LA TRANSFORMATION EN Z.

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1 LA TRANSFORMATION EN Z U cours ivau BTS Pirr Lóp Group Mathématiqus t Scics Physiqus au Lycé, IREM d Toulous Mmbrs : Mms Michèl Fauré, Moiqu Madlur, Moiqu Sosst Itroductio Das u précédt articl («Fil d Aria» 8 avril 003), j ai présté l cotxt physiqu d itrvtio d la trasformatio t fait rmarqur qu l o pouvait fair l li avc la trasformatio d Laplac via u «théori» basiqu ds distributios J cocluais disat substac qu la voloté d actualisr l sigmt ds mathématiqus das ls sctios d tchicis supériurs tat compt ds pratiqus d l sigmt d la physiqu était u bo chos Mais cci écssitait u travail d cocrtatio importat sous pi d êtr décalag avc ls préoccupatios ds profssurs d physiqu t d crér u outil artificil sas réll applicatio Cci prd du tmps L IREM m l a doé Au-dlà ds discussios au si du group d rchrch, j ai pu cosacrr du tmps à itrrogr M Fraçois Jogblot, profssur d physiqu appliqué d la sctio BTS «élctroiqu» au lycé Louis Rascol à Albi, t rcuillir l avis d M Ja- José Ortu, profssur à l Ecol ds Mis d Albi-Carmaux J ls rmrci d lur collaboratio J rmrci aussi M Gabril Biragu, profssur d physiqu appliqué, t M Atoi Rossigol, profssur d mathématiqus, pour la rlctur atttiv qu ils ot bi voulu fair d c txt O pourra voir c qu cla do das u sujt d xam avc l BTS group A 004

2 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé Il st résultait u cours à l ittio ds étudiats d la sctio d tchicis supériurs «élctroiqu» du lycé Louis Rascol à Albi C cours a été élaboré avc l ambitio d u part d rspctr ls programms t d autr part d tir compt ds différts discussios Il a été mis pratiqu pdat dux as (aés scolairs t ) Avc ls modificatios iduits par cs miss pratiqu, l txt qui suit corrspod à c cours Rmarqu sur l txt : L documt distribué aux étudiats comportait i ot, i démostratio, i commtair Défiitio a Défiitio gééral Soit u suit ( x ) N O appll trasformé d x ) N d la variabl complx défii, lorsqu il y a covrgc, par : [ ] x () 0 Z x ( la foctio, oté Z[x ], b Esmbl d défiitio Vu ls résultats sur l rayo d covrgc d u séri tièr, o put dir qu trois cas puvt s préstr : soit la trasformé st défii qul qu soit l ombr complx, o ul ; soit il xist u ombr rél positif ou ul R tl qu pour tl qu > R la trasformé st défii, t pour tl qu < R la trasformé st pas défii ; soit la trasformé st défii pour aucu ombr complx Il s put qu la trasformé soit prologabl par cotiuité 0 Cpdat u résultat sur ls foctios holomorphs traî qu das c cas la trasformé st u foctio costat

3 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé 3 Rmarqu : Si la trasformé st défii pour tl qu > R avc R <, 0 x Z [ x ] () La trasformatio pourra doc srvir au calcul d la somm d u séri c Trasformé d u sigal échatilloé O cosidèr u sigal (aalogiqu) défii par x(t) L échatillor cosist à s itérssr aux valurs du sigal pour ls valurs T d la variabl, où T st applé périod d échatilloag 3 O a doc u suit ( x(t)) N, à laqull o put appliqur la trasformatio Pour simplifir ls otatios, o otra Z[x] (ou Z[x(t)] ) sa trasformatio, voir X() Z[x]() 0 x (T) X() O prdra gard au fait qu parlr d la trasformé du sigal x st abusif, das la msur où cla dépd d la périod d échatilloag T 4 Exmpls a «Impulsio» O défiit la suit ( d ) N par : d 0 t d 0 pour o ul O a immédiatmt : pour tout complx, Z[d]() 3 L physici ot T Nous l avos pas fait pour allégr ls otatios qui sot déjà lourds t sourc d icompréhsio ch ls étudiats Cpdat o aurait put-êtr dû! 4 M Gabril Biragu va jusqu à dir qu «T st u paramètr d la variabl»

