Lycée Vaucanson PTSI 1 et 2 TD INDUCTION N 2

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1 Lycée Vaucanson PTSI et 2 TD Physque TD INDUCTION N 2 EXERCICE : Coeffcent d nductance mutuelle ente deux solénoïdes : On consdèe deux bobnes longues, ou solénoïdes, de même axe Oz et de même longueu d, dsposées comme ndqué su la fgue c-dessous On appelle S et S 2 leus sectons et N et N 2 leus nombes de spes On appelle que le champ magnétque cée pa un solénoïde s expme sous la fome : = µ ni u 0 z Avec n le nombe de spes pa unté de longueu ) Détemne l nductance mutuelle M ente les deux solénoïdes 2) On se place dans où les deux solénoïdes ont même ayon ( les deux bobnages sont alos mbqués l un dans l aute et S = S 2 = S) Expme M en foncton de L et L 2, nductances popes de chaque solénoïdes 3) Calcule M avec N = N 2 = 200 ; d = 40 cm ; S = S 2 = 20 cm 3 ; EXERCICE 2: Table à nducton : Le chauffage du fond métallque des écpents de cusson peut ête dectement éalsé au moyen de couants de Foucault nduts pa un champ magnétque vaable Logé dans une table en céamque, un bobnage, nommé l nducteu, almenté en couant snusoïdal génèe ce champ Le tansfet d énege électque s effectue pa nducton mutuelle ente ce bobnage et la plaque cculae assmlable à une spe unque femée su elle-même, stué au fond d une casseole L nducteu, de 5 cm de ayon, compote 20 spes de cuve de ésstance électque et d auto nductance L = 30µ H R =,8 0 2 Ω La plaque de ésstance R2 = 8, 3mΩ et d auto nductance L 2 = 0,24µ H, nommée l ndut, est assmlable à une spe unque femée su elle-même L nducteu est almenté pa une tenson v (t) L ensemble plaque(ndut)-nducteu se compote comme deux ccuts couplés pa une mutuelle M

2 ) Ece les équatons électques elatves aux deux ccuts ( équatons de couplage ente et 2) 2) En dédue l expesson lttéale du appot des ampltudes complexes I I 2 3) En dédue l expesson lttéale de l mpédance d entée complexe du système : V Z e = I 4) On chost ω telle que R << L ω et R 2 << L 2 ω Smplfe les deux expessons lttéales pécédentes, pus effectue le calcul numéque de leu module, sachant que l nductance mutuelle est estmée à M = 2µ H 5) On soulève la plaque à chauffe ; on demande un asonnement puement qualtatf L ampltude du couant appelé pa l nducteu augmente-t-l ou décot-l? EXERCICE 3: Dmensonnement d un tansfomateu : On cheche à dmensonne le tansfomateu utlsé pou echage un potable La chane d énege, logée dans un bote placé su le codon d almentaton du potable, se compose successvement : - De l almentaton EDF du secteu qu délve la tenson v t) = V sn(2πf ), où f 0 = 50 Hz ( 0 0t et V 0 = 240 V - D un tansfomateu, dont la sote est v t) = V sn(2πf ) et dont le appot de 2 ( 0,2 0t tansfomaton est noté m - D un edesseu, montage qu délve la valeu absolue v 3 de la tenson d entée v 2 - D un flte moyenneu, dont la sote v4 est la valeu moyenne de la tenson d entée v 3 La battee du potable est banchée à la sote, elle equet une tenson de chage constante v 4 = 2V ) Que vaut V 0,2 en foncton de V 0?

3 2) Tace le gaphe de la tenson v 3 (t) 3) Quelle est la natue du flte utlsé ente v 3 et v 4 (passe bas, haut, bande )? Popose une valeu pou sa féquence de coupue 4) Etabl l expesson de la tenson v 4 en foncton de V 0 5) En dédue la valeu de m EXERCICE 4 : Etude du haut-paleu : Un haut paleu est un appael électomécanque qu tansfome un sgnal électque en sgnal sonoe Dans un haut-paleu électodynamque, une bobne est fomée d un fl de longueu totale l est plongée dans un champ magnétque de module constant et unfome Cacasse feomagnétque membane bobne u u u u Amant ( Oz) vue de face Lgnes de champ magnétque bobne essot La bobne que l on assmlea à N spes cculaes jontves d axe Oz est gudée en tanslaton suvant (Oz) Elle est lée à une membane vbante, le cône du haut paleu qu elle entaîne dans son mouvement Cette membane est fxée au suppot métallque extéeu («le salade») pa des suspensons souples, souvent pate ntégante du cône et dont une pate seulement a été epésentée La bobne, de ésstance R et d nductance pope L est elée à un généateu dont la fem E(t), est l mage analogque du sgnal sonoe à émette On note (t) l ntensté du couant dans le ccut La bobne et la membane qu lu est accochée fome un solde de masse m qu peut se tanslate le long d un axe noté Oz La poston su cet axe du cente d nete du solde est epéée pa la cote z(t) Il est soums à une foce de appel u dz( t) membane avec l a F AIR = hv( t) où v = uz dt F = kz( t) u et une foce tadusant l nteacton de la R z e(t) (t) R E(t) L a) L étude électque condut au schéma équvalent c-conte : où e(t) = - lv(t) est la fém d nducton qu appaaît losque la bobne se déplace : on a en effet un ccut moble dans un champ magnétque statonnae, l appaat donc une fem ndute e qu d apès la lo de Lenz s oppose à la tenson du généateu E(t) En dédue l équaton tadusant le fonctonnement électque du haut-paleu b) et céent une foce de Laplace Avec l oentaton du couant ndquée, la foce de Laplace execée su la bobne s éct F = L( t) u Établ l équaton tadusant le fonctonnement LAP mécanque de la bobne accochée à la membane 2a) Éce le blan des pussances électques en ntepétant chaque teme z

