 l cα m 1 m x m 1 m l cα + 1 m + m 1 = eα
4 A α = x R ; x eα} régio d acceptatio de H. O détermie alors eα : rejeter H lorsque H vraie = P m A α X < eα lorsque m = m Or m = m X N m, O se ramèe doc à la loi ormale cetrée réduite : X m < eα m eα m = uα eα = m uα Coclusio : H : m = m H 1 : m = m 1 m 1 < m Règle de décisio : Si x < m uα, o rejette H, sio, o e rejette pas H. 3. Test uilatéral à droite H : m = m H 1 : m > m H : m = m Soit m 1 > m. La règle de décisio du test e déped pas de m H 1 : m = m 1. O va doc 1 la predre pour règle de décisio du test uilatéral à droite. C est le test le plus puissat de seuil α par Neyma Règle de décisio : Si x > m + uα, o rejette H, sio, o e rejette pas H. Défiitio 3.3 : O dit que le test uilatéral à droite est uiformémet le plus puissat de seuil α UMP. Foctio puissace : Pour m 1 > m : Πm 1 = Prejeter H = P m1 A α Πm 1 = P X > m + uα Or m = m 1 X N m 1, O se ramèe doc à la loi ormale cetrée réduite :
5 Πm 1 = P O pose m m 1 = λ < m 1 > m X m 1 > m m 1 + uα Doc Πm 1 = Π 1 λ = 1 Φ λ + uα = Φ λ uα où Φ est la foctio de répartitio de N, 1. H : m m Remarque : H 1 : m > m Soit m m, o a la foctio risque de 1 ère espèce : αm = Prejeter H lorsque m = m = P X > m + uα lorsque m = m Or m = m X N m, O se ramèe doc à la loi ormale cetrée réduite : X m αm = P > m m + uα α }} uα car m m Ce test est UMP de seuil α. 3.3 Test uilatéral à gauche H : m = m H 1 : m < m O utilise la règle de décisio lorsque m 1 < m, doc la règle de décisio du test UMP est : Règle de décisio : Si x < m uα, o rejette H, sio, o e rejette pas H. Foctio puissace : Pour m 1 < m : Πm 1 = Prejeter H = P m1 A α Πm 1 = P X < m uα O se ramèe doc à la loi ormale cetrée réduite : X m 1 Πm 1 = P < m m 1 uα O pose m m 1 = λ > m 1 < m Doc Πm 1 = Π λ = Φ λ uα
6 3.4 Test bilatéral H : m = m H 1 : m m Il paraît aturel de predre la règle de décisio suivate : Règle de décisio : Si x < m u α ou x > m + u α o rejette H, sio m u α < x < m + u α o e rejette pas H. Théorème 3. : Ce test est UMP das la classe des tests sas biais. Foctio puissace : Pour m 1 m : Πm 1 = P = P Πm 1 = Prejeter H ou X > m + u α X < m u α X m 1 < m m 1 O pose λ = m m 1, o a alors : u α + P X m 1 Πm 1 = Φ λ u α + 1 Φ λ + u α Πm 1 = Π 3 λ = Φ λ u α + Φ λ u α, λ > m m 1 + u α 3.5 Cas d ue loi o ormale Pour grad, X N m,. O peut doc das ce cas recostruire les mêmes tests que das le cas d ue loi ormale e écessite pas la coaissace de la loi de X. Si o coaît la loi de X, alors o utilise le théorème de Neyma. 4 Autres tests usuels 4.1 Test sur la moyee d ue loi ormale d écart-type icou X N m, avec icou Test uilatéral à droite H : m = m H 1 : m > m La régio d acceptatio de H est : A α = x R ; x dα} rejeter H lorsque m = m = P X > dα lorsque m = m Or, m = m e fait pas iterveir mais seulemet l écart-type sur l échatillo X m T S 1 1
7 S Doc dα = m + t 1 α 1 X m S 1 }} T 1 > dα m S 1 }} t 1α Règle de décisio : s Si x > m + t 1 α, o rejette H, 1 sio, o e rejette pas H. Foctio puissace : Pour m 1 > m : S Πm 1 = Prejeter H = P X > m + t 1 α 1 O a costruit, pour α et fixés, le graphe de la foctio β = 1 Π exprimée e foctio de λ = m 1 m courbe d efficacité Test uilatéral à gauche H : m = m H 1 : m < m Règle de décisio : s Si x < m t 1 α, o rejette H, 1 sio, o e rejette pas H Test bilatéral H : m = m H 1 : m m Règle de décisio : [ Si x / m t α s 1 ; m + t α s 1 1 ], o rejette H, 1 sio, o e rejette pas H. Foctio puissace : Πm 1 = P X < m t α 1 +P S 1 X > m + t α S 1 1
8 O a costruit, pour α et fixés, le graphe de la foctio β = 1 Π exprimée e foctio de λ = m 1 m Cas d ue loi o ormale O a, pour grad, X m S 1 N, 1. Doc, pour grad, o a les mêmes règles de décisios que das le cas d ue loi ormale à coditio de remplacer t 1 par u. 4. Tests sur la variace d ue loi ormale de moyee icoue X N m,, m icoue 4..1 Test uilatéral à droite H : = H 1 : > Estimateur de : 1 S. Remarque : Si m était coue, o utiliserait 1 i=1 X i m Régio d acceptatio de H : s > dα lorsque = S Or, = χ 1 A α = x R ; s dα } S }} χ 1 > dα }} a 1α Doc dα = a 1 α Règle de décisio : Si s > a 1 α, o rejette H, sio, o e rejette pas H. Foctio puissace : S Or, = 1 1 O pose λ = 1 : S Π1 = Π 1 λ = P > a 1α 1 Π1 = P S > a 1 α S χ 1, doc Π1 = P λ 1 lorsque = 1 > 1 a 1 α O a costruit, pour α et fixés, le graphe de β 1 λ = 1 Π 1 λ courbe d efficacité.
9 4.3 Tests sur ue proportio Test uilatéral à droite H : p = p H 1 : p > p Estimateur de p : k Régio d acceptatio de H : A α = x R ; k dα} k > dα lorsque p = p k Pour grad : p = p N p 1 p p, O cetre et o réduit : k p 1 p > dα p p 1 p } } } } N,1 uα p 1 p dα = p + uα Règle de décisio : Si k > p p 1 p + uα, o rejette H, sio, o e rejette pas H. Foctio puissace : Or p = p 1 Πp 1 = P Πp 1 = 1 Φ Πp 1 = P k N p 1, k p 1 p 11 p 1 p p 1 p 11 p 1 k > p p 1 p + uα p1 1 p 1 p 1 p + uα p 1 1 p 1 p 1 p + uα = Φ p 1 1 p 1 > p p 1 p 11 p 1 lorsque p = p 1 p 1 p p 11 p 1 p 1 > p p 1 p uα p 1 1 p 1
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