4 4 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé b «Echlo» Soit la suit ( U ) N tll qu pour tout tir U D maièr abusiv (mais commod), o la ot A l aid du résultat sur ls séris géométriqus, o a : pour tl qu >, Z[]() c «Ramp» D mêm o ot la suit ( x ) N tll qu, pour tout tir, x Pour tl qu >, Z[]() ( ) ( ) Démostratio : A partir du cours sur ls séris tièrs, pour avc <, doc : pour avc >, Z[]() ( ) ( ), d Suits géométriqus Soit a u ombr rél o ul O cosidèr la suit (a ) Z[a ]() 0 a ( ) 0 a, doc : pour avc > a, Z[a ]() a a

5 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé 5 Applicatio : échatilloé d u sigal xpotil Soit u sigal x défii par x(t) - α t U(t) Avc la périod d échatilloag T, l échatilloé st défii par - α T ( - α T ) Doc avc c qui précèd prat a - α T, X() α T α T Rmarqu : O put motrr appliquat la défiitio dirctmt qu c drir résultat st aussi valabl pour α complx 3 Propriétés a Liéarité Soit dux suits ( u ) N, ( w ) N admttat ds trasformés d domai d covrgc o vid Alors, sur au mois l itrsctio ds dux domais d covrgc, Z[ a u b w ]() a Z[u ]() b Z[w ]() ) Applicatio aux sigaux échatilloés α) Soit l sigal x défii par x(t) t U(t) Avc la périod d échatilloag T so échatilloé st défii par T, doc sa trasformé st X() T ( ) T ( ) β) Soit l sigal x défii par x(t) t U(t) Avc la périod d échatilloag T so échatilloé st défii par (T), doc sa trasformé st

6 6 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé ( ) X() T ( ) 3 ( ) T ( ) 3 )Applicatio aux sigaux échatilloés d sigaux siusoïdaux Avc ls formuls d Eulr, o motr sas difficulté qu : Z[si (ωt)]() si ( ωt) cos( ωt) Z[cos (ωt)]() cos ( ωt) cos( ωt) b Multiplicatio par a Soit u suit O défiit la suit Z[y ]() ( x ) N 0 t a u ombr rél o ul ( y ) N par y a x (a ) Si la trasformé d ( y ) N x Z[x ](a - ) ( x ) N st défii pour > a R Sas s attardr sur cs coditios d validité 5, o rtidra qu : st défii pour > R, la trasformé d Z[a x ]() Z[x ] a Cas particulirs α) La trasformé d ( x ) N défii par x a st : / a X() ( ) / a a ( ) a 5 Par la suit o précisra plus ls coditios d validité ds formuls trouvés Cla st pas «pratiqumt» gêat das la msur où cs écriturs sot gééral qu ds itrmédiairs

7 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé 7 β) Cas ds sigaux multipliés par u xpotill : Soit y(t) - α t x(t) l échatilloé d y st défii par - α T x(t) O appliqu l résultat précédt avc a - α T D où : Z[ - α t x(t)]() Z[x]( α T ) Exmpl : Soit l sigal x(t) t - α t U(t) L échatilloé st défii par x - α T T, doc vu l xmpl précédt : X() T αt αt ( ) Exrcics : Motr ls résultats suivats qui corrspodt aux trasformés ds «sigaux siusoïdaux amortis» Z[ - α T si (ωt)]() α T α T si( ωt) cos( ωt) α T, Z[ - α T cos (ωt)]() α T α T cos( ωt) cos( ωt) α T c Traslatio sur la variabl d u sigal causal Soit u suit Rtard ( x ) N O défiit la suit y ) N ( par y x - k avc k tir (positif) fixé Il faut comprdr qu ctt otatio st abusiv pour < k, puisqu k < 0 t doc x k st pas défii O covit qu x a u ss pour tir rlatif égatif avc x 0 das c cas Cla corrspod à la situatio ds sigaux échatilloés «causaux» E coséquc, y 0 pour < k

