Calculs algébriques. I) Sommes et produits

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1 10 Cours - Calculs algébriques.b 1/6 Calculs algébriques I) Sommes et produits 1) Défiitios 2) Rôle de l'idice 5) Autres otatios 6) Quelques sommes usuelles: arithmétique, géométrique, télescopique 7) Factorisatio de a - b et a + b 8) Somme double 9) Somme triagulaire II) Coefficiets biomiaux 1) Factorielle 2) Défiitio de p parmi 5) Exercice 6) Triagle de Pascal III) Formule du biôme 1) Théorème 2) Exercices I) Sommes et produits 1) Défiitios Soit Ia M œ ue suite de réels (ou complexes) et soiet p, deux etiers aturels avec p b. O pose: S a = a p + a p a et P a = a p äa p+1 ä...äa 2) Rôle de l idice Das la défiitio précédete, o peut remplacer la lettre (qui est l idice de sommatio ou de produit) par importe quelle lettre. Les expressios S a et P a e dépedet pas de. Par exemple, S a = S aj. j=0 p Calculer A = S 2 et B = P p=1 p+1

2 10 Cours - Calculs algébriques.b 2/6 1) S Ia + b M = S a + S b et S Ila M = l S a avec l œ. (Liéarité de la somme) 2) P Ia äb M = P a ä P b q q 3) S a + S a = S a et P a ä P a = P a (Regroupemet de termes) =q+1 =q+1 5) Autres otatios O ote égalemet: S a = S a = S a et de même pour le produit. pbb œ8p,...,< La somme S = S a est la somme de tous les termes a avec das l esemble I et de même pour le produit. œi Par exemple, avec I = {I = 9 2 ë œ et b 5=, S = S a = = 55. œi 6) Quelques sommes usuelles a) Somme arithmétique Rappel: Hu L est ue suite arithmétique de raiso r ñ " œ, u +1 = u + r. Si Hu L est ue suite arithmétique de raiso r, alors S u = Hu 0 +u LäH+1L 2 H+1L E particulier: " œ, = S =. =1 2 ( Noter que + 1 = ombre de termes). b) Somme géométrique Rappel: Hu L est ue suite géométrique de raiso q ñ " œ, u +1 = qäu. 1 - q Si Hu L est ue suite géométrique de raiso q 1, alors S u = u +1 0 ( Noter que + 1 = ombre de termes). 1 -q E particulier: " œ, " x œ \81<, 1 + x + x x = S x 1-x +1 =. 1-x c) Somme télescopique: défiitio et simplificatio La somme S = S a est ue somme télescopique lorsqu o peut l écrire sous la forme S = S Iu+1 - u M. Das ce cas S = S Iu+1 - u M = u +1 - u p. d) Exemples Simplifier les sommes A = S H2 i + 1L B = S i=1 p=0 H-1L p 2 p+1 C = S =1 1 H+1L

3 10 Cours - Calculs algébriques.b 3/6 e) Produit télescopique: défiitio et simplificatio Le produit P = P Das ce cas P = P u+1 a est u produit télescopique lorsqu o peut l écrire sous la forme P = P. u u+1 u = u +1 u p 1 Exemple: simplifier P = P J N et Q = P 1 J1 - =1 +1 N. 7) Factorisatio de a - b a) Théorème a - b = Ha - bl Ia -1 + a -2 b a b -2 + b -1 M b) Factorisatio lorsque est impair de a + b Lorsque est impair, a + b = a - H-bL, doc a + b = Ha + bl Ia -1 - a -2 b a b -2 + b -1 M. c) Exemples a 3 - b 3 = a 4 - b 4 = a 3 + b 3 = a 5 + b 5 = Développer E = Ha + bl Ia 5 - a 4 b + a 3 b 2 - a 2 b 3 + a b 4 - b 5 M. Commet peut-o factoriser a 6 + b 6? 8) Somme double a) Défiitio Soit Ia i,j M ue expressio dépedat de deux variables i et j et soiet p, deux etiers aturels. O pose: p S S a i,j = S p S a i,j = Ia 0,0 + a 0,1 + a 0, a 0,p M + Ia 1,0 + a 1,1 + a 1, a 1,p M Ia,0 + a,1 + a, a,p M. j=0 O ote égalemet: p S S ai,j = S : 0bib a i,j = 0bjbp S Hi,jL œ 81,...,<ä81,...,p< a i,j b) Exemple Calculer S = S S Hi + jl et P = S S iäj. c) Propriétés p p 1) S S a i,j = S S ai,j : o peut iverser l ordre des sommes car les idices i et j sot idépedats. j=0 p p p 2) S S Il a i,j + m b i,j M = l S S a i,j + m S S b i,j avec l, m œ. (Liéarité de la somme) p p 3) S ai S bi = S S ai b j (Le produit de deux sommes simples doe ue somme double.

