FONCTIONS REELLES DEFINIES SUR Premières notions

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1 FONCTIONS REELLES DEFINIES SUR Premères otos A. Premères déftos Sot u eter aturel supéreur ou égal à ) Graphe d ue focto à varables Sot ue focto f défe sur D à valeurs das O appelle graphe de la focto f l esemble Gf x,..., x, x / x,..., x D et x f x,..., x Ue équato du graphe est x f x x,..., Remarque : S, sot ue focto f défe sur D Le graphe G x, y, z / x, y D et z f x, y f à valeurs das est ue surface de (grâce à Sclab par exemple) 3 qu peut être représetée Sot la focto f défe sur f x, y x y xy par

2 Sot la focto f défe sur f x, y x y x y. par 4 4 Pour 3, o e peut représeter drectemet le graphe ) Exemples a) Focto affe Ue focto de das est dte affe s l exste,,..., a0 a a u x,..., x, f u a a x a a x... a x 0. 0 Pour ue telle focto équato est x a0. a x tel que Gf x,..., x, x / x,..., x et x a0. a x dot ue

3 a) Focto affe de deux varables Ue focto de 3 das est dte affe s l exste abc,, tel que x, y, f x, y a bx cy Pour ue telle focto f,, /, et dot ue équato est G x y z x y z a bx cy z a bx cy, o recoaît ue équato de pla (cours de lycée) b) Focto polyôme à varables O appelle focto polyomale de varables, ue somme de foctos moômes (foctos de la p p forme : x,..., x a x... x où a et p,..., p des eters aturels) Le degré d ue focto moôme dstcte de la focto ulle est la somme des exposats des dfféretes varables Le degré d ue focto polyomale dstcte de la focto ulle est celu de so moôme de plus haut degré (o covet que le degré de la focto ulle est ) Ue focto affe est u cas partculer de focto polyomale de degré au plus Ue applcato q de réels (, ) a j j,,, j, ; j vers est ue forme quadratque sur tels que,...,,,..., x x q x x a x x et ; j j, j s et seulemet s l exste des j j a a, ue forme quadratque o ulle est doc ue focto polyomale de degré 3) Lges de veau a) Défto Sot ue focto f défe sur D à valeurs das Pour tout réel, o appelle lge de veau l esemble des élémets x,..., x de D tels que f x x..., b) Sot la focto affe f : x, y x 3y La lge de veau est l esemble des élémets xy, de D tels que f x, y x 3y, c est-à-dre l esemble des élémets, x 3y 0 La lge de veau est doc ue drote d équato x 3y 0 Sot la focto polyomale f : x, y xy xy tels que La lge de veau est l esemble des élémets xy, de D tels que xy S 0, xy 0 x 0 ou y 0 La lge de veau 0 est doc la réuo de deux drotes

4 S 0, la lge de veau est das ce cas la courbe représetatve de la focto x c est ue hyperbole x, Sot la focto polyomale f : x, y x y x, y avec x, y x y La lge de veau est l esemble des élémets xy, de D tels que S 0, la lge de veau est l esemble vde S 0, x y 0 x y 0 S 0, la lge de veau 0 est doc 0,0 la lge de veau est le cercle de cetre 0,0 B. Élémets de topologe de O et de rayo x y Rappel : Sot u eter supéreur ou égal à L applcato : est u produt scalare appelé produt scalare x,..., x, y,..., y x y caoque sur La orme, assocée à ce produt scalare est l applcato qu à tout vecteur x,..., x de assoce le réel x,..., x x ) Dstace eucldee sur a) Défto Pour A et B élémets de d A, B B A, o appelle dstace eucldee etre A et B le réel postf S A a a et B b b, o a alors d A B a b a b,..., b) Proprétés,..., A, B, d A, B 0 A B 3 A, B, C, d A, C d A, B d B, C ) Boules Sot A et r u réel strctemet postf,... O appelle boule ouverte de cetre A et de rayo r, otée, M tels que d A, M r O appelle boule fermée de cetre A et de rayo r, otée Bf, M tels que d A, M r B A r, l esemble des pots A r, l esemble des pots