8 8 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé Z[y ]() 0 y 0 x k k x k m 0 x k m x - k Z[x ]() m k m m 0 m O rtidra d maièr abusiv mais commod : Z[x - k ]() - k Z[x ]() Exrcic : O cosidèr u suit par y x k k 0 ( x ) N t X sa trasformé O défiit la suit ( y ) N Détrmi u équatio «aux différcs» tr ls suits Déduis- la trasformé d ( y ) N ( x ) N t y ) N ( Solutio : Pour tout tir, o a y y x, cosidérat qu y - 0 Doc Y() - Y() X(), doc : Y() X() X() Soit u suit Avac ( x ) N O défiit la suit y ) N ( par y x k avc k tir (positif) fixé Ici, il faut bi rmarqur qu y st défii qu pour tir (positif) ; y traduit qulqu chos d causal E d autrs trms o put dir qu y 0 pour ls tirs rlatifs égatifs C poit d vu sra systématiqumt adopté cas d bsoi E coséquc l passag d x à y «supprim» ls trms x pour < k Z[y ]() 0 x k m k x k m x m k m m k m

9 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé 9 k (k ) [ [x ]() x x x ] Z 0 k O rtidra d maièr abusiv mais commod : Z[x k ]() k k k 0 k Z [x ]() x x x Exmpl : Z[x 3 ]() 3 Z[x ]() - x x - x d Dérivé d u trasformé Soit u suit ( x ) N d trasformé oté X défii (au mois) à l xtériur du disqu d ctr O t d rayo R E rmarquat tout d abord qu u séri tièr état dérivabl à l itériur d so disqu d covrgc, avc l théorèm d la dérivé d u foctio composé, o a, pour tl qu > R : (Z[x ]) () x ( ) x O rmarqura qu ctt drièr xprssio corrspod formllmt à la dérivé «sous l sig somm» d la trasformatio O a doc : (Z[x ]) () qu l o rtidra sous la form : x, Z[ x ]() - (Z[x ]) () Exmpl : «Ramp d vitss» Z[ ]() Z[ ]() - ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 O rmarqura qu, ici, cci st valabl pour tl qu > O rtidra : ' ( ) ( ) Z[ ]() ( ) 3 ( ( ) 3 )

10 0 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé Théorèms limits Théorèm d la valur iitial Etat doé la cotiuité 0 d u séri tièr d rayo d covrgc o ul, o a pour u suit ( x ) N d trasformé défii à l xtériur du disqu d ctr O t d rayo R : lim X() x " " 0 Soit u suit Théorèm d la valur fial 6 ( x ) N t X sa trasformé O suppos qu X put êtr défii sur C privé d u ombr fii d poits, tous à l'itériur du crcl "uité", sauf évtullmt u pôl simpl Alors : lim ( ) X() lim X() lim x, ctt limit état fii Exmpl : Soit (x ) st u suit géométriqu, avc x a t a <, X a u pôl (a) à l itériur du crcl "uité", o a lim ( ) X() lim 0 lim x a Commtairs cocrat ls hypothèss 7 : ) Das l cas d la «ramp», c st-à-dir lorsqu x, X a u pôl doubl, t lim ( ) X() lim lim qu l o put cosidérr dor la ( ) ( ) limit d (x ) s rstrigat aux valurs rélls d supériurs à 6 L éocé d c théorèm vari d maièr ass sigificativ d u autur à l autr O trouvra ax divrs éocés réprtoriés slo ls auturs 7 La démostratio d c théorèm (hors programm sctios d tchicis supériurs) utilisat ds résultats sur ls foctios holomorphs st rvoyé ax

