(u ) bornée convergente lim un

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1 Août 06 ( heure et 45 miutes) a) Soit A, sous-esemble o vide et mioré de IR Défiir: - poit d accumulatio de A - miorat, ifimum et miimum de A (5 pt) b) Compléter les cases du tableau suivat par ue valeur réelle si elle eiste ou par Justifier soigeusemet les réposes des cases grisées A 0 {5 : IN } (,)\{ } : e L ifimum de A 4-3 U poit itérieur de A -5 U poit adhéret de A qui appartiet pas à A 5 (3 pts) a) Compléter la défiitio suivate ((u ) est ue suite réelle, IN0 ): u b) Si u et (v) est ue suite miorée, démotrer que (u v ) (5 pt) c) Compléter les cases des deu premièrs coloes du tableau suivat par ou «o» Doer, das la troisième coloe, si elle eiste, la valeur das IR de la ite de la suite Idiquer si elle 'eiste pas das IR Justifier soigeusemet les réposes d ue lige du tableau au choi (remarque : IN0 ) (u ) borée covergete u 4 ( 3) 0 ( ) e o o (5 pts) 3 a) Eocer le théorème de de l Hospital b) Démotrer qu ue foctio dérivable e u poit est cotiue e ce poit La réciproque de cette propositio est-elle vraie? Si, démotrer Si o, pourquoi? Quelle est la cotraposée de cette propositio? c) Soit f() l( ) si 0 si 0 avec IR () Doer, e justifiat soigeusemet, le domaie de défiitio de f() () Détermier, e justifiat soigeusemet, pour quelle(s) valeur(s) du paramètre réel la foctio f() est cotiue e 0 (5 pts) (3) Pour chaque valeur de trouvée e (), étudier la dérivabilité de f() e 0 (35 pts)

2 4 Eocer le théorème du poit fie E doer ue iterprétatio géométrique (dessi et eplicatio!!) Ne pas démotrer (5 pt) 5 Doer (répose fiale uiquemet) a) pour la foctio f() si l e si - so domaie de défiitio (0,+ ) - l équatio d ue asymptote (idiquer si elle eiste pas) verticale horizotale du côté de y0 b) pour les poits a (-9,3), b (,3) et c (,-) - l équatio de la médiatrice du segmet [a,b] les coordoées du poit m, milieu du segmet [b,c] (,) c) la derivée partielle f (K,L) K de la foctio f(k,l) K L L K

3 Répose questio a) U poit a est u poit d'accumulatio de A ssi il eiste ue suite de poits de A, disticts de a, qui coverge vers a A est mioré ssi il eiste u réel b tel que b a a A; b est alors u miorat de A Si A est mioré, il possède u et u seul plus grad miorat: l ifimum de A Si A est u esemble mioré, le réel m est u miimum de A ssi m est ifimum de A et m A Répose questio b) A 0 {5 : IN } (,)\{ } : e L ifimum de A 4-3 U poit itérieur de A -5 U poit adhéret de A qui appartiet pas à A Justificatios : est -3 () L ifimum de A : e L esemble A : e 5 {-3,-,-,0,,} L esemble de ses miorats est(, 3] dot le plus grad est 3 Par la défiitio de l ifimum doé e a), l ifimum de A est doc -3 () -5 est u poit itérieur de A (,)\{ } puisqu il eiste u itervalle ouvert o vide cetré e -5, par eemple l itervalle (-6, -4), qui est etièremet iclus das A Répose questio a) u K 0, N IN : N u K Répose questio b) Si u Preuve : et ) (v est ue suite miorée, alors (u v ) Il faut motrer que " k Î IR $ N ÎIN: > N u + v > k Comme (v ) est ue suite miorée, $ V Î IR : v ³ V " [] Comme, " k Î IR $ N ÎIN: > N u > k-v [] De [] et [], o a " k Î IR $ N ÎIN: > N u + v > k