5 3) Partes ouvertes, fermées et borées de a) Parte ouverte Ue parteu de est ue parte ouverte de ou est u ouvert de U, l exste u réel 0 B M r U M0 r tel que 0, s U ou s, pour tout est u ouvert de est u ouvert de Toute boule ouverte de est u ouvert de BM, r d A, M B A, r,,,,,,,, * E effet Ar,, M B A, r, o a car N B M d A M d A N d A M d M N d A M r d A M r Proprétés : Toute réuo d ouverts de est u ouvert de Toute tersecto d u ombre f d ouverts de est u ouvert de E effet sot U 0 I M U, I, tel que ue famlle d ouverts de M U 0, l exste doc 0 De plus sot U ue famlle fe d ouverts de, M U,, M U, l exste doc 0 E posat r m r o a,, b) Parte fermée, posos U U I, r tel que 0 B M r U U : U est u ouvert, posos U r tel que BM, r U, BM r BM r U doc BM, r,, U U : U est u ouvert Ue parteu de est ue parte fermée de ou est u fermé de das est u ouvert de s so complémetare est u fermé de est u fermé de Toute boule fermée de est u fermé de Proprétés : Toute tersecto de fermés de est u fermé de Toute réuo d u ombre f de fermés de est u fermé de Atteto : ue tersecto fe d ouverts est pas e gééral u ouvert L esemble, 0 * u ouvert est u fermé de car so complémetare,0 0, est

6 Atteto : ue réuo fe de fermés est pas e gééral u fermé L esemble, * est u ouvert de c) Parte borée Sot 0,...,0 O Ue parteu de est ue parte borée de s elle est coteue das ue boule fermée de M U, d O, M M K cetre O, c est-à-dre s l exste u réel postf K tel que C. Cotuté Sot ue focto f défe sur D ) Défto La focto f est cotue au pot M0 à valeurs das Ds 0, 0, M D, d M, M f M f M 0 0 Cette derère lge peur s écrre : 0, 0, M D, M M f M f M 0 0 OU 0, 0, M D, M B M, f M f M f 0 0 La focto f est cotue sur D s f est cotue e tout pot de D Exemples usuels Pour tout,, les foctos «coordoées» sur p : x,..., x x sot cotues E effet sot M0 u,.., u Pour tout élémet u élémet de,..., M x x, o a, p M p M x u x u d M M 0 k k 0 k Par coséquet 0, M d M, M p M p M 0 0 La focto p est cotue e tout pot M0 : p est cotue sur Les foctos polyomales de varables doc à fortor les foctos affes de varables sot cotues sur

7 ) Opératos sur les foctos cotues S f et g sot deux foctos défes et cotues sur ue parte D de f g et f gsot cotues sur D, alors les foctos S de plus la focto g e s aule pas sur D, alors la focto f g est cotue sur D Soet D ue parte de et I u tervalle de S : focto cotue sur I, alors f est cotue sur D f D est ue focto cotue sur D à valeurs das f D Exemples usuels : I et s : I est ue La focto : M x,... x M x... x est cotue sur E effet la focto f : x,..., x x... x est cotue sur (focto polyomale) à valeurs das et la focto :t t est cotue sur, doc la focto,......,... M x x M x x f x x est cotue sur Par u rasoemet aalogue Pout tout A, la focto : M, d A M est cotue sur 3) Proprétés S f est ue focto cotue sur Les esembles Les esembles L esemble / et / x f x a alors, pour tout réel a,alors / et / x f x a x f x a sot des ouverts de x f x a sot des fermés de,, est u ouvert de E x y x y f : x, y x y est cotue sur L esemble cotue sur (focto polyomale),, est u fermé de F x y xy (focto polyomale) pusque la focto pusque la focto f : x, y xy est