11 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé O rmarqura qu avc ls mêms hypothèss, plus l xistc d la limit d (a ), das l cas gééral d u pôl doubl, o a : lim ( ) X() lim x, ctt limit ici état ifii ) Cpdat l cas ds sigaux siusoïdaux échatilloés lèv l spoir d hypothèss plus largs E fft pour ωt différt d u multipl d π, c'st-à-dir lorsqu la périod d'échatilloag st pas u multipl d la périod du sigal (c qui frait qu si ( ωt) l échatilloé srait costat), o a Z[si (ωt)]() doc la cos( ωt) trasformé a ds pôls ( iωt t -iωt ) sur l crcl "uité" différts d, t lim ( ) X() lim si ( ωt) cos( ωt) lim si ( ωt) ( ) cos( ωt) 0, qui st bi sûr pas la limit d l échatilloé! 4 Ivrsio O cosidèr u suit ( x ) N, t X sa trasformé L but d c paragraph st d dor ds tchiqus prmttat d rtrouvr partir d la coaissac d X ( x ) N à a Lctur ivrs d u tabl d trasformés Exmpls : ) Soit X() 0,5 Vu l ) d) x 0,5,7 ) Soit X() ( ), O rcoaît la form d u «ramp» multiplié par u suit géométriqu Par idtificatio, o prd a, Doc écrivat :

12 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé X(),5, (,) o déduit : x,5, Rmarqu : Evtullmt (suivat l caractèr plus ou mois xhaustif d la tabl dot o dispos), o put êtr amé à fair apparaîtr la variabl /a : 3) Soit X() X() 3,6,7, /, ( /, ) 5, t o utilis l théorèm corrspodat 30,6 O ps à la trasformé d l échatilloé d u sigal siusoïdal amorti (o rmarqu qu l discrimiat du déomiatur st égatif) O trasform l écritur t o idtifi Rmarqu pratiqu importat : O do systématiqumt ds valurs approchés (ici à trois chiffrs sigificatifs), mais ls calculs sot faits avc la plus grad précisio prmis par la calculatric Cla do : 3,6 5, 30,6 3,6,57 0,94 cos(ω T) - a T,57 - a T 0,94 O déduit succssivmt : - a T 0,969 doc a T 0,0305 cos(ω T) 0,80 O rmarqura qu u coséquc d la coditio d Shao («la fréquc d échatilloag doit êtr supériur à dux fois la fréquc maximal du sigal») st qu ω T st ifériur à π (t st aturllmt positif), o a doc : ω T arccos 0,80 0,67 si(ω T) ω cos T 0,586 Efi : - a T si(ω T) 0,569 Et o procèd à la trasformatio d écritur : 3,6 5, 30,6 8,55 0,57,57 0,94

13 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé 3 D où par lctur ivrs d la tabl d trasformés : x 0,054-0,03 si (0,63) Rmarqu : Si o coaît la fréquc d échatilloag, par xmpl 000 H, o put «rmotr» au sigal : T 0-3 doc a 0, ,5 t ω 0, , d où : x(t) 0,054-30,5 t si (66t) U(t) Gééralisatio d la tchiqu : a Soit u trasformé d la form : X() c positifs t l discrimiat du déomiatur égatif O mt c factur au déomiatur ; o idtifi au déomiatur avc a T d b, avc a, b, c, d t a T cos( ωt) ; o détrmi - a T t cos(ωt) (ls coditios imposés rdt possibl cs calculs) ; o calcul si(ωt), t o trasform l umératur pour fair apparaîtr u combiaiso a T a T liéair d si( ωt) t cos( ωt) ; o lit alors «à l vrs» ls trasformés ds sius t cosius «amortis» Exrcic : Détrmi l origial pour la trasformatio d X() Solutio : O a succssivmt : - a T 0,4 ; - a T 0,648 ; a T 0,434 ; 0,64( ),5 0,4 cos(ω T) - a T,5 ; cos(ω T) 0,887 ; ω T 0,479 ( tat compt d la coditio d Shao); si(ω T) 0,46 ; - a T si(ω T) 0,99 D où ls trasformatios d écritur : X() 0,64 0,575,5 0,4 0,64 0,45,5 0,4 ; X() 0,64 0,575,5 0,4 0,90 0,99,5 0,4 D où : x [0,64 cos (0,48 ) - 0,9 si (0,48 )] - 0,43