4 Répose questio c) Justificatios : (u ) borée covergete u 4 ( 3) 0 ( ) e o o ( 3) est ue suite epoetielle (a ) dot la base a 3 est, e valeur absolue, iférieure à Dès lors, la ite de cette suite est égale à 0, doc réelle, et cette suite coverge Or, toute suite covergete est borée, doc, cette suite est borée Répose questio 3 a) Le théorème de de l Hospital : Soiet g : D IR : g() et h : D IR : h() : g et h sot dérivables das (a,a ) \ a Si 0 si g() a h() a 0 et si g'() h'() a eiste das IR Alors g() h() g'() h'() a a Répose questio 3 b) Propositio : Soit f: D IR: f() Si f est dérivable e a, alors f est cotiue e a Preuve : Si a, o peut écrire f() f(a) f() f(a) ( a) a [*] Cosidéros la du membre de droite de cette égalité [*]: a f() f(a) () par hypothèse, eiste das IR, puisque f est dérivable e a Sa valeur est f (a) a a () O a ( a) a a (ite d ue foctio C e a) 0 a f() f(a) Par () et (), ( a) eiste et vaut f (a)0 0 (calcul das IR) a a De là, la du membre de gauche de l égalite [*] eiste et vaut 0, c est-à-dire a (f() f(a)) 0 f() f(a), ce qui motre que f est cotiue e a a a

5 La réciproque de cette propositio est fausse puisqu ue foctio cotiue e u poit est pas écessairemet dérivable e ce poit : par eemple, la foctio f() est cotiue e 0, mais est pas dérivable e 0 La cotraposée de cette propositio est : Soit f: D IR: f() Si f est pas cotiue e a, alors f est pas dérivable e a Répose questio 3 c) O a f() l( ) si 0 si 0 avec IR () Les coditios d eistece de cette foctio sot : > 0 et 0, mais avec 0 < avec 0 La foctio est par ailleurs défiie e 0 Le domaie de défiitio de f() est doc dom f (, ) () La foctio f() est cotiue e 0 ssi f() 0 eiste das IR et vaut f(0) Ici, f(0) O a f() 0 l( ) 0 O costate que l( ) 0 (fctc e 0) et 0 0 (fctc e 0) 0 Ce calcul de ite doe doc ue opératio idétermiée «0 0» O a le théorème de de l Hospital (voir répose questio 3 a)): E preat g() l( ) et h(), o costate que les foctios l( ) et sot dérivables au voisiage de 0 (puisque ces foctios sot dérivables das (, ) et IR respectivemet), l() 0 et 0 0 (voir plus haut) 0 g'() h'() 0 0 (l( ))' ()' ( ) (ite de foctio C e 0) - IR 0 Par le théorème de de l Hospital cité ci-dessus, o a l( ) 0 - IR Par coséquet, f() 0 eiste das IR et vaut - Comme f(0), la foctio f() est cotiue e 0 ssi α -

6 l( ) si 0 (3) Etudios la dérivabilité e 0 de f() si 0 O a f() f(0) 0 0 l( ) l() O costate que (l( ) ) 0 (fctc e 0) et (fctc e 0) Ce calcul de ite doe doc ue opératio idétermiée «0 0» O a le théorème de de l Hospital (voir répose questio 3 a)): E preat g() l() et h() les foctios l() et, o costate que sot dérivables au voisiage de 0 (puisque ces foctios sot dérivables das (, ) et IR respectivemet), (l( ) ) 0 et (voir plus haut) g'() h'() 0 (l() )' ( )' 0 4 ( ) ( ) (ite de foctio C e 0) - IR Par le théorème de de l Hospital cité ci-dessus, o a l() 0 - IR Par coséquet, f est derivable e 0 et f (0) - Répose questio 4 Théorème du poit fie Si f: [a,b] [a,b] est cotiue sur [a,b], alors [a,b]: f() Iterprétatio géométrique (voir graphique ci-dessus): sous les hypothèses du théorème du poit fie (foctio cotiue de [a,b] das [a,b]), la courbe représetative de la foctio coupe au mois ue fois la première bissectrice des aes