4 10 Cours - Calculs algébriques.b 4/6 d) Exercices 2 a) Simplifier A = S a - S a 2 b) Comparer A = S ai S bi et B = S S ai b i 9) Somme triagulaire a) Défiitio C'est ue somme double dot l'u des idices déped de l'autre. Elle est appelée somme triagulaire car l esemble des couples (i, j) d ue telle somme représetés das le pla est u triagle. O peut l'écrire par exemple sous la forme: i S = S S a i,j = S i S a i,j = Ia 0,0 M + Ia 1,0 + a 1,1 M Ia,0 + a,1 + a, a,p M. j=0 ATTENTION: O e peut pas iverser l ordre des sommes. Les idices i et j e sot pas idépedats. i i S S a i,j S S ai,j. (La secode somme a pas de ses). j=0 b) Exercices i a) Motrer que les sommes A = S S a i,j et B = S S ai,j sot égales. i=1 j=1 j=1 i=j i i b) simplifier P = S S iäj et Q = S S i=1 j=1 i=1 j=i j. II) Coefficiets biomiaux 1) Factorielle a) Défiitio Pour œ * o pose! = P = 1ä2ä3ä...ä. O pose égalemet 0! = 1. =1 b) Théorème " œ, H + 1L! = H + 1Lä! et " œ *,! = ä H - 1L! c) Exemples a) Calculer les factorielles des etiers etre 0 et 6. b) Simplifier A = H-1L! H+1L! H!L 2. g) Exprimer avec des factorielles et des puissaces de 2 l expressio B = P H2 + 1L

5 10 Cours - Calculs algébriques.b 5/6 2) Défiitio de p parmi Soiet, p œ avec p b. O pose p =! p! H-pL!. O lit p parmi pour p. O démotrera das le cours sur les déombremets que à élémets. Vérifier par exemple ce résultat pour = 4 et p = 2. p =! est le ombre de parties à p élémets das u esemble p! H-pL! Calculer 8 5, 7 3, 0, 1, 2 1) " p œ 80, 1,..., <, 2) " p œ 80, 1,..., <, 3) " p œ 80, 1,..., - 1<, 4) " œ, S est u ombre etier p p =. - p p + p + 1 = + 1 p + 1 = 2. 5) Exercice Soiet r p r 1 deux etiers. Prouver que p p = - 1 p - 1. E déduire l expressio simplifiiée de A = S p p=0 p. 6) Triagle de Pascal La formule p + p + 1 = + 1 p + 1 exemple pour = 6 o trouve: permet de calculer rapidemet les coefficiets p pour les petites valeurs de et p. Par p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 = 0 1 = = = = = =

6 10 Cours - Calculs algébriques.b 6/6 III) Formule du biôme 1) Théorème (Formule du biôme) Soiet a, b œ et œ *. Alors Ha + bl = S a- b. (Avec la covetio a 0 = 1M Par exemple, Ha + bl = S a5- b = 5 0 a a4 b a3 b a2 b a b b5 = a a 4 b + 10 a 3 b a 2 b a b 4 + b 5. 2) Exercices a) Prouver que Ha - bl = S H-1L a- b. Développer Ha - bl 3 et Ha - bl 4. b) Prouver que: " x œ, H1 + xl = S x H-1L. E déduire la somme S = S 2 c) E utilisat la foctio f HxL = H1 + xl, simplifier les sommes: A = S H-1L B = S H-1L C = S. 1 D = S +1 d) O ote S p HL = S p. E évaluat de deux faços A p HL = S HH + 1L p - p L pour p = 3 et p = 4, calculer et factoriser S 2 HL puis S 3 e) O pose A HL = S et A HL = S Calculer A HL + B HL et A HL - B HL et e déduire A HL et B HL.