14 4 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé b Décompositio élémts simpls cas : X() "s aul" pour 0 Dir qu X() s'aul pour 0 st purmt forml puisqu gééral u trasformé 'st pas défii 0 Ctt méthod st basé sur l résultat suivat : Z[a ]() a a E coséquc si o cosidèr u trasformé, X, écrit sous la form d u foctio ratioll dot l dgré du umératur st ifériur ou égal à clui du déomiatur t admttat uiqumt ds pôls simpls (par xmpl dux pôls a t b), alors, vu la coditio sur ls dgrés, o put écrir : X() A B doc a b A B X() a b O rmarqura qu l fait qu X() "s aul" pour 0 traî qu il y pas d trm X() das la décompositio élémts simpls d Dot o déduit : x A a B b Exmpl : Soit O écrit o a A D où : X() lim K X() α K ( ( K) )( ) A B ( K) ; ( ( K)) X() - α ( - K), t B lim ( ) ( K) X() α, doc x α [ - ( - K) ] ( K) X() α Rmarqu : Ctt méthod s gééralis lorsqu il y a ds pôls doubls, particulir, utilisat l résultat : Z[ a a ]() Das c cas la form d la décompositio sra doé ( ) a

15 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé 5 cas : gééral Das l cas gééral, o pourra ssayr d procédr à u «récritur décomposé» d X() prmttat d fair apparaîtr ds trasformés usulls L plus souvt, u décompositio élémts simpls d X() pourra êtr xploité passat à l écritur avc - t utilisat l théorèm du rtard 8 5 Exmpl : Soit X() ( )( ) La décompositio élémts simpls do : 3 X(), ( ) ( ) 3 qu o écrit : X(), ( ) ( ) d où par applicatio «ivrs» du théorèm du rtard (t d trasformés usulls) : x d U - U - 5 Applicatios 8 a Filtr umériqu pass-bas du ordr Pour u filtr aalogiqu pass-bas du ordr la rlatio différtill tr l sigal d tré t l sigal d sorti s st d la form : s (t) s(t) α (t), α t état ds réls positifs Si o vut rmplacr c filtr aalogiqu par u filtr umériqu o rmplac ls sigaux aalogiqus par ds échatilloés ( T ), s s( T ), t la dérivé d s par s s T 8 M Gabril Biragu m suggèr d fair rmarqur qu ls dux xmpls qu j fais traitr illustr la sythès d filtrs umériqus à partir d u foctio d trasfrt p slo dux tchiqus : équivalc par rapport à la dérivatio, puis équivalc par rapport à l itégratio

16 6 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé O rmarqura qu il st pas ici qustio d discutr d la prtic a priori d ctt s s démarch E particulir, il srt à ri d dir qu (sous crtais coditios) T st u «bo approximatio» d s (t) O aboutit doc à la «rlatio d récurrc» : s s T s α qui s récrit : s T s - α T T E élctroiqu o pos K T T, d où : s ( - K) s - α K O otra qu ctt rlatio st supposé valid pour tout tir ; cla traî qu l o cosidèr qu s - st défii t égal à 0 E appliquat la trasformatio à ctt rlatio d récurrc liéair à cofficits costats, o a utilisat différts propriétés d ctt trasformatio : O déduit : S() - ( - K) - S() α K E() où S t E sot ls trasformés ds suits (s ) t ( ) S() α K ( K) E() cas : répos «impulsioll» Soit ( ) (d ) O a alors E(), doc S() α K ( K) α K ( K) Par lctur ivrs d u tabl d trasformés, o déduit qu : s α K ( - K)