4 b) Éce le blan des pussances mécanques en ntepétant chaque teme c) Fae le blan global Le haut-paleu fonctonne-t-l comme un moteu ou un généateu? d) En consdéant que les fonctons du temps sont des fonctons péodques, que devent le blan global pécédent en valeus moyennes su une péode? Intepéte Le Haut paleu est excté snusoïdalement à la pulsaton ω s ben que les gandeus électques et mécanques vaent toutes de manèe snusoïdale On note E,, z et v les gandeus complexes assocées, choses de la fome x = X exp( jω t) 3 En utlsant les équatons couplées assocées au haut paleu, monte que l mpédance d entée E Z e = peut s éce Z e = jlω + R + mjω + ( l) ² k + h jω Justfe la dénomnaton d mpédance motonnelle attbuée à l un des temes de l expesson pécédente Execce 5 : L Altenateu : (spe ectangulae dans un champ magnétque : pate 2) : Un altenateu set à tansfome une pussance mécanque en une pussance électque Ce dspostf est pa exemple utlsé su les vélos, dont une oue entane en otaton l altenateu qu almente des ampoules ou une battee L altenateu est modélsé pa une spe ectangulae, de suface a*b, conductce de ésstance électque R Cette spe qu consttue un oto, est en lason pvot d axe (Oy) pa appot à un stato Elle est en otaton autou de l axe (Oy) à la vtesse angulae ω constante Son moment d nete pa appot à l axe (Oy) est noté J Elle est plongée dans un champ magnétque unfome et statonnae pependculae à (Oy),céé pa un envonnement extéeu Le sens de est abtaement chos su la fgue, ce sens mpose le sens du vecteu suface S ) Fae une analyse physque du système 2) Expme le flux de à taves la spe 3) En dédue la fem ndute dans la spe

5 4) Cette fem fat ccule un couant d ntensté, qu cée son pope champ magnétque Le flux de ce champ, flux pope φ P, s expme à l ade du coeffcent d autonductance L : φ P =L Pende en compte ce phénomène d auto-nducton et donne le schéma électque équvalent En dédue l équaton électque 5) A pésent nous allons néglge cette nductance, que devent l équaton et l expesson de (t) 6) Quelle est alos la pussance dsspée pa effet Joule 7) Calcule le moment ésultant des foces de Laplace qu s exece su la spe 8) La spe est entanée en otaton sous l effet d un couple extéeu Γ ext = Γext u y (pa exemple la oue de vélo) Ce couple est nécessae pou avo une vtesse de otaton constante malgé le couple magnétque et les fottements de la lason pvot, fottements que l on néglgea en supposant la lason pvot pafate Applque la lo scalae du moment cnétque et en dédue l équaton mécanque et donc Γ ext 9) Fae un blan de pussance

6 Execce n 6 : Moteu à couant contnu stato e uu θ e z e uu Lgne neute R oto On consdèe un modèle smple de moteu à couant contnu Le champ magnétque statoque u est podut pa un dspostf nducteu fomé d un électoamant pacouu pa un couant contnu u uu d exctaton Dans l entefe ente le champ est adal et peut s éce = (θ) e De plus, le champ e uu z est antsymétque pa appot à l axe c est-à-de que (θ + π) = (θ) Le champ s annule pou θ vosn de 0 ou π Le oto est composée d une unque spe pacouue pa le couant délvé pa un généateu de couant contnu E 0, les contacts s effectuent pa l ntemédae du système balas + collecteu qu assue un contact glssant ente bague et collecteu pa les balas : à mesue que la spe toune, le sens du couant s nvese au passage de la lgne neute de sote qu l y a nveson de dans la spe donnée du oto tout les dem-tous P e uu N e uu θ Q bala (fxe) M Ω spe (moble) collecteu (moble) ccut extéeu ( ) On consdèe, pou l étude smplfée, une spe ectangulae MNPQ de lageu a = NP = QM et de hauteu b = MN = PQ, tounant autou de son axe à la vtesse angulae ω (t) On utlse la base cylndque d axe (Oz) ndquée su la fgue On note J le moment d nete du oto pa appot à l axe de otaton On note Γ le couple ésstant en pojecton su l axe de otaton lé à la chage et aux fottements ente bagues et balas du collecteu La lason pvot est supposée pafate ) Détemne l expesson du moment M Lap des foces de Laplace en pojecton su l axe de otaton de la spe et esponsable de sa otaton autou de cet axe 2) Etabl l équaton mécanque du système 3) Etabl l équaton électque du système 4) Desse un blan de pussance et commentez-le L 5) En consdéant que ω ω R && << &, donne l expesson de la vtesse de otaton en foncton du temps On posea 0 R J τ = Donne l expesson de la vtesse de otaton lmte ω Lm A quelle condton le Φ ² moteu peut-l fonctonne?