CONCOURS D ADMISSION 2002

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Clémence Lebrun
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1 A 2002 Math MP 1 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L AÉRONAUTIQUE ET DE L ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D ADMISSION 2002 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE Filière MP (Durée de l épreuve : 3 heures) (L usage d ordiateur ou de calculette est iterdit). Sujet mis à la dispositio des cocours : Cycle Iteratioal, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP. Les cadidats sot priés de metioer de faço apparete sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière MP. Cet éocé comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l épreuve, u cadidat repère ce qui lui semble être ue erreur d éocé, il le sigale sur sa copie et poursuit sa compositio e expliquat les raisos des iitiatives qu il est ameé à predre. Soit B N la suite des réels défiis par les relatios suivates : B 0 1, B 1 1, pour tout etier aturel supérieur ou égal à 1, B 1 C p B p. p0 Les réels C p sot les coefficiets du biôme ; le ombre réel C p, oté aussi, est p égal au cardial de l esemble des parties ayat p élémets d u esemble ayat élémets. PREMIÈRE PARTIE I-1. Foctio E : Soit E la foctio défiie sur la droite réelle R par la relatio suivate : Ex expexp x e ex. a. Démotrer que la foctio E est développable e série etière sur la droite réelle R. - 1/5 -

2 b. État doé u etier aturel, soit A le réel égal à la valeur de la dérivée -ième de la foctio E e 0 : A E 0. Démotrer, e admettat les covetios habituelles 0 0 0! 1, la relatio suivate : A k k!. c. Établir, pour tout etier aturel 0, ue relatio de récurrece exprimat A 1 e foctio de A 0, A 1,, A. E déduire l expressio suivate du réel B e foctio de A : B 1 e A. I-2. Comparaiso de sommes ifiies : Soit u 1 ue suite de réels strictemet positifsu 0 ; o suppose que, pour tout etier aturel, la série de terme gééral u k k, k 1,2,..., est covergete. Soit U sa somme : U u k k. a. Démotrer que, pour tout etier p doé supérieur ou égal à 1 p 1, lorsque l etier croît vers l ifii, le réel U est équivalet au reste d ordre p de la série défii par la relatio : R p, kp u k k ; c est-à-dire : pour tout etier strictemet positif p, U R p, u k k. kp b. État doées deux suitesu 1 et v 1 de réels strictemet positifs u 0, v 0, démotrer que, si les réels u et v sot équivalets lorsque l etier croît vers l ifii u v, les deux suites de réels U, 1,2, et V, 1,2, défiis par les relatios suivates : U u k k, sot équivaletes, lorsque l etier croît vers l ifii : U V. V v k k, I-3 Foctio f : État doé u etier strictemet positif 1, soit f la foctio défiie sur la droite réelle R par la relatio suivate : f x 0, si x 0, e x x x1/2, si x /5 -

3 État doé u etier strictemet positif 1, soit s k le réel défii par la relatio suivate : s k f k. a. Étudier, pour u etier doé, la covergece de la série de terme gééral s k, k 0,1,2, ; soit S la somme de cette série : S f k. b. Démotrer, lorsque l etier croît vers l ifii, l équivalece suivate : A 1 f k. 2 DEUXIÈME PARTIE État doé u réel strictemet positif 0, soit la foctio défiie sur la demi-droite ouverte 0,, par la relatio suivate : x x l x x lx. II-1.Étude de la foctio : a. Détermier des équivalets de x das des voisiages de 0 et de l ifii. b. Détermier les variatios de la foctio sur la demi-droite ouverte 0, ; établir e particulier l existece d u réel e lequel la foctio atteit so maximum. c. Soit la foctio qui, au réel, associe le réel. Démotrer que cette foctio, défiie sur la demi-droite 0,, est cotiûmet dérivable. Pour tous réels x et strictemet positifs, la relatio ci-dessous, das laquelle le réel est l image par la foctiodu réel, est admise : 1x x l1 x x l1 x. II-2. Maximum de la foctio f : a. Démotrer que, pour tout etier strictemet positif, la foctio f admet u maximum e u uique poit. Est-ce que la foctio f est cotiûmet dérivable sur la droite réelle R? b. Établir les propriétés suivates vérifiées par les réels 1 : i. E admettat les iégalités suivates, l 2 3 2, démotrer que les réels, 0, 1,2, vérifiet les ecadremets suivats : ; pour tout etier supérieur ou égal à 3 :. - 3/5 -

4 ii. le réel est égligeable devat l etier lorsque l etier croît vers l ifii : o lorsque. iii. pour tout réel compris strictemet etre 0 et 1, le réel est égligeable devat, lorsque l etier croît vers l ifii : o lorsque. TROISIÈME PARTIE État doé u etier strictemet positif 1, soit g la foctio défiie sur la droite réelle R par la relatio suivate : g x 1 f f 1 x. III-1. Propriétés de la foctio g : a. Vérifier, pour tout etier strictemet positif et tout réel x, la relatio suivate : f x f g x. b. Doer l allure du graphe de la foctio g. c. Démotrer que la suite de foctiosg 1 coverge simplemet vers ue foctio g ; expliciter cette foctio g. d. Démotrer qu il existe u etier 0 tel que, pour tout etier supérieur ou égal à 0 0 et tout réel x strictemet supérieur à x, la foctio g vérifie la majoratio suivate : g x exp 2 x l 1 x. III-2 : Ue majoratio de la foctio g : a. Soit u la foctio défiie par la relatio suivate : ux 1 x 2 x l1 x. Démotrer que cette foctio se prologe e ue foctio dérivable sur la demi-droite ouverte 1, ; démotrer que cette foctio u est décroissate sur cet itervalle. Préciser so sige. b. E déduire que, pour tout etier supérieur ou égal à l etier 0 itroduit à la questio III-1.d, la foctio g, défiie sur la droite réelle, vérifie les majoratios suivates : g x exp x2 4, si x 0 ; g x exp 1 x l1 x, si x /5 -

5 QUATRIÈME PARTIE Recherche d u équivalet du réel B lorsque l etier croît idéfiimet. IV-1. Itégrabilité de la foctio g : Démotrer que, pour tout etier strictemet positif, la foctio g est itégrable sur la droite réelle. Soit I la valeur de so itégrale : I R g x dx. Démotrer que la suite de réelsi 1 est covergete. Il est admis que la limite de cette suite est égale à 2. IV-2. U ecadremet de la somme S : État doé u etier strictemet positif, d après la questio I-3.a, le réel S est la somme de la série de terme gééral f k, k 0,1,2,. Détermier des réels K et tels que la somme S soit ecadrée de la maière suivate au moye de l itégrale I : K I S K I. Les réels K et serot explicités e foctio de, et de la foctio f. La suite ted vers 0. Idicatio : Soit p l etier égal à la partie etière du réel ; cet etier est défii par les iégalités ci-dessous : p p 1. Détermier des ecadremets des deux sommes S et S défiies par les relatios suivates : p S f k ; S f k. kp1 IV-3. U équivalet du réel B : Déduire des résultats précédets u équivalet du réel B lorsque l etier croît vers l ifii. FIN DU PROBLÈME - 5/5 -

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