17 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé 7 Rmarqu : O put vérifir «à la mai» c résultat rvat à la rlatio d récurrc la récrivat sous la form : s ( - K) s - α K, t calculat ls prmirs trms d (s ) du tablau suivat usul élctroiqu : s - 0 αk αk(-k) αk(-k) s 0 αk αk(-k) αk(-k) αk(-k) 3 Applicatio umériqu : O suppos qu O rmarqu qu T 0, t qu α O déduit K t s 6 lim s 0 O put rtrouvr c résultat par l applicatio du théorèm d la valur fial : lim ( )S() lim ( 5 6 O otra qu l pôl d S() st das l crcl «uité» ) Comparaiso à la répos aalogiqu : Si o rprd la rlatio différtill d départ, avc (t) δ («distributio» d Dirac), appliquat la méthod d Laplac avc ls coditio iitial ull, o a succssivmt : S(p) p, s(t) Doc aux istats d échatilloag, o a : t U(t) s( T ) T T avc 0,8 arrodi à 0-5 ( 0,83 ) 6

18 8 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé cas : répos «idicill» O prd pour tout tir Alors E() Doc : S() αk ( K) ; Or vu l 4 ), b) : S() α K ( ( K) )( ) s α [ - ( - K) ] Rmarqu : Vérifios «à la mai» c résultat sur ls prmirs trms : s ( - K) s - α K s - 0 αk αk(-k) αk s 0 αk αk(-k) αk αk(-k) αk(-k) αk E utilisat la égalité : a - b (a - b) (a a - b a - b b ) o vérifi bi l égalité trouvé plus haut Applicatio umériqu : O suppos qu O rmarqu qu T 0, t qu α O déduit K t s 6 lim s O put rtrouvr c résultat par l applicatio du théorèm d la valur fial : lim ( )S() lim ( ) O otra qu u pôl d S() st das l crcl «uité», l autr st sur l crcl «uité», mais fait c st, t c st u pôl simpl

19 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé 9 b Itégratur umériqu U filtr aalogiqu st dit «itégratur» si la sorti s st défii par : s(t) t 0 (x) dx, où st u rél positif Pour rmplacr c filtr aalogiqu par u filtr umériqu, o rmarqu qu : s(t ) s((-)t ) T ( )T (x) dx Alors cosidérat ds sigaux échatilloés (T ), s s(t ) t o rmplac T ( )T (x) dx par T [ (T ) (( )T )] air du trapè «sous» la courb T O cosidèr doc la rlatio d récurrc : s s - [ ] A ouvau, o suppos qu ctt rlatio d récurrc st valid pour tous ls tirs E appliquat la trasformatio, o aboutit à : S() - S() T (E() - E()) d où S() T E() T E() cas : répos «impulsioll» Soit ( ) (d ) O a alors E(), doc S() T T Par lctur ivrs d u tabl d trasformés, o déduit qu : T s T ( ) U d

20 0 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé Rmarqu : Vérifios «à la mai» c résultat sur ls prmirs trms : s s - [ ] T : s - 0 T T s 0 T T T E fait, das c cas, l utilisatio d la trasformatio st iutil E pratiqu, o résout c typ d situatio par c typ d tablau Rmarqu : Si o appliqu l théorèm d la valur fial : lim ( )S() lim ( ) T lim O otra qu S() admt comm sul pôl simpl T ( ) T cas : répos «idicill» O prd pour tout tir Alors E() T Doc : S() T ( ) ( )

21 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé Pour trouvr l «origial», o décompos élémts simpls st pôl doubl, o admt qu o put écrir : S() a ( ) S() Etat doé qu b ( ) Après avoir réduit au mêm déomiatur, par idtificatio, o aboutit à : b T T t a, d où S() T ( ) T ( ) Dot o déduit immédiatmt : s T T Rmarqu : Vérifios «à la mai» c résultat sur ls prmirs trms : s s [ ] T N s - 0 T 3T 5T s 0 T 3T 5T 7T O otra qu c filtr umériqu rmpli (qualitativmt) so rôl d «itégratur», das la msur où il prmt d passr d u échlo à u ramp, comm précédmmt, il a prmis d passr d l impulsio à l échlo

22 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé 6 Li avc la trasformatio d Laplac a) Pour modélisr u sigal échatilloé, au liu d ous itérssr à la suit ds valurs f(t ) o put cosidérr la «distributio» f (T ) δ, où rprést la «distributio d Dirac» décalé à T O put fair la rpréstatio graphiqu suivat où la distributio défii ci-dssus st rprésté par l smbl ds «flèchs» : 0 T δt f(t ) 0 T Si o calcul alors la trasformé d Laplac d liéarité ifii, o a : 0 f (T ) δ T, admttat u L 0 f (T ) δ T (p) f (T ) L [ δ ](p) 0 T 0 f (T ) T p appliquat l théorèm du rtard O voit doc qu la trasformé du sigal échatilloé put s défiir par : Z[f] () L f (T) T (p) δ 0 posat p T b) U autr problèm qui put s posr pratiqu, cosist, à partir d la trasformé d Laplac d'u sigal aalogiqu, d chrchr la trasformé du sigal échatilloé U prmièr méthod st d trouvr l'origal d la trasformé d Laplac cou t suit d'appliqur la trasformatio

23 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé 3 Exmpl : O cosidèr la trasformé d Laplac F défii par F(p) A partir d F(p) p L sigal échatilloé st alors défii par : p (p ), o déduit qu l'origial (cotiu) st défii par : p x(t) ( - - t ) U(t) x( T ) - T, dot o déduit qu la trasformé st défii par : soit X() T T ( ) X() T ( )( ),

24 4 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé Elémts bibliographiqus : - Aa J-L, Précis d élctroiqu BTS/IUT (Bréal) - Collt H t alii, Mathématiqus BTS idustrils Spécialités du groupmt A (Natha 00) - Dluriux t Rami, Cours d élctroiqu umériqu t échatilloé (Eyrolls) - Frakli G t alii, Digital Cotrol of Dyamic Systms (Addiso-Wsly Publishig Compay 990) - Gasqut C t Witomski P, Aalys d Fourir t applicatios (Duod, 000) - Lvi WS, Th Cotrol Hadbook (CRC Prss 995) - Mavill t Esquiux Elctroiqu (Duod) - Prdikaris G A, Computr Cotrolld Systms Thory ad applicatios (Kluwr acadmic publishrs 99) - Ogata K, Discrt-tim Cotrol Systms (Prtic Hall Itratioal Editios 995) - Rihard H, Elémts mathématiqus du sigal (Duod, 00) - Rivoir M, Frrir J-L, Cours d automatiqu Tom (Eyrolls 99) - Sévly Y Systèms t assrvissmts liéairs échatilloés (Duod 986) - Tissrad E t alii, Aalys t traitmt du sigal Méthods t applicatios au so t à l imag (Duod) - Vrlad B t Sait-Pirr G, Mathématiqus, BTS idustrils Groupmt A, (Fouchr, 00)

25 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé 5 Ax : démostratio du théorèm d la valur fial Soit Lmm ( x ) N u suit d ombrs réls tll qu la séri tièr défii par 0 pour rayo d covrgc supériur ou égal à x ait O suppos qu sa somm S st prologabl u foctio ~ S holomorph défii sur C privé u smbl fii d poits, tous cs poits état d moduls supériurs à sauf, évtullmt qui st alors u pôl d ordr Das cs coditios, lim ( ) S() ~ lim x Démotratio 9 : Soit la foctio g défii par g() ( ) S() ~ A priori g st pas défii pour Mais état u pôl d ordr d ~ S, o put défiir g() par cotiuité Vu ls hypothèss, g st alors holomorph sur C privé d u smbl d poits d moduls tous supériurs à (strictmt) Ct smbl d poits état fii, il xist ρ, supériur à (strictmt), tl qu g st holomorph sur l disqu ouvrt d ctr 0 t d rayo ρ, oté (D ρ ), doc g st dévloppabl séri tièr 0 sur c disqu (D ρ ) C dévloppmt st aussi valabl sur l disqu d ctr 0 t d rayo, oté (D ) Or sur c disqu(d ), ls séris état covrgts, o a pour < : ~ g() ( ) S() x x ( x x ) x0, qui st doc aussi l dévloppmt séri tièr 0 d g sur l disqu (D ρ ), doc particulir pour (o rappll qu ρ st supériur à ), doc g() (x x ) x 0 lim x Or par cotiuité, lim g() lim ( ) S() ~ g(), doc lim ( ) S() ~ lim x CQFD 9 La lisibilité d ctt démostratio doit baucoup aux rmarqus faits par M Atoi Rossigol

26 6 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé Rmarqu: Avc cs hypothèss, la démostratio motr qu lim x st fii Théorèm d la valur fial Soit u suit ( x ) N t X sa trasformé O suppos qu X put êtr prologé u foctio ~ X holomorph sur C privé d u ombr fii d poits, tous à l'itériur du crcl «uité», sauf évtullmt u pôl simpl Alors : ~ lim ( ) X() lim x Démostratio : O défiit S défii par S() X( - ) 0 x Ls hypothèss faits sur X traî qu S vérifi ls hypothèss du lmm Doc : ~ lim ( ) S() ~ lim x doc lim ( ) S( ) lim x ~ lim ( ) X() lim x CQFD doc

27 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé 7 Ax : divrs éocés du théorèm d la valur fial ) Collt H (t alii) : Si ls limits xistt t si ls moduls ds pôls d (Zf)() sot ifériurs ou égaux à, alors : lim f () lim ( ) (Zf )() ) Frakli G (t alii,) : If F() covrgs for > ad all pols ol ( ) F() ar isid th uit circl th lim f (k) lim ( ) F( ) k 3) Lvi W S : If f(k) has a fii limit f ( ) has k, th f ( ) lim( ) F() 4) Ogata K : ( ) all th pols of X() li isid th uit circl with th possibl xcptio of a simpl pol at, th th fial valu of x(k), that is, th valu of x(k) as k approachs ifiity, ca b giv by lim x(k) lim ( k ) X() 5) Prdikaris G A : If Z-trasform of f(t) is F(), ad if th limit of F() ( - ) as approachs uity xists th f ( ) lim f (kt) lim( k ) F() lim( ) F() ( ) rquirs that all of th pols of F() li isid th uit circl xcpt possibly for a pol at 6) Rihard H : Soit f u sigal causal t F sa trasformé alors si lim f () > (au mois) t l lim (x ) F(x) x l alors F() xist pour

28 8 Pirr Lóp Group IREM Maths-Physiqu-Lycé 7) Rivoir M : x( ) lim( ) X() si la limit xist, ctt limit x( ) xist à coditio qu X() ait : tous ss pôls à l itériur du crcl uité (modul < ) ou au plus u pôl rél d modul égal à ls autrs pôls état d modul ifériur à 8) Sévly Y : lim f (T) lim( ) F() lim( si ctt limit xist ) F() 8) Vrlat B (t alii) : Soit x u sigal causal discrt lim ( ) (Zx)() lim x() O trouv u ot marg : «O suppos qu ls limits mtioés xistt»